CC BY
29
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
regional investment projects non-efficiency on the example oftwo-criteria model ofthe regional economy without restriction of the product amount, demand and planning time-frame.
Keywords: z-transformation, two-criterion model of optimal control, investment planning.
УДК 519.6
А. А. Кузнецов, А. К. Шлепкин, А. Н. Антамошкин ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ КОНЕЧНОСТИ БЕРНСАЙДОВОЙ ГРУППЫ Б(2,5У
Показано, что централизатор автоморфизма порядка 2 специального вида бернсайдовой группы В (2,5) имеет порядок 517.
Ключевые слова: проблема Бернсайда.
Пусть В(2,5) - двупорожденная бернсайдова группа ведением базисных коммутаторов в определенных сте-периода 5, а В0(2,5) - максимальная универсальная конеч- пенях
ная двупорожденная группа того же периода (порядок последней равен 534 [1]). Вопрос о совпадении указанных групп на сегодняшний день является открытым [2].
В настоящей работе сделан первый шаг в попытке редуцирования проблемы совпадения групп В(2,5) и В0(2,5) к проблеме совпадения двух групп, одна из которых имеет порядок существенно меньший, чем 534. Данная попытка
g = 1а'2\..34а34, где а, е {0,1, 2, 3, 4} (, = 1, 2, ..., 34).
Для доказательства теоремы необходимо найти в группе В0(2,5) такие элементы, что
ф0(я) = ф0(1а>2а2 • ...34а34) = 1а>2а2...34а34 = я. (1)
При помощи компьютерных вычислений, используя
основана на классическом результате В. П. Шункова, кото- список соотношений для базисных коммутаторов из ра-рый был получен в 1972 г.: периодическая группа, содер- боты [1], был вычислен результат действия ф0 на каждый
жащая инволюцию, централизатор которой конечен, локально конечна и почти локально разрешима [3].
Пусть {1,2} - образующие группы В(2,5) и ф - автоморфизм порядка 2 данной группы следующего вида
Г1 ® 2,
Ф : [2 ® 1.
Аналогичным образом (в тех же обозначениях образующих) можно определить автоморфизм ф0 группы
в0(2,5).
Пусть Св(2 5)(ф) и Св0(2,5)(Ф0) - централизаторы автоморфизмов ф и ф0 в В(2,5) и В0(2,5), соответственно.
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема. | Св0 (2,5) (Ф0 ) I = 517 .
Поскольку по приведенной выше теореме порядок СВ0(2>5) (ф0) значительно меньше порядка В0(2,5), авторы предлагают сравнивать Св(2>5)(ф) и Св (2 5)(ф0). Ясно, что если Св(2>5)(ф) @ Св (2 5)(ф0), то по упомянутому выше результату В. П. Шункова группа в(2,5) будет конечна.
Доказательство. Как и в работе [1], будем представлять элементы группы в0(2,5) в виде нормальных коммутаторных слов. В качестве первых двух коммутаторов возьмем образующие группы в0(2,5), которые обозначим 1 и 2, а последующие с 3 по 34 коммутатор вычисля- ф0 (16) = 17418420221122224427228429231132333434 ются рекурсивно через 1 и 2 [1].
В этом случае каждый элемент я е в0 (2,5) однознач-но представляется множеством упорядоченных произ-
базисный коммутатор.
Фо(1) = 2,
Фо(2) = 1,
Фо(3)= З4,
ФО(4) = 541041311441511711811912032142312412542612742843 1ЗЗ2ЗЗЗЗЗ41, ф0(5) = 4493111124132161173183201211224234251271303313323341, Фо(6) = 8414417120421222З24З25126128З29ЗЗ01З14З21ЗЗ2З44, фО(7) = 7493104111122132144164174181191211221231241253263284292304322333,
фО(8) = 64113154162192203213231274292303321333343,
ф0(9) = 10312z13314z154161174181193 20421z22123124125327428329430z311323333, ФО(1О) = 9211212З1ЗЗ16417418З20З22424З252271292З01311З2ЗЗЗЗЗ4З, фО(11) = 14З172184204211224242251274284З0ЗЗ11З2ЗЗ44, ФО(12) = 133152163182194204211233244252271291304313322332343,
ФО(1З) = 122153164174181193203213224244251261273291301321334341, фО(14) = 11215З16З2О42 13243274301323331341 , фО(15) = 173201222241264274291302311323331341,
фО(17) = 15219З2042112ЗЗ24З25З274294З0ЗЗ21ЗЗ2З4 фО (18) = 15З16419З21424З252271ЗОЗЗ 14321332343 ,
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента России (код проекта МК-2494.2008.1.), АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта 2.1.1/3023), а также РФФИ (код проекта 09-01-07177-а).
ф0 (19) = 222273283303312322332341,
ф0 (20) = 203214241262291301314322342,
ф0 (21) = 203212244254263274294304311341,
ф0 (22) = 193233254293301323334,
ф0 (23) = 282331342,
ф0 (24) = 262274302311324333343,
ф0 (25) = 274324331343,
ф0 (26) = 243252294304324332343,
ф0 (27) = 254323333343,
ф0 (28) = 233321344,
ф0 (29) = 313331343,
ф0 (30) = 301321333,
ф0 (31) = 292324344,
ф0(32) = 332,
ф0(33) = 323,
ф0 (34) = 341.
Так как ф0 - автоморфизм, то
ф0(Г2а2...34а34) =
0 (2) = ф 0 (Г12а2 ...10а'0 )ф0 (1Г"12“12.. ,34“34).
В работе [1] показано, что коммутаторы с 11 по 34 перестановочны и порождают характеристическую нормальную абелеву подгруппу, поэтому
ф0(1Г'Ч2а'2...34а34) = 1Г"121'12...34У34. (3)
Принимая во внимание (2) и (3), найдем такие элементы V. = г ...10“10, что ф0(у,.) = ф0(Г ...10а'0) = 1а' ...10а-0Ьі, где Ьі = 11е11 ... 34в34.
В результате полного перебора, используя компьютерные вычисления, было получено, что всего таких элементов 625.
Ввиду того, что коммутаторы с 11 по 34 перестановочны, нахождение степеней а11,..., а34, удовлетворяю-
щих условию <1), сводится к решению систем линейных уравнений над полем GF(5) следующего вида:
—> —> —>
A а + bi = а, <i = l,2,...,625), <4)
где а = (а,,,..., аЗ4)т - вектор неизвестных значений степеней коммутаторов с ll по 34; bt = (в,,,..., вЗ4) - вектор значений степеней коммутаторов с ll по 34 для элемента вида vi; A - матрица, каждый элемент aij которой вычисляется как atj = р<(+lO), т. е. является степенью коммутатора <i + lO) под действием автоморфизма фО на ком -мутатор <j + lO): фО<, + lO) = ...<i + 10)р<1+,0)...
<i, j = l,..., 24). Другими словами, если w = lla" ... З4аз4 и фО<w) = llYl1 ... 34Y34 , то в векторном виде это можно записать как A a = у , где a = (a,,,..., a34)T и
Y = <Yii..... Yз4)T .
Перепишем систему (4) в виде
<A - E) a = - bi, где E - единичная матрица.
Для каждого bi необходимо исследовать систему на совместность. Для этого сначала было найдено, что ранг матрицы [ A - E] равен 11. Затем, при помощи компьютерных вычислений было получено, что ранги расширенных матриц [(A -E) | (-bi)] для всех i также равны ll. Таким образом, все системы уравнений совместны. Так как число параметров будет 24 - ll = ІЗ , то каждая система имеет 513 решений. Общее же число решений равно 625 • 5і3 = 517. Каждому полученному решению будет однозначным образом соответствовать элемент группы BO(2,5), удовлетворяющий условию (1). Теорема доказана.
Библиографический список
1. Hawas, G. The two generated Burnside group of exponent five / G. Hawas, G. Wall, J. Wamsley // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. №> lO. P. 459-47О.
2. Кострикин, А. И. Вокруг Бернсайда / А. И. Костри-кин. М. : Наука, 1986.
3. Шунков, В. П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией / В. П. Шунков // Алгебра и Логика. 1972. №> 4. С. 47О-494.
A. A. Kuznetsov, A. K. Shlepkin, A. N. Antamoshkin ON FINITENESS CRITERION OF BURNSIDE GROUP 5(2,5)
It is shown that the centralizer of an automorphism of the second order of a special kind of Burnside group Bg(2,5) has an order 517.
Keywords: Burnside problem.
ЗО
