Об одном интегральном признаке сходимости процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Заметим, что решения системы (5) , lk2 будут неотрицательны только если xkl ^ Z ^ . Решением системы (5) являются числа lki = (xk2 — Z)/(xk2 — -Xki), lk2 = (Z — Xki)/(xk2 — Xki), при этом Gs'C(u*) = (xk2 — Z)(Z — Xki).

Так как Xk < Z < Xk+i, то minsGs G^ = (xk+i — Z)(Z — Xk). Теорема доказана.

Следствие.Пусть Inf = (f (x1),... , f (xn)) и Z G [0,1] таково, что для некоторого 1 ^ k ^ n — 1 будет xk < Z < xk+1. Пусть множество F С С C[0,1] таково, что С F. Тогда

e(F,/n,R+) > 1(xk+i — Z)(Z — Xk).

Обозначим Wm[0,1] := {f : f(m—1) - абс. непр. на [0,1], ||f(т)||с[0Д] < < 1}. Так как P2 С [0,1], то e(W£[0,1],/n,R+) > \(xk+1 — Z)(Z — Xk).

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проекты № 07-01-00167-a и № 06-01-00003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Optimal estimation in approximation theory. Ch. A survey of optimal recovery. N.Y.: Plenum Press, 1977. P. 1-54.

2. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lectures Notes in Mathematics. Ch. Lectures on optimal recovery. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 21-93.

3. Трауб Дж., Вожьняковский Х. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1983.

4. Дудов С. И., Сидоров С. П. Курс математической экономики. Ч. 1. Финансовая математика, оптимизация и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002.

УДК 517.51

Л.Ю. Трынин

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРИЗНАКЕ СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА - ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ

Пусть У = {уп}П=1 _ система непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций. Причем, каково бы ни было п £ N, функция уп имеет на [а, Ь] ровно п простых нулей а < ж1;П < х2,п < ... < жп,п < Ь. Для любого натурального п и любой функции /, определённой на [а, Ь], положим

n

yn(x)

¿П(/,х) = ^ у (Хкп)(Х - Хкп) / = X) 1 М(х)/(1)

В качестве системы У возьмем последовательность собственных функций ип задачи Штурма - Лиувилля на [0,п] с непрерывным потенциалом ограниченной вариации и краевыми условиями третьего рода, из которых

удалены условия первого рода. Определение этой системы и используемые в доказательстве асимптотические формулы можно найти в [1-3]. Приведем модификацию признака Дини для тригонометрических рядов Фурье, гарантирующую сходимость в точке интервала (0,п) интерполяционного процесса (1) Лагранжа - Штурма - Лиувилля для функции, интегрируемой по Рима-ну на [0, п].

Лемма 1 ([1, с. 6]). Существует константа С1, зависящая только от вида краевых условий и непрерывного потенциала д ограниченной вариации задачи Штурма - Лиувилля такая, что для всех х £ [0,п] и 1 < к < п, п £ N фундаментальные функции Лагранжа - Штурма - Лиувилля удовлетворяют неравенству

кп(х) =

Пп(х)

ип(хк,п)(х хк,п)

< Съ

Лемма 2 ([1, с. 11]). Пусть / £ С[0,п], тогда всюду на интервале (0,п)

1 п~1 1 1

Ь%1(/,х) - /(х) = ^ /(Хк+1,п) - /(хм)) ¿£(х) + ) + -5^).

к=1

Причем константа равномерности в О-символике Ландау не зависит от х на любом компакте, содержащемся в (0,п).

Теорема. Пусть Н и Н - произвольные действительные числа в краевых условиях задачи Штурма - Лиувилля, д - непрерывный потенциал ограниченной вариации, функция / интергрируема в смысле Римана на [0,п], точка х0 £ (0,п) и функция ^Хо(х), мажорирующая функцию

^(Жд1-Х<0Жо) , монотонно возрастает при х < х0 и убывает при х > х0. Тогда если для некоторого а (0 < а < п) 0 суммируема в а-окрестности точки х0, то есть

Хо+а

J (£хо(x)dx < ж, (2)

Х0-а

то интерполяционный процесс (1) Лагранжа - Штурма - Лиувилля сходится к значению функции / в точке х0.

Доказательство. Возьмем произвольное положительное е. Из (2) следует непрерывность функции / в точке х0 и существование такого положительного 6, для которого имеет место неравенство

х<+5

J ^хо (х^х< 2^ (3)

хо-б

где M = sup | un(x) x G [0,п], n G N при выбранной нормировке собственных функций, как в [2] или [1]. Индекс p определим из неравенств xp,n < x0 < xp+1,n, n = 1, 2,3,.... Из непрерывности f в точке x0, леммы 1 и асимптотических формул (полученных в [1])

xk,n

2k 1 1 , 2k 1Ч , оч

-п + ^в(^-) + O(n ),

2n

n2 2n

(4)

где

в(x) = —cx + h + 1 f q(r)dr,

11

c = -(h + H + - q(T)dT), п 2 J

0

находим номер n1, начиная с которого выполняется неравенство

Р+1

£ f (Xk,n) — f (xoH lSL(x)

k=p—1

<

< 3C1^xJf, max | Xk,n — xo |) < £

k=1—p,p,p+1

(5)

В силу ограниченности интегрируемой в смысле Римана функции f и того,

что

'yjlfL(xo)

k=1

|Un(xo )|

n

Е

k=1

xk , n x0 I

= O(n—1)

(доказательство этой асимтотической формулы содержится в [1]), найдутся С2 > 0 и номер п2 > п1 такие, что для всех п > п2

Eif (xk, n) — f (x0) lf,f;(x0)

k=1

|Un(x0)| v^ |f (xk,n) — f (x0)|

n

E

k=1

| xk, n— — X0|

< £.

(6)

В силу (4) найдем номер п3 > п2, начиная с которого выполняется соотношение шт (жк+1,п — жк,п) > 2П. Тогда из (3), (5), (6) получим, что

к=1,п—1

<

£ (f (Xk,n) — f Ы^Ы

k:xk,nGOs (xo)

p—2 l

<£ If (Xk,n) — f (x0)||lfn(x0 )| + £ If (Xk,n) — f (x0)||lfn(x0)| + £

k=m k=p+2

x

n

1

(здесь I и т - номера наибольшего и наименьшего из узлов, попадающих в окрестность Об(х0)). Далее продолжим оценку таким образом:

X) 1 (хк,п) - 1 Ы^Ы

к:хй,„еОй (хо)

2М Г Р-2

<

/

< ^х о (хк,п)(хк+1,п - хк,п) + ^ ^хо (хк,п)(хк,п - хк-1,п) ? + 2е.

^ к=т к=р+2 ^

По условию теоремы функция о (х) возрастает при х < х0 и убывает при х > х0. Тогда в силу (4) и выбора индекса р имеем

х0+б

Е (/(хк,п) - /Ы)СпЫ

к:хй,„еОй (х о)

< ^ I ^х о (х^х + 2е.

х о-б

Теперь из (3), леммы 2 и принципа локализации для процессов Лагран-жа - Штурма - Лиувилля [4] найдём п3 > п2 такое, что для всех п > п3

ЬЩ (/,х) - /(х)| =

X] (/(хк,п) - /Ы^пЫ

к:хй,„еОй (х о)

+

+

<

X] (/(хк,п - /(хо))1&,п(хо) + е <

к:хй,„е[0,п]\0й (хо)

X) (/(хк,п - /Ы)СЫ +2е <

к:хй,„еОй (х о)

<

2М

х о+б

п

о (x)dx + 4е < 5е.

х -б

Теорема доказана.

Заметим, что без модификации (2) условие классического признака Дини сходимость процессов (1) не гарантирует.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00167-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трынин А.Ю. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа -Штурма - Лиувилля. Саратов, 1991. 32 с. Деп. В ВИНИТИ 26.04.91, №1763-В91.

2. Левитан Б.М. Саргсян И.С. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака. М.: Наука. 1988

3. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.

4. Трынин А.Ю. Принцип локализации для процессов Лагранжа - Штурма - Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 137-140