CC BY
9
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 22. Выпуск 4.
УДК 512.622 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-239-250
Об одном классе множителей многочленов Чебышева
С. Ю. Соловьев
Соловьев Сергей Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: soloviev@glossary.ru
Аннотация
В статье посредством специально сконструированных узлов определяется класс многочленов Dn(x), каждый из которых является множителем многочлена Чебышева первого рода Т2п(х). Сформулирована задача исследования многочленов Dn(х) на отрезке [0,1], в рамках которой получены точные выражения и оценки значений на границах и в специальных узлах.
Ключевые слова: многочлены Чебышева, функция Лобачевского, оценки. Библиография: 11 названий.
Для цитирования:
С. Ю. Соловьев. Об одном классе множителей многочленов Чебышева // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 239-250.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 4.
UDC 512.622 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-239-250
On a class of factors of the Chebyshev polynomials
S. Y. Soloviev
Soloviev Sergey Yurievich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: soloviev@glossary.ru
Abstract
The article defines a class of Dn(x) polynomials % specially designed nodes. Each of Dn(x) is the factor of the Chebyshev polynomial of the first kind T2n(x). The research task for polynomials Dn(x) on the interval [0,1] is reduced to find values Dn(x). The article contains exact expressions and estimates of values Dn(x) in special nodes.
Keywords: Chebyshev polynomials, Lobachevsky function, estimations.
Bibliography: 11 titles.
For citation:
S. Y. Soloviev, 2021, "On a class of factors of the Chebyshev polynomials", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 239-250.
1. Введение
Пусть п - некоторое натуральное число. Введем в рассмотрение положительные числа (узлы)
(2к+1)п
Хк = sin---, к=0 ...,п-1,
4п
и определим многочлен Dn следующим образом:
Dn(x) = (х + Х0)(Х + Х\) ••• (х + Xn-1).
Многочлены Dn представляют интерес как множители [1] многочленов Чебышева [2]; равен-
T2n(x) = (-1)n 22n-1 Dn(x) Dn(-x). (1)
где Т2п (ж) - многочлен Чебышева первого рода степени 2п, сомнений не вызывает.
На отрезке [0,1] многочлен Dn(x) монотонно возрастает (рис.1). Вместе с тем, поведение многочлена на "самом интересном" участке [-1, 0], содержащем все нули и локальные экстре-
[0, 1]
\D(x)\ = (x)l < А 1 уже М0] (2)
\Vn(X)\ = 22n Dn(-X) < 22n Dn(-x) VX G [ 10] . 1 j
Последнее обстоятельство заставляет внимательнее присмотреться к особенностям монотонного возрастания Ип на отрезке [0,1]. Как вариант исследования особенностей Оп(х) в настоящей работе ставится задача выразить значения Оп(х) в узлах Хк - суть чиела ук = Оп(хк)• Кроме того, рассматривается вопрос о значениях Оп(х) в граничных точках отрезка - числа 0п{0)ш Оп(1).
у
2. Примеры и соглашения
Многочлены Оп(х) выглядят буквально антиподами многочленов Чебышева. Узлы Хк (равно корни — Хк), значения ук и даже коэффициенты Оп(х) выражаются посредством иррациональных выражений. Приведем первые четыре многочлена.
п = 1, п = 2,
п = 3, п = 4,
2
Ох(х) = ж + \/2/2 ;
Дз(ж) = ж2 + ¿21 ж + у/2/4 , ¿21 и 1.3066:
Х0 = у/2/2 ,
х0А = ^2^21:
у/3 | 1
Ж0,2 = д ^ , Х1 = Бз(х) = х3 + ¿32 ж2 + ¿31 ж + \/2/8,
2^/2 ' ^2±^2±/21
л/2 2
¿32 и 1.9319, ¿31 и 1.1160;
^4(ж) = Ж4 + ¿43 Ж3 + ¿42 Ж2 + ¿41 Ж + у/2/16 ,
¿43 и 2.5629, ¿42 и 2.2843, ¿41 и 0.8086;
соответственно
для п = 1, уо и 1.4142,
для п = 2, уо = 1.0000 У1 и 2.4142,
для п = 3, уо и 0.6124 у1 и 2.2854,
для п = 4, у0 и 0.3536 У1 и 1.7774,
У2 У2
3.9584 4.2911
У3 и 6.4221.
В большинстве случаев точные выражения для значений Оп(х) выглядят весьма громоздко, поэтому переход от точных значений к оценкам диапазонов их варьирования выглядит вполне уместным.
Далее для задания оценок используются двойные неравенства V! < V < в которых У1 и У2 именуются соответственно нижней и верхней оценками величины V. Кроме того, во всех последующих рассуждениях полагаем п ^ 4.
2
В оценках для значений Dn(х) существенно используется константа Е = 0.5 exp(4G/n), где G - постоянная Каталана, G = 0.915965....
Е = 1.60495)6 ... .
3. Основное утверждение
Элементарные преобразования выражения Оп(хк) с использованием формул приведения и формулы для суммы синусов позволят получить общее выражение для значений ук-
к . 2п— 1
УХ = 2П П <**-П П ^-Ь к = °,...,п-1, (3)
г=1 ]=к+1
откуда
-к 7 . л. ук = ук-1 сЧ^П' к = 1,...,п-1. (4)
Утверждение 1. Для любого п ^ 4 имеют, место следующие соотношения:
0п(0) = /2/2п, (5)
уо = /2п/2и~1, (6)
Епе~°-158/п < уп_ 1 < Еп е0Ш2/п. (7)
Доказательство. Значение Оп(0) выводится го равенств (1) и Т2П(0) = (-1)п. Для случая к = 0 формула (3) превращается в
2п— 1
"« =2"П ......4п
3=1
п 1 1 sin ^
Выражение для уо следует из формулы Эйлера, кото рая [3] (для 4 п штук слагаемых и х > 0) может быть представлена в виде
4п~ 1 i Т,
Sin X п4п — 1 тт • X + КЖ -—— = 2 1 II sin ■
4n fc=1 4П
и при х ^ 0
4п— 1 i ( 2п— 1 , \
4п = 24п~1 П sin — = 22п~1 2п\\ sin — 4 п 4 п
k=1 \ k=1 j
2 .-
2n — 1 / nn ТТ • Кп \ • 2пж n2n — 1 2 \2п
2П 1 | о" I I 1 sm-- = 22п 40 у0 = -т.
4п 2п~1
Доказательство оценки (7) приводится в секции 5. □
4. Вспомогательные оценки
Пусть п ^ 4 - целое число. Обозначим:
п /п- Л\ п~ 1
Кп = Ъ ^Ысю-.
г=1 г=1
Для вывода оценки (7) необходимо иметь оценку суммы Бп (секция 4.4), для вывода которой необходимо получить оценку суммы Кп (секция 4.3), для вывода которой требуется получить оценку функции с^х (секция 4.2).
4.1. Инструментальная подготовка
Приведем известные, но рассредоточенные по разным работам утверждения, составляющие "инструментальную" основу последующих рассуждений.
Функция Лобачевского Ь(х) в современной специальной литературе [4, 5, 6] опредяется различными, хотя и взаимно сводимыми способами. Для наших целей интерес представляет определение функции Лобачевского на множестве [0,7г/4] вида
X
Ь(х) = ^ У 1п(с08 ¿) (М .
Известно [7], что Ь(тг/4) = (тг 1п2)/4 — С/2 = С/2 — (тг 1п Е)/4. Тригамма-функция ф'(х) [8, §6.4] для х > 0 задается рядом
*'(-) = £(^+1? Р ■ У-4]
Установлено [10, теорема 4], что для х > 0 имеет место оценка
В(х) < гр'(х) < В(х), где В(х) = 1 + + 77-3 , В(х) = В(х) — 1
х 2х2 6х3 ' 30х6 '
Следствие 1.
Т971 < Ф'(п + 2) < 1 V п > 4. (8)
198 п 2 п
В самом деле
1 1. 1 ( 1 2
В(п + 2) = 1 пВ(п + 2) = 1 |1 — ^ п 2 п V
< -
п у 2 п\ 3 (2п + 1)2 3 (2п + 1)3/ п а поскольку функция /3(х) = хВ(х + 1) монотонно возрастает при х ^ 4, то
1 1 1 197 1
В(п + 1) = - пВ(п + 1) = - /3(п) > - /3(4) > — - . □ 2 п 2 п п 198 п
Квадратурные формулы [11, 12] разрабатывались для вычисления интегралов. Вместе с тем, в квадратурных формулах фигурируют величины, для которых известны лишь диапазоны варьирования, что позволяет использовать эти формулы для построения оценок. Конкретно, для функций из С(2^[а,Ь] квадратурные формулы левых, средних и правых прямоугольников выглядят так: ь
// (ж) Ь = (6 — а) / + Г (у) = (6 — а) / + ^^ /' (О =
а (9)
(Ь — а)2
= (Ь — а) f (Ь)--2-/'(С) для нек.и,^,(из (а,Ь).
Если дополнительно на отрезке [а, Ь] задана сетка равноотстоящих узлов
а = и0 <и1 < ■ ■ ■ < ип = Ь, щ = (Ь — а) г/п,
то для нахождения интеграла можно воспользоваться обобщенной формулой прямоугольников [11, 12]
ь п 3
I/(х)ёх = Сиг-12+иМ + (Т]) длянек.т]^ Ь).
г=1
Следствие 2. Если область интегрирования есть отрезок [0,-/4], а, ¡(х) = —Iпсозх, то обобщенная формула прямоугольников принимает, вид
ж/4
ж А, (2 г—1)ж ж3 1 2
— > ln COS --— + -г ——Г (1 + tg2'
4n^ 8п 43 24n2
o
I ж V"^ (2 1 — 1171 ж 1 , 2 \ л II,
— / Incosxax = —— > ln cos--+ —r , 0 (1 + tg ri) для не к. in £ (0,ж/4).
/ An ^ 8n 43 24п2 он \ I ,
г=1
То есть
An г, v^, (2 г—1)ж ж2 2 .
— l(K/A) = — £^^п1- + 384П .
i=1
Положим F = л/Е/2 = ехр(—4Ь(ж/4)/ж) = 0.5 ехр(2С/ж) = 0.89581..., и тогда
П(2 г—1)ж i ж2 ß 1\
cos—---= F exp I ——— для нек. ß £ (1, 2). (10)
8П \ 384 П J
i—1 \ /
г=1
4.2. Оценка котангенса
Докажем оценку
1 2 1 1
---x ^ ctg x ^---x Ух £ (0,ж/4]. (11)
X 5 x 3
Вывод оценки (11) состоит из двух этапов.
Этап 1/2. Зафиксируем грубую оценку котангенса:
1/x — x < ctgx < 1/x Vx £ (0,ж/4\. (12)
В самом деле, верхняя оценка следует из того факта, что ряд Маклорена для тангенса состоит только из положительных членов: tg(x) = x + x3/3 + ■ ■ ■, то есть x < tg x. Нижняя оценка неравенства (12) устанавливается [13] так:
cos x cos x л/1 — x2 1 — x2 1 ctg x = —- > - > - > - =--x.
Qiri Гр Гр Гр Гр Гр
Olli Jü Jü Jü Jü Jü
Этап 2/2. Уточним оценку (12). С целью уточнения нижней оценки рассмотрим последовательность чисел bo, bi, b2,..., в которой bo = 1, bn+1 = Ъп/4 + 3/10 . Для этой последовательности справедливы три свойства:
1. 0 < bn ^ 1 Vn ^ 0;
2. bn ^ 2/5 при п ^ ж;
3. ctg(x) > 1/x — bnx Vn ^ 0;
Второе свойство вытекает из представления Ьп = 2/5 + Ь'п, а третье свойство доказывается по индукции и при этом существенно используются отношения:
1 { , , s 1 \ 1 3 ,2/
ctg x =2 [ctg(x/2) — ctgjxjZj) И — ~4—b^x2 > — Г0 ПРИ ^ ^ 2/3 ■
Свойства 2 и 3 фактически устанавливают нижнюю оценку из (11). Верхняя оценка устанавливается аналогично.
Следствие 3. Если x = ж/(4п), то
4 n ж2 1 4 n ж2 1
— 1 — ^ Т < ctgx < — 1 — — . 13
ж 40 n2 ж 48 n2
4.3. Оценка суммы Rn
Докажем, что для п ^ 4 имеет место оценка
0.256 п ^ Rn ^ 0.389 п . (14)
Вывод оценки (14) состоит из четырех этапов.
Этап 1/4. Применение известной формулы [14, §4.4.7] для суммы ^tg2(0 сводит задачу оценки Rn к оценке величины Сп:
Rn = V tg2 -Сп = 8п2 - 2п -Сп , где Сга = V ctg2 .
8 п 8 п
г=1 i=1
Этап 2/4. Неравенство (11) позволяет оценить числа Сп~.
V ( 8п 2 ( 2i-1)ж\2 < < у, ( 8п 1 (2i-1)ж\2 ¿Д (2г-1)ж - 5 8п ) ^ п ^ ¿1 V (2i-1)ж - 3 8п j
Откуда
^8п\2А 1 2 1 /ж \2А.
п < Т £75S=1)s-2п + 1Ы В2'-1)
(2i-1)2 3
4 /г=1
i=1
/8п\2^ 1 4 4 /ж \2
V ж J = (2г-1)2 5 25 \8пJ
i=1
подставляя известные выражения [14, §4.1.3], [4, §0.12] для сумм нечетных чисел, имеем:
64 п2 1 , 2 , 2 1 ж2 1 3 .
< — 2^'(П+ 2)) — 2П + Т(4та3— П)
ж2 8 v Y v 2" 3 9 64п2 3 64 п2 1 , 2 ,, , 1 4 4 ж2 1 3 . С > 8 ^ - ^ <" + 2» - 5 п + 25 64^ з<4п3-п)
и, наконец,
2 16 п2 ,. , 1 Л 2 ж2 ж2 1 Сп < 8п--(п+ 2) - — п + -
ж2 ^ у 27 3 " ' 432 1728 п 2 16п2 , , Л 4 ж2 ж2 1
^ 8^2 — ^>+2) — ^ + 300" — 1200 п
Этап 3/4. Комбинируя результаты этапов 1/4 и 2/4, а также избавляясь от одного несущественного слагаемого в левой части двойного неравенства, имеем:
16 п2 ,. , (4 ж2 \ „ 16 п2 ,. , (6 ж2 \ ж2 1
„t 1 \ /4 ж \ „ 16п2 ,,, 1, /6 ж2\
* (п+2) -{3+432 )п < ^ < -жг* (п+2) 6+300)п+
ж2 У к 2! У3 43^ ж2 г 27 ^5 ' 300У' 1200п
Этап 4/4. Комбинируя результат этапа 3/4 и оценку (8), имеем:
/16 197 4 \ /16 6 ж^ \ 1
^ 198 — 3 —432^^ ^ Кп ^ ^ — 5 — 300 у П + 1200 п.
Избавляясь за счет разумных округлений от слагаемого с п-1, окончательно получаем оценку (14).
2
2
4.4. Оценка суммы вп
Докажем, что для п ^ 4 имеет место оценка
-пЕ— -п2 -п2 1 -пЕ— -п2 -п2 1
---п + — — 0.079- < Бга < ---п +-- + 0.036- . 15
2 4 п 2 4 п
Вывод оценки (15) состоит из пяти этапов.
Этап 1/5. Положим А = -/(8п) и определим интегралы
Д ж/4-д -ж/4
Ь0 = —! -псоахйх, Ь1 = — ! -псоахйх, Ь2 = — ^ -псоах йх. 0 Д ж/4-д
В результате применения к интегралам Ьо и Ь квадратурных формул соответственно левых и правых прямоугольников (9) получим:
-2 - -п2 -2 г - -п2 -3
0 < Ьо < 3 , —— — 2 < Ь2 <
256п3' 16п 128п2 16п 1024п3 '
то есть
- -п2 -2 Т - -п2 -2 (4 — -)
---О < Ь0 +Ь2 <--1----. (16)
16п 128п2 0 2 16п 1024п3 х '
Этап 2/5. Разобьем область интегрирования интеграла Ь1 на п—1 штук отрезков
кг „кг
it- А , Т" + А 4п 4п
г = 1,... ,п — 1
Применяя для каждого отрезка квадратурную формулу средних прямоугольников (9) и суммируя полученные выражения, имеем:
1 3п-1 1 3 i п-1 \
L == — Is" + Ь Ш £<1+'*2 «<) = — + S ([>—1 + £ tg2 , <17>
i=1 \ i=1 /
где 1+tg2 - значение (— ln cos ж)" в некоторой точке ^ i—го отрезка разбиения.
Этап 3/5. Учет монотонности функции tg(;c) и диапазонов варьирования величин ^ позволяет выписать следующие ограничения
п—1 п—1
Rn— tg2( К —А < ^ tg2 & < Rn— tg2 А Rn — 1 < Y, tg2<
i=1 i=1
Ь( -/4) = Ь0 + Ь1 + Ь2 Ь( х)
позволяет преобразовать равенство (17) к виду:
4п _ _ „..... 1 / к \ 2
(^п—1 + Е tg2 ^
Sn = — (Lo + L2 — "(к/4)) + J [п—1 + yjg2 (19)
Этап 5/5. Подставляя в (19) оценки (16) и (18), имеем:
4п (к ln2 к2 (4 — к)Т, .Л 1 (к \2 . 1
s™ < тЫ" + ^^ — "(к/4)) + uU (п—1 +Rn)
4п (к ln2 к2 /л. \ 1 / к Л2, „
s™ > тЫ" — 1Ш? — "(к/4)) + "мШ (п—1 + ^ —1)
В результате эквивалентных преобразований (с учетом равенства 4 Ь(ж/4)/ж = (1п2— 1п^)/2) последние неравенства трансформируются в
lnE— ln 2 ln 2 f ж2 ж2 КЛ 1 /ж(4 -ж) ж2 \ 1 Ьп < 2 П + 4 ^ I 384 + 384 VJ п М 256 - 384 tf
lnE- ln 2 ln 2 /ж2 ж2 Rn ж ж2 1\ 1
> 2 П +4 ^384 + 384 п 32 192 п) п
Отбрасывание отрицательного слагаемого с п-2, учет ограниченпя п ^ 4 и выполнение арифметических операций с разумными округлениями приводит к оценке (15).
5. Заключительная часть доказательства основного утверждения
Для доказательства оценки (7) заметим, что
/„_ 1 \ 2
2га жг\ 2п 28п
(п
Уп-1 = 7^UJcos4n Уп-1 = 71е
Оценка (15) суммы Sn позволяет вывести ограничения для уп-
1
которые после эквивалентных преобразований трансформируются в оценку (7).
Следствие 4. Для любого п ^ 4 имеют, место оценки:
23/2 п3/2 ( ж2 1\ 23/2 п3/2 ( ж2 1 \ .
Т^ I1 — 40 < У1 <-2-2 ^ — 48 ,
Еп е0Ш1/п < Бп(+1) < Еп е0Л03/п, (21)
2Шпе-0Л03/п < [)' < 2Ш"е-0'051/га; (22)
для справки: (4Е)-1 = 0.23820....
Доказательство. Неравенство (20) следует из оценки (13):
ж уДп ж л/2п 4п ( ж2 1 \ уДп 4п ( ж2 1 N
У1 = У0 ctg 4п = 2^ctg 4п V 1 - 40 <У1 < V 1 - 48 ^
Для доказательства оценки (21) достаточно выполнить очевидные тригонометрические преобразования и воспользоваться равенством (10), в котором 1 < ^ < 2:
Д.Ч) = П (1 + *) = П (1 + cos ^) =2" (п cos ) 2 = - exp (g ±)
fc=Q fc=Q 4 7 U=1 J 47
Оценка (22) вытекает из неравенства (2) при х = — 1. □
6. Заключение
Положим Dn(x) = 2п~ п (x), тогда основные результаты, зафиксированные в соотно-
шениях (1), (4)-(7) и (20)-(22), несколько упрощаются:
T2n(x) = (-1)п Dn(x) Dn(-x) , (10
Dn(xk ) = Dn(xk-i)ctg 'жк, к = 1,...,n-1, (4')
Dn(0) = 1, (5')
Dn(xo) = 2/n, (6')
(2E)n е-0Л58/п//2 < Dn(xn-i) < (2E)n е0Ш2/п / /2 (2E = 3.20991... ), (7') 8n3/2 /ж2 1\ ~ . . 8n3/2 / ж2 1\
- 1 - m ^ < Dn(xi) < - 1 - — -g , 20'
ж \ 40 n2 J ж \ 48 n2 J
(2E)n e0mi/n j y/2 < Dn(+1) < (2E)n e0-i03ln / y/2, (21')
V2(2E)-ne-0-l03/n < \Dn(-1)\ < V2(2E)-ne-0-05lln. (22')
В терминах асимптотических оценок [15] неравенства (7'), (20') и (21') можно представить так:
Dn(xi) ~ 8n3/2 j ж (n ^œ),
Dn(1) ~Dn(xn-i) - (2E)n/\Î2 (n ^œ).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прасолов B.B. Многочлены. - M : MI LI IMO. 2003. - 336 с.
2. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. - М. : Наука, 1983. - 384 с.
3. Чубариков В. Н. Арифметические суммы и гауссова теорема умножения, Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 2, с. 231-253.
4. Градштейн И. С., Рыжик U.M. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.
5. Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 6, № 1, p. 9-24.
6. Краснов В. А. Об интегральных формулах объема гиперболических тетраэдров, Совр. математика. Фундам. направления. 2013. Т. 49, с. 89-98
7. Дунаев A.C., Шлычков В. И. Специальные функции. - Екатеринбург: УрФУ, 2015. -1321с.
8. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Ред. М.Абрамовиц, И.Стиган - М.: Наука, 1979. - 832 с.
9. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Том 3. Специальные функции. Дополнительные главы. - М. : Физматлит, 2003. - 688 с.
10. Gordon L. A stochastic approach to the gamma function // Amer. Math. Monthly. 1994. Vol. 101, № 9, p. 858-864.
11. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 1. - М.: Наука, 1966. - 632 с.
12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г. М. Численные методы. - М.: Бином, Лаборатория знаний, 2021. - 636 с.
13. Гельфанд И. \!.. Львовский С. \!.. Тоом А. Л. Тригонометрия. - М.: МЦНМО, 2008. - 199с.
14. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Том 1. Элементарные функции. - М. : Физматлит, 2002. - 632 с.
15. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. - М.: Наука, 1978. - 375 с.
REFERENCES
1. Prasolov, V. V. 2004, Polynomials, Springer-Verlag, Berlin, 316 p.
2. Pashkovskij, S. 1983, Computational applications of Chebyshev polynomials and series, Nauka, Moscow, 384 p. (in Russian)
3. Chubarikov, V.N. 2015, "The arithmetic sum and gaussian multiplication theorem", Cheby-shevskij Sbornik, v. 16, no. 2, pp. 231-253. (in Russian)
4. Gradshtevn, I. S. к Rvzhik, I. M. 1966, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, New York, 1086 p.
5. Milnor, J. 1982, "Hyperbolic geometry: the first 150 years", Bull. Amer. Math. Soc., v. 6, no. 1, pp. 9-24.
6. Krasnov, V. A. 2013, "On integral expressions for volumes of hyperbolic tetrahedra", Sovrem. Mat. Fundam. Napravl, v. 49, pp. 89-98 (in Russian)
7. Dunaev, A.S. к Schlvchkov, V.I. 2015, Special Functions, UrFU, Ekaterinburg, 1321 p. (in Russian)
8. Abramowitz, M. к Stegun I. A. (eds.) 1964, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, NBS Applied Mathematics Series 55, National Bureau of Standards, Washington, 1046 p.
9. Prudnikov, A. P., Brvchkov, Yu.A. к Marichev O.I. 1986, Integrals and Series, Volume 3: More Special Functions, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 800 p.
10. Gordon, L. 1994, "A stochastic approach to the gamma function", Amer. Math. Monthly, vol. 101, no. 9, pp. 858-864.
11. Berezin, I. S. к Zhidkov, N.P. 1966, Computing Methods, Volume 1., Nauka, Moscow, 632 p. (in Russian).
12. Bahvalov, N. S., Zhidkov, N. P. к Kobelkov, G. M. 2021, Numerical methods, Binom, Knowledge Laboratory, Moscow, 636 p. (in Russian)
13. Gelfand, I.M., Lvovskv, S.M. к Toom, A. L. 2008, Trigonometry, MCCME, Moscow, 199 p. (in Russia)
14. Prudnikov, А. P., Brvchkov, Yu. А. к Marichev, 0.1.1986, Integrals and Series, Volume 1: Elementary Functions, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 808 p.
15. Olver, F.W.J. 1974, Asymptotics and Special Functions, Academic Press, New York, 572 p.
Получено 3.09.2021 г. Принято в печать 6.12.2021 г.
