CC BY
17
Заметим, что решения системы (5) , lk2 будут неотрицательны только если xkl ^ Z ^ . Решением системы (5) являются числа lki = (xk2 — Z)/(xk2 — -Xki), lk2 = (Z — Xki)/(xk2 — Xki), при этом Gs'C(u*) = (xk2 — Z)(Z — Xki).
Так как Xk < Z < Xk+i, то minsGs G^ = (xk+i — Z)(Z — Xk). Теорема доказана.
Следствие.Пусть Inf = (f (x1),... , f (xn)) и Z G [0,1] таково, что для некоторого 1 ^ k ^ n — 1 будет xk < Z < xk+1. Пусть множество F С С C[0,1] таково, что С F. Тогда
e(F,/n,R+) > 1(xk+i — Z)(Z — Xk).
Обозначим Wm[0,1] := {f : f(m—1) - абс. непр. на [0,1], ||f(т)||с[0Д] < < 1}. Так как P2 С [0,1], то e(W£[0,1],/n,R+) > \(xk+1 — Z)(Z — Xk).
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проекты № 07-01-00167-a и № 06-01-00003).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Optimal estimation in approximation theory. Ch. A survey of optimal recovery. N.Y.: Plenum Press, 1977. P. 1-54.
2. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lectures Notes in Mathematics. Ch. Lectures on optimal recovery. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 21-93.
3. Трауб Дж., Вожьняковский Х. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1983.
4. Дудов С. И., Сидоров С. П. Курс математической экономики. Ч. 1. Финансовая математика, оптимизация и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002.
УДК 517.51
Л.Ю. Трынин
ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРИЗНАКЕ СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА - ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Пусть У = {уп}П=1 _ система непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций. Причем, каково бы ни было п £ N, функция уп имеет на [а, Ь] ровно п простых нулей а < ж1;П < х2,п < ... < жп,п < Ь. Для любого натурального п и любой функции /, определённой на [а, Ь], положим
n
yn(x)
¿П(/,х) = ^ у (Хкп)(Х - Хкп) / = X) 1 М(х)/(1)
В качестве системы У возьмем последовательность собственных функций ип задачи Штурма - Лиувилля на [0,п] с непрерывным потенциалом ограниченной вариации и краевыми условиями третьего рода, из которых
удалены условия первого рода. Определение этой системы и используемые в доказательстве асимптотические формулы можно найти в [1-3]. Приведем модификацию признака Дини для тригонометрических рядов Фурье, гарантирующую сходимость в точке интервала (0,п) интерполяционного процесса (1) Лагранжа - Штурма - Лиувилля для функции, интегрируемой по Рима-ну на [0, п].
Лемма 1 ([1, с. 6]). Существует константа С1, зависящая только от вида краевых условий и непрерывного потенциала д ограниченной вариации задачи Штурма - Лиувилля такая, что для всех х £ [0,п] и 1 < к < п, п £ N фундаментальные функции Лагранжа - Штурма - Лиувилля удовлетворяют неравенству
кп(х) =
Пп(х)
ип(хк,п)(х хк,п)
< Съ
Лемма 2 ([1, с. 11]). Пусть / £ С[0,п], тогда всюду на интервале (0,п)
1 п~1 1 1
Ь%1(/,х) - /(х) = ^ /(Хк+1,п) - /(хм)) ¿£(х) + ) + -5^).
к=1
Причем константа равномерности в О-символике Ландау не зависит от х на любом компакте, содержащемся в (0,п).
Теорема. Пусть Н и Н - произвольные действительные числа в краевых условиях задачи Штурма - Лиувилля, д - непрерывный потенциал ограниченной вариации, функция / интергрируема в смысле Римана на [0,п], точка х0 £ (0,п) и функция ^Хо(х), мажорирующая функцию
^(Жд1-Х<0Жо) , монотонно возрастает при х < х0 и убывает при х > х0. Тогда если для некоторого а (0 < а < п) 0 суммируема в а-окрестности точки х0, то есть
Хо+а
J (£хо(x)dx < ж, (2)
Х0-а
то интерполяционный процесс (1) Лагранжа - Штурма - Лиувилля сходится к значению функции / в точке х0.
Доказательство. Возьмем произвольное положительное е. Из (2) следует непрерывность функции / в точке х0 и существование такого положительного 6, для которого имеет место неравенство
х<+5
J ^хо (х^х< 2^ (3)
хо-б
где M = sup | un(x) x G [0,п], n G N при выбранной нормировке собственных функций, как в [2] или [1]. Индекс p определим из неравенств xp,n < x0 < xp+1,n, n = 1, 2,3,.... Из непрерывности f в точке x0, леммы 1 и асимптотических формул (полученных в [1])
xk,n
2k 1 1 , 2k 1Ч , оч
-п + ^в(^-) + O(n ),
2n
n2 2n
(4)
где
в(x) = —cx + h + 1 f q(r)dr,
11
c = -(h + H + - q(T)dT), п 2 J
0
находим номер n1, начиная с которого выполняется неравенство
Р+1
£ f (Xk,n) — f (xoH lSL(x)
k=p—1
<
< 3C1^xJf, max | Xk,n — xo |) < £
k=1—p,p,p+1
(5)
В силу ограниченности интегрируемой в смысле Римана функции f и того,
что
'yjlfL(xo)
k=1
|Un(xo )|
n
Е
k=1
xk , n x0 I
= O(n—1)
(доказательство этой асимтотической формулы содержится в [1]), найдутся С2 > 0 и номер п2 > п1 такие, что для всех п > п2
Eif (xk, n) — f (x0) lf,f;(x0)
k=1
|Un(x0)| v^ |f (xk,n) — f (x0)|
n
E
k=1
| xk, n— — X0|
< £.
(6)
В силу (4) найдем номер п3 > п2, начиная с которого выполняется соотношение шт (жк+1,п — жк,п) > 2П. Тогда из (3), (5), (6) получим, что
к=1,п—1
<
£ (f (Xk,n) — f Ы^Ы
k:xk,nGOs (xo)
p—2 l
<£ If (Xk,n) — f (x0)||lfn(x0 )| + £ If (Xk,n) — f (x0)||lfn(x0)| + £
k=m k=p+2
x
n
1
(здесь I и т - номера наибольшего и наименьшего из узлов, попадающих в окрестность Об(х0)). Далее продолжим оценку таким образом:
X) 1 (хк,п) - 1 Ы^Ы
к:хй,„еОй (хо)
2М Г Р-2
<
/
< ^х о (хк,п)(хк+1,п - хк,п) + ^ ^хо (хк,п)(хк,п - хк-1,п) ? + 2е.
^ к=т к=р+2 ^
По условию теоремы функция о (х) возрастает при х < х0 и убывает при х > х0. Тогда в силу (4) и выбора индекса р имеем
х0+б
Е (/(хк,п) - /Ы)СпЫ
к:хй,„еОй (х о)
< ^ I ^х о (х^х + 2е.
х о-б
Теперь из (3), леммы 2 и принципа локализации для процессов Лагран-жа - Штурма - Лиувилля [4] найдём п3 > п2 такое, что для всех п > п3
ЬЩ (/,х) - /(х)| =
X] (/(хк,п) - /Ы^пЫ
к:хй,„еОй (х о)
+
+
<
X] (/(хк,п - /(хо))1&,п(хо) + е <
к:хй,„е[0,п]\0й (хо)
X) (/(хк,п - /Ы)СЫ +2е <
к:хй,„еОй (х о)
<
2М
х о+б
п
о (x)dx + 4е < 5е.
х -б
Теорема доказана.
Заметим, что без модификации (2) условие классического признака Дини сходимость процессов (1) не гарантирует.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00167-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трынин А.Ю. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа -Штурма - Лиувилля. Саратов, 1991. 32 с. Деп. В ВИНИТИ 26.04.91, №1763-В91.
2. Левитан Б.М. Саргсян И.С. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака. М.: Наука. 1988
3. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.
4. Трынин А.Ю. Принцип локализации для процессов Лагранжа - Штурма - Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 137-140
