CC BY
23
Математические структуры и моделирование 2000, вып. 6, с. 50-54
УДК 517.587
О ЧЕБЫШЕВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
С.Д. Симонженков
Polynomial Chebyshev approximation have been computed for the functions
F(x)
/(f) dt, f(t) = arsht or
о
arcsin t.
Во многих вычислительных задачах возникает необходимость в нахождении коэффициентов Чебышева функции f хГ1 f(x) dx по известному разложению в ряд Чебышева функции f(x). Соответствующая методика известна (см., например, [1], теоремы 9.4 и 9.6), получены конкретные разложения для ряда функций, например, f(x) = ln(l + х), sina:,... . Автору приходилось использовать функции
F(x)
arsht
dt, G(x)
arcsin t
dt.
IQ t JQ t
Их разложения в имеющейся литературе не было найдено, что и послужило поводом для данной статьи. В ней даются коэффициенты разложений указанных функций:
F(x) = а^Т2п+\{х), \х\ < 1,
(1)
я>0
F{x) = YJ^)T2n
я>0
+ с-|—1паЧп(4а;), х > 1,
(2)
где
G(x) =
2п+1
п>0
2
— arcsma:
7Г
х\ < 1,
С = F(l) = ( ]/2 ) (! + 2кУ2 = 0.9552018064
fc>0 ^ '
п о(1) (2) On ап
0 0.96530568 0.05184924 1.21651767
1 -0.01058987 -0.05361909 -0.12384640
2 0.00052213 0.00188557 -0.00368756
3 -0.00003945 -0.00012566 -0.00018014
4 0.00000367 0.00001093 -0.00000997
5 -0.00000038 -0.00000110 -0.00000058
6 0.00000004 0.00000012 -0.00000004
7 -0.00000001 -0.00000001
(3)
© 2000 С.Д. Симонженков
Омский государственный педагогический университет
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
51
Эти коэффициенты получены на основе равенств
arsht = tJ2bnT2n(t), \t\ < 1,
n>0
, t> 1,
arsh t = In 2t + £ CnT2n ^ ^
tci^t = J2dnT2n(t), \t\ < 1
(4)
(5)
(6)
n>0
в которых коэффициенты брались из таблиц 3,7 и 3,11 справочника [2], Разложения (1),(2) получены еоответетвенно из (4),(5) делением на t с последующим почленным интегрированием. Так как
G(x)
7Г
У ctg у dy = —
71 ,
t ctg— tdt,
'0 ^ JO *
то (3) получается из (6) также почленным интегрированием. Окажется, что
(e„bn ~ bn+i), п> 0;
(2)
an
(1) 1 (
!n 4n + 2 v
1 , 1
- Cn Cn-
n \2
(2) % =
7Г2 1
4 4n + 2
1
a0J = 2 ClUl ~ С2Щ + СзЩ (бпФг Фг+l); Т1 ^ 0,
(7)
где
е„ = 1 (п ф 0), е0 = 2;
1 (-i)fe f^l)fe+1
Щ = 1, Uk = 1 — - + ■■■ + "^ГТГу 4 2k ^ ^
По этим формулам и находились коэффициенты в указанной выше таблице. Докажем, например, формулы (7), Будет существенно использовано равенство
£(-!)% = о, (8)
п>0
являющееся следствием (5), и тот факт, что при п > 0 1 = 2
k=i
t
[T2n(t) — T2n(0)\ — 2^^(^l)fe 1 T2n-2k+i(t) ■
(9)
Для x > 1 имеем
F(x) =
1 fx fx In 21 , ^ fx 1
+ / =c+ / — dt + > cn I -T2n(t)dt.
t
n>0
52 С.Д. Симонженков. О чебышевских коэффициентах некоторых функций
Вычисляя здесь первый интеграл непосредственно и заменяя t на 1/7 во втором (под знаком суммы), получим
1
/•'(>•) = Г- hr 2/
1
+ ^2сп -T2n(t)dt
1 я>0
Обозначим через S сумму фигурирующего здесь ряда. Тогда
S = '^2c'nJi ^ [T2n(t) - г2д(0)] dt + In х
так как Т0(7) = 1, Т2п(0) = (-1)п. В силу (8) и (9)
5 = Г2 Е
п>1 х 1<к<п
2п—2к+1
(7) dt
^ ^ / 2T2n_i(t) dt (сп сп-^1 + cn-)-2 ■ ■ ■)■
П> 1
Таким образом, нахождение S сводится к вычислению приращения функции
1
Д Р~2 (t) “Ь1] (Cl С2ТС3 , , 0 + У:
п>2
— Т2„ (7)----7 2;, 2 (7)
2п К 1 2п^2 " w
(с?г Cn_)_iTcn_)_2 1 ■ ■)
на отрезке
i.i
Имеем
5
1 1 (1
----Т2 -
2 2 Тж
+
(о - с2 + с3 - ... 1
+
Т 1 1 /1\ 1 /1
6^4^6Тб(^)+4Т4(^
(с2 — Сз + С4 — , , ,) +
(с3 - с4 + с5 - . .
Здесь коэффициент при Т2 равен
(2)
о)
1
~д Cl + с2 - Сз + с4
аналогично для коэффициентов при Т4,Т6 соответственно
, (2)
1 ( 1
- Д С2 + Сз - с4 + с5
,(2)
1 / 1
- Д Сз + С4 - с5 + с6
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
53
и т.д. Свободный член, он же коэффициент при То, имеет вид
(2) 1 , , /1 1\,
°о = 2 (Cl ” С2 + сз “ - ■) + 1 | “ 2 ) (С2 ” Сз + С4 ”
+ (б l) (Сз ” С4 + Сб ” " ') +
Для доказательства равенств (7) осталось воспользоваться условием (8) и определением чисел щ.
В заключение рассмотрим некоторые примеры,
1, Известно ( [3, с,495]), что
1 1
In у 7Т G
dx = — In 2 + —,
о \/2 - х
где G - постоянная Каталана, Требуется вычислить аналогичный интеграл
I =
1 1и^
ж dx.
о \/2 + х
Выполним в I подстановку х
ПОЛУЧИМ
и интегрирование по частям в F(x) 1
2я+1
в=0
1
Стандартное суммирование Кленшо ([2, с,511]) с N = 7, х = —= , в данном
V 2
случае схема
В% = В9 = 0;
В л 11 л . 2 “Ь 0>л ^ ; Т1 7( 1)0?
7 = ;>■-*)
дает
I = 0.68966811.
2, Рассмотрим вычисление интеграла Клаузена
Cl(t)
на основе равенства ([3, с.255]
1
In I 2 sin - у ] dy, 0 < у < тх
G(x) = - Cl (2 arcsin х) + arcsin х In 2х.
Отсюда
Cl(t) = 2G ^ sin — t In ^2 sin =2 o„T2n+i ^ — t In ^2 sin , (10)
54 С.Д. Симонженков. О чебышевских коэффициентах некоторых функций
Заметим, что это равенство аналогично полученному ранее
С1(х) = -7t2N(x) — tin
о • 21
2 sin —
(п)
где
N{xy) = y'^jA2rT2r{y).
г> О
Вывод равенства (11) и таблицу коэффициентов А2г ем, в [4].
Результаты некоторых вычислений согласно (10) представлены далее.
t G(sin |) Cl{t)
71 6 0.259802 0.864379
71 3 0.507471 1.014942
71 0.730181 0.915966
2
2tt Y 0.913546 0.676628
5-7Г ~6~ 1.040401 0.356908
71 1.088793 0.000000
Литература
1. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983. 384 с.
2. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. 608 с.
3. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.
4. Wood Е. Efficient calculation of Clausens integral ff Math. Comp. 1968. Y.22. №104. P.883-884.
