Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

© 2010 г. А.В. Калинин, А.А. Тюхтина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 09.12.2009

Изучаются асимптотические свойства решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений дивергентного вида.

Ключевые слова: эллиптические уравнения, асимптотическое поведение.

Изучению асимптотических свойств вырождающихся эллиптических уравнений посвящена достаточно обширная литература [1-3]. К асимптотическому анализу решений уравнений специального класса приводят инженерные задачи, в которых возникает проблема определения электромагнитных полей в неоднородных средах, содержащих непроводящие включения [4, 5]. Решение таких проблем связано с рассмотрением соответствующих уравнений отдельно в проводящих и непроводящих областях и последующим согласованием их решений.

Из физических соображений ясно, что замена непроводящих включений слабопроводящи-ми не должна существенно повлиять на решение задачи. С другой стороны, такая замена позволяет использовать единые подходы для определения электромагнитных полей во всей области. Обоснование этого метода обсуждается в работах [6, 7].

В двумерном плоском случае данный подход сводится к изучению асимптотического поведения решений краевых задач для эллиптических уравнений дивергентного вида при стремлении некоторых коэффициентов в выделенных подобластях к бесконечности [7]. Настоящая работа посвящена обобщению результатов, полученных для двумерных областей, на и-мерный случай.

1. Постановка задач и основные результаты

Пусть О с Rn - ограниченная односвязная область с регулярной границей, О0 - подмно-

жество в О с компонентами связности Оо г, г = 1,..., 5.

Рассмотрим на множестве О \ О о задачу определения функции, удовлетворяющей уравнению

- X —[а,,(х)—(г)] = /(г)

^ дГ 1] дх

г,У = 1 г I У

X еО \ О0, (1)

и следующим условиям на границах множеств

О

40,i

(gradи)т(х) = 0, X є SQ0 i, i = l,..., s. (2)

Здесь для функций У ■ Q \ Qo ^ R используются обозначения

yv(x) = У(х )• v(x), yv(x) = Vv(x )v(x),

у

. (x) = у(х) - у v (x), X є SQ \ Q(

0 :

V(x), x e SQ \ Q0, - единичный вектор внешней нормали.

Условия (2) эквивалентны тому, что сужение и на каждое множество 5Q0 i, i = 1,— , s, - постоянная функция:

и = const, i = 1,— , s.

Предполагаем, что Q0 i, i = 1,..., s, - односвязные области с границами 5Q0 i класса C2, такие, что Qo i с Q, Qo i 1 Qo j = ^ при

i Ф j, множество Q \ Qо связно.

Считаем, что агу : О \ Оо ^ R1, г,у = 1,..., и,

- заданные измеримые функции, агу = ауг, г, у = 1,..., и, и существуют такие постоянные

а.1, а2 > 0 , что для всех £, е Rn и почти всех X е О \ О,

о

а,

—2 " / ч —

S <£ aj (xfey — а2 S

г, j=1

f : Q \ Qo ^ R - заданная функция.

Пусть вектор-функция F : Q \ Qo ^ Rn та-

кова, что

div F = - f .

(3)

Тогда уравнение (1) можно переписать в виде

div (A grad и) = div F, (4)

где A - (n x n )-матрица с элементами aH .

Далее, для каждого X > 0 рассмотрим в области Q уравнение

div (Ax grad uj = div Fx, (5)

ГA(X), если X e Q \ Q0, где AX (x) = { _

[ X I, если X eQ0,

I - единичная матрица,

- IF(x), если X e Q \ Q0,

Fx(x) = l n - Q

[ 0, если x eQ0.

Задача вида (1), (2) возникает, например, при изучении электромагнитных полей в плоской области с непроводящими включениями, занимающими множество Q0 . Замена непроводящих включений слабопроводящими приводит тогда к уравнению вида (5).

В работе изучается связь между решениями уравнений (4) и (5) при одинаковых условиях на границе области Q .

Определим основные функциональные пространства. Обозначим через {L2(Q)}n гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций и : Q ^ Rn со скалярным произведением

П

(u, v)2 Q = j (и • v)dx = X j uividx ,

Q i=1Q

через D(q) - пространство пробных функций

Ф: Q ^ R1; через {D(Q)}n - пространство пробных функций ф:Q^Rn (ф = {фь...,фп}, Фп e D(Q), i = 1, — , n); через D'(Q) - пространство распределений (обобщенных функций).

Будем говорить, что div и = g e L2 (Q) для некоторой функции и e {L2 (Q)}n , если j (grad ф • и )dx = _ j gфdX

Q Q

при всех ф e D(Q) .

Определим гильбертовы пространства вектор-функций [8]

H(div; Q) = {I e {L2 (Q)}n : div и e L2 (Q)},

K(div;Q) = {j e {L2 (Q)}n : div и = 0} с соответствующими скалярными произведениями

(и ?v )div = j(“ • v )dx + j div и • div vdx, QQ

(и,v)K(div,Q) = (и-)2,Q .

Пусть, далее, H 0 (div; Q) - гильбертово пространство функций, определяемое как замыкание пространства пробных функций {D(Q)}n в пространстве H (d iv; Q), H1 (q) - замыкание множества пробных функций D(Q) в пространстве Соболева H1 (Q) = W (q) . Через H_1/2 (<3Q) обозначается пространство, сопряженное к H12 (<3Q), значение функционала q e H_1/2(SQ) в точке ф£ H12(<3Q) записывается как (q, ф .

Обозначим через H-1 (q) пространство, сопряженное к H^ (q) . Предположим, заданная функция f удовлетворяет условию f e

e H 1 (Q \ Q0 ). Тогда найдется функция

F e{L2 (Q \ Q0 )}n такая, что справедливо (3) [9].

Задача (4), (2) рассматривается при двух видах краевых условий:

и (x) = 0, x e oQ (6)

и (a grad и _ F)v (x) = 0, x e SQ . (7)

Решением задачи (4), (2), (6) называется функция и e H1 (Q \ Q 0 ), удовлетворяющая равенству (4) в смысле теории распределений, условиям (2) и условию (6) в смысле теории следов [10].

Решением задачи (4), (2), (7) называется

функция и e H1 (Q \ Q 0 ), удовлетворяющая равенству (4) в смысле теории распределений, условиям (2) и (7) в смысле теории следов.

Задачи (4), (2), (6) и (4), (2), (7) будут изучаться при дополнительном условии

2

г (a grad и - F)1 = 0 i = 1 s (В) ^и Я^ О сужезия фузкций и я за мзожест-

-1/2(яо ) .о Q \ Qq сходятся 2 H1 (Q \ Qq) к peшeзию

задачи (4), (2), (7), (8) и с^а.едли.а оцезка

ратор следа. (12)

Условие (В) вып°лнен°, например, если Доказательства теорем 1-6 приводятся в п. З

настоящей статьи.

где уv ■ H (div; Q \ Q0 )^ H 12 (<3Q0,г) - оператор сле Услов функцию

g = F - A grad и , (9)

лежащую в пространстве K(div; Q \ Qq ), мож- 2 Вспомогательные утверждения

но продолжить до функдии из K(div; Q). Лемма 1 {Лемма Лакса — Миль^ама [8]).

Справедливы следующие утверждения. Пусть H — 2ещест.еззое гильбepm020 що-

^ сmpазсm20 с сотяжеззым H*, a(.,.) — зете-

Іеорема 1. Сущест.ует едизст.еззое pe-

шезие задачи (4), (2), (6), yдo2лem2opяющee ус- коэ1?цити2зая симмет1}ичзая бжшей-

л02ию (8) зая фopма за H, то есть сущест.уют такие

числа al, a2 > 0, что для 2сех и, v є H

Теорема 2. Решезие задачи (4), (2), (7), (8) і / м її || п ( \ н ц2

сущест.ует и о^еделяется с точзостью до la(u’v)l<a2|иУІгII, a(и’и)-al||u|| .

аддити.зой постояззой. *

Тогда для каждого f є H зайдется едиз-

Уравнение (б) изучается при краевых усло- ст.еззый элемезт и є H, такой, что

виях , ч a(u, v) = ( f, v) для 2сех v є H.

ux(x) = 0, x єдО (10) ' '

или (Ая grad ия - Fя)v(x )= 0, x є SO . (11) Лемма 2 (Хаpакmepизация гpадиeзmа pас-Решением задачи (З), (10) называется функ- ^еделезия [11]). Пусть Qc Rn — отбытое

ция ия є Hо (q) , удовлетворяющая (5) в смыс- мзожест.о, f є {D'(Q)}n. Для того чтобы

ле теории распределений. -

_ ... . f = grad p ти зeкomopoм p є D(Q), зеобхо-

Решением задачи (З), (11) называется функция ия є H1 (q), удовлетворяющая равенству димо и достаточз<}, чтобы ^f, = 0 для 2сех

(З) в смысле теории распределений, а условию - Wn .• - n

r r r j v є {D(Q)} таких, что div v = 0.

(11) - в смысле теории следов.

Имеют место следующие утверждения.

Лемма 3 (Нepа2eзсm20 Пyазкаpe [12]). Теорема 3. ^и 2сех я > 0 сущест.ует Пусть Q с Rn — oгpазичeззая область с peгy-едизст.еззое peшeзиe задачи (і), (10). ляpзoй гpазицeй. Сущест.ует постояззая

„ . „ Л „ ч T(0)> 0, за.исящая только от Q, такая, что

Теорема 4. Upu 2сех я> 0 peшeзиe задачи v '

(і), (11) сущест.ует и о^еделяется с точзо- для каждой фузкции и є D (q) , у тт^ш

стью до аддити.зой постояззой. . (Т fr^Wn -л п*

grad и є {L2 (Q)} , зайдется такое число C ,

L2 что

_,*

Теорема 5. Пусть и є Н1 (О \ О0 ) - решение задачи (4), (2), (6), их є Н^ (о) - решение зада- и - С 2 й — Т(о)^га^ц2 о •

чи (5), (10). При X ^ 0 сужения функций их на

множество О \ 00 сходятся к и в Н1 (О \ 00 ), Лемма 4. Найдется такое число Т (0,00 )

>

при этом > 0, зависящее только от множеств О и

||и - иЛ 1 ( )< Сл/Х , (12) О0, что для всех и е К(div, О), таких,

II IIН (О\О0)

где постоянная с зависит только от О и О0 . что

\(и • V )иГ = 0 при любых V е {Р(О)}и П

Теорема 6. Пусть ия є H1 (о) — peшeзиe 1K(div,q), ^p^rn20 mp^^tn20 задачи (і), (11) такое, что J uxdx = 0. Тогда J и 2dx < T(O, Qq ) J и 2dx. (1З)

о \ о Q

о

0

о

о

Доказательство. Так как для всех

у e K(div,Q0,i) П {D(q0,; )jn

[ (u • y)d x = 0,

Q0,

то, по лемме 2, и q0 ^ = grad pt, где функции

pt e H1 (q0,;- ), согласно лемме 3, определены с точностью до аддитивной константы. Считаем поэтому, что j pidx = 0 .

Q 0,i

Из неравенства Пуанкаре следует, что найдутся такие постоянные T (Q0 ,, )> 0, i = 1,..., s, зависящие только от соответствующих областей Q0;i, что

j pfdx < T (q0,; ) j (grad Pi)2 dx =

: T (o0i) J и 2dX .

и, следовательно,

A~0 - замкнутое подпространство в H0 (Q), поэтому оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(и, v)m~0 = j (grad и • grad v)dx .

Q \ Q0

Л~1 - замкнутое подпространство в H1 (q) , гильбертово пространство со скалярным произведением

(и, v)m = j uvdx + j (grad и • grad v)dx .

Q Q \ Q 0

Очевидно, если и e M (M0)), то ее сужение на множество Q \ Q0 лежит в классе M (M0 ). Обратно, справедлива

Лемма 5 [7]. Пусть и e M (M), и . = ct,

i = 1,s. Тогда функция и, определяемая соотношением

fu(x), x e Q \ Q0,

Ih1(q\q0 )

<V 1+T (Qq

(x )=-

u\x

c,, X є Q0,i,

Пусть уQ ■ H1 (Qq ,) — H1/2(<3Qq ,) - опера- лежит 2 M (mq) .

-0,i~11 V^“0,i

тор следа. Тогда, согласно обобщенной формуле Стокса [8],

j г-2dx = j (г- • grad pi )dx = _^y !vw, у0P^,

Q 0,i Q 0,i

отсюда, в силу непрерывности операторов следа, получаем

u

||2

2,Q0

<

Yv

Y 0

u

2,O\O0ll ^'IIh1 (o0i)

<

Y0

u u

I II2,Q\Qq II II2,Qq і

то есть

J и2dx < yv YQ|| (t(o0i)+1) J и2dx.

0 0,i O \ Oo

Суммируя по i = 1,...,s, получаем (1З), где

T (о, Qq ) = 1 + І(т (Qq,, )+ і) i =1

2

Для изучения краевых задач введем множества функций

M = u e H 1(Q \ Q0): и 5q0 , = const},

M = { e H1 (q) : grad u(x) = 0, x e Q0 },

M0 ={u e M : u| dQ = 0}, M~0 = M 1H1 (Q),

Лемма 6 [б]. Пусть H — гильбepm020 npо-сmpазсm20, K — замкзутое noдnpoсmpазсm20 H и о^еделеза фузкция F ■ (О, да) — H такая, что

для любых я> 0 F(я)є K и ||F(я)-F(v)|| <

< С|я — v||a, где a> 0, с > 0 — постояззые, зе за2исящие от я, v. Тогда сущест2ует эле-

мезт Fq є K такой, что Fq = lim F(я) и

я——0

||F(я)- F01| < ся°-.

3. Доказательство основных результатов

Доказательст2о meopeмы 1. Пусть и - решение задачи (4), (2), (6), тогда, по определению, и є Mо. Умножим обе части равенства (9) скалярно на функцию grad v, v є M0 (v є M), и проинтегрируем по Q \ Qq ■

J (A grad и • grad v)dx =

Q\Q0

J (F • grad v d? - J (g? • grad v )d?.

(14)

M ■ J udx = 01.

о

о\о0

о\о0

Предположим, функция и удовлетворяет условию (В). Тогда

о

о

0,г

0,г

о

0,г

и

2

■

j(g • grad v )dx =

Q\Q0

= (Yv g Y 0v) + S

i=1

dQ0

yV g4) = 0,

(15)

i=1, ...,s. Определив, как в лемме 5, функцию w e M , получаем

j (A grad w • grad w )dx =

Q\Q0

то есть для всех v e M0

j (A grad и • grad v)dx = j (F • grad v)dr. (16)

= j (Agrad w • grad w)dx =

Q \ Q0

Q \ Q 0

Пусть теперь при некотором и e M0 равенство (16) справедливо для всех v e M0 . Тогда оно заведомо справедливо для всех v e D (Q \ Q0) , то есть на множестве Q \ Q0 выполнено соотношение (4). Таким образом, и - решение задачи (4), (2), (6) и, ввиду (14), справедливо (15), то есть и удовлетворяет условию (8).

Согласно лемме Лакса - Мильграма, применить которую позволяют условия на матрицу A ,

найдется единственный элемент и e M0 такой,

что для всех v e M0 справедливо (16), где и -

сужение и на множество Q \ Q0 .

Тогда функция и e M0 удовлетворяет равенству (16) при всех v e M0 , то есть является решением задачи (4), (2), (6), (8). Единственность решения этой задачи вытекает из взаимной однозначности соответствия между функциями из M0 и M0 .

Доказательство теоремы 2. Как и при доказательстве теоремы 1, получаем, что функция и - решение задачи (4), (2), (7), (8) тогда и только тогда, когда и e M и равенство (16) справедливо при всех v e M .

Согласно лемме Лакса - Мильграма, возможность применения которой следует из неравенства Пуанкаре и свойств матрицы А, найдется единственный элемент и e M1 такой, что для и = и и всех v e M1 выполнено (16).

Так как любой элемент v e M представим в

виде v = ~ + mes-1 (Q)j vdx , где v e M1,

Q

grad v = grad ~ , равенство (16) справедливо для сужения и на множество Q \ Q0, функции и e M и всех v e M, то есть и - решение задачи (4), (2), (7), (8).

Пусть функции u1, u2 e M - решения задачи (4), (2), (7), (8). Обозначим w = u1 _ u2 e M,

тогда div(A grad w) = 0, (jV A grad w,1^ = 0,

Q\Q0

m I ■ \

= _S w 0п„д yV a grad w4) =0. i=1

откуда следует, что функция w и, соответственно, w, является постоянной, что и требовалось доказать."

Доказательство теорем 3, 4. Функция

их - решение задачи (5), (10) тогда и только

тогда, когда при всех v e H° (q) справедливо равенство

j (AX grad uX • grad v)dr = j (f • grad v)dr . (17)

Q

Q \ Q 0

Если Ux - решение задачи (5), (11), то при всех v e H1 (q)

j (AX grad uX • grad v)dx =

Q (18)

j(f • grad v)d- + (y v (ax grad ux _ Fx )> Y0v),

Q\Q0

то есть справедливо (17). Обратно, если (17) выполнено для некоторого Ux e H1 (q) и всех

ve H1 (Q), то, ввиду (18), имеют место соотношения (5) и (11).

Справедливость теорем 3, 4 следует тогда из леммы Лакса - Мильграма. ■

Доказательство теорем 5, 6. Пусть

их e Hо (q) - решение задачи (5), (10) (для решения задачи (5), (11) доказательство аналогично). Положим

gX = FX_ AX grad uX . (19)

Согласно (5), div gх = 0 . Обе части равенства

grad их = a_1Fx _ A_gx (20)

умножим скалярно на функцию v e K(div, Q) и проинтегрируем по области Q :

j (AX^gx •-d- = j(Ax_1F-X^-d =

О О

(21)

j (a_1F • v )d-.

Q\Q0

Положив v = gx , получим, используя неравенство Г ельдера:

v

j gXdx <af j F2dx . (22) с = T(Q, Q0)

Q \ Q 0 a1 Q \ Q 0

.3/2

Возьмем 0 < п < х. Записав для функции ^ равенство, аналогичное (21), и вычитая его из (21) получаем, что для всех V е КО) справедливо равенство

I (а- (§х - §п^ ^^ + Х I ((§х - §п^ ^^ =

Q\Q0

(п _ х) j (gT| • -)dx .

j (a 1 (gX_gnMgX_gn))dx +

\Q0

+ Xj (gX_ gnfdx <^j gn dx +

Q\Q,

j(A“1 (gx_ gj(-x_ Snldx

: <

Q\Q0

<

(n_x)2 (• - 2

^j gndx . 4X Q n

Q0

ем

jfex” g-n)2 dR <-(a:T:X^ T (O, Q0 >-21 j F

4X a,

2dx.

||gX_ gfll2 < t2 (q, q0 )|x _ n I\F\\2 .

II5X *nll 2,Q v 0;| 4a2 ^ lb,Q \ Q 0

4

0 I----М , а = 1/ 2, найдется

0/ 2а1 11 о\о0

функция § е К(<^,О) такая, что ||§х -§||20 ^ 0

при Х ^ 0.

Для всех Х, п > 0, ввиду равенства (20),

|(£гМ(их-ип)}<£ = |(а_1 (§п-^ +

О О\О0

2

+ £ <1Х-П^^2Т(0,О0)х

а

((

Положив v = gx _ gn и оценивая интеграл в правой части, получим:

-°т + 2n2T (Q, Q 0 )

Л

va1

a

Л

+ 2| X _ nl 4 I Ч

j F 2dx.

Q\Q0

При X, n < 1 получаем равномерную оценку

^х _ un >

j (grad(uX _ un)) dx < c1 |X _ n|

где

2i °n

Q0 Q0

+ ^-j (gX_ g nfdx >

2T Q

где т - произвольное положительное число.

Возьмем т =-------n . Тогда

2X

1 = T(Q,Q0)af T(Q,Q0)^.+ ^Т + 2

2 ( 2

a

a2 a2

Л

1 V X

2 4a2

j F 2dx.

Q\Q0

(23)

Согласно лемме 6, существует функция и e H ° (Q) такая, что при X — 0 их — и по норме пространства H° (Q), и справедлива оценка (12) с константой С1.

Из (19) получаем, что A grad их q\q =

= F _ gX

Q\Q0

Из (21) следует, что /(§ п • ^ Ук = 0 при

0 0

всех V е К00)П {Р(00 )}” . Используя условия на матрицу А и применяя лемму 4 и оценку (22) к интегралу в правой части (23), получа-

grad их q = Xg:

X Q 0

Поскольку gx сходятся в {^2 (Q)}n при X —— 0, то grad u(x) = 0 при x e Q0 , то есть, по определению, и e M0 . Пусть V e M0 , ~(x) = v(x) при x e Q \ Q0, где v e M0 . Тогда

Заменяя в знаменателе X на X _ n и опять применяя лемму 4, имеем

j (A grad и • grad v)dx =

Q\Q0

= lim j (A grad uX • grad v)dx =

x—0

Q\Q0

= lim j (AX grad uX • grad v )dx _

X—0 Q

lim j (gX • grad v )dr = j (F • grad v)dr ,

x—0

Поскольку выполнены условия леммы 6, где

H = L (Q)}n , K = K(div; Q), F(X) = gx ,

Q0 Q\Q0

то есть сужение функции и на множество Q \ Q0 удовлетворяет равенству (16) и, следова-

Q

0

0

X

Q

X

тельно, является решением задачи (4), (2), (6). Так как

A grad и = F _ g , для и выполнено условие (8). ■

Замечание. Сформулированные в работе утверждения остаются справедливыми при более общей структуре множества Q0 [7]. Пусть [m/2]+1 2 1 2

Q0 = U Q 1 \ Q 1 , m e N. Здесь для всех

i=1

k < m множества Qk с Q таковы, что

Q0 = Q , Qk cQk_1, k = 1,..., m, Qm+1 =0 .

mk

При этом Qk = [j Qk , где Qk - односвязные

i=1

области класса C2, такие, что Qk 1Qk = 0 при i Ф j, i, j = 1,..., mk, k = 1,..., m , множества Qk \ Qk+1, k = 0,...,m _ 1, связны. Тогда

[m /2] [m /2]+1

Q \ Q0 = U Q2i \ Q2i+1, s = X m2t_1. i=0 t=1

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927), гранта РФФИ (проект 09-01-97019-р_поволжье_а), Федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (шифр заявки НК-13П-13, контракт № П945).

Список литературы

1. Янушаускас А.И. Введение в аналитическую теорию вырождающихся эллиптических уравнений (учеб. пособие и метод. указания для студентов-

математиков). Вильнюс: МВ и ССО ЛитССР, ВГУ, 1974. 152 с.

2. Ильин А.М. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Математический сборник. 1960. Т. 50. № 4. С. 443-498.

3. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

4. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационар-ные электромагнитные поля в неоднородных средах. М.: Наука, Физматлит, 1995. 320 с.

5. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988. 208 с.

6. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Стационарные электромагнитные поля в неоднородных средах с непроводящими и слабо проводящими включениями // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. № 1 (20). C. 48-62.

7. Калинин А.В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2007. 319 с.

8. Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир,1981. 408 с.

9. Масленникова В.Н., Тимошин М.А. Обобщенные решения с первыми производными из Lp в задаче обтекания для системы Стокса// Сибирский математический журн. 1994. Т. 35. № 1. С. 135-162.

10. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

11. Рамм Ж. де. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956. 251 с.

12. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 415 с.

13. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

14. Girault V. Raviart P. Finite element methods for Navier - Stokes equations. B.-N.Y.-Tokyo: Springer-Verlag, 1986. 374 p.

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR ELLIPTIC EQUATIONS

A. V. Kalinin, A.A. Tyukhtina

The asymptotic properties of solutions of some boundary value problems for elliptic equations in divergent form are studied.

Keywords: elliptic equations, asymptotic behavior.