О некоторых интегралах теории полупроводников Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2001, вып. 8, с. 18-21

УДК 517.382:517.58

О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛАХ ТЕОРИИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

С.Д. Симонженков

A method for numerical evaluation of some integrals appearing in semiconductor theory by means of the confluent hvpergeometric functions is described.

Речь идет о приближенном вычислении интегралов

где р > —1,х > 0. и = 1,2,.... Такие интегралы часто встречаются в анализе и приложениях. Например, при п = 1, 2, 3 они использовались и табулировались в задачах теории полупроводников [1-3]. Для п = 1,2 известны их аналитические представления в виде некоторых специальных функций (см., например, [4], формулы 2.3.6.9 — 15, 2.3.7.8 — 13), однако для практических вычислений такие представления не всегда приемлемы ввиду громоздкости и разнородности.

С помощью интегрирования по частям нетрудно проверить, что

поэтому достаточно уметь находить интегралы (1). В данной работе их предлагается вычислять на основе функции

следующим образом. При х = const разложим дробь xn/(tn + xn) на сумму простейших дробей вида щ/(£ + дД с некоторыми комплексными Окажется,

что будет иметь место равенство

ОО

(1)

о

ОО

О

ОО

О

© 2001 С.Д. Симонженков

Омский государственный педагогический университет

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

19

поэтому

Ап(р,х)

1

п

П— 1

X 7(р> zk)

k=О

(3)

Так как интегралы I(p, z), I(p, z) комплексно сопряженные, то в этой сумме на самом деле участвуют лишь действительные части слагаемых:

Ап(р,х)

1

п

п—1

XRel{p,zk).

fc=0

Способ вычисления интегралов I(p,Zh) зависит от параметров х,р,п. При /> = 0. 1.2.... имеет место равенство

I(p, z) = zezEp+l(z),

где Ep+i(z) - стандартные интегральные показательные функции, методы вычисления которых достаточно хорошо разработаны. Известна, например, техника Гаучи [5], описание которой можно найти в справочнике Люка [6, с,106-107], Поэтому в данной работе рассматривается случай, когда р не является целым числом.

Пусть р ф 0,1, 2,,,,, Предлагаются представления

I(p, z) = zp+llJ(p + 1-,р + 1; z), (4)

Цр, z) = ~[F( 1; 1 - р; z) - zpezT(l - р)\, (5)

р

где F,U - вырожденные гипергеометрические функции соответственно первого и второго рода. Равенство (4) выгодно использовать при больших х, когда точки Zfc далеки от разреза комплексной плоскости вдоль отрицательной вещественной полуоси, В реальных приложениях интегралов (1), (2) параметр п обычно невелик (не более 4), поэтому основную роль играет х. Мы предлагаем применять (4) при х > 4. Если х < 4, то выгоднее использовать (5), при этом в силу соотношения

I(p+l,z) = ^-у[1 - I(p,z)\

достаточно ограничиться областью — 1 < р < 0,

Таким образом, вычисление интегралов (1), (2) сводится к вычислению гипергеометрических функций F(a-,c-,z), U(a;c-,z). В расчетах на ЭВМ их нахождение удобно осуществлять с помощью соответствующих процедур. Чаще всего используются конечно-разностные методы, когда F, U рассматриваются как начальные значения минимальных решений {fn} соответствующих разностных уравнений вида

Уп+1 Т О'пУп Т Ъпуп—1 — 0, Ьп Ф 0 Vra 1, (6)

Тогда при наличии дополнительного соотношения

я>0

(7)

20

С.Д. Симонженков. О некоторых интегралах...

/о (а следовательно, и искомая функция) может быть найдено устойчивой обратной рекурсией на основе, например, алгоритма Миллера, Поэтому приведем соответствующие коэффициенты в (6) и (7),

Пусть a,c,z - комплексные числа, причем а,с Ф 0,-1,—2Ф 0, Последовательность

fn = -—Z}, [a^nF(a + n;c + n; z), n > 0 nl(c)n

образует минимальное решение уравнения (6) с коэффициентами

п + с — 1 — г z(n + 0 — 1)

ап = ГД , bn = / ,

п + 1 пуп + 1)

при этом в (7) сп = S = 1, Здесь, как и ниже, (о)„ означает символ Похгаммера, Пусть теперь

о,о + 1 — с Ф 0, —1, —2,z Ф 0, | arg z\ < 7Г. Тогда последовательность

fn = za(a)n(a + 1 - c)nU(a + щ с; z)/n\

является минимальным решением уравнения (6) с коэффициентами

2n + 2о — c+z п — 1 + о п + о — с

Оп = -----

п + 1

п

п + 1

равенство (7) имеет место при сп = S = 1,

В качестве примера рассмотрим вычисление интегралов

„ , 7Г ,1 1 5 10 5 „

А2(р, -t ), р - ±~, t - -, 1, -, —, -, 2.

В целях контроля используются равенства

Ао

1 7Г о

—, ~t2

ntf(t),

л /1 71" О \

A9(-,-t2)

xt3g(t),

(8)

где

fit)

о - S(t)

7Г о COS —Г

О - C(t)

• 7Г 9 sin —t

s (t)

^ - C(i)

7Г о

COS -Г +

^ - s(t)

. 7Г 9

sin — t

- вспомогательные функции для вычисления интегрального косинуса и синуса C(t), S(t). Функции f(t), g(t) затабулированы, их значения брались из таблицы 7,8 справочника [7]. Результаты вычислений согласно (3)-(5) приведены ниже.

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

21

t /j* тг ^2 А2(~ЬХ) Л2(|,т)

1/2 0,39269908 0,62707 0,21422

1 1,5707963 0,87931 0,60936

5/4 2,4543692 0,93027 0,77335

10/7 3,2057067 0,95209 0,81124

5/3 4,3633230 0,97020 0,87434

2 6,2831854 0,98385 0,92744

Значения гипергеометрических функций в (4),(5) вычислялись по алгоритму Миллера в нелинейной версии Гаучи с погрешностью К) Результаты, представленные в таблице, совпадают в пределах такой точности с контрольными согласно (8),

В заключение несколько замечаний по поводу используемых фактов. Равенство (4) — это следствие из интегрального представления для функции Г: см,, например, [7], 13,2,5, Равенство (5) вытекает из (4), связи между функциями /•’ и I и того факта, что /•’('/: <г. ; ) = ez. О методах вычисления специальных функций на основе линейных рекуррентных соотношений см, [6, гл.12].

Литература

1. Dingle R., Doreen A., Rov К. The integrals

ОО ОО

Ар(х) = (р!)-1 J ер(е + x)~le~e de, Вр = (р!)-1 J ер(е + ж)-2е-е de о о

and their tabulation // Appl. Sci. Res. 1956. V.6. №4. P.144-153.

2. Dingle R., Doreen A., Roy K. The integrals

OO OO

Cp(x) = (p!)-1 J ep(e2 + ж2)-1е-е de, Dp(x) = (p!)-1 J ep(e2 + ж2)-2е-е de о о

and their tabulation j / Appl. Sci. Res. 1956. V.6. №4. P.155-161.

3. Dingle R., Doreen A., Roy K. The integrals

OO OO

Ep(x) = (p!)-1 J ep(l + x£A)^leE£ de, Fp(x) = (p!)-1 J ep(l + же3)-2е-£ de о о

and their tabulation // Appl. Sci. Res. 1956. V.6. №4. P.245-252.

4. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

5. Gautschi W. Recursive computation of certain integrals 111. Asoc. Comput. Mach. 1961. V.8. P.21-40.

6. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. 608 с.

7. Справочник по специальным, функциям / Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.