Оптимальная линейная интерполяция с условием на алгоритм Текст научной статьи по специальности «Математика»

а) 0 < а < min{1,1}, 0 < т < при т = 1 должно быть b0 = ±1;

б) |bo|2 < т в случае 1 < а < ^, т > 1;

k

в) |bo|2 Y1 < т 6 случае, если при некотором натуральном k выпол-

s=0

няются неравенства j+l < а < min {1, f+r}, т > k.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-0100003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

2. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. С. 190-229.

3. Рыхлов В.С. О полноте собственных функций квадратичных пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 1992. Т. 36, № 3. C. 35-44.

4. Рыхлов В.С. О свойствах собственных функций обыкновенного дифференциального квадратичного пучка второго порядка // Интегральные преобразования и специальные функции. Инф. бюл. М.: Науч.-исслед. гр. междунар. журн. "Integral Transforms and Special Functions'^ ВЦ РАН, 2001. Т. 2, № 1. С. 85-103.

5. Rykhlov V.S. О полноте собственных функций пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol. 2001. Vol. 11. P. 86-93.

6. Rykhlov V.S. On completeness of eigenfunctions for pencils of differential operators // Spectral and Evolutionary Problems: Proceedings of the Seventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol. 1997. Vol. 7. P. 70-73.

УДК 517.518.85

С.П. Сидоров

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ С УСЛОВИЕМ НА АЛГОРИТМ

В последнее время к задачам оптимального восстановления функционалов привлечено повышенное внимание. Достаточно подробный обзор по этой проблематике можно найти в статьях [1, 2], а также в книге [3].

В связи с ростом внимания к формосохраняющему приближению представляет интерес задача оптимальной интерполяции с использованием алгоритмов, которые обладают рядом дополнительных свойств.

Для f Е C [0,1] положим Inf = (f (x\),..., f (xn)), где 0 ^ x\ < x2 < < ... < xn ^ 1.

Пусть V- некоторый конус в Rn. Обозначим An (V) класс всех линейных алгоритмов A : Rn ^ R, удовлетворяющих условию: A(y) ^ 0 для всякого У Е V.

Определим относительную погрешность e(W, In, V) задачи условной линейной интерполяции на классе действительнозначных на [0,1] функций W на основе информации Inf с ограничением V следующим образом:

e(W, /п, V) := inf sup |Uf - A(/nf)|.

AeA„(V) /gW

Обозначим er(x) = xr, r = 0,1,..и положим

P ] f = S ör er : flic I0'1! ^ 1 Г •

I r=0 J

В настоящей статье оценивается относительная погрешность задачи е(Р2, V) с ограничением

V = Я+ := {1 =(4)П=1 е Я" : 1* ^ о, к = 1,... ,п} .

Для а = (а*)П=1,Ь = (6*)П=1 е Яп обозначим (а, 6) = ^П=1 а*6*. Теорема. Пусть /п/ = (/(ж1),...,/(хп)) и С е [0,1] таково, что для некоторого 1 ^ к ^ п — 1 будет х* < £ < жк+1. Тогда

в(Р2,/п,Я+) = 2(Хк+1 — С )(С — X*).

Доказательство. Для всякого алгоритма А £ A(R+) найдется вектор l = (lk,n)n=i £ R+, такой что A(/nf) = (/„/, l) для всех f £ C[0,1].

Если для некоторого 1 ^ k ^ n будет = Z, то получим равенство e(W, In, R+) = 0. Исключим этот случай из рассмотрения, предположив, что = Z, k = 1,... , n. Имеем

e(P2, In, R+) = inf sup |f (Z) - A(/nf)| =

+ AeA(R+) fgp2

= inf sup

7c i?n 1

ai,a2Gß, 2 r=0

^ ^ ar er (Z) ^ ^ ar ( in er, l )

r=0

= inf sup

lGR+ аьа2еД, |а22

^ar (er (Z) - (iner ,0)

r=0 2

inf sup ^^ |ar| |er(Z) — (iner, l)

/ед

+ а,1,а,2еД, |а2|<^ r=0

= 2 inf |e2(Z) — (ine2,1)|

где инфимум ищется среди всех I Е Я+, удовлетворяющих условиям (4вг,I) = вг(С), г = 0,1.

Для в Е {-1,1}, С Е [0,1] рассмотрим задачу линейного программирования

О^(и) = О^(1,у) = 5 ((1пв2,1) - в2(С)) ^ Ш1п, (1)

иЕи

где Б С Яп+1 есть множество всех и = (1,у) = (¿1,..., 1п,у), удовлетворяющих условиям

((1пв2,1)- в2(С)) - У = 0,

(1пвг,I) = вг ((), Г = 0, 1, (2)

1 Е Я+, у ^ 0.

Будем использовать терминологию и факты теории линейного и выпуклого программирования [4]. Множеством допустимых планов задачи (1), (2) является множество точек, удовлетворяющих системе ограничений (2). Обозначим решение задачи Оа^(и) ^ штиЕд• Если для некоторых в, ( множество допустимых планов задачи (и) ^ штиЕд будет пустым, полагаем О^т = Имеем

1

в№,1п,А+) = - шт О^ (3)

2

Оценим правую часть равенства (3). Известно, что решение задачи (и) ^ штиЕд достигается в одном из базисных планов множества допустимых планов (если оно не пусто), и этот базисный план определяется выбором трех базисных столбцов матрицы системы (2).

Найдем значение целевой функции в каждом из базисных планов. Тогда О^п будет равно наименьшему из этих значений.

Заметим, что базисный план и* = (1\,...,1*п,у*) (2) не может определяться выбором базисных столбцов к1 ,к2,к3 для некоторых 1 ^ к1 < к2 < < к3 ^ п. В этом случае числа Iк1 ,1к2,1к3 будут удовлетворять системе линейных алгебраических уравнений

3

Хл (Хкг )1кг = вг (С), Г = 0,1, 2. (4)

г=1

Так как функции в0,в1,в2 образуют систему Чебышева, решение системы (4) существует и единственно, но для одного из г = 1, 2,3 будет Iк < 0, что противоречит условию положительности Iк ^ 0, к = 1,... ,п.

Таким образом, базисный план и* = (I*,... ,1*п,у*) будет определяться выбором базисных столбцов к1,к2,п + 1 для некоторых 1 ^ к1 < к2 ^ п. Тогда числа 1к1,1к2 будут удовлетворять системе

2

^ вг (Хкг )1к = вГ (С ), Г = 0 1 (5)

г=1

Заметим, что решения системы (5) , lk2 будут неотрицательны только если xkl ^ Z ^ Xk2. Решением системы (5) являются числа lki = (x&2 — Z)/(xk2 — -Xki), lk2 = (Z — Xki)/(xk2 — Xki), при этом Gs'C(u*) = (xk2 — Z)(Z — Xki).

Так как xk < Z < xk+i, то minsGs G^ = (xk+i — Z)(Z — xk). Теорема доказана.

Следствие.Пусть Inf = (f (x1),... , f (xn)) и Z £ [0,1] таково, что для некоторого 1 ^ k ^ n — 1 будет xk < Z < xk+1. Пусть множество F С С C[0,1] таково, что P2 С F. Тогда

e(F,/n,R+) > 1(xk+i — Z)(Z — xk).

Обозначим Wm[0,1] := {f : f(m—1) - абс. непр. на [0,1], ||f(m)||C[01] < < 1}. Так как P2 С W£[0,1], то e(W£[0,1],/n,R+) > \(xk+1 — Z)(Z — xk).

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проекты № 07-01-00167-a и № 06-01-00003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Optimal estimation in approximation theory. Ch. A survey of optimal recovery. N.Y.: Plenum Press, 1977. P. 1-54.

2. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lectures Notes in Mathematics. Ch. Lectures on optimal recovery. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 21-93.

3. Трауб Дж., Вожьняковский Х. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1983.

4. Дудов С. И., Сидоров С. П. Курс математической экономики. Ч. 1. Финансовая математика, оптимизация и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002.

УДК 517.51

Л.Ю. Трынин

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРИЗНАКЕ СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА - ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ

Пусть У = {уп}П=1 _ система непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6] функций. Причем, каково бы ни было п е N, функция уп имеет на [а, 6] ровно п простых нулей а < х1;П < х2,п < ... < хп,п < 6. Для любого натурального п и любой функции /, определённой на [а, 6], положим

n

yn(x)

¿П(/,х) = X] у (х*п)(х — х*п) 1 (х*>п) = X) 1 М(х)/(х*,п). (1)

В качестве системы У возьмем последовательность собственных функций ип задачи Штурма - Лиувилля на [0,п] с непрерывным потенциалом ограниченной вариации и краевыми условиями третьего рода, из которых