Об одном автоморфизме порядка 2 бернсайдовой группы B0(2,5) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 44-49

УДК 512.54

ОБ ОДНОМ АВТОМОРФИЗМЕ ПОРЯДКА 2 БЕРНСАЙДОВОЙ ГРУППЫ Во (2,5)1

1

А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов

В статье изучается централизатор инволютивного автоморфизма бернсайдовой группы В 0(2, 5), меняющего местами образующие элементы В0(2, 5). Для данного централизатора найдены порождающие элементы, вычислены его порядок, ступень разрешимости и ступень нильпотентности, построены верхний и нижний центральные ряды.

Ключевые слова: проблема Бернсайда.

Свободной бернсайдовой группой периода п с т образующими называется группа В(т, п) = , где Кт — свободная группа ранга т и КЩ — ее подгруппа, порожден-

ная всеми п-ми степенями элементов из Проблема Бернсайда для пары (т, п) звучит так: «Является ли группа В(т, п) конечной?» П. С. Новиков и С. И. Адян показали [1], что ответ отрицательный, если т ^ 2 и п — достаточно большое нечетное число, однако для небольших нечетных п (5 ^ п ^ 663) проблема Бернсайда остается нерешенной.

Пусть Во(т, п) = Кт/и(т, п), где и(т, п) — пересечение всех нормальных подгрупп N ^ , для которых — конечная группа периода п. А. И. Кострикин показал [2],

что Во(т, п) конечна, если п — простое число. Е. И. Зельманов обобщил эту теорему Кострикина на случай, когда п — степень простого числа [3]. Отсюда из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна [4] с использованием классификации конечных простых групп вытекает конечность Во(т, п) для произвольных т и п.

Поскольку и(т, п) ^ КЩ, эти результаты показывают, что проблема Бернсайда для (т, п) решается положительно тогда и только тогда, когда и(т, п) = КЩ, т. е. Во (т, п) = В(т, п).

Так как (2, 5) — «наименьшая» пара, для которой проблема Бернсайда не решена, то группа Во(2, 5) представляет особый интерес. В [5] вычислен ее порядок (он равен 534) и найдены определяющие соотношения. В настоящей работе эти соотношения используются для исследования строения централизатора в Во(2, 5) представителя одного из двух существующих классов инволютивных автоморфизмов группы Во (2, 5).

Пусть {ж, у} — образующие группы Во (2, 5). Рассмотрим автоморфизм действующий на образующие следующим образом:

лы», проект № 2.1.1/3023, а также Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 09-01-00717-а, № 10-01-00509-а.

Введение

ж ^ у, у ^ ж.

© 2010 Кузнецов А. А., Филиппов К. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей шко

Пусть С(2,5) (<) — централизатор автоморфизма < в Во(2, 5). Далее для краткости будем обозначать Сд0(2;5)(<) через С.

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема. Для С имеют место следующие утверждения:

(1) |С| = 517.

(2) Ступени нильпотнтности и разрешимости для С равны 6 и 3 соответственно.

(3) 3 — минимальное число порождающих С.

< 1) Как и в [5] будем представлять элементы Во(2,5) в виде нормальных коммутаторных слов. В качестве первых двух коммутаторов возьмем образующие группы Во(2, 5), которые обозначим 1 и 2, а последующие с 3-го по 34-й коммутаторы вычисляются рекурсивно через 1 и 2 [5].

В этом случае каждый элемент д £ Во(2,5) однозначно представляется упорядоченным произведением базисных коммутаторов в определенных степенях д = 1«12«2 ... 34«34, где а £ {0,1, 2, 3,4} (г = 1, 2,..., 34). Иногда для краткости мы будем писать д = (а1; а2,..., а34).

Для доказательства теоремы необходимо найти в группе Во(2, 5) все такие элементы д, что

<(д) = <(1а1 ... 34а34) = <(1)а1 ... <(34)°34 = 1а1 ... 34а34 = д.

(1)

При помощи компьютерных вычислений, используя список соотношений для базисных коммутаторов из [5], был вычислен результат действия < на каждый базисный коммутатор:

<(1) = (0,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

<(2) = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 <(3) = (0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 <(4) = (0, 0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0,1,4,1, 0,1,1,1, 3, 4, 0,1,1,4,1,4,4, 0, 0, 3, 3, 3,1 <(5) = (0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0, 3, 0,1, 4, 2, 0, 0,1, 3, 3, 0,1,1, 4,4, 0,1, 0,1, 0, 0, 3, 3, 3, 0,1 <(6) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0,1, 0, 0,4, 2, 3, 0, 3,1,1, 0, 3, 3,1, 4,1, 2,4 <(7) = (0, 0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 3,4,1, 2, 2,4, 0,4,4,1,1, 0,1,1,1,1, 3, 3, 0,4, 2, 4, 0, 2, 3, 0 <(8) = (0, 0, 0, 0, 0,4, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0,4, 2, 0, 0, 2, 3, 3, 0,1, 0, 0, 0,4, 0, 2, 3, 0,1, 3, 3 <(9) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 3, 2,4,1,4,1, 3,4, 2,1,1,1, 3, 0,4, 3,4, 2,1, 3, 3, 0 <¿>(10) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 3, 3, 0, 0, 4,4, 3, 0, 3, 0,4, 0, 3, 2, 0,1, 0, 2,1,1, 3, 3, 3) <¿>(11) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 2,4, 0,4,1,4, 0, 2,1, 0,4,4, 0, 3,1, 3, 0, 4) <(12) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 3, 0, 2,4,4,1, 0, 3, 4, 2, 0,1, 0,1,4, 3, 2, 2, 3) <(13) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 4,4,1, 3, 3, 3,4, 0, 4,1,1, 3, 0,1,1, 0,1, 4,1) <(14) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 0,4, 3, 0, 0, 3, 0, 0,4, 0, 0,1, 0, 3,1,1) <(15) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0,1, 2, 0,1, 0,4,4, 0,1, 2,1, 3,1,1) <(16) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,4,4, 0, 2,1, 2, 0, 4, 0, 0, 2,4, 2, 0,1, 3, 4, 2) <(17) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3,4,1, 0, 3, 3, 3, 0,4, 0,4, 3, 0,1, 2, 3)

1klY¿'" liai = и ïe„f£'"u„U = m иггаэ 'штеяогга HwiuÂd^ ■{fZí'"íZíl = Çli) ' ' ' (от+%(0Т + ?)'■' = (OI + f)^ :(0I + f) doi^ÄHWoa вн 'ewEa^dowoxa'e иэиахэиэЬ' fon (OI + l) 'Bdoi'BiÁwwoa снчнэпэхэ кэхэкггак -э 'i '(oi+»)g/ = ft у ячзя кэхэкггэиыча ijodoioa fïv ¿нэиэгге щчЬ'ж'вя ''BÏiiidi'BW — fZ^fZy -Ha "elrtia аохнэиэгге Kirf и-^g on ол-хх э aodojyexÂw -ноя иэнэпэхэ икнэызне nwiaHa^d иигавниМооя э iadcxrasa — ' ' ' ' 'иб0 = 'f£ оп

Il э aodoi'BiÂwwoa иэнэпэхэ иинэызне хмшээяеиэн doxasa — ' ' ' ' 'П;о) = Р 'aostíg

•(9S9'-"'S'T = 4) P = 4 + PV

^Irtia ojatncHÄtfaifo wsiroii Ь^н иинэн

-a^d Х1ЧНИЭНИ1Г иэхэиэ OHiHsmsd я Koxiitfoao '(х) ошаоюА xiiïnoïKdoaisifaoïz' • •

'П;о иэнэпэхэ эинэЬ'жох'вн 'iaHboaoH'Biosdsn f£ on хх 3 iadoi'BiÂwwoa охь 'ojoí Âïrtiag

•ggg isfÁg la аохнэиэгге хияет, олээа охь 'он -sbÂifon 0ш49 'кинэюиыча эгп^эхетчютоя кАечпчшэи '"edogsdsii ojohitoii siiaïqmfesd g

' vdçfVt ' ' ' ziçjZX il É/TT = 4 1^от„0Т" z-oZxkA — (отюОТ ZvZix) ï)d> = (4a)ch oib 'отюОТ ' ' ' ztoZ,\to\ = 4(1 NiHswsife эиш иэйтен '(g) и (g) эинвииня oa Kdsg

(e) 4E in" ' ziiZimii = (fs„n" ' zi„zhi„ii)à

Âwoxeon 'ÂnnÂdjtfon Аяжэоре (HÂHaifewdoH (HÁiiosbiiiOHdsiired'ex (д'б)°g a xoreïiiKodoii и iaHboaoïreiosdsii f£ on xx 3 iadojyeiÂwwo:» охь 'ошзсеяоп [g] g

(Z) '(m^e ' ' ' TT„TT)^(ot»0T ' ' ' T„T)^ = (m^e ■ ■ ■ zaZi„l)rt

ai 'w£3^dowojJa,e — à) эгея ячз^

T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) =

0 0 e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (ee)¿>

0 z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (se)¿>

ï 0 f 0 0 z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (те)<л

0 e Ï 0 T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (oe)¿>

e T 0 e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (6Z)à

f 0 Ï 0 0 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = ($z)à

e e e 0 0 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (¿z)¿

e z f 0 ï f 0 0 0 z e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (9Z)á

e Ï f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (9Z)à

e e f T z 0 0 f z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (ïZP

z T 0 0 0 0 z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (es)¿>

0 f e 0 ï e 0 0 0 f 0 e 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = {zz)à

Ï 0 0 T ï f 0 f e f f 0 0 z e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = {\z)à>

z 0 z f ï Ï 0 0 z 0 Ï 0 0 f e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (оЮл

ï z z z e 0 e e 0 0 0 0 z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (6i)¿>

e z Ï ï e 0 0 T 0 z e 0 0 f 0 e 0 0 f e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) = (8Т)<Л

•y V/ аоппшгиф l'Y 'y aoïidHEÂyj

9f

то в векторном виде это можно записать как АЙ = у, где а = (ац,..., а34)Т и 7 = (711, •••,734 )Т.

Перепишем систему (4) в виде (А — Е)а = — Ьк, где Е — единичная матрица.

Для каждого Ьк необходимо исследовать систему на совместность. Для этого сначала было найдено, что ранг матрицы [А — Е] равен 11. Затем, при помощи компьютерных вычислений было получено, что ранги расширенных матриц [(А — Е)|(—Ьк)] для всех к также равны 11. Таким образом, все системы уравнений совместны. Так как число параметров будет 24 — 11 = 13, то каждая система имеет 513 решений. Общее же чило решений равно 625 ■ 513 = 517. Каждому полученному решению будет однозначным образом соответсвовать элемент группы Во(2, 5), удовлетворяющий условию (1). Первое утверждение теоремы доказано.

2) Рассмотрим следующие элементы группы Во (2, 5):

к1 = (3, 3, 2,4, 0, 0, 2, 3, 3, 2,1,1, 3, 0, 3, 0,4,4,1, 2, 0,1, 3, 2,1,4,1,4, 4,1,1, 2,4, 2), к2 = (1,1, 3,1,4, 2, 0, 3, 3, 3, 0,1, 3, 3, 0, 0, 3,1,4, 4, 4, 2, 2,4,4,4,4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2), к3 = (4, 4, 3, 3,1, 0, 3,1,1, 3, 3, 3,4,4,4,1, 0, 2,1, 4, 4, 0,1, 3, 2,4,4, 2,1,1, 0,1, 3, 3).

Поскольку ^(кг) = к (г = 1, 2, 3), то к £ С.

При помощи компьютерных вычислений получим подгруппу К = ,^2,^3) в коммутаторном представлении.

Коммутаторы веса 1: 1 = &1, 2 = к 2, 3 = к3.

Коммутаторы веса 2: 4 = [2,1], 5 = [3,1], 6 = [3, 2].

Коммутаторы веса 3: 7 = [4,1], 8 = [4, 2], 9 = [5,1].

Коммутаторы веса 4: 10 = [7,1], 11 = [7, 2], 12 = [8, 2], 13 = [9,1].

Коммутаторы веса 5: 14 = [10, 2], 15 = [11, 2].

Коммутаторы веса 6: 16 = [14,1], 17 = [14, 2].

Ниже приведены нетривиальные соотношения для базисных коммутаторов: [2,1] = 4, [3,1] = 5, [3, 2] = 6, [4,1] = 7, [4, 2] = 8, [4, 3] = 72 ■ 83 ■ 102 ■ 122 ■ 14 ■ 152 ■ 162 ■ 17. [5,1] = 9, [5, 2] = 74-83-92-103 -11-123-13-144-152-163-173, [5, 3] = 72-84-93-113-133-144-15-16 [5,4] = 143 • 16 ■ 172, [6,1] = 72 ■ 92 ■ 10 ■ 11 ■ 12 ■ 13 ■ 144 ■ 163 ■ 174, [6, 2] = 73 ■ 83 ■ 94 ■ 103 114 ■ 123 ■ 134 ■ 144 ■ 153 ■ 164 ■ 174, [6, 3] = 73 ■ 84 ■ 9 ■ 102 ■ 114 ■ 122 ■ 134 ■ 14 ■ 153 ■ 163 ■ 17 [6,4] = 14-164-174, [6, 5] = 144-164-17, [7,1] = 10, [7, 2] = 11, [7, 3] = 102-113-142-154-16-173 [7,4] = 14 ■ 16 ■ 174, [7, 5] = 143 ■ 163 ■ 172, [7, 6] = 143 ■ 163 ■ 172, [8,1] = 11 ■ 14 ■ 152 ■ 173 [8, 2] = 12, [8, 3] = 112■ 123 -142-15-162-173, [8, 4] = 152, [8, 5] = 15-16-172, [8, 6] = 15-162-174 [8, 7] = 162 ■ 174, [9,1] = 13, [9, 2] = 104 ■ 113 ■ 132 ■ 144 ■ 154 ■ 162, [9, 3] = 102 ■ 114 ■ 133 ■ 143 154 ■ 162 ■ 172, [9,4] = 143 ■ 16 ■ 172, [9, 5] = 144 ■ 163 ■ 17, [9, 6] = 144 ■ 163 ■ 17, [9, 8] = 164 ■ 173 [10,1] = 16, [10, 2] = 14, [10, 3] = 143 ■ 164 ■ 173, [10, 4] = 16, [10, 5] = 163, [10, 6] = 163 [11,1] = 142 ■ 164 ■ 174, [11, 2] = 15, [11, 3] = 144 ■ 153, [11,4] = 162, [11, 5] = 16, [11, 6] = 16 [12,1] = 153 ■ 17, [12, 2] = 16, [12, 3] = 15 ■ 163 ■ 173, [12, 4] = 164, [12, 5] = 162, [12, 6] = 162 [13,1] = 164, [13, 2] = 143 ■ 16 ■ 173, [13,3] = 144 ■ 162 ■ 173, [13,4] = 163, [13, 5] = 164 [13, 6] = 164, [14,1] = 16, [14, 2] = 17, [14, 3] = 162 ■ 173, [15,1] = 162 ■ 172, [15, 2] = 162 [15, 3] = 174.

Любой элемент д £ К представим в виде нормального коммутаторного слова

д = 1«1 . 2°2 . . 17«17

£ {0,1, 2, 3, 4} (г = 1, 2,..., 17). Так как |К| = |С|, то К ~ С. Используя вышеприведенное коммутаторное представление, построим нижний центральный ряд группы С:

С Э С1 Э С2 Э С3 Э С4 Э С5 Э Се = е,

48

Кузнецов А. А., Филиппов К. А.

где Ci = [C,C] = (4,5,..., 17), C2 = [Ci, C] = (7,8,..., 17), C3 = [C2,C] = (10,11,..., 17), C4 = [C3, C] = (14,15,16,17), C5 = [C4, C] = (16,17).

Теперь построим верхний центральный ряд группы C:

e = Zo С Zi С Z2 С Z3 С Z4 С Z5 С Z6 = C,

где Zi = C5, Z2 = C4, Z3 = C3, Z4 = C2, Z5 = Ci.

Далее вычислим ступень разрешимости C. C(i) = [C, C] = Ci. Из полученных в пункте 2) соотношений следует, что C(2) = [C(i), C(i)] = (14,15,16,17) является абелевой подгруппой, поэтому ступень разрешимости группы C равна 3.

3) Так как |C/Ci| = 53, то 3 — минимальное число порождающих C. >

Литература

1. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.—М.: Наука, 1975.—335 с.

2. КострикинА. И. О проблеме Бернсайда // Докл. АН СССР.—1958.—Т. 119, № 6.—C. 1081-1084.

3. Зельманов Е. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп // Мат. сб.—1991.—Т. 182, № 4.—C. 568-592.

4. Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reductions theorems for Burnside problem // Proc. London Math. Soc.—1956.—Vol. 6, № 3.—P. 1-42.

5. Havas G., Wall G., Wamsley J. The two generator restricted Burnside group of exponent five // Bull. Austral. Math. Soc.—1974.—Vol. 10.—P. 459-470.

Статья поступила 26 февраля 2010 г. Кузнецов Александр Алексеевич

Сибирский государственный аэрокосмический университет им. академика М. Ф. Решетнева, заведующий кафедрой высшей математики

РОССИЯ, 660014, Красноярск, пр. им. газ. «Красноярский рабочий», 31; E-mail: alex_kuznetsov80@mail.ru

Филиппов Константин Анатольевич Красноярский государственный аграрный университет, доцент кафедры прикладной математики РОССИЯ, 660049, Красноярск, пр. Мира, 90; E-mail: filippov_kostya@mail.ru

ABOUT THE CENTRALIZER OF AN AUTOMORPHISM OF ORDER 2 OF BURNSIDE GROUP B0(2,5)

Kuznetsov A. A., Philippov K. A.

The structure of the centralizer of an automorphism of order 2 of a special kind of Burnside group B0 (2, 5) is investigated. The generators, order, nilpotency class and derived length of of the centralizer are computed. The lower and upper central series of of the centralizer are built.

Key words: Burnside problem.