О различных формах представления многочленов Чебышева первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

DOI: 10.21779/2542-0321-2019-34-1-40-55 А. Р. Хаиров

О различных формах представления многочленов Чебышева первого рода

Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; A.Chairov@yandex.ru

Исходя из формулы бинома и параметрических преобразований получены различные формы представления многочленов Чебышева первого рода, применен способ одновременного вывода алгебраической формы представления и дифференциального уравнения для них. С помощью одной из форм представления многочленов Чебышева для них получена производящая функция, выраженная через косинус и гиперболический косинус, а с помощью другой - интегральное представление через многочлены Чебышева-Лагерра. Для одной системы функций, зависящих от трех параметров, получена производящая функция, которая, в частности, при соответствующем подборе параметров совпадает с производящей функцией для многочленов Чебышева. Приведен оригинальный способ разложения показательной функции, который представляет самостоятельный интерес и основан на вычислении коэффициентов Фурье-Чебышева с помощью правила дифференцирования однопара-метрического преобразования.

Ключевые слова: различные формы, бином, представление, ортогональный, многочлен, параметрический.

Во множестве всех систем алгебраических многочленов вряд ли существует другая система, которая обладала бы таким большим числом замечательных свойств и имела бы так много приложений, как многочлены Чебышева первого рода.

Основополагающими работами в теории приближений и функций, наименее уклоняющихся от нуля, являются [1-3]. П.Л. Чебышев [1] в результате решения задачи о нахождении многочлена степени п, наименее уклоняющегося от нуля, пришел к многочлену

(радикалы при возведении в степень по формуле бинома исчезают). Другой важной

формой представления многочлена Tn (x) является [4]:

Tn (x) = cos (n arccos x ), - 1 < x < 1. Третья форма, в которой многочлен Tn (x) представлен в явном виде

Тп ( ^ ) = Т ( - 1)

п

к = 0

п - к

Ск 2

^ п - к

п - 2 к -1 п - 2 к Л

в [6] выведена из дифференциального уравнения

(1 - х2)у"- ху' + п2у = 0. В [7] система многочленов {Тп (х)} определяется как система ортогональных

многочленов веса (1 - х 2 ) 2 и промежутка (-1,1), в [8] принято определение

Тп ( х ) =

2 пп! (2 п)!

дх

(х 2 - 1)

а в [9] многочлен Тп (х) является собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля

для уравнения

(1 - х 2 )у"- ху' + Лу = 0

при краевых условиях регулярных в концевых точках промежутка [-1, 1]. Собственное значение, соответствующее решению у = Тп (х), равно Л = п2.

С помощью параметрических преобразований бинома + л) мы получили различные формы представления классических и некоторых других ортогональных многочленов. В [10] получены различные формы представления многочленов Ле-жандра, доказаны их основные свойства. Теперь метод параметрических преобразований применяем для получения различных форм представления многочленов Че-бышева и доказательства их свойств.

Определения, формулы и правила дифференцирования параметрических преобразований

Функция [10]

/

= Т с

х х

п

(1)

(а).) п=0 (а)п

где (а)п = а(а + 1)...( а + п - 1), однопараметрическим преобразованием функ-

(|х| < Я ) , а функция

ции / (х )= Т

п = 0

Спх

Л^ х | = Т ^

(ь),

(2)

(а ) . ) п =0 (а ) п называется двупараметрическим преобразованием функции / (х). Формулы

' 1 + л (а!^ ^ (ь).ь

= Т скЛк к,

£ + л

у

Л п

к = 0

(ь)

к

г к п - к

к _I_л_

п

= Т с к = 0 я ( а ) к (ь) к

(а). (Ь).)

получены при соответствующих преобразованиях из биномиальных формул

(1 + )п = пскЛк, (£ + л)п = ъсп%клп-к.

(3)

(4)

к = 0

к = 1

п

к

1

п

х

п

Для преобразований (1) и (2) справедливы следующие правила дифференцирования [11]:

С

dx

I

(

\

(а).

(

= -1' а

dx I

Определим преобразование

d / (Ь). х ^ Ь

(а).

= -1'

у

а

(а + 1). ) (Ь + 1). (а + 1).

<Х>

I((а). х)= 2 си (а),

(5)

(6)

(7)

п = 0

если I (х) такова, что ряд (7) имеет положительный радиус сходимости.

Формула

1 -

( а ).

( Ь - а ) и

(Ь ).) ^ (Ь ) „ выводится из (3) при = -1 с помощью формулы

(Ь),

= (-1)

,-к (1 - Ь - п) п - к

(Ь),

(8)

(9)

Ортогональность и первая формула представления многочлена Чебышева первого рода

Для одновременного получения символического представления и доказательства ортогональности многочленов Чебышева нам понадобится следующая

Лемма 1. Если (^ ) - алгебраический многочлен степени п, то справедливо

равенство

I (1 - х 2 ) б (1 - х )(1 + х ) т ск = 2 2 р +т +1 В ( р + 1, р + 1 + т )б ^ 2 (2 (р++ 1}+- 2) ^. (10)

п к

Доказательство. Для ((^)= 2 акъ вычислим интеграл

к = 0

Атп = 1(1 - х 2 (1 - х )(1 + х ) mdx

Представим этот интеграл в виде

р + к

Атп = 2 ак 1(1 - х) (1 + х)р + ^

к = 0 -1

и воспользуемся формулой

1 р

|(1 - х ) (1 + х) 4 Сх = 2 р + г +1 В ( р + 1, q + 1).

-1

В результате имеем равенство

Атп =2ак 2 2 р + т +1 В (р + 1 + к , р + 1 + т ),

к = 0

которое с помощью формул [4]

х

х

х

п

п

1

1

B (a , b ) =

Г (a ) Г (b ) Г (a + b )

приводится к равенству

= 2 2 p + m +1 в (p + 1, p + 1 + m ) £

Г (a + к) = (a ) k Г (a ) (P + 1) к

_ 22 p + m + 1

B (p + 1, p + 1 + m ) Q

2

к_0 (2 p + m + 2) к

(P + 1). (2 p + m + 2).

Теорема 1. Многочлен Чебышева первого рода Тп (х )_ cos( п arceos х) совпадает с многочленом

Г < ч \п

(п) , ч 1 — ; \ (1 - х ) 2 (1/2 ).

Доказательство. Если в лемме 1 полагать p = — 1 / 2 ,

[ 1 + я п

Q (#) _

(ь).

то получим

J ^ 1 2 [ 1 + Я (Оу (1 — х) | (1 + х) mdx _ 2 m в (1/2, m + 1/2 ) 1 + 2 Я

U

_ (1/2 ). Iп

х v (b )/* ^j ^ ' ^ - —V-"« ■ - (b). (m + ! ).j ■

Если в этом равенстве полагать 2 Я _ — 1, 2 b _ 1, то получим

\ п / \ п

( a ) • /1 I /1 , „\m _ Т m D / О „„ , 1 / 1 ( a ) •

1 —

х" V 2 (1/2 ).

Так как

(

1 —

(1 — х) I (1 + х)m dx _ 2 m в (1/2, m + 1/2 )l 1 -

(a),

(m + 1 ).

(11)

(m + 1).

(m + 1),

то при a _ п равенство (11) принимает вид

(m + 1 — a ) п _ ( — 1) п (a — п — m ),

(m + 1),

Í

1 л/Г— х'

1—

(п) • 2 (1/2 ).

(1 — х )

(1 + х)m Сх _ 2m B (1/2,m + 1/2)-(—^-( — m )п , (12)

(m + 1),

где (—т)п = 0 при т = 0,1,..., п — 1. Эти соотношения означают, что многочлен

1 —

( п ).

2 (1/2 ).

(1 — х )

является ортогональным многочленом степени п, промежутка (—1,1) и веса

— х2 У 2 . Следовательно, он числовым множителем отличается от многочлена Чебышева Тп (х ):

Тп (х)_

1 —

( п ) • 2 (1/2 ).

(1 — х )

Так как тп (1) = 1, то Сп = 1. Таким образом, мы нашли новую форму представления многочлена Чебышева:

mn

п

п

1

п

п

с

п

Т„ (х )= I 1 (1 - х ) ] (13)

I 2 (1/2 ). J

Ортогональность и вторая форма представления многочлена тп (х ) Лемма 2. Если 2 (й - однородный многочлен степени п, то

} . 1 2 (1 - х ,1 + х )( 1 + х ) т йх = 2 т + п В (1/2, т + 1/2 ) (1/2 ), (т + 1 / 2 ) ) - 1 л/1 - х2 ' '

Доказательство. Однородный многочлен ( (й ) степени п имеет вид

2 (й , л)= 2 й г.

5 + Г = п

Функция ( (1 - х ,1 + х) является алгебраическим многочленом степени п, и тогда вычисление интеграла

1 л

Атп = /у 2 2 (1 - х ,1 + х )(1 + х)т йх -1 л/1 - х

сводится к вычислению интегралов

1

- 1/2 {Л . Ч Г + т - 1/2 7

(1 - х ) (1 + х ) йх .

-1

С помощью формулы

} (1 - хГ (1 + х)Р йх = 2 « + Р +1 г (а + 1)г(Р + 1) -1 Г (а + р + 2)

находим

„т+п Г(^ + 1 / 2)г(г + т + 1/2) „т+п / , 1 . „, / , , „\

с 5Г = 2 т+п --= 2 т+п В (1/2, т + 1/2 )1 / 2 ) (т + 1/2 ).

Г (т + п + 1)

Подставив выражения для коэффициентов с5Г в равенство

А тп = 2 а ъг С1

получим

тп ъг ~ ъг

5 + г = п

А тп = 2 т + пВ (1/2, т + 1/2 )2 (1/2 ) (т + 1/2 ) =

5 + Г = п

= 2 т + пВ (1/2, т + 1/2 )( ((1/2 )., (т + 1/2 ). ) Теорема 2. Многочлен Чебышева первого рода Тп (х ) совпадает с многочле-

п

ном

(1/2 )„ I.......^п

2 п

х - 1 х + 1

(1/2 ) (1/2 ) Доказательство. Если в лемме 2 полагать а = 1/2

2 (й,") = 1 ЮТ- фу*

п

то

Атп =

г_1 ! ,/т^

( ~\п х - 1 х + 1

(1 + х) тйх = 2 т + пВ (1/2, т + 1/2 ) (т + 1/2 ) - 1

I (Ь).

^(1/2). (Ь ).

Если применить формулу (8) к А при Ь = 1 / 2 , получим

А^ = 2 т + пВ (1 / 2, т + 1/2 )(- 1 )п = 0, т = 0,1,..., п - 1.

Таким образом, получаем соотношения ортогональности:

+ ——:—— I (1 + х ) т йх = 0, т < п.

■,1л/Т^хЧ(1/2). (1/2).

Из этих соотношений следует, что многочлен

/ \п

х - 1 х + 1

+

У

(1/2). (1/2).

числовым множителем отличается от тп (х). Числовой множитель определяется по условию Тп (1) = 1 и равен (1/2 )п 2- п . Мы получили еще одну форму представления многочлена Чебышева первого рода:

(1/2 )и I

тп ( х ) =

х - 1 х + 1 (1/2 ). + (1/2 ).

(14)

Ортогональность и представления для четных и нечетных многочленов Из формулы (14) легко выводится свойство тп (- х )= (- 1) птп (х ), из которого следует, что Тп (х) содержит члены одной четности с п. Поэтому отдельно находим представления для т2п (х) и Т2п+1 (х).

п ,

Лемма 3. Если 2 (й ) = 2 «й к , то

к=0

(15)

I (1/2). I

(Г + 3/2 ),)■

Доказательство. Обозначив интеграл в (15) через Ап, представим его в виде

1

I 2 (х 2) (1 - х 2 У йх = В (1/2, г + 1 )2

Ап =2 ак I х 2 к (1 - х 2) ^ йх .

к = 0 -1

Так как

| х 2 к (1 - х 2У йх = 11к-1/2(1 - I )усИ = В (к + 1/2,/ +1)= В (1/2,/ + 1>

(1/2 )к

-1 то

0

Ап = В (1/2,/ + 1 )2

(1/2 )к

к = 0

(Г + 3/2 )к

= В, / + 1 12

(/ +1/2 )к I (1/2). ^

(/ + 3/2 ).

Теорема 3. Многочлены Т2п (х), Т2п+1 (х) соответственно совпадают с много-

членами

п

2

( — О'

(п ) 2

1 — / ч х 2 (1/2 ).

( — 1) п (2п + 1) х

(п + 1) 2

1 — ^-ч^ х 2

(3/2 ).

Доказательство. Если в лемме 3 полагать у = т — 1/ 2, где т - целое неотри

цательное число,

Q (р) =

1 + Я (а )- р ~&Гр

получим равенство —1 л/1 — х

1 + я х 2 1" (1 — х 2 )х = В (1/2, т + 1/2 )1 + я (а ) • /1/2 \ 1" . (16) (Ь). J V ' ' \ (Ь). (т + 1).)

Степенное выражение в правой части упрощается при Ь = 1/2, Я = — 1 и

принимает вид

(

1 —

( а ).

V

(т + 1).

(т + 1 — а )/

(т + 1) п

Так как (т + 1 — а ) п = (— 1) п (а — п — т ) п = (— 1) п ( — т ) п при а = п, то равенство (16) принимает вид

1 1 Г -п

I

— 1 л/ь— хх

( п ) 2

1 — , • х2

, , (1 — х2 )ndх = В (1/2, т + 1/2)(—1) (— т = 0

(1/2). )У ' V ^ (т + 1) п

при т = 0,1,..., п — 1. Из этих соотношений и очевидных соотношений

Г_1

Л гг

1л/1—

' 1 х 2'п

следует, что

(1/2 ).

1 — х 2 (1/2 ).

Соотношения (17) означают, что

Т2 п ( х ) = сп

х2 т+1 dх = 0, т = 0,1,

Г_Г

х ^х = 0, к = 0,1,

п

(п ) 21 1 — , . х2

п — 1

2 п — 1

(17)

(1/2 ).

где числовой множитель сп может быть определен по условию т2п (1 )= 1. Так как

(

1—

( п ) •

(1/2 ).

Л'

(/2 — п )п (1/2 )

= (—1)п

то

Т2и (х) = ( — 1)'

1—

( ^ ) • -х 2

(1/2 ).

(18)

Если в лемме 3 полагать ^ (р) = рр (р), где р (р) - многочлен степени п, то

| х 2 Р (х 2)(1 — х 2)у dх = В (3/2,у + 1 )Р

—1

(3/2 ).

(У + 5/2 ).

п

п

п

п

Из этого равенства при / = т - 1/2

(

Р (й) =

1 + Л

V

(«1 (Ь ).

получим равенство

1 -Л-

I , + 3 (а ) . 2 ,

гх| 1 + Л . Л х I х (Ь).

(1 - х 2 )тйх = В (3/2, т + 1/2 )1 + Л ( ' 2 \ V > V \ (Ь). (т + 2).

которое при Л = -1, а = п + 1, Ь = — принимает вид

2

/

1

1 л/1 - х2 Т (3/2)• .

при т = 0,1, ..., п - 1.

Эти соотношения вместе с соотношениями

^ - № х 2 ' "

I (п + 1) 2 ^п 1 - -Ц-х2

(1

х 1 - х

= В (3/2, т + 3/2 )

(- 1)п (- т ),

(т + 2 ).

= 0

1 Г7~

дают

л/Т-

х

1 -

(3/2 ).

(п + 1). (3/2 ).

х2 тйх = 0, т = 0,1,

хкйх = 0, к = 0,1,

п

2п .

(19)

Соотношения (19) означают, что многочлен

I (п + 1) 2 ^ "

1 -х 2

(3 / 2 ).

Т2 +1 (х) отличается числовым множителем, который может быть определен по условию Т2п +1 (1 )= 1 . Легко показать, что числовой множитель равен (-1)п (2п + 1). Таким образом, для Т2 п+1 (х) получили символическое представление

Т 2 и +1 (х )= ( - 1) " (2 п + 1)

х

I (п + 1) 2 ] "

1 - -Ч-А х 2

(3/2 ).

(20)

Две формы представления ортонормированных многочленов Чебышева Мы приведем один способ вычисления нормы многочлена Тп (х), основанный на использовании форм представления (13) и (14) и представляющий самостоятельный интерес. Для удобства обозначим

Ап =

1 ГТ~

-хл/Г- х*

В силу формул (13) и (14) имеем

Т2( х) йх.

Ап = (- 1)'

(1/2) я 1

1 Г~

х - 1 х + 1 +

2п 1(1/2 ). (1/2 ).

1-

(п ).

2 (1/2 ).

(1 - х )

йх.

Так как многочлен (14) ортогонален всем многочленам степени меньше п, то

Ап = (-1)

п (п ) п г

1

х - 1

х + 1

(1 - х )п йх.

22п -l■,[г■—T 1(1/2). (1/2).

Представив интеграл в правой части этого равенства в развернутом виде

2

х

2

х

п

2

х

2

х

п

п

п

I ск(—1)к

1

к = 0 (1/2) к (1/2) п _ к — 1

воспользуемся формулой

I (1 — х)

п + к —1/2 (1 + х) п — к —1/2 dх

I (1 — х ) а (1 + х ) р <х = 2 а + р + 1 В (а + 1, р + 1). — 1

В результате последняя сумма примет вид

2 2 п В (п + 1/2,1/2) I С к (— 1)к

(п + 1/2)

(1/2),

= 2 2

(1/2)п ( (п + 1/2)

-— л 1 — -т-^-

(2 п)!

(1/2 ).

= (— 1)п 2 2 п

(2 п)!

В силу этого получим

. (п ) пп ! л л

А„ = -л = —

п (2 п)! 2

Следовательно, ортонормированный многочлен Тп (х) имеет следующие формы представления:

тп^АЩ 1 — ^(1 — х) 1п, Т-<х

Т п (х ) =

(1 / 2 ) п 12 Г х — 1 х + 1

2п \ л { (1 / 2 ). (1/2 ).

Формула перехода от одной формы представления многочлена Чебышева к другой

Лемма 4. При любых р и , справедливо равенство

р

(1/2 ). (1/2 ).

1

(1/2 ) п

) — р + \ р

(1/2 ).

Доказательство. Согласно формуле (4) имеем

р , , 1п = Ск рк (р)п — к

Ап =

= I с,

(1/2 ). (1/2 )] к = 0 п (1/2 )к (1/2 )(

—к

К правой части равенства (22) применим формулу (9) при ь = 1:

2

1

(1/2 )п — к

= (—1)к

(1 / 2 — п )к

(1/2 )я

В результате получим

(21)

(22)

А„ =

(1/2 )

VI с к (—1)к (,)п—к (1 /2 —)п)к рк

к = 0

(1/2 ) к

(1/2 ) я

Г Г(1/2 — п).^" 1

(1/2 ).

С помощью формулы (8) степенное выражение в этом равенстве приведем к

виду

V р. Ж р"

(1/2 ).

который завершает доказательство формулы (21).

п

к = 0

п!

п

1

п

Для тп (х ) нами найдено две формы представления: (13) и (14). Если воспользоваться формулой (21), то формула (14) может быть получена из формулы (13), и наоборот. Для этого в (21) положим £ = х ~ 1, ] = х + 1 . В резуль-

тате получим равенство

г \п

х - 1 х + 1

+

2 (1/2 ). 2 (1/2 ).

/

(1/2 )п

1 -

(п ). (. - х )Л

2 (1/2 )

из которого по (13) можно получить (14) и по (14) можно получить (13).

Теперь получим новую форму для т2 п +1 (х) исходя из формулы (20), по которой находим £ = х2, ] - £ = 1. Поэтому т2 +1 (х) согласно условию Т 2 п +1 (1) = 1 имеет вид

Т

2 п +

1 (х )= (3/2 ) п

( х 2 - 1

2

+

(а ). (3/2 ).

(23)

Сравнивая (23) с (20), имеем равенство

..2 Л п

(з / 2 ) п

' х 2 - 1

(а ). (3/2 ). из которого при х = 0 получим уравнение

(3/2)п

= ( - 1) п (2 п + 1)

(п + 1) 2 1 - -Ч-х 2

(3 / 2 ).

( а ) п

= 2 п + 1

которому удовлетворяет а = 1. Таким образом, для нечетного многочлена мы полу-

2

чим новую форму представления

т 2 я +1 (х )= (3/2 ),

х2 - 1 х2 х I--+

( ^ (24)

(1/2). (3/2 ).

Представление для Т2 п (х ) может быть получено из формулы (21) и представления (18):

Т 2 п (х )= (1/2 )п

( х 2 - 1

2

(1/2). (1/2 ).

Интегральное представление многочлена Тп (х) через многочлен Чебышева-Лагерра

Система многочленов Чебышева-Лагерра, ортогональная на (0, да ) по весу

е х х а (а > - 1), имеет форму представления [12]

Ьп (х;а ) =

(а + 1),

п !

1 -

(а + 1).

(25)

Для интегрального представления многочлена Тп (х) через (25) при а = -

нам понадобится следующая

Лемма 5. Для любого многочлена Р (£ ) имеет место формула

п

1

х

х

п

п

х

Р ((а) .р)=—^ I е — гга—1Р р г) Лг . (26)

г(а) -0

т

Доказательство. Для произвольного многочлена р (р)= I скрк в силу форму-

к-

к = 0

лы г (а + к) = ак г (а) имеем

т 7^^171 Ю 7 т ,

Iе" гга—1Р(гр)Лг = Iскрк Iе" гга—1га+к—1Лг = Iскг(а + к)рк =г(а) Iскакрк. 0 к=0 0 к=0 к=0

Отсюда согласно определению преобразования (7) получим формулу (26). Если в лемме 5 полагать

Р (р)=|1--р-I = —-!п (р /2;-1/2 ),

7 1 2(1/2) .) (1/2), пЧ 7

п

то получим равенство

1 — (п)• р1 =—1 е — г/-11 (рг;— 11Лг 2(1/2) ^ | (1/2)„ •> " ^ 2 2 | '

из которого при р = 1 — х получим интегральное представление

Тп (х )= —-1 е — ггп — 1 Ьп Г г; — 11 Лг, х е (—ю , ю).

(1/2) я 0 п { 2 ' 2) ' V , у

Дифференциальное уравнение и алгебраическая форма представления Для Тп (х) одновременно выведем дифференциальное уравнение и алгебраическую форму представления для Тп (х) из функции

у = (х + Ь л/х 2 + а )п (27)

и граничных условий

у (— 1) = (— 1 )п , у (1) = 1 . (28)

Для функции (27) находим

л/х2 + а у' = п{Ьх + а^ х2 + а ^ип 1(х), и(х) = ах + Ь^/х2 + 1;

7

л/х2 + ау'| = п(п — 1)ип 2(х)и'(х)[ Ьх + х2 + а 1 + п

Ь + . ах ип — 1(х)

2

х + а

Ьх + а V х2 + а

2

= п (п — 1)-----, у + п у

, и -1 ^ 12 V х2 + а "V х 2 + а ах + ЬУ1 х + а I

Отсюда при условии

(Ьх + а л/ х 2 + )2 = (х + Ь л/ х 2 + )2

получим дифференциальное уравнение

(х 2 + ау')

'х 2 + а у ')= п 2 У

Л

(29)

(30)

'х + а

Условие (29) выполняется в двух случаях: 1) а = Ь , 2) Ь = -а . Так как уравнение (30) линейное однородное, то можно считать: 1) а = Ь = 1, 2) Ь = - а = -1.

Этим случаям соответствуют решения у 1 = (х + Vх 2 + а ) ,

у2 = (х - Vх2 + а ) . Тогда у = с1 у 1( х) + с 2 у 2( х) будет общим решением уравнения (30).

Из общего решения уравнения (30) выделим решение, удовлетворяющее условиям (28):

с1 (- 1 + V1 + а )п + с2 (- 1 - л/ 1 + а )п = (- 1 )п, с1 ( + л/ 1 + а )п + с 2 (1 -V1 + а ) = 1.

Из этой системы следует, что

а = -1.

С 1 = с 9 =

(1 + V1 + а ) + (1 - V1 + а )'

Таким образом, функция

у =

х + /V1 - х'

+ I х - /^1 - х

(31)

удовлетворяет уравнению

1 - х2 у' I + п2 у

Л

2

= 0

1 - х 2

и граничным условиям (28). Таковой является и функция у = Тп (х )= С08( п агеес^ х) . Следовательно, функция (31) совпадает с тп (х ).

Производящая функция для системы функций, связанной с системой {т„ (х )} С помощью системы функций

Qn (х, Г) = -2 (ах + Ьл/а + х2 ) + (ах - Ьл/а + х2 )

которая при а = Ь = 1, а = - 1 совпадает с системой многочленов тп (х), образуем функцию

в (х,г) = £ ínQn(х,г). (32)

Ь лА

ах + Ь V а + х'

< 1 на некотором мно-

Если параметры а , Ь , а таковы, что

жестве Е, то ряд (32) сходится абсолютно при |г| < 1. Поэтому функция в(х, г) является суммой двух геометрических рядов

1

п

п

1

2

2

п = 0

1 / I-n

— 2 tn a ± bVа + x2 J

2 n = о

и

G (x, t) = 1 2

1 - t (ax + b л/ а + x 2 ) 1 - t (ax - b V а + x 2 )

Эта функция после упрощения принимает вид

Gx х 1 axt

(x, t) =

1 - 2 axt - ab 2 t2 + (a 2 - b 2) x 212

В частности, при а = Ь = 1, а = _ 1, Е = [_ 1,1 ] получим производящую функцию

1 _ 00

С ( х, г) = -1-^^ = ^ ГТп (х ), < 11 _ 2 xt + t п = о

Иным путем эта функция получена в [4].

Еще одна производящая функция для многочленов Тп (х )

Формула (14) позволяет в некоторых случаях получить разложения функций в ряды по многочленам Тп (х ), минуя вычисление коэффициентов Фурье-Чебышева.

Пользуясь равенством (2п)! = 22пп!(1/2)п , произведение Коши абсолютно сходящихся при любых % и л рядов

м е 2 п м л 2 п

cos £ = 2 (- 1)n f—r, ch 4=2 (2 )( n = о (2n )! n = о (2n )!

представим в виде

1 ^ , ,n! £2k j]2(n-k)

cos £ ch 4 = 2—2n-2 (-1)k

n !22 n k~o k ! (n - k)! (1/2) t (1/2) n_t

К внутренней сумме применим формулу (4)

L_(_4___£L_1n (33)

£ ch 4 = 2 2 ,

* ' n=o n ! 22 n 1 (1/2). (1/2).

Если равенство (33) полагать

■2 1 - x 2 2 1 + x 2

£2 t2, 4 =~Y~ t2 (-1 < x < 1),

то получим разложение

1 - x /1 + x ® t2 n ( x - 1 x + 1 xn

cos J-1 ch J-1 = 2 -1 -+

Л1 2 M 2 n = о 23 n n ! 1 (1/2). (1/2).

которое согласно формуле (14) принимает вид

/1 - x /1 + x те 12 n

cos Ji-^t ch J1^ =2 "J—Тп (x ), - 1 < x < 1. V 2 V 2 n=о(2n)!

Разложение в*1* по многочленам Tn (x )

ад

Коэффициентами разложения Фурье-Чебышева А о (a) + 2 An (a )Tn (x ) функ-

n = 1

ax

ции в являются

Ао (a) = 1J eax-J^ (34)

n -1 лА - x 2 '

1

1

4 (а) = 1 | еахТп (х)-*. (35)

Я -1 л/1 - х2

Если в (34) еах разложить в ряд по степеням х, затем почленно интегрировать полученный ряд после умножения на еах (1 - х 2 ) 2 , то получим

1 м 1 1 / \ 1 Л(а) = - I - [ хк (1 - х2 )йх.

я к = 0 к! -1

С помощью бета-функции вычислим интеграл под знаком этой суммы. В результате получим

м а 2 к

А0( а) = 1-Тка-. (36)

^ к"о 22кк! (1)к

Функция Бесселя мнимого аргумента порядка V определяется [3] рядом

а" х а2к К (а) = 2" Г (" + 1) ^ кк!(" + 1) к • (37)

Равенство (36) означает, что А0(а) = 10(а). Находим выражение Ах(а) через /1(а):

А(а) = Я |еахТх(х)-* = Я |еахх-;±= = 2 А-Ма) = 2й1а).

л/1 - х2 д/1 - х2 йа йа

Представив равенство (36) в виде А 0( а) = е 22(1). по правилу (5) дифференцирования однопараметрического преобразования, находим

0 (а ) = 2 11( а).

йа

Возможность дифференцирования интеграла Ап (а) по параметру очевидна. Поэтому имеем

^ (а) = ^ | еа хТп (х. (38)

йа я -1 д/1 - х2

С помощью рекуррентного соотношения 2 хТ п (х )= Тп +1 (х )+ Тп -1 (х ) из (37) получим

2 й^Ап (а)= Ап+1 (а) + Ап(а). (39)

йа

Таким образом, имеем дифференциально-разностное уравнение (39) и начальные условия

А 0( а) = /0( а), А1 (а) = 211 (а). (40)

Для решения уравнения (39) нам понадобится уравнение

й йа

которое легко получается из представления

2 й-1у(а )= 1"+1 (а ) + 1"-1 (а ), (41)

йа

I" (а)= " а-е

22 (" +1).

2" Г(V + 1)

и правила дифференцирования (5).

Из (39), (40) и (41) при V = п следует, что система функций

а 2

а 2

Р0(а) = А0 (а) - 10 (аX Рп (а) = Ап (а) - 21п (а) удовлетворяет дифференциально-разностному уравнению и начальным условиям:

2 й ^п(а )= Рп+1 (а )+ Рп-1 (а )> (42)

Ра(а)= 0, Р1 (а)= 0 .

Теперь легко проверить, что задача (42) имеет нулевое решение. Следовательно,

да

А0( а) = 10( аX Ап (а) = 21п (а) и 10( а) + 2 11п (а )Тп (х) (43)

п = 1

является рядом Фурье-Чебышева для еж. Поскольку ряд (43) равномерно сходится на [-1, 1] при любых а, то

да

е ах = 10( а ) + 2 I 1п (а )Тп (х), -1 < х < 1. (44)

п = 1

Таким образом, мы вновь получили хорошо известное разложение (44). Новый способ разложения приводится нами потому, что его получение обладает математической красотой, подобающей и функции еа, и системе многочленов Т„ (х)}.

Литература

1. Чебышев П.Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов // Соч.: в 2 т. - Т. II. - С. 23-51. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947 (Комментарий В.Л. Гончарова. - С. 474-485).

2. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций // Соч. в 2 т. - Т. II. - С. 146-150. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947 (Комментарий В.Л. Гончарова. - С. 196-507).

3. Марков А.А. Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Избранные труды. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

4. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Физматлит,

2007.

5. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. - М.: Гостехиздат, 1954.

6. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.-Л.: Гостехиздат,

1949.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены). - М.: Наука, 1974.

8. КузнецовД.С. Специальные функции. - М.: Высшая школа, 1965.

9. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. - М.-Л.: Гостехиздат, 1951. - Т. 1.

10. Хаиров А.Р. Различные формы представления многочленов Лежандра // Вестник ДГУ. Сер. 1: Естественные науки. - 2018. - Т. 33, вып. 3. - С. 80-93.

11. Хаиров Р.А. Двупарметрическое преобразование степенных рядов // Вестник ДГТУ. - 2010. - № 16. - С. 72-79.

12. Хаиров А.Р. Формулы сложения для функций преобразованной тригонометрической системы // Материалы V Международной конференции (26-29 сентября) «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». - Махачкала: Изд-во ДГУ, 2011. - С. 221-224.

13. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. - М.: Наука, 1971.

Поступила в редакцию 17 января 2019 г.

UDC 517 .5

DOI: 10.21779/2542-0321-2019-34-1-37-40-55

On different forms of representation of the Chebyshev polynomials of first type

A.R. Khairov

Dagestan State University; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a; A. Chairov@yandex.ru

Different forms of the Chebyshev standardized and orthonormalired polynomials of the first type representation are obtained from parametrical transformations of binomial formula by the parameters according to the conditions of orthogonality. The formula of transition from one form of representation to another is obtained, the method of simultaneons of differential equation and generating function for Chebyshev polynomials is realized. One form of representation is used to get the integral repsentation of the Chebyshev polynomials via the standardized Chebyshev-Laguerre polynomials, and another for the output of the generating function, expressed through the cosine and hyperbolic cosine.

Keywords: different forms, binomial, representation, orthogonal, polynomial, parametric.

Received 17 January, 2019