CC BY
47
2013 Вычислительные методы в дискретной математике №1(19)
УДК 512.54
БЫСТРОЕ УМНОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ В КОНЕЧНЫХ ДВУПОРОЖДЁННЫХ ГРУППАХ ПЕРИОДА ПЯТЬ1
А. А. Кузнецов, А. С. Кузнецова Сибирский государственный аэрокосмический университет, г. Красноярск, Россия
E-mail: alex_kuznetsov80@mail.ru
Представлен алгоритм, основанный на полиномах Холла, для быстрого умножения элементов в конечных двупорождённых группах периода пять.
Ключевые слова: периодическая группа, собирательный процесс, полиномы Холла.
Введение
Пусть В0(2,5,k) —максимальная конечная двупорождённая бернсайдова группа периода 5 ступени нильпотентности k. В данном классе групп наибольшей является группа B0(2, 5,12), порядок которой равен 534 [1]. Для каждой из B0(2, 5, k) известны PC-представления (Power Commutator presentation [2, 3]), которые несложно получить, используя систему компьютерной алгебры GAP. Для исследования различных свойств B0(2, 5,k), например таких, как функция роста или диаметр Кэли группы, часто требуется вычислять произведения её элементов. Пусть n^1 ... „П" и n^1 ... пП" — два произвольных элемента в группе В0(2, 5,k), записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение равно
„Ж1 „Ж" _ ау1 Пуп _ „z1 nzn
Cv 1 • • • Ci 1 • • • Ci 1 • • • *
Основой для нахождения коэффициентов zi является собирательный процесс [2, 3], который реализован в системах компьютерной алгебры GAP и MAGMA. Однако это не единственный способ для вычисления произведений элементов группы. В работе Ф. Холла [4] показано, что zi представляют собой полиномиальные функции (в нашем случае над полем Z5), зависящие от переменных xi,... , xi, y1,... , yi, которые называют сейчас полиномами Холла. Согласно [4],
Zi _ Xi + yi + pi(x 1, . . .,Xi-i,yi,... ,yi-1).
Ч. Симс в [5] анонсировал, что вычислил указанные полиномиальные функции, однако они так и не были нигде опубликованы. Кроме того, авторам не удалось найти компьютерные программы, в которых реализован метод полиномов Холла для вычисления произведений элементов группы. Для восполнения указанного пробела в настоящей работе приведено подробное описание алгоритма для вычисления полиномов Холла в группах В0(2,5, k). Полиномы zi найдены при помощи машинных вычислений в системе компьютерной алгебры MATLAB, после чего полученные формулы реализованы в виде отдельной программы на языке Си. Сравнение скорости вычисления около 104 произведений случайно выбранных элементов в каждой из групп В0(2, 5, k)
1Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (код проекта № 10-01-00509-а).
показало, что метод полиномов Холла имеет значительное преимущество перед собирательным процессом. В среднем использование полиномов позволяет получить произведение двух элементов группы на порядок (т. е. в 10 раз) быстрее собирательного процесса.
При описании алгоритма ограничимся случаями к ^ 4. Для к > 4 полиномы вычисляются аналогично, однако их вывод занимает значительно больше места, что делает невозможным проверить доказательство «вручную». Полиномы для наибольшего случая к =12 содержат также полиномы для всех других к и занимают 42 страницы текста, вследствие чего в работе не приводятся. Их можно легко получить, связавшись с авторами по электронной почте.
Из описания алгоритма, приведённого далее, следует
Теорема 1. Пусть а^1 ... аПп и а^1 ... аП —два произвольных элемента в группе Во(2, 5, к), записанных в коммутаторном виде, где к Е N и к ^ 4. Тогда их произведение равно аХ1 ... аПп ■ ау1 ... аПп = а^1 ... аП, где Хг Е Ъ5 — полиномы Холла, задаваемые формулами (1), (2) при к =1, (1)-(3) при к = 2, (1)-(5) при к = 3 и (1)-(8) при к = 4:
XI = XI + уь (1)
х2 = х2 + У2; (2)
хз = хз + уз + Х2У1; (3)
Х4 = Х4 + у4 + + хз У1; (4)
х5 = х5 + У5 + х2У1У2 + ^^ У1 + Х3У2; (5)
Хб = Хб + Уб + Ж2^ *) + *) + Ж4У1; (6)
х7 = х7 + У7 + **(*) У2 + (*) + Х3У1У2 + Х4У2 + Х5Уъ (7)
Х8 = х8 + У8 + Х2У^^ У1У2 + У1 + хз ^+ х5У2. (8)
Описание алгоритма
Вычислим полиномы Холла для группы В0(2, 5, 4). Работая с данной группой, автоматически получим полиномы для групп В0(2, 5,1), В0(2,5, 2) и В0(2, 5, 3), поэтому нет необходимости отдельно рассматривать эти случаи. При к < 4 коммутаторы, вес которых больше к, не рассматриваются, поскольку они равны единице группы по определению.
Запишем РС-представление группы В0(2, 5,4) согласно [1].
Коммутаторы веса 1:
а1 , а2 — образующие группы.
Коммутаторы веса 2: Коммутаторы веса 3:
Коммутаторы веса 4:
аз = [а2, а1].
а4 = [аз,а1] = [а2,а1,а1], а5 = [аз, а2] = [а2,а1,а2].
аб = [а4,а1] = [а2, а1,а1, а1],
07 — [05,01] — [02,01,02,01],
08 — [05,02] — [02,01,02,02].
Список определяющих соотношений Я для базисных коммутаторов:
05 — 1 (1 ^ г ^ 8), [02,01] — 03, [03, 01] — 04, [03, 02] — 05, [04, 01] — 06,
[04, 02] — 07, [04, 03] — 1, [05, 01] — 07, [05, 02] — 08, [05, 03] — 1, [05, 04] — 1,
[06.01] — 1, [06,02] — 1, [06,03] — 1, [06,04] — 1, [06,05] — 1, [07,01] — 1,
[07.02] — 1, [07,03] — 1, [07,04] — 1, [07,05] — 1, [07,06] — 1, [08,01] — 1,
[08.02] — 1, [08,03] — 1, [08,04] — 1, [08,05] — 1, [08,06] — 1, [08,07] — 1.
Таким образом,
Во(2, 5,4) — (01,02,03,04,05,06,07,08 | Я}.
Каждый элемент группы выражается единственным образом в виде нормального коммутаторного слова:
Уд е В0(2, 5, 4) д — 0Х10Х20Х30Х40^®0Х60Х70Х8, х € ^5.
Иногда будем писать д — (х1,... , х8).
Для того чтобы определить функции ¿¿, сначала необходимо вычислить произведения вида 0у 0Х для всех 1 ^ г < 7 ^ 8, х, у — 1, 2, 3, 4. Для пары (7, г) требуется по 16 значениям произведений (у, х) найти интерполяционный полином для каждого из 8 коммутаторов.
Начнем с первого случая 0^ 0Х:
о2о1 = (1,1,1, 0,0, 0, 0, 0), о2о1 — (2,1, 2,1, 0, 0, 0, 0),
о2о1 = (3,1, 3, 3,0,1, 0, 0), о2о1 = (4,1, 4,1, 0, 4, 0, 0),
о2о1 — (1, 2, 2, 0,1, 0, 0, 0), 2 2 о2о: = (2, 2, 4, 2, 2, 0,1, 0),
о2о1 = (3, 2,1,1, 3, 2, 3, 0), о2о1 = (4, 2, 3, 2, 4, 3,1, 0),
о2о} = (1, 3, 3, 0, 3, 0, 0,1), о2о1 = (2, 3,1, 3,1, 0, 3, 2),
о22о'1 = (3, 3, 4, 4,4, 3, 4, 3), о^о^ = (4, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 4),
о2о} = (1, 4, 4, 0,1, 0, 0, 4), 42 о2о: = (2, 4, 3, 4, 2, 0,1, 3),
о2о1 = (3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2), 44 о2о: = (4, 4, 1, 4, 4, 1, 1, 1).
Запишем
о| о?
пх оУ о/з1’2)(х’У) 0/i1,2)(x>y)
О^ П2 П3 П4
... о:
/81,2)(х>у) '8 ,
4 4
где /г(1,2) (х, у) — Е Е водхру9 —некоторые полиномы над полем Z5. Для их определе-р=19=1
ния выполним интерполяцию для каждого коммутатора г — 3, 4,..., 8.
Для нахождения /г(1’2)(х,у) требуется решить систему линейных уравнений над указанным полем:
Е Е хру9 — ХГ, х,у — 1, 2, 3, 4, (9)
р=19=1
где — значение г-го коммутатора для пары (у, х). Данная система имеет 16 пере-
менных и состоит из 16 уравнений.
Покажем на примере 8-го коммутатора нахождение /8^2)(ж, у). Для краткости вместо в8 будем писать врд• Подставив в систему (9) все значения г|Х, получим
1 1 1
2 4 2
3 4 3
4 1 4 224 433 1 3 2 321 334 1 2 3 422 231 441 312 213 1 4 4
111
342
243
414
243
111
414
342
342
414
111
243
414
243
342
111
111 1 3 4 1 2 4 141 243 222 232 213 342 323 333 312 414 4 3 1 4 2 1 444
111
213
312 414 143 244 341
442 142 241 344
443 1 1 4 212
313 4 1 1
11
41
41 11 13 43
43
13 12
42 42 12
14
44 44 14
11
31
21
41
11
31
21
41
11
31
21
41
11
31
21
41
/ви\ /ОХ
в21 0
в12 О
в31 0
в22 0
в13 О
в41 0
в32 0
в23 1
в14 2
в42 3
в33 4
в24 4
в43 3
в34 2
^в44 ) 1
Ранг матрицы системы равен 16, поэтому она имеет единственное решение ви — 2, в12 — 2, в13 — 1, все остальные коэффициенты равны нулю. Следовательно,
/81,2) (^, у) — 2ху + 2ху2 + ху3.
Аналогичным образом вычисляются все полиномы /г(1,2)(х, у). Перечислим их:
/1(1,2)(х,у) — x,
/21,2)(х,у) — У,
/31,2)(х,у) — ^
С(1,2) ,
Л ’ Чж,у) = 2жу + 3ж2у = ^2 )у,
/51’2)(ж,у) = 2жу + 3жу2 = ж
/61’2) (ж У) = 2жУ + 2ж2у + ж3у = У
/71,2) (ж, у) = 4жу + жу2 + ж2у + 4ж2у2 =
/81’2) (ж, у) = 2жу + 2жу2 + жу3 = ж ^
Таким образом,
ж2 у2
< = ( ж,у,жуЛ ж)у,42
Вторая пара ау аХ:
а3а} = (1, 0,1,1,0, 0, 0, 0), а^а^ — (2, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 0
а3а} = (3, 0,1, 3,0, 3, 0, 0), а^а} — (4, 0, 1, 4, 0, 1, 0, 0
а|а} = (1, 0, 2, 2,0, 0, 0, 0), 2 2 а3а} — (2, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 0
а3а} — (3, 0, 2,1,0,1, 0, 0), а3а} — (4, 0, 2, 3, 0, 2, 0, 0
а^а} = (1, 0, 3, 3,0, 0, 0, 0), а3а} — (2, 0, 3, 1, 0, 3, 0, 0
а3а} — (3, 0, 3, 4,0, 4, 0, 0), а3а} — (4, 0, 3, 2, 0, 3, 0, 0
а^а} = (1, 0, 4, 4,0, 0, 0, 0), 4 2 а3а} — (2, 0, 4, 3, 0, 4, 0, 0
а^а} = (3, 0, 4, 2,0, 2, 0, 0), 4 4 а3а} — (4, 0, 4, 1, 0, 4, 0, 0
а| аХ = ( х, 0,у, ху, 0, 2ху + 3х2у, 0,0).
Третья пара ау аХ:
а3 а2 — (0, 1, 1, 0,1, 0, 0, 0) а3а2 2 0 1 2 (0 0, 0,1),
а3 а32 — (0, 3, 1, 0, 3, 0, 0, 3) а3а2 — (0 ,4 , 1 ,0 ,4 , 0, 0,1),
а со ю а2 — (0, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 0) а со ю а ю ю — (0 ,2 ,2 ,0 ,4 , 0, 0, 2),
а со ю а32 — (0, 3, 2, 0,1, 0, 0,1) 24 а3а2 — (0, 4, 2, 0, 3, 0, 0, 2),
а со со а2 — (0, 1, 3, 0, 3, 0, 0, 0) а со со а ю ю — (0, 2, 3, 0,1, 0, 0, 3),
а со со а32 — (0, 3, 3, 4) 0, 0, 4, 0, а3а2 2, 0, 3, 4, (0, 0,0, 3),
а3 а2 = (0, 1, 4, 0, 4, 0, 0, 0) 22 а 43 а 3, 0, 4, 2, (0, 0,0, 4),
а3 а32 — (0, 3, 4, 0, 2, 0, 0, 2) 44 а 3а 2 1 0, 4, 4, (0, 0, 0, 4);
У а3 а Х 2— = (0,х^ 0 ху , 0 , 0 , 2ху + 3х2у).
Четвёртая пара а4 аХ:
а (1, 0, 0, 1,0,1, 0, 0), а4а} — (2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0),
а4 а: — (3, 0, 0, 1,0, 3, 0, 0), а4а} — (4, 0, 0, 1, 0, 4, 0, 0),
а4 а: — (1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0), 2 2 а4а} — (2, 0, 0, 2, 0, 4, 0, 0),
а4а} — (3, 0, 0, 2,0,1, 0, 0), 24 а4а} — (4, 0, 0, 2, 0, 3, 0, 0),
а4а} — (1, 0, 0, 3, 0, 3, 0, 0), а4а} — (2, 0, 0, 3, 0, 1,0, 0),
а4а} — (3, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0), а4а} — (4, 0, 0, 3, 0, 2,0, 0),
а4а} — (1, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0), 42 а4а} — (2, 0, 0, 4, 0, 3,0, 0),
а4а} — (3, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 0), 44 а4а} — (4, 0, 0, 4, 0, 1,0, 0);
а 4 аХ — (х, 0, 0, у, 0, ху, 0, 0)
Пятая пара а4 af •
а4 а2 = = (0, 1, 0,1,0, 0, 1, 0) а4а2 — (0, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 0
а4 а2 = = (0, 3, 0,1,0, 0, 3, 0) а4а2 — (0, 4, 0, 1, 0, 0, 4, 0
a24 а2 = = (0, 1, 0, 2,0, 0, 2, 0) 22 а 24 а 22 — (0, 2, 0, 2, 0, 0, 4, 0
а4 а32 — = (0, 3, 0, 2,0, 0, 1, 0) 24 а 24 а 42 — (0, 4, 0, 2, 0, 0, 3, 0
а4 а2 = = (0, 1, 0, 3, 0, 0, 3, 0) а 34 а 22 — (0, 2, 0, 3, 0, 0, 1, 0
а4 а32 — (0, 3, 0, 3, 0, 0, 4, 0) а4а2 — (0, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 0
а4 а2 = (0, 1, 0, 4,0, 0, 4, 0) 42 а4а2 — (0, 2, 0, 4, 0, 0, 3, 0
а4 а32 — (0, 3, 0, 4,0, 0, 2, 0) 44 а4а2 — (0, 4, 0, 4, 0, 0, 1, 0
а4 af — (0, x 0, у, 0, 0, xy, 0)
X У
aX аЛ
Шестая пара аУ af. Коммутаторы а4 и а3 перестановочны, поэтому a4 af — а3 а4
.X h
Теперь рассмотрим a| af:
а^ а^ — (1, 0, 0, 0,1, 0, 1, 0) а^а і — (2, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0),
а5а} — (3, 0, 0, 0,1, 0, 3, 0) а^а і — (4, 0, 0, 0, 1, 0,4, 0),
а^ а^ — (1, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0) 22 а^а^ — (2, 0, 0, 0, 2, 0,4, 0),
а^а! — (3, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0) 24 а5а: — (4, 0, 0, 0, 2, 0,3, 0),
а^а} — (1, 0, 0, 0, 3, 0, 3, 0) а^а} — (2, 0, 0, 0, 3, 0,1, 0),
33 а^а і — (3, 0, 0, 0, 3, 0, 4, 0) а^а^ — (4, 0, 0, 0, 3, 0,2, 0),
а^а } — (1, 0, 0, 0, 4, 0, 4, 0) 42 а5а: — (2, 0, 0, 0, 4, 0, 3, 0),
а^ а і — (3, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 0) 44 а^а^ — (4, 0, 0, 0, 4, 0,1, 0);
а5 af — (x, 0, 0, 0,у, 0, xy, 0)
И наконец, последняя неперестановочная пара a| af:
ю а а2 — (0, 1, 0, 0,1, 0, 0,1) 22 а ю а 2, (0, 0, 0, ,2 0, 0, 1
а5 а32 — (0, 3, 0, 0,1, 0, 0, 3) а5а2 — (0, 4, 0, 0, 1, 0, 0, 4
а5 а2 — (0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 2) 22 а5а2 — (0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 4)
а5 а32 — (0, 3, 0, 0, 2, 0, 0,1) 24 а5а42 — (0, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 3)
а5 а2= (0, 1, 0, 0, 3, 0, 0, 3) а5а2— (0, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 1)
а5 а32 — (0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 4) а5а2 = (0, 4, 0, 0, 3, 0, 0, 2)
а5 а2 — (0, 1, 0, 0, 4, 0, 0, 4) 42 а5а2 — (0, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 3)
а5 а32 — (0, 3, 0, 0, 4, 0, 0, 2) 44 а5а2 — (0, 4, 0, 0, 4, 0, 0, 1)
а5 af — (0, x, 0, 0,у, 0, 0, xy)
Все оставшиеся пары ауУ а? перестановочны, т. е. ауУ а? = а? ау.
Таким образом, имеем полный набор соотношений для осуществления собирательного процесса в аналитическом виде:
ух x У /}+і(х>у) /)+,2)(х>у)
aj aj — aj aj a.^ а^+Т2
/8i,j)(x>y)
Пользуясь (10), можем вычислить произведение а^1 ... а^8 ■ ау1 После выполнения данной процедуры найдём все ^ (1)-(8). Теорема доказана.
.. aj8 — а}1
(10)
.aj8.
8
ЛИТЕРАТУРА
1. Havas G., Wall G., and Wamsley J. The two generator restricted Burnside group of exponent five // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. No. 10. P. 459-470.
2. Sims C. Computation with Finitely Presented Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1994. 628 p.
3. HoltD., EickB., and O’Brien E. Handbook of computational group theory. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2005. 514 p.
4. Hall P. Nilpotent groups: Notes of lectures given at the Canadian Mathematical Congress summer seminar, University of Alberta, 12-30 August, 1957. London: Queen Mary College, 1969.
5. Sims C. Fast multiplication and growth in groups // Proc. Intern. Symp. Symbolic and Algebraic Computation. New York, NY, USA, 1998. P. 165-170.
