Об одном числовом неравенстве и его применении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 28-44 = Математика

УДК 517.5

Об одном числовом неравенстве и его

гк

применении *

В. И. Иванов

Аннотация. Для действительных чисел х, у, г, т, и 1 ^ р ^ 2, доказано неравенство

||х - у\р - \х\р - \у\р - \г - т\р + |г|р + \w\p\ <

< 2р{\х - г\(\у\р-1 + Мр-1) + \у - т\(\х\р-1 + \г\р-1)}. С его помощью установлена непрерывная зависимость от функций модуля непрерывности в пространстве Ьр, 1 ^ р ^ 2, определяемого посредством оператора обобщенного сдвига.

Ключевые слова: числовое неравенство, пространство Ьр, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, наилучшее приближение, неравенство Джексона.

Введение

Работа посвящена доказательству следующего неравенства.

Теорема 1. Если 1 ^ р ^ 2, то для всех действительных чисел х, у, г, т справедливо неравенство

\\х - у\р - \х\р - \у\р - \г - т\р + \г\р + \т\р\ < < 2р{\х - г\(\у\р-1 + Мр-1) + \у - т\(\х\р-1 + \г\р-1)}. (1)

Константа 2р в неравенстве (1) не является точной. Нетрудно убедиться, что точная константа ар при р = 1 равна 1/2, а при р = 2 — 1. Было бы интересно доказать (1) с точной константой. Но гораздо важнее для приложений распространить (1) на комплексные числа.

Пусть X — локально компактное пространство с регулярной борелевской мерой 1 ^ р ^ то, Ьр(Х,л) — банаховы пространства действительных измеримых функций с конечными нормами

= (X \рЛ , 1 ^ р< то, =8ир^га1 \^\, р=то,

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

У — линейное метрическое пространство с метрикой р, Тг : ЬР(Х,^) — — ЬР(Х,ц), Ь € У, — линейный положительный оператор обобщенного сдвига, для которого Тг1 = 1 и ЦТ^Р^р ^ 1 для всех Ь € У и 1 ^ р ^ то. На пространстве ЬР(Х,^) определим функционал

\ 1/р

пг\ - - - -- ---- - - >

W,f )p = ( X Tt \f (•) - f (x)\p(x) d^j

IX

и модуль непрерывности

ш(5, f )p = sup q(t, f )p, 5 ^ 0.

Этот модуль непрерывности оказался удобным при доказательстве точных неравенств Джексона в пространствах Lp(X,^), 1 ^ p ^ 2, без группового сдвига (см. [1-6]).

Из неравенства (1) вытекает

Теорема 2. Если 1 ^ p ^ 2, t £ Y, f,g £ Lp(X,^), то

\qp(t, f )p - qp(t,g)p\ < 2(2p + 1)\\f - g\\p(\\f \\p-1 + \\g\p-1).

Следствие 1. Если 1 ^ p ^ 2, 5 ^ 0, f,g £ Lp(X,л), то

№(5, f )p - up(5,g)p\ < 2(2p + 1)\\f - g\\p(\\f \\p-1 + \\g\\Pp-1).

Если на плотном в Lp(X, ¡) множестве для модуля непрерывности справедлива полуаддитивность по функциям:

^(5, f + g)p ^ ш(5, f )р + ш(5, g)p,

например, на плотном множестве, на котором оператор обобщенного сдвига записывается как интегральный оператор с неотрицательным ядром, то следствие 1 позволяет получить полуаддитивность модуля непрерывности на всем Lp(X,^).

Так как величина наилучшего приближения любым множеством непрерывно зависит от функции, то следствие 1 показывает, что неравенство Джексона между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в Lp(X,л), 1 ^ p ^ 2, можно доказывать на любом плотном в Lp(X, ¡) множестве.

1. Доказательство теоремы 1

Неравенство (1) эквивалентно следующему:

\x - y\p < \z - w\p + \x\p + \y\p - \z\p -\w\p+ +ap{\x - z\(\y\p-1 + \w\p-1) + \y - w\(\x\p-1 + \z\p-1)} (2)

при ap = 2p.

Если х = у = 0, то (2) верно при ар = 1. Действительно, (2) в этом случае примет вид

\г - т\р - \г\р - \т\р + \гМР-1 + Мг\р-1 ^ 0. (3)

Если г = и> = 0, то (3) верно. Если хотя бы одно из чисел г, и> не равно нулю, то (3) эквивалентно неравенству

(1 - г)р - 1 -\г\р + \г\р-1 + |г| ^ 0, |г| < 1. (4)

Если -1 < г < 0, то

(1 - г)р - 1 - \г\р + \г\р-1 + |г| ^ \г\р-1{1 + \г\2-р - |г|} ^ 0.

Если 0 < г < 1, то (4) эквивалентно неравенству

1 + гр - г - гр-1

I (г) = -;-;- < 1.

у ' (1 - г)р

Так как

= (р - 1)гр-2(г - 1 - г3-р) < 0 1 (г) (1 - г)р+1 <

то I(г) < I(0) = 1. Неравенство (4), а значит, и неравенство (3) доказаны.

Итак, в (2) можно считать хотя бы одно из чисел х, у не равным нулю, поэтому (1) эквивалентно неравенству

(1 - а)р < \Ь - с\р + 1 + \а\р - \Ь\р - \с\р+

+ар{\1 - Ь\(\а\р-1 + \с\р-1) + \а - с\(1 + \Ь\Р-1)}, (5)

где а,Ь,с € М и |а| < 1.

В дальнейшем мы часто будем пользоваться неравенствами

(а + Ь)в < ав + Ьв, 0 < в < 1, а ^ 0, Ь ^ 0,

(а + Ь)в ^ ав + Ьв, в > 1, а ^ 0, Ь ^ 0.

Рассматривая 8 возможных вариантов знаков у чисел а, Ь, с, получим, что достаточно для 0 < а < 1, Ь ^ 0, с ^ 0, доказать 4 неравенства:

(1 - а)р < \Ь - с\р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{\1 - Ь\(ар-1 + сР-1) + \а - с|(1 + ЬР-1)};

(1 + а)р < \Ь - с\р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{\1 - Ь\(ар-1 + сР-1) + (а + с)(1 + ЬР-1)};

(1 + а)р < \Ь - с\р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 + Ь)(ар-1 + сР-1) + \а - с|(1 + ЬР-1)};

(1 - а)р < (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - сР+

+ар{\1 - Ь\(ар-1 + ср-1) + \а - с|(1 + ЬР-1)}.

Раскрывая модули, придем к окончательному списку из 20 неравенств, которые нужно доказать:

(1 - а)р < (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < Ь < 1, с < а; (6)

(1 - а)р < (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1 ) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < а < 1 < Ь; (7)

(1 - а)р < (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1 ) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < а < с < Ь < 1; (8)

(1 - а)р < (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < а < с < Ь, Ь ^ 1; (9)

(1 - а)р < (с - Ь)р + 1 + аР - ЬР - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + сР-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с < а < 1; (10)

(1 - а)р < (с - Ь)р + 1 + аР - ЬР - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с,Ь < 1, а < с; (11)

(1 - а)р < (с - Ь)р + 1 + аР - ЬР - ср+

+ар{(Ь - 1)(ар-1 + сР-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < а < 1 < Ь < с; (12)

(1 + а)р < (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - сР+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + сР-1) + (а + с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < Ь < 1; (13)

(1 + а)р < (Ь - с)р + 1 + аР - ЬР - ср+

+ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (а + с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < Ь, Ь > 1; (14)

(1 + а)р < (с - Ь)р + 1 + ар - ЬР - сР+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (а + с)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с, Ь < 1; (15)

(1 + а)р < (с - Ь)р + 1 + аР - ЬР - ср+

+ар{(Ь - 1)(ар-1 + сР-1) + (а + с)(1 + ЬР-1)}, 1 < Ь < с; (16)

(1 + а)р < (Ь - с)р + 1 + аР - ЬР - ср+

+ар{(1 + Ь)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < Ь, 0 < с < а; (17)

(1 + а)р < (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 + Ь)(ар-1 + сР-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < а < с < Ь; (18)

(1 + а)р < (с - Ь)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 + Ь)(ар-1 + сР-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с < а; (19)

(1 + а)р < (с - Ь)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 + Ь)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с, 0 < а < с; (20)

(1 + а)р < (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - ср+ +ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < 1, 0 < с < а < 1; (21) (1 + а)р < (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - сР+ +ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < а < 1 < Ь; (22) (1 + а)р < (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - ср+ +ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < 1, 0 < а < с; (23) (1 + а)р < (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - ср+ +ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, Ь ^ 1, 0 < а < с. (24) Случай неравенства (6). Рассмотрим функцию

I(а, Ь, с) = -(1 - а)р + (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+ +ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < а < 1 < Ь. Так как

1 = р(1 - а)р-1 + раР-1 + ар(р - 1)(1 - Ь)ар-2 + ар(1 + ЬР-1) ^ 0,

то

I(а, Ь, с) ^ I(с, Ь, с) = д(Ь, с) = = -(1 - с)р + (Ь - с)р + 1 - ЬР + 2ар(1 - Ь)ср-1, 0 < с < Ь < 1.

Имеем

°д = р(Ь - с)р-1 - рЬР-1 - 2арср-1 < 0, дЬ

поэтому д(Ь,с) ^ д(1,с) = 0. Неравенство (6) доказано при ар = 0. Случай неравенства (7). Рассмотрим функцию

I(а, Ь, с) = -(1 - а)р + (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(-Ь)(аР-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < Ь < 1,с < а.

Так как

да = р(1 - а)р-1 + раР-1 + ар(р - 1)(Ь - 1)ар-2 + ар(1 + ЬР-1) ^ 0,

то

I(а, Ь, с) ^ I(с, Ь, с) = д(Ь, с) = = -(1 - с)р + (Ь - с)р + 1 - ЬР + 2ар(Ь - 1)ср-1, 0 < с < 1 < Ь. Если ар = р/2, то

дд = р(Ь - с)р-1 - рЬР-1 + 2арср-1 ^ (2ар - р)сР-1 ^ 0. Следовательно д(Ь,с) ^ д(1,с) = 0. Неравенство (7) доказано при ар = р/2.

Случай неравенства (8). Рассмотрим функцию

I(а, Ь, с) = -(1 - а)р + (Ь - с)р + 1 + ар - Ьр - ср+ +ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < а < с < Ь < 1. Так как при ар = 2р

I = -р(Ь - с)р-1 - рсР-1 + ар(р - 1)(1 - Ь)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) >

^ (ар - 2р)ЬР-1 > 0,

то

I(а, Ь, с) ^ I(а, Ь, а) = д(а, Ь) = = -(1 - а)р + (Ь - а)р + 1 - ЬР + 2ар(1 - Ь)ар-1, 0 < а < Ь < 1.

Имеем

^ = р(1 - а)р-1 - р(Ь - а)р-1 + 2ар(р - 1)(1 - Ь)ар-2 > 0, да

поэтому д(а, Ь) ^ д(0, Ь) = 0. Неравенство (8) доказано при ар = 2р. Случай неравенства (9). Рассмотрим функцию

I(а, Ь, с) = -(1 - а)р + (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < а < с < Ь, Ь ^ 1.

Так как при ар = 2р

I = -р(Ь - с)р-1 - рсР-1 + ар(р - 1)(Ь - 1)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) >

> (ар - 2р)ЬР-1 > 0,

то

I(а, Ь, с) ^ I(а, Ь, а) = д(а, Ь) = = -(1 - а)р + (Ь - а)р + 1 - ЬР + 2ар(Ь - 1)ар-1, 0 < а < 1 < Ь.

Имеем

= р(Ь - а)р-1 - рЬР-1 + 2арар-1 ^ (2ар - р)аР-1 ^ 0.

Значит, д(а, Ь) ^ д(а, 1) = 0. Неравенство (9) доказано при ар = 2р. Случай неравенства (10). Рассмотрим функцию

/(а, Ь, с) = -(1 - а)р + (с - Ь)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с < а < 1.

Как и в случае неравенства (6) при ар = 0

I > 0, I(а, Ь, с) > I(с, Ь, с) = д(Ь, с) =

= -(1 - с)Р + (с - Ь)Р + 1 - ЬР, 0 < Ь < С < 1.

Имеем

^ = —р(с - Ь)Р-1 - рЬР-1 < 0, дЬ

поэтому д(Ь,с) ^ д(с,с) = -(1 - с)Р + 1 - сР ^ 0. Неравенство (10) справедливо при аР = 0.

Случай неравенства (11). Рассмотрим функцию

f (а, Ь, с) = -(1 - а)Р + (с - Ь)Р + 1 + аР - ЬР - сР+

+ар{(1 - Ь)(аР-1 + сР-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с,Ь < 1, а < с.

При ар = р/2

= р(с - Ь)р-1 - рср— 1 + ар(р - 1)(1 - Ь)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) ^

д с

^ (2ар - р)ЬР-1 ^ 0.

Если Ь ^ а, то

f (а, Ь, с) ^ f (а, Ь, а) = д(а, Ь) = = -(1 - а)р + (а - Ь)р + 1 - ЬР + 2ар(1 - Ь)ар-1, 0 < Ь < а < 1. Так как

да = р(1 - а)Р-1 + р(а - Ь)Р-1 + 2аР(р - 1)(1 - Ь)аР-2 ^ 0,

то

д(а, Ь) ^ д(Ь, Ь) = ф(Ь) = -(1 - Ь)Р - (2аР + 1)ЬР + 2аРЬР-1 + 1, 0 < Ь < 1. Если р = 1, то ф(Ь) = 2ар(1 - Ь) ^ 0. Если р > 1, то

ф'(Ь) = р(1 - Ь)Р-1 - р(2аР + 1)ЬР-1 + 2аР(р - 1)ЬР-2,

ф'(0) = ф'(1) < 0,

ф''(Ь) = -(р - 1)[р(1 - Ь)Р-2 + р(2ср + 1)ЬР-2 + 2(2 - р^ЬР-3] < 0,

поэтому ф'(Ь) меняет знак с «плюса» на «минус» и

ф(Ь) ^ тт(ф(0),ф(1)) = 0.

Неравенство (11) в этом случае доказано при аР = р/2. Если а ^ Ь, то при аР = 2

/(а, Ь, с) ^ f (а, Ь, Ь) = д(а, Ь) =

= -(1 - а)Р + 1 + аР - 2ЬР + 2{(1 - Ь)(аР-1 + ЬР-1) + (Ь - а)(1 + ЬР-1} ^

^ -(1 - а)Р + 1 + аР - 2ЬР + 2(1 - а)(а + Ь).

Найдем минимум функции

д(Ь) = -2ЬР + 2(1 - а)Ь, а < Ь < 1.

Так как

д'(Ь) = -2рЬР-1 + 2(1 - а)Ь, д'(1) < 0, д''(Ь) = -2р(р - 1)ЬР-2 < 0,

то д'(Ь) либо не положительна, либо меняет знак с «плюса» на «минус» и д(Ь) ^ тт(д(а),д(1)). Так как д(а) - д(1) = 2а(-ар-1 + 2 - а) ^ 0, то д(Ь) ^ ^ д(1) = -2а. Поэтому

I(а, Ь, с) ^ -(1 - а)р + 1 + ар - 2а2.

При р = 1, 2 I(а, Ь, с) ^ 0. Рассмотрим функцию

1 + ар - 2а2 ф(а) = —гл-ч-, 0 < а < 1, 1 <р< 2.

(1 - а)р

Для нее

. раР-1 - 4а + 2(2 - р)а2 + р ф(а)

ф(1) = +то, ф (а) =--= (1-0^,

ф(0) > 0, ф(1) = 0, ф'(а) = р(р - 1)ар-2 - 4 + 4(2 - р)а,

ф'(0) = +^о, ф'(1) < 0, ф''(а) = (2 - р)(-р(р - 1)ар-3 + 4),

ф'''(а) = р(р - 1)(2 - р)(3 - р)аР-4 ^ 0.

Функция ф'' меняет знак с «минуса» на «плюс», функция ф' меняет знак с «плюса» на «минус», функция ф неотрицательна, поэтому ф(а) ^ ф(0) = 1, а I(а, Ь, с) ^ 0. Неравенство (11) доказано при ар = 2. Случай неравенства (12). Рассмотрим функцию

I(а, Ь, с) = -(1 - а)р + (с - Ь)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < а < 1 < Ь < с.

При ар = р

I = р(с - Ь)р-1 - рсР-1 + ар(р - 1)(Ь - 1)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) >

^ (ар - р)ЬР-1 ^ 0,

поэтому

I(а, Ь, с) ^ I(а, Ь, Ь) = д(а, Ь) = = -(1 - а)р + 1 + ар - 2ЬР + ар{(Ь - 1)(ар-1 + ЬР-1) + (Ь - а)(1 + ЬР-1)} = = -(1 - а)р + 1 + ар - ар (а + ар-1) + 2(ар - 1)ЬР--ар(1 + а)ЬР-1 + ар(а + аР-1)Ь, 0 < а < 1 < Ь.

Далее

^ = 2р(ар - 1)ЬР-1 - ар(р - 1)(1 + а)Ьр-2 + ар(1 + ар-1),

дф = (р - 1)[2р(ар - 1)Ьр-2 + ар(2 - р)(1 + а)Ьр-3] > 0.

Отсюда

дд

— ^ ар(р + 2) - 2рар(р - 1)а + арар-1 ^ ^ ар(р + 2) - 2р + ар(2 - р)а ^ 0.

Значит,

д(а, Ь) ^ д(а, 1) = ф(а) = -(1 - а)р + ар - 2ара + 2ар - 1, 0 ^ а ^ 1. Так как

ф'(а) = р[(1 - а)р-1 + ар-1] - 2ар ^ 2(р - ар) ^ 0,

то ф(а) ^ ф(1) = 0. Неравенство (12) доказано при ар = р. Случай неравенства (13). Рассмотрим функцию

/(а, Ь, с) = -(1 + а)р + (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (а + с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < Ь < 1.

Так как при ар = р

д/ = -р[(Ь - с)р-1 + ср-1] + ар(р - 1)(1 - Ь)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) > д с

^ 2(ар - р)ЬР-1 ^ 0,

то

/(а, Ь, с) ^ /(а, Ь, 0) = д(а, Ь) = = -(1 + а)р + 1 + ар + ар{(1 - Ь)ар-1 + а(1 + ЬР-1)}, 0 < а, Ь < 1. Если а ^ Ь ^ 1, то

дд = ар{-ар-1 + (р - 1)ЬаР-2} < ар(р - 2) < 0,

поэтому

д(а, Ь) ^ д(а, 1) = -(1 + а)р + 1 + ар + 2ара.

Покажем, что

ф(а) = -(1 + а)р + 1 + ар + 2ара ^ 0, 0 ^ а ^ 1. (25)

Имеем

ф'(а) = р[аР-1 - (1 + а)р-1] + 2ар ^ 2ар - р ^ 0,

поэтому ф(а) ^ ф(0) = 0. Неравенство (13) в этом случае доказано. Если 0 ^ Ь ^ а, то ^ как функция Ь меняет знак с «плюса» на «минус», поэтому

д(а, Ь) ^ шт(д(а, 0),д(а, а)) = -(1 + а)р + 1 + ар + ар(а + ар-1) ^ ^ -(1 + а)р + 1 + ар + 2ара ^ 0. Неравенство (13) доказано при ар = р.

Случай неравенства (14). Рассмотрим функцию

I(а, Ь, с) = -(1 + а)р + (Ь - с)р + 1 + ар - ЬР - ср+ +ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (а + с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < Ь, Ь ^ 1. Так как при ар = 2р

I = -р[(Ь - с)р-1 + О + ар(р - 1)(Ь - 1)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) >

^ (ар - 2р)ЬР-1 ^ 0,

то

I(а, Ь, с) ^ I(а, Ь, 0) = д(а, Ь) = = -(1 + а)р + 1 + ар + ар{(Ь - 1)ар-1 + а(1 + ЬР-1)}, 0 < а < 1 < Ь.

Имеем

поэтому в силу (25)

дЬ = ар{ар-1 + (р - 1)ЬаР-2} ^ 0,

д(а, Ь) ^ д(а, 1) = -(1 + а)р + 1 + ар + 2ара ^ 0.

Неравенство (14) доказано при ар = 2р.

Случай неравенства (15). Рассмотрим функцию

I(а, Ь, с) = -(1 + а)р + (с - Ь)р + 1 + ар - Ьр - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (а + с)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с, Ь < 1.

Так как при ар = р

I = р[аР-1 - (1 + а)р-1] + ар(р - 1)(1 - Ь)ар-2 + ар(1 + ЬР-1) > ар - р > 0, то

I (а, Ь, с) > I (0,Ь,с)= д(Ь, с) = = (с - Ь)р + 1 - ЬР - сР + ар{(1 - Ь)ср-1 + с(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с, Ь < 1.

Имеем

^ = р[(с - Ь)р-1 - сР-1] + ар(р - 1)(1 - Ь)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) >

с

^ (ар - р)Ьр-1 ^ 0.

Следовательно,

д(Ь, с) ^ д(Ь, Ь) = -2ЬР + ар(Ь + ЬР-1) ^ 2(ар - 1)ЬР ^ 0

Неравенство (15) доказано при ар = р.

Случай неравенства (16). Рассмотрим функцию

I(а, Ь, с) = -(1 + а)р + (с - Ь)р + 1 + ар - Ьр - ср+

+ap{(b - 1)(ap-1 + cp-1) + (a + c)(l + bp-1)}, 1 < b < c; Так как при ap = p

f = p[(c - b)p-1 - cp-1] + ap(p - 1)(b - 1)cp-2 + ap(1 + bP-1) ^

^ (ap - p)bP-1 ^ 0,

то для 0 ^ a ^ 1 ^ b

f (a, b, c) ^ f (a, b, b) = g(a, b) = = -(1 + a)p + 1 + ap - 2bP + ap{(b - 1)(ap-1 + bP-1) + (a + b)(1 + bP-1)}. Имеем

db = -2pbp-1 + ap{2bp-1 + (p - 1)bp-2(a + 2b - 1) + ap-1 + 1} ^ 0.

Следовательно, в силу (25)

g(a, b) ^ g(a, 1) = -(1 + a)p + ap - 1 + 2ap(a + 1) ^

^ -(1 + a)p + ap + 1 + 2apa ^ 0.

Неравенство (16) доказано при ap = p.

Случай неравенства (17). Рассмотрим функцию

f (a, b, c) = -(1 + a)p + (b - c)p + 1 + ap - bp - cp+

+ap{(1 + b)(ap-1 + cp-1) + (a - c)(1 + bp-1)}, 0 < c < b, 0 < c < a.

Так как при ap = p

f = p[ap-1 - (1 + a)p-1] + ap(p - 1)(1 + b)ap-2 + ap(1 + W-1) ^ ap - p ^ 0, то

f(a,b,c) ^ f(c,b,c) = g(b,c) = = -(1 + c)p + (b - c)p + 1 - bp + 2ap(1 + b)cp-1, 0 < c < b, c < 1. Имеем

db = p[(b - c)p-1 - bp-1] + 2apcp-1 ^ (2ap - p)cp-1 ^ 0.

Следовательно,

g(b, c) > g(c, c) = -(1 + c)p + 1 + cp + 2ap(1 + c)cp-1 = = -(1 + c)p + (2ap - 1)cp + 2apcp-1 + 1. Докажем неравенство

-(1 + c)p + (2p - 1)cp + 2pcp-1 + 1 ^ 0, 0 < c < 1. (26)

Рассмотрим функцию

/л (2р - 1)ср + 2рср-1 + 1

ф(с) =-(ТГ^-•

Необходимо показать, что ф(с) ^ 1. Имеем

, р((2р - 3)ср-1 + (р - 1)ср-2 - р) рф(с)

ф (с) = -(ТТ^- = (1гс)Р+1, ф(0) =

ф(1) = 2(р - 2) < 0, ф'(с) = (р - 1)сР-3((2р - 3)с - (2 - р)).

При 1 ^ р ^ 5/3 ф'(с) ^ 0, а при 5/3 < р ^ 2 ф'(с) меняет знак с «минуса» на «плюс», поэтому ф(с) меняет знак с «плюса» на «минус». Значит,

ф(с) ^ шт(ф(0),ф(1)) = ш1п(1, 4р2-Р) = 1.

Неравенство (17) доказано при ар = р.

Случай неравенства (18). Рассмотрим функцию

f (а, Ь, с) = -(1 + а)р + (Ь - с)р + 1 + ар - Ьр - ср+

+ар{(1 + Ь)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + Ьр-1)}, 0 < а < с < Ь.

Так как при ар = 2р

дс = р[-(Ь - с)р-1 - ср-1] + ар(р - 1)(Ь + 1)ср-2 + ар(1 + Ьр-1) ^

1

^ (ар - 2р)Ьр-1 ^ 0,

то

/(а, Ь, с) ^ /(а, Ь, а) = д(а, Ь) = = -(1 + а)р + (Ь - а)р + 1 - Ьр + 2ар{(Ь + 1)(ар-1, а < Ь.

Так как

^ = р((Ь - а)р-1 - Ьр-1) + 2арар-1 ^ (2ар - р)ар-1 ^ 0.

то, в силу (26) при ар = р

д(а, Ь) ^ д(а, а) = -(1 + а)р + (2ар - 1)ар + 2арар-1 + 1 ^ 0.

Неравенство (18) доказано при ар = 2р.

Случай неравенства (19). Рассмотрим функцию

/(а, Ь, с) = -(1 + а)р + (с - Ь)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 + Ь)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + Ьр-1)}, 0 < Ь < с < а.

Так как при ар = р

С = р[аР-1 - (1 + а)р-1] + ар(р - 1)(1 + Ь)ар-2 + ар(1 + ЬР-1) > ар - р > 0,

то

/(а, Ь, с) ^ / (с, Ь, с) = д(Ь, с) = = -(1 + с)р + (с - Ь)р + 1 - ЬР + 2ар(1 + Ь)ср-1, 0 < Ь < с < 1. Так как

| = -р[(с - Ь)р-1 + ЬР-1] + 2арср-1 ^ 2(ар - р)сР-1 ^ 0.

то в силу (26) при ар = р

д(Ь, с) ^ д(с, с) = -(1 + с)р + 1 - ср + 2р(1 + с)ср-1 ^ 0, 0 < с < 1.

Неравенство (19) доказано при ар = р.

Случай неравенства (20). Рассмотрим функцию

/(а, Ь, с) = -(1 + а)р + (с - Ь)р + 1 + ар - Ьр - ср+

+ар{(1 + Ь)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < с, 0 < а < с.

Так как при ар = р

/ = р[(с - Ь)р-1 - О + ар(р - 1)(Ь + 1)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) >

^ (ар - р)Ьр-1 ^ 0,

то при 0 ^ Ь ^ а ^ с

/(а, Ь, с) ^ /(а, Ь, а) = д(а, Ь) = = -(1 + а)р + (а - Ь)р + 1 - ьр + 2ар(Ь + 1)ар-1, а при 0 ^ а ^ Ь ^ с

/(а, Ь, с) ^ /(а, Ь, Ь) = д(а, Ь) = = -(1 + а)р + 1 + ар - 2ьр + ар{(Ь + 1)(ар-1 + ЬР-1) + (Ь - а)(1 + ЬР-1). В первом случае

дд = -р((а - Ь)р-1 + ЬР-1) + 2арар-1 ^ 2(ар - р)аР-1 ^ 0. и в силу (25)

д(а, Ь) ^ д(а, 0) = -(1 + а)р + ар + 1 + 2арар-1 ^ ^ -(1 + а)р + аР + 1 + 2ара ^ 0, 0 < а < 1. Во втором случае для а ^ 1 ^ Ь

д(а, Ь) ^ -(1 + а)р + 1 + ар - 2ЬР+ +ар{(Ь - 1)(ар-1 + ЬР-1) + (Ь - а)(1 + ЬР-1)} ^ 0,

что было установлено при доказательстве неравенства (12). Если а ^ Ь ^ 1, то

дд = -2рЬр-1+

дЬ

+ар{ар-1 + ЬР-1 + (р - 1)(1 + Ь)ЬР-2 + 1 + ЬР-1 + (р - 1)(Ь - а)ЬР-2} ^ 0,

поэтому в силу (26) при ар = р

д(а, Ь) ^ д(а, а) = -(1 + а)р + 1 - ар + 2р(1 + а)ар-1 ^ 0.

Неравенство (20) доказано при ар = р.

Случай неравенства (21). Рассмотрим функцию

С (а, Ь, с) = -(1 + а)р + (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < 1, 0 < с < а < 1.

Так как при ар = р

С = р[аР-1 - (1 + а)р-1] + ар(р - 1)(1 - Ь)ар-2 + ар(1 + ЬР-1) > ар - р > 0, то

С (а, Ь, с) > С (с, Ь, с) == -(1 + с)р + (Ь + с)р + 1 - ЬР + 2ар(1 - Ь)ср-1. Покажем, что

д(Ь, с) = -(1 + с)р + (Ь + с)р + 1 - ЬР + 2ар(1 - Ь)ср-1, 0 < Ь < 1, 0 < с < 1.

(27)

Имеем

дд дЬ

поэтому д(Ь, с) ^ д(1, с) = 0 и неравенство (27) верно при ар = р/2. Неравенство (21) доказано при ар = р.

Случай неравенства (22). Рассмотрим функцию

С (а, Ь, с) = -(1 + а)р + (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - ср+ +ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (а - с)(1 + ЬР-1)}, 0 < с < а < 1 < Ь. Как и в предыдущем случае при ар = р да ^ 0, поэтому для с ^ 1 ^ Ь

с (а, Ь, с) > С (с, Ь, с) = д(Ь, с) = -(1 + с)р + (Ь + с)р + 1 - ЬР + 2ар(Ь - 1)ср-1. Так как дд

дд = р[(Ь + с)р-1 - ЬР-1] + 2арср-1 ^ 0,

дд = р[(Ь + с)р-1 - ЬР-1] - 2арср-1 < (р - 2ар)ср-1 < 0.

то д(Ь, с) ^ д(1, с) = 0. Неравенство (22) доказано при ар = р. Случай неравенства (23). Рассмотрим функцию

С (а, Ь, с) = -(1 + а)р + (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - ср+

+ар{(1 - Ь)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, 0 < Ь < 1, 0 < а < с. Пусть ар = р/2. Так как

дс = р[(Ь + с)р-1 - О + ар(р - 1)(1 - Ь)ср-2 + ар(1 + ЬР-1) > 0, то для 0 ^ а ^ 1, 0 ^ Ь ^ 1 согласно (27)

/(а, Ь, с) ^ /(а, Ь, а) = -(1 + а)р + (а + Ь)р + 1 - ЬР + 2ар(1 - Ь)ар-1 ^ 0,

Неравенство (23) доказано при ар = р/2.

Случай неравенства (24). Рассмотрим функцию

/(а, Ь, с) = -(1 + а)р + (Ь + с)р + 1 + ар - ЬР - ср+ +ар{(Ь - 1)(ар-1 + ср-1) + (с - а)(1 + ЬР-1)}, Ь ^ 1, 0 < а < с. Пусть ар = р/2. Как и в предыдущем случае ^ ^ 0, поэтому для а ^ 1 ^ Ь /(а, Ь, с) ^ /(а, Ь, а) = д(а, Ь) = -(1 + а)р + (а + Ь)р + 1 - ЬР + 2ар(Ь - 1)ар-1. Имеем

| = р[(а + Ь)р-1 - ЬР-1] + 2арар-1 ^ (2ар - р)аР-1 ^ 0,

поэтому д(а, Ь) ^ д(а, 1) = 0. Неравенство (24) доказано при ар = р/2. Все случаи разобраны. Теорема 1 доказана полностью.

2. Доказательство теоремы 2

Из неравенства (1) вытекает, что для /,д € ЬР(Х, /л) и почти всех х,у € X

\/(у) - /(х)\р - \д(у) - д(х)\р < \/(у)\р + \/(х)\р - \д(у)\р - \д(х)\р+

+2р{\/(у) - д(у)\(\/(х)\р-1 + \д(х)\р-1) + \/(х) - д(х)\(\/(у)\р-1 + \д(у)\р-1)}.

Применяя к последнему неравенству оператор Тг по переменной у и заменяя затем у на х, в силу положительности Т1 и свойства Т11 = 1, получим

Т'\/(•) - /(х)\р(х) - Т*Ш - д(х)\р(х) < Т*\/(х)\р + \/(х)\р-

-Т*\д(х)\р - \д(х)\р + +2р[(\/(х)\р-1 + \д(х)\р-1 )Т*\/(х) - д(х)\ +

+\/(х) - д(х)\(Т*\/(х)\р-1 + Т*\д(х)\р-1)]. (28)

Мы также воспользовались тем, что \/\р € Ь1(Х,/), \/\р-1 € Ьр(X,/), где р' — сопряженный показатель для р: 1/р + 1/р' = 1.

Интегрируя (28) и применяя неравенство Гельдера, неравенство треугольника и неравенство

\\Т'/||р < \\/||р, 1 < р <

получим

пр(г,/ )р - пр(г,д)р <\\\/ % -\\д\\р\ + / Т*\\/(х)\р - \д(х)\р\

лх

+2р{(\\/\\РР-1 + \\д\Р-1)\/ - д\\р + (\Т/\Р-1 + \Тд\\р-1)\\/ - д\\р} <

< 2\\\/(х)\р - \д(х)\р\1 + 4р(\\/\\рр-1 + \\д\р-1)\/ - д\р. (29)

Для оценки нормы \\\/(х)\р - \д(х)\р\1 воспользуемся легко проверяемым числовым неравенством

\ \ а\р - \Ь\р\ < ( \ а\р-1 + \ Ь\р-1) \ а - Ь\. (30)

Применяя неравенство (30), неравенство Гельдера и неравенство треугольника, получим

\ \ / (х) \р - \ д(х) \р \ йр < / ( \ / \р-1 + \ д \р-1) \ / - д \йр < хх

< (\\/\\р-1 + \\д\\р-1)\\/- д\\р.

Отсюда и из неравенства (29)

пр(г, /)р - ^р(^,д)р < 2(2р + 1)(\\/\\рр-1 + \\д\\р-1)\\/- д\\р.

Теорема 2 доказана.

Список литературы

1. Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах Ьр(М") и Ьр\(М+) // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 44-70.

2. Горбачев Д. В. Точное неравенство Джексона в пространстве Ьр на сфере// Математические заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 50-62.

3. Чертова Д. В. Теоремы Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2, с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5-27.

4. Иванов В. И., Лю Юнпин. Оценка снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2, с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59-69.

5. Чертова Д. В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2, на прямой со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 94-109.

6. Вепринцев Р. В. Неравенство Джексона в пространствах Ьр на сфере с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27-49.

Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

A numerical inequality and its application

V. I. Ivanov

Abstract. For real numbers x, y, z, w, and 1 ^ p ^ 2 the inequality \\x - y\p - \x\p - \y\p — \z - w\p + \z\p + \w\p\ < < 2p{\x - z\(\y\p-1 + \w\p-1) + \y - w\(\x\p-1 + \z\p-1)}.

is proved. Continuous dependence from functions of the modulus of continuity defined by the generalized translation operator is established.

Keywords: numerical inequality, Lp-space, generalized translation operator, modulus of continuity, best approximation, Jackson's inequality.

Ivanov Valerii (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.

Поступила 23.06.2015