CC BY
5
Доказательство теоремы 2. Из теоремы 1 вытекает, что если нормальная связность V1 плоская, то R(X,Y)Z= g^^У), т.е. М локально
есть пространство постоянной кривизны -1. Обратно, если М есть пространство
р
постоянной кривизны Р., то «ОД^П^И). Пусть X, 1=1,...,п - базис
ТрМ. Тогда 01=0X1, т-базис Тр. Имеем ^р(Х1,Х|)0к,Пт>=0. В силу (4)
[ЛТ,Ла]=0, т.е. R1=0, нормальная связность V1 - плоская. В силу симметричности построения получаем утверждение теоремы.
Библиографический список.
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.:Наука, 1987. Т.2. 414с.
M. A. C h e s h k o v a TO GEOMETRY N-SURFACES IN A EUCLIDEAN SPACE E2n+1
In a Euclidean space E2n+1 are considered two smooth n-Surfaces M, М and diffeomorphism f:M^ М. Case, when tangents n-planes in is investigated appropriate points peM, f(p)eМ are orthogonal, pf(p) normal to M and normal toМ, and | pf(p) |=const. We shall name such transformation f as transformation B.
Theorem. If f there is the transformatiom B, the following two statements are equivalent: 1) surfaces M, М have of plane normal connection; 2) M, М locally there is the space of constant curvature -7.
УДК 514.75
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КОНГРУЭНЦИЙ ЛИНЕЙЧАТЫХ КВАДРИК С ФОКАЛЬНЫМ ТЕТРАЭДРОМ
С. В. Ш м е л е в а
(Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота)
В трехмерном проективном пространстве Рз исследован класс Т конгруэн-ций невырожденных линейчатых квадрик Q, четыре фокальные точки Ао, А1, А2, Аз, которых образуют автополярный тетраэдр третьего рода квадрики Q [1, с.
268], в котором Ао Ai, Аз Ai (i = 1,2) — прямолинейные образующие, причем Ао — фокальная точка второго порядка [2], а фокальная поверхность (Аз) вырождается в линию. Доказано, что фокальные поверхности (Ао), (А1), (А2) являются одной и той же квадрикой, а фокальные поверхности прямолинейной конгруэнции (Ао Аз) вырождаются в линии, касательные к которым проходят через фокусы F1 и F2 луча А1 А2 прямолинейной конгруэнции (А1 А2), один из которых также описывает линию.
1. Отнесем конгруэнцию Т к реперу { Ао, А1, А2, Аз}. Тогда уравнение квадрики Q приводится к виду:
x1x2 - x°x3 = о (1.1)
Теорема 1.1.Конгруэнции Т существуют и определяются с произволом двух функций двух аргументов.
Доказательство. Из определения конгруэнции Т следует, что она входит в класс конгруэнций N [3]. Учитывая в уравнениях (1) работы [3] геометрические характеристики конгруэнции Т, приводим ее замкнутую систему дифференциальных уравнений к виду:
Гю3о= о, юоз= о, о, ®3i= ю", юо - ю"з = Хю", \ Юз= rai + ю", юоо + юзз = о, ю11 + ю22 = о, 2ю11 = аф1 + ю2), (1.2) [2юоо = РС®1 + ю2) + аю2, dX + 2Хюоо = о,
ida л (ю1 + ю2) + (а2 + 2X + 4 ) ю1 л ю2 = о, (1.3)
Ida л ю2 + dp л (ю1 + ю2) + аРю1 л ю2 = о.
Здесь и в дальнейшем юi = ю^м, j, k = 1,2; i Ф j и по индексам i, j суммирование не производится. Имеем: q = 2, S1 = 2, S2 = о, Q = N = 2. Следовательно, система (1.2), (1.3) — в инволюции и определяет конгруэнции Т с произволом двух функций одного аргумента.
Так как конгруэнция квадрик — это двумерное многообразие, то система структурных форм
{юзо, юоз, ю^ - ю", юо - ю"з, ®"i, юоо - ю11 - ю22 + юзз} (1.4) квадрики Q имеет ранг два. Из (1.2) следует, что это условие для конгруэнции Т равносильно неравенству
X Ф о. (1.5)
2. Фокальное многообразие квадрики Q е T определяется системой уравнений [4,c.55,56]:
x1x2 - xV = о, x2x3 = о, x1x3 = о. (2.1)
Следовательно, оно состоит из пары прямолинейных образующих АоА1, АоА2 квадрики Q и точки Аз.
Теорема 2.1.Фокальные поверхности (Ао), (А1), (А2), конгруэнции Т являются одной и той же квадрикой.
Доказательство. Рассмотрим квадрику
Фх з 2x1x2 - 2x0x3 + X (x3)2 = о (2.2)
Используя формулы
d xa = - хвюра, dX = -2W (a, P = 0, 1, 2, 3), (2.3)
находим: dФx = 0. Следовательно, квадрика (2.2) — инвариантная. Так как точки Ао, Ai, А2 принадлежат этой квадрике, то фокальные поверхности (Ао), (А1), (А2) совпадают с ней.
Теорема 2.2.Торсы прямолинейных конгруэнций (А0А3) и (А1А2) соответствуют. Фокусы луча А1А2 гармонически делят точки Ai и А2. Одна фокальная поверхность прямолинейной конгруэнции (А1А2) вырождается в линию.
Доказательство. Торсы прямолинейных конгруэнций (А0А3) и (А1А2) определяются одним и тем же уравнением:
(ю1) 2 - (ю2) 2 = 0 (2.5)
Обозначим:
Fi = Ai+ А2, F2_= Ai -_A2, _ (2.6)
N1= (2 + X) A0 + A3, N2= X A0 + A3. (2.7)
Из (1.2) следует:
d Fi = (ю1 + ю2) V2 a F2 + Ni, _ (2.8)
d F2 = (ю2 - ю1) N2 + 1/2 a(ю1 + ю2) Fi. (2.9)
Из (2.8) следует, что точки Fi и F2 являются фокусами луча Ai A2 и что поверхность (Fi) вырождается в линию.
Теорема 2.3. Фокальные поверхности прямолинейной конгруэнции (A0A3) вырождаются в линии, касательные к которым пересекают луч A1A2 в его фокусах Fi и F2.
Доказательство. Из (1.2) следует, что точка A3, описывающая линию, и точка
M = 2 A0 - A3 (2.10)
являются фокусами луча A0A3. Так как
d A3 = (ю1 + ю2) (F1 - 1/2 р A3), (2.11)
d M = 1/2 р(ю1 + ю2) M + (ю1 - ю2) F2, (2.12)
то поверхность (М) является линией, причем касательная к линии (A3) проходит через фокус Fi, а касательная к линии (М) — через фокус F2.
Теорема 2.4.Плоскость, определяемая лучом A1A2 и касательной к линии (Fi), пересекает луч A0A3 в точке Ni, а касательная плоскость к фокальной поверхности (F2) пересекает луч A0A3 в точке Ni.
Доказательство. Из (2.8) следует, что N1 е [ Ai, A2, 1/2 F2 + Ni ], N2 е [ Fi, F2, N2 ].
2
Имеем: X =........................................................(2.13)
(A3 A0; N1N2) - 1,
причем знаменатель дроби отличен от нуля, так как при (A3A0; N1N2) = const система (1.2), (1.3) несовместна.
Библиографический список
1. Щербаков Р.Н., Малаховский В.С. Краткий курс аналитической геометрии. Томск, 1964. 382 с.
2. Малаховская С.В. Конгруэнции линейчатых квадрик с невырождающими-ся фокальными многообразиями высших порядков // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1982. Вып. 13. С. 60 - 64.
3. Шмелева С.В. Об одном классе конгруэнций квадрик в Рз с четырехкратной фокальной поверхностью // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1991. Вып. 22. С. 127 - 132.
4. Малаховский В.С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Калининград, 1986. 72 с.
S. V. S h m e l e v a
ON ONE CLASS OF CONGRUENCES OF RULED QUADRICS WITH A FOCAL TETRAHEDRON
A class T of congruences of nondegenerated ruled quadrics Q whose four focal points Ao, Ai, A2, A3 form self-polar tetrahedron of a third genus of a quadric Q in which AoAi, A3Ai (i=1,2) are rectilinear generatrixes, where Ao is a point of the second order and a focal surface (A3) degenerated into a line is investigated in a three- dimensional projective space P3. It is proved, that focal surfaces (Ao), (Ai), (A2) are one and the same quadric and focal surfaces of a rectilinear congruence (A0A3) are degenerated into lines, whose tangents passes through focuses Fi and F2 of a ray A1A2 of a rectilinear congruence (A1A2) one of which describes a line as well.
УДК 514.75
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КОНГРУЭНЦИЙ ОСНАЩЕННЫХ КОНИК В A3
Е.А. Щ е р б а к
(Калининградский государственный университет)
Продолжаются исследования [1] конгруэнций К оснащенных коник F = {Fi, F2}, где F1— центральная коника, а F2 — точка, неинцидентная плоскости коники Fi. Получены новые геометрические свойства конгруэнций К, в том числе необходимое и достаточное условие того, что точка А — фокус луча [A, ea ] конгруэнции (A, ea ) (a = 1, 2, 3).
