Компьютерное моделирование бернсайдовой группы в(2,5) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

А. А. Кузнецов, А. К. Шлепкин, А. Н. Антамошкин КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕРНСАЙДОВОЙ ГРУППЫ Б(2,5У

На основе компьютерного моделирования в терминах минимальных слов сделан сравнительный анализ берн-сайдовых групп В(2,5) и В (2,5).

Ключевые слова: проблема Бернсайда, бернсайдова группа В(2,5).

Пусть В(2,5) - двупорожденная бернсайдова группа периода 5, а В0(2,5) - максимальная универсальная конечная двупорожденная группа того же периода (порядок последней равен 534 [1]). Вопрос о совпадении указанных групп в настоящее время является открытым [2].

В работе [3] был предложен алгоритм для моделирования произвольных конечнопорожденных периодических групп (в частности, бернсайдовых групп), заданных порождающими элементами и определяющими соотношениями. При помощи этого алгоритма конечнопорож-денная периодическая группа О была представлена в виде динамической системы объектов К5 (О) = (Р5, Л5, С5, Т), где Р - множество всех минимальных слов группы О, не превосходящих по длине 5, с заданной на этом множестве таблицей умножения Т, обрабатывая которую при помощи алгоритма Л, мы получаем список соотношений С в группе О.

В работе [4] на основе компьютерного моделирования по алгоритму [3] было показано, что в терминах минимальных слов группы В(2,5) и В0(2,5) совпадают на словах длины < 27.

В данной статье вычисления продолжены, и на длине 30 и последующих длинах найдены первые несовпадения элементов и соотношений в данных группах, представленных в виде минимальных слов.

Основные понятия. Пусть

О = (х^ Х2 , ..., Хт | VI = ^, V2 = W2, ... , ук = ™к) - периодическая группа, т. е. группа, у которой все элементы имеют конечный порядок, со множеством свободных порождающих {х1,х2,...,хт} и определяющими соотношениями в О {V; = wi}. На множестве порождающих введем отношение порядка р (меньше): {х1 Р х2 Р...Р хт }.

Пусть g - элемент группы О. Тогда его можно представить в виде конечного произведения из свободных порождающих, т. е. g =а1 -а2 •...-а5, где а, є{х1,х2,...,хт} . Правую часть данного равенства мы будем называть словом и записывать в виде V = а 1 а 2...а 5. В некоторых случаях, если необходимо подчеркнуть связь между элементом группы g и представляющим его словом V, т. е. записью элемента g через образующие, мы будем писать gv =а1 -а2 • к -а5. Натуральное число 5 будем называть длиной слова V. Функция Ь(у) определена на множестве всех слов и равна длине слова V, т. е. Ь(у) = 5 для слова V. Единицу группы О, обозначаемую е, мы будем отождествлять с пустым словом, которое также будем обозначать е. По определению Ь(е) = 0 . Говорят, что слово х входит в слово w, если можно указать такие словар и q, что w = рхц .

Если при этом слово р (д) пусто, то говорят, что х есть начало(конец)слова w.

Будем говорить, что слово V меньше слова V и запишем это как V Р V , если имеет место одно из следующих утверждений:

1) Ь(V) < Ь^);

2) если Ь( V) = Ь^), то тогда пусть V = а1а2 к а , и

v = Ь1Ь2 к р,, а1 =Pl, а 2 = Ь2, •••, а*-1 ^к-м а* Р р* для некоторого 1 < к < ,.

Пусть V = а1а2...а, и V = Р1Р2...РГ - два слова, представляющие один элемент § £ О , т. е. gv =а1 -а2 -... - а, и =Р1 -Р2 -к-Рг. Тогда равенство а1а2...а, = р1Р2.„Рг мы будет называть соотношением в О.

Однако в другую сторону это соответствие однозначно, т. е. каждое слово единственным образом определяет соответствующий ему элемент в группе. Иначе говоря, если § и к - 2 элемента из О, представленные одним словом V = а1а2...а,, то тогда § = к.

Слово V будем называть минимальным в О относительно введенного порядка, если для любого другого слова V, удовлетворяющего условию , будет выпол-

няться V Р V . Для любого § £ О существует единственное минимальное слово V, представляющее данный элемент.

Сравнительный анализ группы В(2,5) с группой В0(2,5). Пусть В(2,5) = ^х1, х2 | §5 = - двупорожден-

ная бернсайдова группа периода 5. И пусть х1 = 1 и х2 = 2 -образующие групп В(2,5) и В0(2,5). Дж. Хавас, Г Уолл и Дж. Уэмсли в работе [1], используя коммутаторное исчисление, при помощи компьютера вычислили соотношения для базисных коммутаторов группы В0(2,5). В качестве первых двух коммутаторов были взяты образующие группы В0(2,5), а последующие коммутаторы с 3 по 34 вычислялись рекурсивно через 1 и 2. В этом случае каждый элемент к £ В0 (2,5) однозначно представляется множеством упорядоченных произведением базисных коммутаторов в определенных степенях:

к = 1а1 - 2а2-к - 34а34, (1)

где а, £ {0,1, 2,3,4} (/' = 1, 2, ..., 34). Правую часть равенства (1) мы будем записывать к (к) = 1а12а2... 34а34 и называть нормальным словом [1].

Пусть у - гомоморфизм группы В(2,5) на В0(2,5), заданный следующим правилом:

У( gv) ® * (к), где £ В(2,5) и ку £ В0 (2,5) - элементы, вычисленные по слову V в группах В(2,5) и В0(2,5) соответственно.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Президента Российской Федерации (код проекта МК-2494.2008.1), АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта 2.1.1/3023) и РФФИ (код проекта 09-01-07177-а).

Очевидно, что все соотношения группы В(2,5) будут справедливыми в В0(2,5). Обратное утверждение будет верно, если В(2,5) @ В0(2,5). Таким образом, если два слова v и w равны как элементы группы в В(2,5), то под действием у они будут соответствовать одному нормальному слову в В0(2,5).

Если у окажется взаимно однозначным, то из этого будет следовать изоморфизм В(2,5) и В0(2,5), т. е. группа В(2,5) будет конечна. В противном случае В(2,5) - бесконечная группа.

При помощи компьютерных вычислений, используя у, на каждой длине можно получить максимально возможный список соотношений для группы В0(2,5) в терминах минимальных слов в алфавите образующих {1, 2}.

Для группы В(2,5) на основе компьютерного моделирования по алгоритму [3] был вычислен объект K33 (2,5). В терминах минимальных слов получилось, что | C33 (2,5)| = 45 392 и | P33 (2,5) | » 514. Расчеты были проведены на кластере Института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета. В качестве программного инструмента реализации была взята система компьютерной алгебры MATLAB 7.7.0 с подключенными дополнительными модулями MATLAB Distributed Computing Server и MATLAB Parallel Computing Toolbox. При поэлементном сравнении группы В(2,5) с группой В0(2,5) была выявлена следующая теорема.

Теорема 1. Пусть v, w - два слова в алфавите образую -щих {1, 2}, L(v) < 29 и L(w) < 29 . Тогда v = w - соотношение в группе В0(2,5) тогда и только тогда, когда v = w -соотношение в группе В0(2,5).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из непосредственного вычисления. Например, в группе В0(2,5) имеет место соотношение 11112222 = 21212121. Действительно, 11112222 ——^ 1424 и 21212121 ——^ 1424В группе В(2,5) справедливость указанного соотношения доказывается по алгоритму [3] так: 21-21212121 = (21)5 = e и 21-11112222 = e и т. д.

Однако длина 30 явилась своеобразной точкой расхождения групп В(2,5) и В0(2,5). Так на длине 30 в В0(2,5) имеются 2 соотношения, на длине 31 - 10, на длине 32 - 47 и на длине 33 - 69 соотношений, доказать справедливость которых в В(2,5) по алгоритму [3] при применении соотношений, длины левой и правой частей которых не превышают 33, не удается. Соотношения такого вида приведены в таблице.

Поэтому имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Если в группе В(2,5) не выполняется хотя бы одно соотношение из приведенной таблицы, то тогда группа В(2,5) бесконечна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Указанные в таблице соотношения справедливы в В0(2,5). Например,

у (122121121221121212211212212112) =

= у (212121122112212121122112212121) =

= 31425261748191113123134143152162172182 х

х204 212 221234 244 254 263 271281291314322344

и т. д. Поэтому если хотя бы одно из этих соотношений не будет выполняться в B(2, 5), то B(2,5) Ф В0 (2,5), а это означает бесконечность В(2, 5).

Полученные результаты позволяют вполне обоснованно высказать гипотезу о том, что группа В(2,5) бесконечна. Приведем аргументы в пользу этой гипотезы:

- при моделировании по алгоритму [3] известных конечных бернсайдовых групп В(2,3), В(2,4) и В(3,3) не было зафиксировано ни одного случая, чтобы какое-нибудь соотношение, в котором длины слов в левой и правой части не превышают s, было найдено в объекте K, где r > s;

- при моделировании группы В(2,5) для поиска соотношений были использованы все групповые аксиомы, однако, как было сказано выше, ни одно из указанных в таблице соотношений доказать не удалось.

В то же время строго доказать бесконечность группы В(2,5) пока также не удается.

Библиографический список

1. Hawas, G. The two generated Burnside group of exponent five / G. Hawas, G. Wall, J. Wamsley // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. №> 10. P. 459-470.

2. Кострикин, А. И. Вокруг Бернсайда / А. И. Костри-кин. М. : Наука, 1986.

3. Кузнецов, А. А. Моделирование периодических групп / А. А. Кузнецов, А. Н. Антамошкин, А. К. Шлеп-кин // Системы упр. и информ. технологии. 2008. № 2. С. 4-8.

4. Кузнецов, А. А. Сравнительный анализ бернсайдовых групп В(2,5) и В0(2,5) / А. А. Кузнецов, А. К. Шлепкин // Тр. Ин-та математики и механики Урал. отд-ния Рос. акад. наук. 2009. №> 2. С. 125-132.

Некоторые соотношения группы В0(2,5)

122121121221121212211212212112 =212121122112212121122112212121 1221122121211221122121212222111 =2121122121121221121212211212212 12211222121111211222212222121112=21211112121221122112112121112111 121211211121121211211122121221112=211122121221112112121121112112121

A. A. Kuznetsov, A. K. Shlepkin, A. N. Antamoshkin ^MPUTER MODELING OF BURNSIDE GROUP B(2,5)

A comparative analysis of the groups В(2,5) and Вд(2,5) based on computer modeling in the terms of minimal words is carried out.

Keywords: Burnside problem, Burnside group В(2,5).

© Кузнецов А. А., Шлепкин А. К., Антамошкин А. Н., 2009