Распределение тепла в трехмерном материале сразрезомпоквадрату Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955.8 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 3

А. В. Глушко, Е. А. Логинова

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛА В ТРЕХМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ С РАЗРЕЗОМ ПО КВАДРАТУ

Воронежский государственный университет, Российская Федерация, 394006, Воронеж, Университетская площадь, 1

Рассматривается задача, описывающая стационарное распределение температуры с переменным коэффициентом внутренней теплопроводности в области, представляющей собой трехмерное пространство с разрезом по квадрату, моделирующей неоднородный (функционально-градиентный) материал с трещиной в виде плоского квадрата. Неоднородность материала описывается функцией k(x) = Goekxa, что соответствует ситуации, когда вектор направления изменения неоднородности направлен вдоль оси Ox 3. Задача сведена к обобщенной задаче, получены тепловые потенциалы и построено решение задачи, изучены их свойства. Найдены асимптотики производных решения по расстоянию до концов разреза. Библиогр. 8 назв.

Ключевые слова: тепловые потенциалы, краевые условия, неоднородный материал с разрезом по квадрату, асимптотические представления.

A. V. Glusgko, E. A. Loginova

THE PROBLEM OF THE DISTRIBUTION OF HEAT IN THE MATERIAL WITH A CUT ON THE SQUARE

Voronezh State University, 1, Universitetskaya square, Voronezh, 394006, Russian Federation

The problem of the stationary distribution of the temperature field with a variable coefficient of thermal conductivity in the inner region of a three-dimensional space with a cut on the square, which simulates a heterogeneous material with a crack in the form of a flat square is considered:

Au(x1,x2,x3) + kdu{X1'X2'X3) =0, x G К3\П; дхз

u(xi,x2, +0) - «(xi,x2, -0) = qo(xi,X2), xi € [-1; 1], X2 € [-1; 1]; du(xi,x2, +0) k du(xi,x2, -0) k

----h —u(xi, X2, +0)------u(x1,x2,-0) = qi(x1,x2),

dx3 2 dx3 2

where u(xi,x2,x3) is the temperature at the point with coordinates (xi,x2,x3).

The article describes a solution of the problem, studies its properties. The main result of this study is to construct asymptotic representations of the temperature field and the heat flux near the boundary. From the formulas for the first derivatives of the solution, we can conclude that these functions at the boundaries of the crack-square are singular terms of higher order than the inside of the cut. Refs 8.

Keywords: thermal potentials, the non-homogeneous material with a square cut, the asymptotic solution.

Глушко Андрей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой; e-mail: kuchp2@math.vsu.ru

Логинова Екатерина Александровна — кандидат физико-математических наук, преподаватель; e-mail: vangog2007@list.ru

Glushko Audrey Vladimirovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, the head of department; e-mail: mail@angl.vrn.ru

Logiuova Ekateriua Alexaudrovua — candidate of physical and mathematical sciences, lecturer; e-mail: vangog2007@list.ru

1. Введение. Уже несколько десятков лет интерес механиков и математиков вызывают задачи о распределении тепла в материалах с трещиной [1—7]. Большое количество работ, написанных по этой теме, посвящено численным методам решения. В последнее время также появляются статьи, в которых изучаются температурное поле и распределение тепловых потоков в окрестности трещины асимптотическими методами. Однако все эти работы относятся к случаю плоского неоднородного материала с трещиной в виде разреза. В данной статье рассматривается задача о стационарном распределении поля температуры с переменным коэффициентом внутренней теплопроводности в области, представляющей собой трехмерное пространство с разрезом по квадрату, моделирующей неоднородный материал с трещиной в виде плоского квадрата. Найдено решение поставленной задачи, изучены его свойства. Основным результатом является построение асимптотических представлений температурного поля и теплового потока вблизи границы.

Приведем уравнение стационарной теплопроводности неоднородного материала, которое имеет вид

ё1у(к(х^гаёи(х)) = Г (х).

Здесь к(х) = Оовкх'л — коэффициент внутренней теплопроводности вещества. Приведенное уравнение соответствует ситуации, когда вектор направления изменения неоднородности направлен вдоль оси Охз и коэффициент теплопроводности выражен экспонентой. Предположим также, что Г(х) = 0. Введем обозначение: П — множество точек М3, удовлетворяющих представлению П = {хх,х2,хз | хз = 0; Х1 € [—1; 1], Х2 € [—1; 1]}. Областью, в которой рассматривается уравнение, моделирующее наличие трещины, проходящей по квадрату П в М3, является М3\П. С учетом предположений упростим запись уравнения теплопроводности, дополним его граничными условиями и получим задачу

Аи(х1,х2,х3)+кди<уХ1'Х2,Х3^ =0, х € М3\П; дхз

и(х1,х2, +0) — и(х1,х2, —0) = до(х1,Х2), Х1 € [—1; 1], Х2 € [—1; 1]; (1)

ди(х1,х2, +0) к , ди(х1,х2, —0) к

----Ь -и(х1,х2, +0)------и(х 1,ж2, -0) = д1(х1,х2).

дхз 2 дхз 2

Первое из граничных условий описывает разность между температурами верхнего и нижнего берегов трещины, а второе — разность между тепловыми потоками через эти берега.

2. Основная часть.

Теорема 1. Пусть дь,о2) € С2(П), к = 0; 1. Тогда решение задачи (1) и(х1,х2,х3) принадлежит пространству Сж(М3\П) и ограничено во всем М3. Справедлива следующая формула представления решения:

1

е

-Ь— | [ / e'Iv/(з:l"Tl)2+(з:2"T2)2+з:i'?l(gl;g2)iJliJ/ I

у/(Х1 - СГ1)2 + (х2 - СГ2)2 + х\ 1 2

Яжзе~ 2 л/(ж1_<71)2+(ж2_<72)2+жз

-ТТ х

((ж! - ах)2 + (х2 - а2)2 + х\) 2

и

е

х (Ж1 - 0"1)2 + (ж2 - а2)2 + ж§ - до(сг1;а2)(кг1(кг2^ ■

Первое из граничных условий задачи (1) выполнено для каждого (хх; х2) € ( — 1; 1) х (—1; 1) по непрерывности, а второе — в смысле главного значения, т. е.

Иш

Е^ + 0

ди(х\,х2, +е) дп(х\,х2, —е)

0.

дхз дхз

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Введем обозначения: Пх = {(хх;х2)|хх € ( —1;1);х2 = 1}, П2 = {(хх;х2)\хЛ = —1; х2 € ( —1;1)},

Пз = {(хх;х2)|хх € ( —1;1);х2 = —1}, П4 = {(хх;x2)|xl = 1; х2 € ( —1;1)}.

Справедливы следующие асимптотические представления решения и его первых производных в окрестности разреза П. При {(хх;х2)|хх € ( — 1; 1); х2 € ( — 1; 1)}

_!щ2.д0(х1,х2) , „ , ,

м = е 2 ---sgnxз + К0(х1,х2,х3);

-— = --е 2 sgnжз----|-Дй(жьж2,ж3), к =1,2;

дх ^ " дх ^

ди _Щг, ( с1х(хЛ,х2) к 1 Л

■ = е 2 и^хз-----—</о(ж1, ж2^пж3 — у • </о(ж1; ж2) I +лз(ж1, ж2, жз).

При (хх,х2) € Пх

м = е 2 ---8^ж3 + До(ж1,1,ж3);

9м 1 сЗд0(ж1,1) „ . ,

=--е 2 sgnжз-—--Ь Дй(ж1,1,ж3), к = 1,2;

9м / ^1(ж1,1) к . . 1

д^ = е 2 [®®ПЖз--4--— 1^пж3 - - • ^(ж!; 1) -

- -¡-1п|ж3|дд°дЖ1' ^ ) + Дз(жь1,жз). дх2 I

При (хх,х2) € П2

_Щад0(- 1,ж2) \ т> ( 1 ^

м = е 2 ---sgnжз + До(-1,ж2,ж3);

9м / 1 ад0(-1,ж2) 1 . м | Л ,

+Ек(—1,х2,хз), & = 1, 2; 9м ( д!(-1,ж2) /г д0(-1;ж2)

9жз = 6 2 -4--8<?°(-1'Ж2)-8ёПЖЗ-^^ +

+ 1 ^0(-1;ж2)1 ^ \ ^

8^ дхх I

При (xi,X2) G П3

м = е 2 —HSgnx3 + R0(xí, -1,ж3);

ди -Щ3- ( 1 9д0(жь-1)^

~дх~к=е (~4Sgna;3--j + Rk(x i,-l,ж3), Л =1,2;

9м / (?1(Жь_1) fe е/о (ж i ; —1)

<9жз = 6 -4--8<?0(Xl'-1)-Sgna;3-^^ +

+ ^'"^¿1111x31) +Дз(х1,-1,хз).

При (xi,X2) G П4

_fc|3 д0(1,ж2) и = е 2 ---sgnx3 + iío(l, ж2, ж3);

9м f 1 9ф(1,ж2) 1 n Min,

2 \ ¡S^ni3 ~dxk 27Г|ЖЗ] 27Г Ж

+ Rk(1,X2,X3), k = 1, 2;

9м /sgnx3 • <?i(l,x2) /год(1,ж2) • sgnx3 д0(1, ж2)

— е 2 1

dx3 V 4 S 2 Ix31

1 dqo(l, X2)

S-я" dxl

При (xi,X2) = (1; 1)

ln IX3I + R3(1,X2,X3).

u = e 2 qo<y1,1')sgnx3 + Д0(1,1,ж3); S

9м if dg0( 1; 1) g0(l;l) 7Г dg0(l; 1)

=-e 2 — sgnx3—-+ ——— + -sgnx3—- +

dxk 4^ y dxj, IX31 2 dxk

+ qo(l; 1) ln Ix3^ + Rk(1, 1, X3), k = 1, 2;

9м к hîA an ( 1 ; 1 ) ^ 1 / 7Г

_ —e 2 v — 0 '

_Мз 1 / 7Г Sgn X3 — e 2 — (^--sgnxg . ^(1; 1) _

dx3 2 S ь ° 4^ V 2

* .0(1; i) + m 1*31 - Щ^m м, + ад, i,гз).

2Ix31 ' dxl dx

При (xi,X2) = (—1; 1)

_ kx3 ÇqJ'—IJ ^

м = е 2 ---sgnx3 + Д0(-1,1,ж3);

S

dv_ = _e-±|aJ_ 0go(-l;l) 0go(-l;l) g0(-l; 1) _

9xfc 47Г \2 9xfc dx/, |ж3|

— qo(—1; 1) ln Ix3^ + Rk( —1,1, X3), k =1, 2;

ди к Ьт <70( —1; 1) кхз 1 / 7г

_--е 2 у -- „о I

_ кхз 1 / 7Г

вёпхз — е 2 — . 1) -

дхз 2 8 ь ° 4п V 2

* 1) - ^^ 1п |хз| + 1п Ы ) + Дз(—1,1, хз).

2 |х з | ' дх\ дх

При (хх,х2) = (—1; —1)

_ кхз

и = с 2 ---в^жз + До(-1,-1,ж3);

8

_ пх дд0(-1;-1) | ^ ^ %)(-!; -1) _ д0(-1; -1) _

дхк 4п у 2 дхк дхд, |хз |

— до( — 1; — 1)1п |хзМ + Ик( —1, —1,хз), к = 1, 2;

ди к кхз <7о( — 1; — 1) кхз 1 / 7Г

_--е 2 х ' —--- - " '

_ кх3 1 / 7Г

вёпхз — е 2 — • <?1(-1; -1) -

дх3 2 8 4п V 2

* Ы-1; -1) - ддо(:1;-1} ш |жз| + м^ы 1п ы) + жз).

2|хз | ' дхх дх^

При (хх,х2) = (1; —1)

и = е 2 ---sgnxз + К0{1,-1,х3)]

8

ди 1 (7Г ад0(1;-1) ад0(1; —1) , «?о(1; — 1) ,

= -е 2 — ^пж3----sgnжз----1--:—:--Ь

дхк 4п \ 2 дхк дхд, |хз |

+ до(1; —1)1п |хзМ + Як(1, —1,хз), к = 1, 2;

ди к _кхз. до(1; — 1) 1 / 7г . ,

= ~26 8 8ёпжз—е 2-^пх3.91(1;-1)-

* г®(1; -1) + 1п |жз| - 1п |жз|) + Дз(1, -1, жз).

2|хз | ' дх\ дх2

Функции Кк(х\, х2, хз), к = 0,1, 2, 3, непрерывны и равномерно ограничены. Перейдем к изложению схемы доказательства основных результатов. После несложных преобразований и замены и = е~ъхзю{х\,х2,хз) уравнение задачи (1) можно переписать в виде

к2

Дг>(ж1,ж2,жз) - — г>(ж1,ж2,жз) = 0, ж € М3\П. (2)

Граничные условия будут заданы следующим образом:

«(хьх2, +0) — -у(хьх2, —0) = до(хх,х2), дю(х\,х2, +0) дю(х\,х2, — 0)

дх дх

хх € [— 1; 1], х2 € [— 1; 1].

дх (хх, х2~), (3)

Определение 1. Специализированной дельта-функцией назовем такую функцию ¿п € D'(R3), что для функции v(xi, x2, x3), которая на квадрате x € П может иметь разрыв первого рода, причем lim v(xi,x2,x3) = v±(xi:x2), xi € [— 1; 1], x2 €

[—1; 1], и непрерывна при всех x € М3\П, и любой функции ^(xi,x2,x3) € D(R3) справедливо равенство

i i

(v£n, ^(xi,x2,x3)) = J j(v+ (xi,x2) — v_(xi,x2))(^(x3), ^(xi,x2,x3))dxidx2, -1 _i

где 5(x3) — дельта-функция Дирака.

Определение 2. Решением задачи (2), (3) назовем функцию v(xi,x2,x3), принадлежащую множеству функций C2 (М3\П) и удовлетворяющую уравнению (2) в области М3\П, для которой выполнены граничные условия (3), и такую, что

dv(xi,x2,x3) dv(xi,x2, — x3) dv(xi,x2,x3)

функции v{xi,x2,xs), --- — ---, x3--- ограничены

dx3 dx3 dx3

в окрестности П.

Утверждение 1. Решение задачи (2), (3) в смысле пространства D'(R3) удовлетворяет уравнению

. k2 д^п /,ч

Av - —V = qi{xi,x2) * ön +qo{xi,x2) * (4)

Доказательство. Рассмотрим результат воздействия оператора Лапласа на обобщенную функцию v € D' (R3), равную нулю на множестве Пе = [—1 — е1/2; 1 + е1/2] х [—1 — ei/2; 1 + ei/2] х [—е; е] с последующим переходом к пределу при е ^ +0 в пространстве D'(R3). Заметим, что при е ^ +0 параллелепипед Пе стягивается в плоский разрез П. При выполнении ограничений на функцию v(x), сформулированных в определении 2, с использованием результатов работы [8], удается установить, что для произвольной основной функции y(xi,x2,x3) из существует предел

limo(Av(x),^(x)) = limо J v(x)Ap(x)dx = j{Av(x)}^(x)dx +

К3\Пе R3

i i

+ J J[v(xi, X2, +0) - v(xi, X2, -0)] ^(жз), ду^Ь^жз)^ dxidx2 -i _i

1 1

Г Г ду(хих2,+ 0) _ ду(хих2, -0) х.Шх^хо

\ I I [ ^^ ^^ \ Vй) УД 11 11 ) ) ^^ 1 •

-1 -1

Здесь {Д-у(х)} — оператор Лапласа в смысле классических производных, определенный для решения задачи (2), (3) на М3\П. Из последнего равенства с учетом граничных условий (3) получаем требуемое утверждение. Введем обозначения:

^ (к к2\

Ь(Х1,Х2,хз) = —-—:—:--фундаментальное решение оператора Д--— ;

4^|х| у 4 у

Ух(хх, х2, хз) = Е(хх, х2, хз) * д\(х\, х2)бп — поверхностный стационарный тепловой потенциал простого слоя;

лг / ^ т?/ N ддо(х\,х2)5п

Vо(Х1,Х2,хз) = Ь(х 1,х2,хз) *----поверхностный стационарный теп-

дхз

ловой потенциал двойного слоя.

Очевидно, что если свертки в определениях потенциалов существуют в Д'(Мз), то решение обобщенной задачи (4) представимо в виде суммы у(хх,х2,хз) = У1(х1,х2,хз) + Уо (хх,х2,хз).

На основании теоремы о свертке с финитным функционалом (см. [8]) устанавливаем справедливость следующего утверждения.

Утверждение 2. Пусть дк(ах,а2) € С2(П), к = 0,1.

Тогда Ук(хх,х2,хз) € Сто(Мз\П) П С(Мз), к = 0,1, и ограничены во всем Мз. Справедливы представления

1 1

Iff е~2 "\ЛЖ1~<71)2+(Ж2~<72)2+Жз

V1(x1,x2,x3) = -— / / q1(a1,a2)daidff2,

4п J J (xi - ^i)2 + (x2 - CT2)2 +

X3 } f g-f а/(Ж1_<71)2 + (Ж2_<72)2+Ж3 V0(X1,X2,X3) = — / / ---—-2THX

J J ((xi - a 1 )2 + (x2 - CT2)2 + xg)1'5 -1 -1

x (xi - CT1)2 + (x2 - cr2)2 +x\ +

Более тщательное изучение позволяет установить поведение потенциалов вблизи границы области — разреза П.

С этой целью сформулируем и докажем два вспомогательных утверждения. Лемма 1. Пусть функция f (a1; a2; x1; x2; x3) непрерывна по всем переменным.

rj, л 7 1 1 f(a1;a2;x1;x2;x3) , ,

1огаа интеграл J = J J —, —-daida2 является непрерыв-

-1 -1 V(x1 - a1)2 + (x2 - a2)2 + x§ н^1м по x1 ,x2 ,x3 € R3.

Доказательство. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1). Пусть (x1; x2) € П. Тогда существует S > 0 такое, что выполнено неравенство (x1 - a1)2 + (x2 - a2)2 > S2.

rr T iTi^ 1 1 lf(a1; a2; x1; x2; x3)|, ,

Проведем оценку интеграла J по модулю \ J\ ^ J J ---a<jid<j2,

-1 -1 \JS2 + x3

из которой на основании теоремы Лебега о предельном переходе следует, что рассматриваемый интеграл непрерывен по внешним переменным.

2). Пусть (x1; x2) € П. Представим интеграл J в виде суммы: J = J1 + J2, здесь

1 if f (a1; a2; x1; x2; x3)

J\ = — ' ' ' ' (¿71 (¿72; B$(XI]X2) G П.

П\Вг(1;*2) V (x1 - a1)2 + (x2 - a2)2 + x3

п \п\ ^ \ г а2;хьх2;хз), ,

Справедлива оценка к/Л ^ J J --сит1сит2, из которой на основа-

-х— л/52 + хз

нии теоремы Лебега о предельном переходе следует, что рассматриваемый интеграл непрерывен по хх; х2; хз;

Проведем замену интегрирования о\ = x/ + £ cos у, = x2 + £ sin У- Интеграл J2 примет вид

2п S

Т2 _ [ í Яхi + gcosy;x2 +gsiny;xi;x2;x3)g_

0 0

j; = J J Jwttí =

2п S2

W ff (xi + £ cos у; X2 + £ sin y; xi; X2; x3)

' ' -apacp.

2 J J ^Tx¡

0 0 3

Оценим IJ21. Пусть K G R3 — произвольный компакт. Тогда

S

T¡\ < i max |/| -2тг í —^L== 4 max |/| • тг +

2 CTen VP + x3 е

4 max l/l • 7г ^ р + xé

хек 0 хек

аеп

хек

2 max \f \ ■ ^ \/S2 + x3 — \x3\ < то.

Из оценки следует непрерывность интеграла ^ по внешним переменным. 3). Пусть (х1; х2) € Г\{( —1; —1); (1; —1); (—1; 1); (1; 1)}. Представим интеграл J в виде суммы: J = + J2, здесь

J

i = ГГ fir 1;^;х1;х2;хз) ^^

Щ^Х^) V (x1 — а1)2 + (x2 — ff2)2 + x3

тд i tu ^ r r f(aV;a2;xi;x2;x3), ,

Из оценки \J{ | ^ J J ---cuticut2 следует непрерывность интегра-

ла J/-

-1 -i v^2 + хз

Перейдем к рассмотрению интеграла Jf:

J1

?= ГГ П*1-,*2-,Х1]Х2]Х3) ^^

Вг(хГ;Х2)СП V (х1 — а1)2 + (х2 — ^2)2 + х3

После перехода к полярным координатам интегрирования можно записать представление

п 5

Т2 _ [ /"/(х1+Ccos^;x2J_£siny';xl;x2;x3)C оо

Jí = J J ¿WT7Í

После замены £ = ^fp имеем

п S2

2 If f f (xi + £ cos y; x2 + £ sin y; x/; x2; x3)

J^2.J 1-T^rl-

0 0 3

2

S

0

Оценим последний интеграл:

Т21 / I [ 3Р _______./„ , „2

1 /* (I /

< - тах |/| -7г / =тг тах |/| \]р + х\

2 степ УР + хз степ

!52 + хз — |хз| ) .

степ V '

хек

Из оценки вытекает непрерывность интеграла по внешним переменным. 4). Пусть (хх; х2) € {( — 1; —1); (1; —1); ( — 1; 1); (1; 1)} и 1 = ^ + 12. Доказательство полностью повторяет случай 3), за исключением того, что в интеграле 12, записанном в полярной системе координат, интегрирование ведется по у € (0;

Лемма 2. Пусть функция I(ах; а2; хх; х2; хз) непрерывна по всем переменным.

! х

хзI(ах; °2; хх; х2; хз)

т 1 т Г Г ^зЛ^х>^2>>^2>^з; т т

1огаа интеграл Л = -гт;-:-гт;-тт<мт1<Ш2 является непрерывным.

-х -х (хх — ах)2 + (х2 — а2)2 + хз

Доказательство. Рассмотрим ряд случаев расположения (хх; х2).

1). (хх; х2) € П.

Существует 6 > 0, такое, что справедлива оценка (хх — ах)2 + (х2 — а2)2 ^ 52. Благодаря оценке легко получаем неравенство

х х

[ [Ы-и(аьа2;х;х2;хз)|, ,

И < У У -¿2^2-(1(71(1(72:

-х -х 3

которое доказывает непрерывность 1 по внешним переменным.

2). (хх; х2) € П.

Представим 1 в виде суммы 1 = + 12, где

П ГС хзI(ах; а2; хх; х2; хз)

П\Вг(х1;х2)

Оценим \ 1хх \ :

х х

ГИ/ [ ! 1Жз1 • 1/(°"1;°"2;Ж1;Ж2;жз)

<52 +:

х -х

^ / / ^з| и ^ 2, Т; -»-2, -»-з/ | , ,

^ / / -—-9-СК7\(к72■

Из последнего неравенства следует непрерывность по внешним переменным. Рассмотрим интеграл 1-2:

хз I (ах; а2; хх; х2; хз)

72 гг хз1 (аь а2; х; х2; хз) , ,

^ " И (х1-а1)2 + (х2--2)2+х1^2-

Вг(х1;х2)СП

Перейдя в 1х2 к полярным координатам интегрирования, можно записать представление

2^ г

Т2 _ [ / хз/(х1+Ссо8^_1Ж2_+_С£т^;ж1;ж2;хз)С

е2+х1

Л = / / -йТГ2-

оо

2

г

о

Проведем замену £2 = р. Получим представление

2п й2

т2 1 Г Г x3f (xi + С cos у; Х2 + С sin у; xi; Х2; Х3)

■h = 2 J J -FT^l-dpd

0 0

из которого следует оценка

S2

2

|j2| < - max \f\-2nx3 / 2 = max \f\nx3\n[p + x23]\0 =

2 степ J p+x3 степ

хек 0 хек

ó2 + x2 = max |/|7гжз1п-

степ x3

хек

Последнее выражение ограничено по совокупности переменных, что обеспечивает непрерывность интеграла J2 по совокупности переменных. 3). (х1;х2) € Г\{( —1; —1); (1; —1);( — 1; 1)2 (1; 1)}. Представим J в виде суммы J = + J2. Здесь

_ X3f{(Tí](J2]Xl]X2]X3)

, (Х1 i;x2)

Как и выше, оценим J-J:

Ti ГГ x3f (а/; 02; x/; x2; x3)

Jl=n JJ Л^-^ + ^-^ + х!^2'

n\B¿(xi;x2)

1 1

1 1 .! .! 52 + х3

-1 -1

Последняя оценка гарантирует непрерывность J1l по внешним переменным. Перейдем к рассмотрению

Т2 г г x3f (ai; а2; xi; x2; x3) , ,

Jl B f JJ )rn W^TW^T4daida2-

Bs(xi;x2)cn

После замены переменных интегрирования можно записать представление

п S

т2 [ Í x3f(xi + £ cos у; x2 + £ sin у; x/; x2; x3)£

Ji = I I-eTx¡-^

00

которое при помощи замены £ = ^fp примет вид

п S2

2_ If [ x3f(xi + £ cos у; x2 + £ sin y; x/; x2; x3)

Jí = - / / -■—2-!-1-!-dpdip,

2 J J P + x3

00

S2

2

|J2| < - max |/|-7гж3 / 2 = тг max |/|ж3 In [¿о + ж§] |Q =

2 степ i р + x3 степ

xек 0 xек

. б2 + х2 Хз 1п-т,—

= п шах |

степ

хек

Последняя функция ограничена и непрерывна вплоть до хз = 0, следовательно, является непрерывной по внешним переменным функцией.

4). (хх; х2) € {(—1; —1); (1; —1); (—1; 1); (1; 1)}.

Доказательство полностью повторяет случай 3), за исключением того, что в интеграле , записанном в полярной системе координат, интегрирование ведется по у € (0;

Утверждение 3. В условиях утверждения 2 справедливы равенства

дУl(xl,X2, +0) дУl(xl,X2, —0)

— = <л(ж1, ж2), (5)

дх3 дх3

У!(х!,х2, +0) — Ухх ,х2, — 0) = 0, (6)

Уо(хх,х2, +0) — Уо(хх,х2, —0) = до(хх,х2), (7)

дУо(хх,х2, +0) дУо(хх,х2, — 0) , .

— - и. (Ь)

дх3 дх3

В равенствах (5)—(7) (х/,х2) € ( —1;1) х ( —1;1). В указанных значениях перемен-

< и ЛГ < \ Т/ < \ дyl(x1,x2,x3)

ных (Х1\Х2) функции Vо(х1, х2, хз), ^1(,хъ х2, хз), -^- непрерывны вплоть

дх3

до каждого из берегов разреза П, и предельные значения этих функций в точках хз = ±0 вычисляются по непрерывности. Несколько иная ситуация в равенстве (8). Здесь выполнение граничного условия понимается в смысле главного значения. По-

дУо(хх,х2,хз)

следнее связано с сингулярностью функции --- в окрестности границы.

дх3

Однако сингулярные составляющие обладают свойством четности по переменной х3, что позволяет установить равенство (8) хотя бы в смысле главного значения. Для примера докажем выполнение условия (8). С использованием утверждений лемм 1 и 2 выводим следующее представление:

1 1

дУо(хх,х2,хз) I к [ [ 1 11, = до{х1,Х2)<— / / --уГ~П-\9~~i—з®0"!®0"2 +

дхз ' I 8п У У (хх — ах)2 + (х2 — а2)2 + х§

-х -х

1 1

+ — / / ----

■' '' \1 I _ , „2^ 2

-1-1 ((х1 - О"!)2 + (ж2 - 0"2)2 + хз^

ЗА;

87Г

г Г

х-х ^(хх — ах)2 + (х2 — а2)2 + х§)

-За/За^ + Я(хх,х2,хз). (9)

Функция Я(хг,х2,хз) непрерывна по совокупности переменных, а остальные слагаемые в правой части равенства (9) четны по переменной х3. В совокупности это доказывает выполнение условия (8) в смысле главного значения. При выводе представления (9) использовались представления

2

х

3

qo(#i,#2) = qo(xi,x2) + O(xi - <7i) + O(x2 — #2).

На основании утверждений 2 и 3 выводим доказательство теоремы 1 (единственность решения доказывается стандартно).

Перейдем к доказательству теоремы 2 об асимптотиках. Оно основано на явных представлениях потенциалов, найденных в утверждении 2, и их первых производных. Эти представления (в особенности представления производных потенциалов) содержат значительное количество интегралов, зависящих от внешних параметров. Многие из них могут быть исследованы на основании лемм 1 и 2, остальные требуют дополнительного изучения.

Рассмотрим для примера интеграл, не удовлетворяющий условиям ни одной из лемм. Отметим разложение (здесь £ = \J{х\ — <ti)2 + (ж2 — <72)2;х\ — <j\ = £ cos у; x2 — а2 = £ sin у, у G (0; 2п))

dqo

qo(#i,#2) = qo(xi; Х2)

dqo d#i

£ cos у +

д#2

£ sin у,

основанное на интегральной теореме о среднем. Рассмотрим интеграл

i i

Ji

i

x3qo(ai; #2)

((xi - cri)2 + (ж2 - СГ2)2 + Ж§) 2

-d#id#2-

Пусть (х/;х2) € П, 5 > 0 — таково, что шар Вц(х/,х2) С П. Очевидно, часть интеграла 1/, которая вычисляется по множеству (а/,а2) € П\В^(х/,х2), является непрерывной по совокупности внешних параметров функцией. Поэтому, с точностью до непрерывных слагаемых, будем считать, что интеграл 1х вычисляется по шару Вг(хг,х2) С П.

С помощью выписанного выше разложения получаем представление

2п S

Ji = qo(xi; x2)

x3£

2п S

oo

(е2 + ж2)§

■d£dy +

x3 £ dqo

oo

(£2 + xl)z da 1

£ cos у d£dy +

2n S

+

где

Справедлива оценка

2n S

í2

x3£ dqo

oo

(£2+x2)Í da2

£ sin у d£dy + Ji,

J'i

oo

x3 £2 cos у dqo

{í2 + A)^ dai

2n S

oo

X3 £Q(£)

(е2 + ж2)§

d£dу.

d£dу

^ max

степ x3EK

dqo

d#i

|xs|2n

d£

v^T^f

<

^ max

степ x3EK

dqo

d#i

d£

|жз|27г / -—- ^ 27tS max

i |x3| степ

o х3ек

dqo

d#i

CT1 =CT

CT2=CT

CT 1 =ст

CT2=CT

S

CT 1 =CT

S

COS ip ддв

Непрерывность функции в правой части оценки гарантирует непрерывность интегра-

2п S ,

Tnfi dnn

£ sin доказывается ана-

ла Г Г-j- -а—

0 0

S

Непрерывность интеграла Г Г-—т- ——

О О 5сг2

логично.

О" 2

Оценим | |:

s s2 s2

1

\J[ \ < х3с2я [ ^ d£ = с'хз [ -—^ dp < с'ж3 [ —dp

J (£2+xl 2 7 G° + x3 2 J P + xi

0 0 0

= с'жз(-2) ln [p + x2] |0 < c" |xs (ln[52 + x2] - ln |x3Q J •

Непрерывность функции в правой части оценки гарантирует непрерывность интеграла J[ по внешним переменным.

Рассмотрим главную сингулярную часть интеграла:

2-я- S S2

Ji = x3qo(xi]x2) [ [ 3 d£dfp = тгжз [ --^9,з qo(xi]x2) =

J J (с + Хо ) 2 J (p + xi 2

0 0 ^ 3 0 3

Iй2 ( 1 1 \

= -2nx3q0{xi]x2) (p + xly 2 ^ = -2nx3q0{xi]x2) ( (S2 + 2 _ _J =

= -2^q0i(xi; X2 )sgn X3 + O(x3),

где величина O(x3) является непрерывной по совокупности переменных (xi; Х2; Х3) функцией.

Аналогичные рассуждения проводятся при (xi; Х2) е Г = 9П.

Если (xi; x2) е Г\{(-1; -1); (1; -1); (-1; 1); (1; 1)}, то Ji = -nqe(xi; x2)sgnx3 +

п

0(x3), а при (xi;x2) e {(-1;-1); (1;-1); (-1; 1); (1; 1)} Ji = -~qo(xi;x2)sgnx3+ O(x3).

Приведенное в качестве примера исследование одного из интегралов представления решения заканчивает доказательство теоремы 2.

Литература

1. Erdogan F. The crack problem for bonded nonhomogeneous materials under antiplane shear loading // J. Appl. Mech. 1985. Vol. 52. P. 823-828.

2. Hu K. Q., Zhong Z., Jin B. Anti-plane shear crack in a functionally gradient piezoelectric material // Acta Mech. Solida Sin. 2002. Vol. 15(2). P. 140-148.

3. Zhou Z. G., Wang B., Yang L. J. Investigation of the Behavior of an Interface Crack between TwoHalf-Planes of Orthotropic Functionally Graded Materials by Using a New Method // JSME Intern. J. Series C. Mech. Syst. Mach. Elem. Manuf. 2004. Vol. 47(3). P. 467-478.

4. Ou Y. L., Chue C. H. Mode III crack problems for two bonded functionally graded piezoelectric materials // Intern. J. Solids Struct. 2005. Vol. 42. P. 3321-3337.

5. Ou Y. L., Two C. H. Two mode internal cracks located within two bonded functionally graded piezoelectric half planes respectively // Arch. Appl. Mech. 2006. Vol. 75(6/7). P. 364-378.

6. Yong H. D., Zhou Y. H. Analysis of a mode III crack problem in a functionally graded coating-substrate system with finite Thickness // Intern. J. Fract. 2006. Vol. 141. P. 459-467.

7. Li Y. D., Kang Y. L. An anti-plane crack perpendicular to the weak/micro-discontinuous interface in a bi-FGM structure with exponential and linear non-homogeneities // Intern. J. Fract. 2007. Vol. 146. P. 203-211.

8. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 527 с.

References

1. Erdogan F. The crack problem for bonded nonhomogeneous materials under antiplane shear loading. J. Appl. Mech., 1985, vol. 52, pp. 823-828.

2. Hu K. Q., Zhong Z., Jin B. Anti-plane shear crack in a functionally gradient piezoelectric material. Acta Mech. Solida Sin., 2002, vol. 15(2), pp. 140-148.

3. Zhou Z. G., Wang B., Yang L. J. Investigation of the Behavior of an Interface Crack between TwoHalf-Planes of Orthotropic Functionally Graded Materials by Using a New Method. JSME Intern. J. Series C. Mech. Syst. Mach. Elem. Manuf., 2004, vol. 47(3), pp. 467-478.

4. Ou Y. L., Chue C. H. Mode III crack problems for two bonded functionally graded piezoelectric materials. Intern. J. Solids Struct., 2005, vol. 42, pp. 3321-3337.

5. Ou Y. L., Two C. H. Two mode internal cracks located within two bonded functionally graded piezoelectric half planes respectively. Arch. Appl. Mech., 2006, vol. 75(6/7), pp. 364-378.

6. Yong H. D., Zhou Y. H. Analysis of a mode III crack problem in a functionally graded coating-substrate system with finite Thickness. Intern. J. Fract., 2006, vol. 141, pp. 459-467.

7. Li Y. D., Kang Y. L. An anti-plane crack perpendicular to the weak/micro-discontinuous interface in a bi-FGM structure with exponential and linear non-homogeneities. Intern. J. Fract., 2007, vol. 146, pp. 203-211.

8. Vladimirov V. S. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 527 p. (In Russian)

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 30 апреля 2015 г.