CC BY
20
АРХИТЕКТУРА И СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 539.3
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛАСТИНКИ В ЩЕЛИ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ
Докт. техн. наук, проф. БОСАКОВ С. В.
Белорусский национальный технический университет
Решение плоской контактной задачи для штампа, расположенного в щели упругой плоскости, впервые опубликовано в [1]. В то же время авторы [2] получили приближенное решение этой задачи с помощью двойных сил, которые создают разрыв сплошности упругой плоскости. Методом ортогональных многочленов [3] решение получено в [4, 5]. В [6] рассматриваемая задача классифицируется как задача об отслоившемся включении, а также приводится ее решение. Осесимметричная задача для круглой пластинки рассмотрена в [7]. В [8] решена задача для пластинки вблизи границы упругой полуплоскости.
Рассмотрим пластинку конечной изгибной жесткостью -О, длиной 21, прижимаемой вертикальной сосредоточенной силой Р к верхней границе горизонтальной щели в упругой плоскости с постоянными Е и V. Будем считать, что на контакте пластинки с плоскостью возникают только нормальные контактные напряжения. Относительные вертикальные перемещения границы горизонтальной щели (рис. 1), к которой приложена единичная вертикальная сила, определяются по формуле [4]
K(x,t)-
1-v2 лЕ
In
J X t
~1Т
1 рТ Р
, (1)
где х - абсцисса точки щели, в которой определяется перемещение; I — то же, в которой приложена сила.
Обозначим р(х) - искомый закон распределения контактных напряжений. Следуя в дальнейшем последовательности изложения П. И. Клу-бину [9], составим следующие разрешающие уравнения:
• интегральное уравнение рассматриваемой контактной задачи для вертикальных перемещений верхней грани щели
1
V(x) = \p(t)K(x,t)dt\
(2)
Рис. 1
• уравнения равновесия:
1 1
^ p(x)dx = P\ | хр(х)йбс = 0; (3)
-I -I
• дифференциальное уравнение изгиба пластинки
d*Y _ р{х). dx4 ~ D '
(4)
• граничные условия для изгибающего момента и поперечной силы на краях пластинки при х = ±1:
d2Y d3Y
M = -D^- = 0; Q = -D^- = 0; (5) ах2 ax5
• условие равенства прогибов пластинки Y(x) вертикальным перемещениям границы щели Г(х)
Y(x) = V(x). (6)
Будем искать неизвестный закон распределения контактных напряжений в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода с весом
Р(х)
V
1 х 1 — + „
/ V
1+*
I2
3
2 ЛТ
/ х '
-У, Т2т
т=0
1-J1
I2
(7)
где А2т - неизвестные коэффициенты; T2m(z) -полиномы Чебышева первого рода [10]. Заметим, что полиномы Чебышева
f
Чт+1
l-.fl-i-
V У
, т = 0, 1,2, ... т,
имеют разрыв в производной при х = 0 и поэтому отброшены.
Тогда второе уравнение равновесия (3) удовлетворяется тождественно ввиду четности принятых полиномов Чебышева, а первое дает ввиду их ортогональности
Р
2W2Z
Действительно, рассмотрим интеграл
(8)
И
1 х 1--+4
i V
/ -
Чт
-I
1- — 12
П-.П--
хТ,
2 л
1-J1
I2
dx.
(9)
Сделаем в (9) подстановку х = I sint]. Получаем
Л
я/2 2 COS —
-я/2
COST]
Чт
\ (
л/2 sin- Tln V2 sin— . 2) { 2,
dr\. (10)
Если в (10) принять t = ^¡2sm^, то придем
к известному из теории ортогональных многочленов свойству ортогональности полиномов Чебышева первого рода [10]:
rT2m(t)T2n(t) ¿ ^
-dt-
п, т = п = 0; п 2;
0, тФп,
'-, /и = я>0; (11)
но только с множителем Отметим, что (8) является точным решением для жесткого штампа [1].
Решение дифференциального уравнения (4) при условии (7) представим в следующей форме:
D
D
Dx
—Y(x) = А0 F0 (x) + A2F2(x) + A4F4(x) + ... + C4 — + C3 — + C2 — + Q —
Fo(x)-
72 V2
COST|
31cos—-3eos—- lieos—
с _Л
\/2cos^ + i/cosr|
r
-36cos2t|ln Л COS —+ i/cOST|
Л f
+ 6arcsin
л/2 sin— 2
+ 57ln
(21sint|-2sin3r|)
(12)
F2(X):
192
2>/cost|í-68eos— + 57eos— + 8eos—-2eos— + lll\/21n y¡2eos— + <Jcost|
f „ __/ n
-72л/2 cos2r| In V2cos—+ ^/cost| + 48\/2sinr|arcsin V2 sin— V 2 у V 2
(13)
Fa(x) = — 32
^VC0ST1
-673cos- + 455cos— + 79 eos—-lOcos— + 2cos—
+
+47>/21n -j2cos— + ^cosr\ -32-v/2cos2t] ln >/2eos— + ^/cost] -2-s/2sinT]arcsin >/2sin— < 2 J \ 2 J I 2
i-ji
/2
; cos-
1 + J1
I2
Для выполнения граничных условий запишем выражения для поперечной силы и изгибающего момента:
л
Q(x) = Р—arcsin. 1-. 1-——4L42VCOSTl sin — + Л1А4^cosт] sin—-2 sin—
I2
+ ... + Q;
M{x) = — л
V
1 x 1--+4
I V
2V2
I2 2
1 * 1--+4
i V
—arcsin. l - Jl--
/ V V I2
+
+-l2A2 2
COST]
ri 3ti -2 cos— + cos—L
+3\/21n -v/2cos—+ Vcost] ^ 2
+
+4l2A
—д/cOST]
Л - Зт| 5т1Л lOcos—- 3cos—1 + cos—1
+л/21п a/2cos—+ Vcost] ^ 2
+ ... + Cix + C2. (14)
Выполнение граничных условий (5) и условий симметрии при учете (14) и (12) дает:
С2 = С3=0; а=~м8пу. (15)
Для практически важного случая жесткого штампа приводим формулы для поперечной силы и изгибающего момента в сечениях пластинки
&х) = Р
1
—arcsin.l-,1----
к V V I2 2
sign л;
М{х) = — л
V
1 * 1 — + 4
/ V
1+* /
2л/2
1 х 1--+ Л
/ V
Дш 2
н—arcsinjl-.il--
i V V I2
1+*
-Ui/l-^
ii /2
+
PI X
-—-, х>0. (16) 2 1
Причем максимальный изгибающий момент в центре пластинки
Мт~[у/2 + 1п(1 + л/2)]
превышает аналогичный для пластинки на упругой полуплоскости [2].
Подставим (7) в интегральное уравнение (2), сделаем подстановку х = I sin^; t = I sint] и используем спектральное соотношение Г. Я. Попова (7.5) при а = я/2 [6, с. 300]:
J In
sin
cos — 2
2 ^/cOS Т]
V2sin —
d т]
Зл/2"
71 In 2, n = 0:
--Ч
2n 2n
f-
л/2вт-2
, и = 1,2,...
(17)
В итоге получаем для перемещений верхнего берега щели
1-v2 V(x) = ——/
лЕ
-4ял/21п24)
±^A2nT2n(jl-Jl-x2/l2)
Так как в бесконечной изотропной однородной плоскости перемещения определяются с точностью до неопределенной постоянной [2, 9], которой является С4 в (12), приравниваем относительные перемещения верхнего берега щели и прогибы пластинки
К(х)-К(0) = Г(х)-Г(0).
(19)
жим на
Обе части полученного соотношения умно-
+ -хчАсЬс,
п = 0, 1, 2, ..., и проинтегрируем в пределах (-/, Г). Полученную систему линейных алгебраических уравнений можно решать способом усечения [3].
Как показано в [2, 3, 9], при применении способа ортогональных многочленов достаточно ограничиться несколькими первыми членами ряда (7). Поэтому для первых трех коэффициентов разложения (7) можно получить:
Л = —
0,1164(3(2028,3539 + (3) Р (42,6311 + Р)(952,8538 + Р) I '
(20)
А
(188,7709 + 0,6126(3)(3 Р 40621,2263+ Р(995,4850+ Р) I '
кЕ1ъ
где Р =--показатель гибкости по
(1-у2)£>
М. И. Горбунову-Посадову [2]. Структура получаемой усеченной системы такова, что при Р = 0 всвЛ2т = 0,т = 1,2, 3, ....
На рис. 2, 3 приведены графики распределения контактных напряжений, поперечных сил и изгибающих моментов на полудлине пластинки при р = 15 по (20).
р
I
1,0 =0,5
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2
-0,5
-1,0
Рис. 2
ВЫВОД
Получено решение контактной задачи для круглой пластинки в щели бесконечной плоскости способом ортогональных многочленов, причем в отличие от решения [5] точно выделяется особенность в контактных напряжениях у краев пластинки. Данные результаты могут использоваться для расчетов анкерных плит глубокого заложения и закладных деталей железобетонных конструкций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фотиева, Н. Н. К расчету анкерных плит глубокого заложения / Н. Н. Фотиева, В. А. Лыткин // ОФиМГ. - 1969. -№5.-С. 8-10.
2. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Ма-ликова, В. И. Соломин. - М.: Стройиздат, 1984. - 680 с.
3. Развитие теории контактных задач в СССР / под ред. Л. А. Галина. - М.: Наука, 1976. - 493 с.
4. Босаков, С. В. Решение одной контактной задачи для плоскости с щелью / С. В. Босаков // ПМ. - 1977. -Т. ХШ, № 7. - С. 127-129.
5. Босаков, С. В. Расчет заглубленных анкерных плит конечной жесткости / С. В. Босаков // ПМ. - 1980. -Т. XVI, №3,-С. 81-87.
6. Попов, Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений / Г. Я. Попов. - М.: Наука, 1982. - 342 с.
7. Жуковский, И. Н. Контактная задача для пластинки, расположенной в щели бесконечного тела / И. Н. Жуковский // ПМ. - 1975. - Т. XI, № 11. - С. 124—128.
8. Босаков, С. В. Плоская задача расчета анкерных плит неглубокого заложения / С. В. Босаков // ПМ. - 1985. -Т. XXII, № 1.-С. 45-52.
9. Клубин, П. И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании / П. И. Клубин // Инж. сб. - 1952. -№12.-С. 95-135.
10. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М.: Наука, 1963.-1100 с.
Поступила 22.10.2010
