Контактная задача для штампа на упругом клине со свободными гранями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.072.21.7

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШТАМПА НА УПРУГОМ КЛИНЕ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНЯМИ

Инж. ДМИТРИЕВА К. В.

Белорусский национальный технический университет

Теория расчета балок и плит на упругом клиновидном основании способом ортогональных многочленов разработана в [1, 2] с помощью сложного представления для функции

Грина, не позволяющей использовать спектральное соотношение П. И. Клубина [3] для упругой полуплоскости. Ниже автором предложено иное представление для функции Грина

24

Вестник БИТУ, №4, 2010

клиновидного основания, содержащее особенность в виде решения Фламана [4] о действии сосредоточенной силы на границу упругой полуплоскости. Это представление использовано для получения решения о действии штампа на границу плоского клина со свободными гранями.

В [5] получено представление для функции Грина плоского клина со свободными гранями в следующем виде (рис. 1):

® = -а

Рис. 1. Загружение плоского упругого клина нормальной к грани сосредоточенной силой

v^ir)"

2Р(1-У02)

71Еп

+—а, sec h 8а 1

f -In V

яр

1 а 71U1 Г 8а +

З2а3

+

+

г * Vs

71

ч8а,

«з

а

1

71 In

tanh2 r 8а

а

7t In— 7tln

cosh3 — cosh r

8а

8а

+

+

f « л5

71

ч8ау

<h

а

7t In— 7tln

sinh4 --18sinh2 r-8a 8a

cosh

71 In

r

8a

a

(1)

, ч 4a + sin 4a n , ч

Л(а) =—z-z-; Р = -Л(а),

V ' 4a + sin 2a 2 w

где г - координата точки, в которой определяются напряжения; а - то же границы клина, к которой приложена сосредоточенная сила Р; 2а - угол раствора клина; - коэффициент Пуассона упругого основания; Е0 - модуль упругости материала упругого клина.

Причем коэффициенты а\, а3, ... определяются по формулам:

4(4a2 - sin2 2а) 16а4 (4а + sin4a) 3(4a2 -sin2 2а) 3(4a + sin4a) 3(4а2 _sin2 2aj2 '

аъ=-

512а7

128а5 16(4a2-sin22a)3

----+ —--'—

9(4а2 - sin2 2а)2 + 15(4а2" sin2 2а)+ 45(4а + sin4a)3

+

+

256а8

128а6

9(4а2 - sin2 2а) 45(4а "sin 2а)

(4а + sin 4а)

4а -sin 2а

- + 8а я,;

сц =-

64(4a2 -sin22а)5 ^ Ю24а7(48а4 +46а2sin22a + 3sin42а)

945(4a + sin4a)

945 ^4а2 - sin2 2а)

256а8 (160а4 + 88а2 sin2 2а+ 3 sin4 2а) 4а + sin 4а 32 4 „ 2. „ 2 ч

-н--а с\ +8а (й^ —8а ау;

945(4а2 - sin2 2а)

4а2-sin2 2а 3

Отметим, что для клина со свободными гранями выражение (1) дает только относительное перемещение грани © = а.

Разложим (1) в ряд по степеням (г-а) с помощью пакета МаЛетайса 5.0 [6]. При этом допустимая точность для инженерного расчета будет обеспечена при учете не более первых трех слагаемых (1) [5].

Получаем

. 2-,

/ /

-1п г-а +7,<4 г-а

V а к=0 1, а У

где

¿/0=-1пр + — + 8а

,(2)

Г тг V5 л

ч8ау

я3;

¿2 =~

ах

(Р-5ХР-1)

24

1-Р.

г _ \ъ

аЛ

г „

71

(Р-ЗХР-1) +

3 24

ч8а,

г _ V

8а

\8ау

2

Г ТГ ^ 71

.

2 '

ч8ау

5 а

'з.

а (р3 + р2-109р + 251)(Р-1) | 4 2880

+

с Г \5 / „ \ / / / „ \ 5Л

5 л -11 71 61 71 -55 71

V / 24 V /

(3) 24'

й (Р2+бр-19)(р-5)(Р-1) 5 1440

-5

Г \5 / ЛЗ^ / / \7 с \ 5Л

71 71 61 71 -25 71

V ,8а, ,8а, У 12 ч ,8а, ,8а, У

12'

Рассмотрим штамп на плоском клине со свободными гранями (рис. 2) под действием сосредоточенных сил и момента.

м

0 = -а

Рис. 2. Загружение штампа на плоском клине со свободными гранями нормальной к грани сосредоточенной силой и изгибающим моментом

Предположим, что между штампом и клином отсутствуют касательные напряжения в зоне контакта. Как известно [1], решение контактной задачи для клина со свободными гранями под действием штампа, приложенного к одной из граней, сводится к решению интегрального уравнения

2 \ с

2(1 ~Ур) 71Еп

¡р (х)К(г, х)сЬс = и0 + ф0

Ь + с

г — -

,(4)

где I - полуширина штампа; Ь, с - координаты левого и правого краев штампа соответственно; р(х) - неизвестный закон распределения реактивного давления между штампом и клином;

- функция Грина для клиновидного упругого основания; и0, ф0 - линейное и угловое перемещения штампа относительно его середины. Исходное уравнение (4) получается при выполнении тождества осадок грунта перемещениям штампа

Ж(х) = У(х).

В качестве функции Грина интегрального уравнения (4) примем согласно (2) следующее выражение:

г-х

I

Сделаем в (4) замену:

Ь + с

г =-

2

Ь + с

к=0

+ ц1;

г-х

\к

X У

(5)

(6)

Тогда (4) запишется таким образом:

2(1-у02)| -1

у + ФоЛ="

71Е,

О -1

/■ Л*

л-*

к=0

Ь + с 21

(V)

Для приближенного решения этой задачи можно использовать широко распространенный в теории дифференциальных и интегральных уравнений метод представления искомой функции в виде степенного ряда [7] либо в виде ряда относительно ортогональных многочленов [3].

Воспользуемся вторым из предложенных методов - методом П. И. Клубина [3]. Будем искать неизвестное пока распределение реактивных напряжений в следующем виде:

1

(8)

где T¡ (í;) = eos i arceos í; - полином Чебышева 1-го рода [8, 9].

Тогда из уравнений равновесия:

у=}р(»

-i

сразу находим:

1 -i

я -р-

во ~ 7» 71/

R-1M

(9)

(10)

тс/

Также представим [1]

С

лЧ

5Н

к=0

Ь + с

~2Г.

= (11)

»1=0 п=о

Коэффициенты разложения в правой части (9) можно найти численно. Дня этого обе части

ТА Л) Т(1) (11) умножаем на . ,' d^dx|, а затем

л/w ф-?

дважды интегрируем в пределах [-1, 1]. С учетом свойств ортогональности полиномов Чебышева [10]

i ф^

7t при т = п = 0; 71

— при т = т=0; (12) 0 при тФп

получаем следующее выражение для определения коэффициентов в общем виде:

ч,=1

1 00

ÍZ4

_i¿=o

\к

лЧ

Ь + с 21

Tj( Л)

л/W

т)

где X =

7t при i = 7 = 0;

л

71

lT

при i = 0 или 7 = 0, i У;

при /^0 и 7^0.

Подставим (8) и (11) в (7), используя при этом свойства (12), а также спектральное соотношение [3]:

-711п2, т = 0;

71 (14) --Тт(ц),т = 1,2,3,...

JlnMI

ТЛ)

m

В результате получим уравнение

2/(1 —v02)

, + ФоЛ = „

/ 71Е,

т=1

/И

QO ОО

+ Tifio Ел,Л (Л) + (Л)

п=0

' т=1 л=0

Г, (л)

Умножим обе части (15) на

(15)

I-г^Л (/' =

\1-Л

= 0, 1, 2, 3, ...) и проинтегрируем в пределах [-1,1]. Получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений:

Гм0_2(1-у02)

1п2 В0+В0\0+^ВтАт0

■ т=1

Фо

0 =

2(l-v02)

^оЛд^Ё^Л

' /и=1

2(l-v02)

Я

' /и=1

;(1б)

2(1-v02)

' /и=1

0 =

2(1 - v02)

В 1 00

7 2

m"m,j

■ т= 1

V

которую можно решать способом усечения [11].

Ограничимся п уравнениями системы (16), оставив в них члены с неизвестными Вр 7 = = 0, п. Ее можно записать в матричной форме

БВ = Р, (17)

где И - матрица коэффициентов; В - вектор неизвестных; Р - вектор свободных членов.

—т В =

Еп

Еп

21 (1 - У0 )

-Мп —

—т р =

2/(1-<) -Вх - в0

В-, В-,

в„

д 2 ^оА>,2 2

П =

О о

о о

о о

о о

о о

V

В табл. 1 приведены значения первых шести коэффициентов ряда (8) для Р = 10 т; М = 0; 2а = л/2; Ь = 1; с = 3 при удержании в системе (17) п членов ряда (2). Можно сделать вывод о необходимости удержания для инженерных расчетов не менее восьми, но не более 11 слагаемых ряда (2).

Для принятых исходных данных при п = 10 получаем следующие коэффициенты ряда (2):

¿о = -1,27892, ¿1 = -1,18148, = 0,187013; 4з = 0,00989971, б/4 = -0,0366345, с15 = 0,0239868; & = -0,00934955, ф = 0,00116192, с1% = 0,0014198; ¿9 = -0,00111465.

оА),3 1 "2 Вх\ з .. -44, \ ? У

4з,о ^5,0 4,0

2 2 2 2 2

Лд 4зд ^4,1 4,1 4д

2 2 2 2 2

■^2 2 -У- + 2 1 Л,2 Л,2 4,2 4,2

2 2 2 2 2

-^2,3 2 -^3 3 1 2 3 2 4,3 2 6,3 2

-^2,4 "^3,4 Л( 4 1 2 4 4,4 А,4

2 2 2 2

^2,5 ^3,5 ^4,5 4,5 + 1 2 5 Л,5

2 2 2 2

Л,6 л,6 Л,6 4,6 4,6+ 1 2 6

2 2 2 2

Таблица 1

Значения коэффициентов В^ у = 0,6, при удержании и слагаемых ряда (2)

Коэффициент п = 5 и = 6 и = 8 и =10 и=11

Во 3183,1 3183,1 3183,1 3183,1 3183,1

Вг 0 0 0 0 0

В2 0 0,0883 0,804 0,796 0,796

Вз 0 -3,763 -3,819 -3,795 -3,795

в. 1,41 -0,085 0,260 0,258 0,257

в5 0 -0,237 -0,271 -0,277 -0,279

Тогда матрица коэффициентов системы (17) в численном виде:

£> =

г\ 0 0,0839

0 1 0,0368

0 0 0,498

0 0 1,18-10-5

0 0 2,32-Ю-5

0 0 -4,29 -Ю-6

0,112 -0,0494 -0,0581 Л

0,0539 -0,0221 -0,0277

-0,00181 -0,00181 -0,00181

0,333 —1Д8-10-5 4,28-Ю"5

3,07-Ю"5 0,250 2,15-Ю-6

-3,72-Ю"6 -1,85-Ю-5 0,200

На рис. 3 приведен график р(£) для Р = 10/и; М= 0; 2а = л/2; Ъ = 1; с = 3. Полученная эпюра согласуется с эпюрой реактивных давлений для четвертьплоскости [12], однако в отличие от результатов [12] наблюдается асимметрия относительно вертикальной оси, вызванная близостью штампа к краю клина.

-0,5

0,5

х _Ъ + с 1~\ 2/

5000

10000

15000

20000

р, Н/м

Рис. 3. Эпюра реактивных давлений на контакте» штамп - упругое клиновидное основание»

На рис. 4 показан график зависимости угла поворота штампа фо от положения штампа на поверхности упругого клиновидного основания. По мере удаления штампа от края клина значение фо уменьшается, т. е. пропадает индивидуальность в перемещениях штампа, вызванная видом модели упругого основания.

800

600 400 200

Рис. 4. Зависимость угла поворота штампа ф0 от его положения на грани клина

ВЫВОДЫ

1. Получен универсальный алгоритм решения контактной задачи о действии штампа на границу упругого клина. На основании указанного подхода можно построить эпюры реактивных давлений на контакте штамп - основа-

ние, наити внутренние силы в сечениях штампа и его перемещения. Результаты могут быть получены при различных значениях угла раствора клина и положениях штампа. Точность расчета определяется количеством слагаемых в разложениях (8), (11).

2. Анализ полученных результатов показал, что для расчета плит конечной жесткости двух-трех членов ряда (5) оказывается недостаточно. Для инженерных расчетов достаточно удержания в формуле (5) не менее восьми, но и не более 11 членов ряда. Аналогичные выводы были сделаны в [11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Развитие теории контактных задач в СССР / под ред. Л. А. Галина. -М: Наука, 1976.-496 с.

2. Ворович, И. И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И. И. Ворович, В. М. Александров,

B. А. Бабешко. -М.: Наука, 1979. -222 с.

3. Клубин, П. И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании / П. И. Клубин // Инженерный сборник ИМ АН СССР. - 1952. - Т. ХП. - С. 10-18.

4. Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М.: Наука, 1975. - 576 с.

5. Босаков, С. В. Функции Грина для клиновидных моделей упругого основания / С. В. Босаков, К. В. Дмитриева // Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь: междунар. сб. науч. тр. - 17-19 сент. 2003 г. -Гомель.

6. Дьяконов, В. П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3 / В. П. Дьяконов. - М.: СК Пресс, 1998.-328 с.

7. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Ма-ликова, В. И. Соломин. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1984. - 678 с.

8. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и производных / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М.: Физматгиз, 1963.

9. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн; пер. с англ.; под общ. ред. И. Г. Арамановича. -М.: Наука, 1974.-831 с.

10. Суетни, П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. - М.: Физматлит, 2007. - 480 с.

11. Канторович, JL В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. А. Крылов. - М.; Л., 1962.-408 с.

12. Босаков, С. В. Расчет балочных плит, лежащих на упругом клине со свободными гранями / С. В. Босаков // Техника, технология, организация и экономика строительства. - Минск: Вышэйш. шк., 1980. - Вып. 6. -

C. 22-31.

Поступила 22.02.2010