Принцип локализации для процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Ю. Трынин

УДК 517.51

ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА - ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ*

Пусть у{хД„)~ собственная функция задачи Штурма - Лиувилля у"+(Х-д(х)) = О,

Щу) = у\0)-Иу(0) = 0, (1)

У(у) = у\к) + Ну{к) = 0

с потенциалом ц ограниченной вариации на [0, тс], соответствующая собственному значению Х„. А хк п - к-й нуль (после нумерации в порядке возрастания) этой собственной функции, попадающий в отрезок [0, ти]. Назовём интерполяционным процессом Лагранжа - Штурма - Лиувилля последовательность линейных операторов, определённых на некотором классе Р функций /, заданных на отрезке [0, л]

Будем говорить, что для интерполяционного процесса (2) на классе функций Р в точке х0е[0,7г] имеет место принцип локализации, если для любых функций / и g, принадлежащих Р таких, что в некоторой окрестности Ой(х0) точки х0 /(х) = ,§-(х) следует

11т {£я(/>*о) - 1п(8>хо)} =

п—>00

ТЕОРЕМА. В любой точке х0е[0,я] на классе интегрируемых в смысле Римана на [0, л] функций для интерполяционного процесса Лагранжа - Штурма - Лиувилля (2) имеет место принцип локализации.

Рассмотрим случай |/г|<°о, |//|<ао. Для доказательства теоремы нам потребуется вспомогательное утверждение, доказательство которого можно найти в [1, с. 318 -326]. Вместе с И. А. Егоровой будем называть групповым интервалом I объединение конечного числа отрезков, содержащихся в [А,В\ таких, что соответствующие им интервалы не пересекаются. Пусть {хк л=] - произвольная система точек в отрезке [А,В]: А < х, < х2 „<■■■< хп п < В. Каждому хк п поставим в соответствие действительное число Ак п.

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).

137

ЛЕММА 1 Егоровой. Пусть функция / интегрируема в смысле Римана на [А,В], х0е[А,В] и 05(х0) = (А'о-Ь,х0 + 5)п[Л,£]. Для того чтобы

lim = (3)

необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты Ак „ удовлетворяли условиям:

1. lim ^Ак „ - 0, где [а,Ъ\ - произвольный отрезок, содержащийся

Wj

в M,5]\O8(jc0);

2. max

"eN к:хк „е[А,ВУ<Оь(х0)

3. Для любой последовательности групповых сегментов таких,

что [Л,й]\О8(х0)з/, => I2 zd... zd I j ZD..., ml j — >ao >0

lim lim | = 0.

Кроме леммы Егоровой нам потребуется ряд хорошо известных асимптотических формул, доказательство которых в случае более жёстких требований на потенциал q можно найти, например, в [2 - 4]. С помощью более громоздкого доказательства несложно проверяется, что эти асимптотические формулы сохраняют свой вид при указанных для (1) требованиях на q.

JIEMMA 2. Пусть у(х,Лп), Лпи хк „ определены как в (1). Тогда имеют место следующие асимптотические формулы:

у(х,Х„) = cos(rac) + ^sin(wc) + 0(п~2), (4)

УК„Д„) = (-1)^ + 0(«-,)> (5)

Л/^ = « + 0(и-1), (6)

»M-^' + ^+oi»"3). (?)

л п

где ß(x) = + Н + j jq(t)dt)x + h + ^ jq(t)dt, а оценка остаточного чле-

о о

на равномерна по хе [0,л].

Доказательство теоремы. Пусть х0е[0,л]. Тогда любая собственная функция задачи (1) имеет ровно п простых нулей Q<xin<x2n<...<xnn<ii. Зафиксируем любое положительное 5 и возьмём произвольную интегрируемую по Риману на [0, л] функцию, равную нулю при любом х е О8(х0).

В силу леммы Егоровой для того, чтобы

HmZ„(/,x0)=lim V y^TluL )/(**,») = <>, (8)

необходимо и достаточно, чтобы для 1к „(х0) выполнялись условия:

1. lim п(х= гДе t*3'^] — произвольный отрезок, содержа-

щийся в [0,7г]\05(х0);

2. шах <оо;

не Л'

e[0,7i]\05(x0)

3. Для любой последовательности групповых сегментов {Iтаких.

что [А,В] \ О5(х0)з тэ12 3...Z3/- з..., ml,

J ""' У lim lim Sl'*.«(*o)l = 0-

->0,

В силу (4) - (7) и формулы конечных приращений Лагранжа

l*=i " !

i-jr

х~хк,п\

У(ХЛ„) (-1)* I п V 1/(*мА„)-(-1)*и

к = 1 х~хк,п (-\)к пу\хк „,Х„)

| = 0(«-'). (9)

Поэтому

Т.!к,п(Х о) п

k\xt „е[а,Ь]

kxk „e[a,b\

(-1)' *0 ~xk,n

+ 0(nl).

(10)

Пусть для определённости х0 лежит слева от отрезка [а,Ь\, тогда 0 < х0 <х0+5<а<Ь<п. Обозначим через хко<п узел, ближайший справа к х0, а через хк] „ и хк^п — наименьший и наибольший из узлов, попадающих в отрезок [а,Ь]. В силу (7) можно выбрать п, е N таким образом, чтобы для всех п > выполнялись неравенства к\ - к0 > п\ > 2,

■!;-(о.-гг) < л _ Положим х0 п =0. В силу выбора узла хк() имеем

, +0(п~})

представление х0 = хко„ - а(хко п - хко_1п), где 0<сх<1. Отсюда и из (7)

для любого к:1<к<п получаем хк п - х0 = — (к - к0 + а + 0(п~1)).

п

После выбора нормировки собственных функций задачи (1) таким образом, чтобы выполнялись соотношения (4), обозначим через

М - вир{| д>(хДл)|: х е [0, л],и е М}. Возьмём произвольное положительное е . Для достаточно больших п> п2> гц таких, что

1-Ц *2-*0 + I / Г5 1 'та 2 871

^ / ГАЛ1 1 1(1-2) 2М'

IV]

имеем оценку

I

(-1)*

к1

^ (-1)* 1с кп

Ь'Хк.п^оМ *2

+1

к=к]

х0 ~хк,п

а + 0(п~х)

1=к, -*„ 1

~к0){к~ к0+ а-

к2-к0 2

+ У

Ык| -к0 1(1- 2)

-} < е/2.

Отсюда, (9) и (10) получаем, что первое условие леммы 1 Егоровой выполняется.

Рассуждая так же как при оценке сверху функций Лебега процесса (2) (см., например, [5]), убеждаемся в верности неравенства

X1^,»Сжо>1 ^СтевСа,6], где [а,Ъ] е [0, л] \ О&(х0).

к'.хь п е[а,Ь]

Откуда следует справедливость второго и третьего условий леммы 1 Егоровой, а значит, и (8). Теорема доказана.

Замечание. Используя соответствующие асимптотические формулы, аналогично устанавливается принцип локализации в случае Щ = оо или

\Н\ = оо.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Егорова И. А. О принципе локализации в теории интерполирования //Учён, зап. Ленинград, пед. ин-та. 1949. Вып. 86. С. 317 - 335.

2. Левитан Б. М., Сргсян И. С. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака. М.,

1988.

3. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1953. Т. 1,2.

4. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов, 2001.

5. Трыпин А. Ю. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Ла-гранжа - Штурма - Лиувилля. Саратов, 1991. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 26.04.91, № 1763 -В91.