CC BY
23
А.П. ГРИБОВ, Н.Н. СТОЛЯРОВ, Н.И. КУКАНОВ
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РАСЧЕТА ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Предлагается итерационный процесс для решения непрямым методом граничных элементов задач нелинейного деформирования пологих оболочек, основанный на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения пластины на упругом основании.
1. Система нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающая деформирование гибкой тонкой линейно-упругой пологой оболочки постоянной толщины по теории, основанной на гипотезах Кирхгофа- Лява, при действии поперечных нагрузок имеет вид [3]:
К{и>хх +у1и,уу+\>2цху) = /,(м, V, Я^+у^+У^) = 12(и, V, ; ¿ЛГИ' + ¿ н' = 13{и, V, ъ>) + р,
0)
Г 1.: - ____ПЛМЛ1 1ГЛТ¥Т/*Т 1» Т**Т1 ТЛТ* ГТ (Л .
1 '-*у } уу —ЛА»тяиАпх-гит в^му^'в 11<-цч-1 ^^диппОИ ПОБ5рлдлО
М
ста оболочки; К = ЕИ/[ 1 — V") - жесткость оболочки на растяжение;
О = ЕН2(1~ - жесткость оболочки на изгиб; Е, \> - модуль Юнга и
коэффициент Пуассона материала: к - толщина оболочки; р - интенсивность поперечной нагрузки; V! = (1 - у, = (1 + у)/2;
к =к(к? + 2укхк2+к!), где - главные кривизны оболочки в направ-
лении координатных осей х и у соответственно;
Ци, V, -и/) - -у,-^ vv^тт -у9тлт,г и' );
/ \ / / ---- — " /
1ъ[и, V, К
1 2 „
| у
1
1
2™*)
{к2
(2)
Г''г г4 ' - *
— н1 {к. -4- Ы/. +1 V*, 4- к.п
^у I -ял \ I
2 Г
I п »
1! &П I
уу1\ (1 + V" ) ^
-I и. +У. И*. №......
- - -у Лу
Процесс последовательных приближений для решения системы (1) принимается в виде:
^ = (3)
(к = 0,1,2,...),
где ам, а„, а№ (0<аи<1, 0<ау<1, 0<а№ <1) - параметры, обеспечивающие сходимость итерационного процесса. Вектор и(и, V, ■*) определяется
из решения системы линейных уравнений, описывающих изгиб и растяжение пластины на упругом основании
, Г , ((к) _.{к) (А)4, _ ис* и- -Г А. №— г3[ и- . V■ , И-1 ' | + р.
Решение системы (4) выполняется методом компенсирующих нагрузок [4, 5], в соответствии с которым область О, представляющая план пологой оболочки, дополняется до бесконечной плоскости, и на контуре Г, который ограничивает область О, к бесконечной пластине прикладываются компен-
¿•ит/глтттир иагплл^ы
По методу компенсирующих нагрузок решение системы (4) ищется в виде:
г
\[С1Х (гл)ф1 (У+<7а(лф2(С)]<Ю (С)+^ (,); (5)
г
снт-ЭШгп®
Здесь еГ2; ^,т])бГ; (18 - элемент длины контура Г;
Су ~ С1 (с25 1пг- угуз |, (¿,у -1,2) - матрица фундаментальных решений Кельвина для плоского напряженного состояния пластины [6]; С, = (11 у)7(4я£й); С2«(3-у)/(1 + у); у, у<>~{у-ц)/г; о„ -
символ Кронекера; г = ^(х-Е,)2 +(у~ц)г; Сr{tiQ~--^kei1-\ _ фунда-
«71^ V f У
ментальное решение задачи изгиба пластины на упругом основании типа
Винклера [9], где / = ^ - внешняя нормаль к контуру Г; Ф,(С),
ФгСО' 'КО* т(С) ~~ компоненты вектора компенсирующих нагрузок на контуре Г ф2 - усилия в срединной поверхности, направленные вдоль координатных осей х, у ; д, т - усилие нормальное срединной поверхности и момент нормальный контуру Г ); ке^х) - функция Кельвина, которая определяется как где £0(х) - модифицированная функция Бесселя.
Для малых значений аргумента имеет место асимптотическое представление [9]:
Гх\2 п х2
кеЦх) = 1пх-~+(\ + 1п2-~у)—+... ,
где у = 0.5772157 - постоянная Эйлера.
Функции 4*'(0' 0) опред^шшся соотношениями.
J'VrrtWv 16)
" \ ' ^ V "V" Х^" j V -1 ■ v -
где сЮ, - элемент площади плана оболочки.
Разрешающая система интегральных уравнений с неизвестными компенсирующими нагрузками получаете* при подстановке (5) в граничные условия на контуре Г, которые имеют вид: dw
tv = 0, — - 0, iv — 0, v = 0 - жесткая заделка; дп
w = 0, Мп = 0, и = Ö, v = О - шарнирное закрепление; (7)
Ж ä _ Г\ I / /I Т Л Т" _ Л - - /Г_____Jt----
т „ = о, у „ = и, 1 п = и, i ж = и — СБиОодныи край,
где ЛГ н - изгибающий момент, нормальный к контуру Г; V„ - обобщенная
поперечная сила; Т„ - тангенциальные усилия в направлении нормали и касательной к контуру Г.
Плотности ф|(С)> Фг(С)* ^(С). т(С) удовлетворяют условию Гельдера. Условие окончания итерационного процесса (7) принимается в виде:
(8)
где М2 = £ ) ) +и'2(?1. )); е - малая положительная величина;
Перемещения и усилия в области А и на контуре Г определяются из соотношений (5). При определении усилий на контуре Г необходимо учитывать разрывы, возникающие за счет предельных значений потенциала двойного слоя.
Ядра граничных интегральных уравнений содержат особенности типа /кг, 1¡г, \/г2 при г —> 0. Интегралы с особенностью типа
11'2
определяются в смысле конечных значений по Адамару [7].
I о !{к}
Функции , V; \\уг определяются интегральными операторами со слабой особенностью (интегрирование проводится по срединной поверхно-
гга 4 » I
2. Б качестве примера рассмотрим задачу изгиба длинной цилиндрической панели шириной Ь , находящейся под действием равномерно распределенного давления интенсивности р,
Для длинной цилиндрической панели система уравнений (1) принимает
вид:
л „
г
—' /V /с 1 ——— ш
1 Л.-- У— I
\ ил ил ил у
(9)
ил сЬс
сШ 1 (
<£с 2\<£с >
¿хг)
- к{и?
где введены следующие безразмерные параметры: К* ~ 1/^1 — у2| ; О" =1/(12(1 -V2)]; кх=кхЬ21к\ р = р1?![ЕЬА)\ х=х/Ь-,
и
иЬ/И2- р = */3V*,.
Граничные условия (7) записываются в виде: ф = 0, — 0, н = и — жесткая заделка;
= 0, \v.jj = 0, й = 0 - шарнирное закрепление; Итерационный процесс (3) представляется в виде: 50 Вестник УлГТУ. 2/2000
(10)
с
«М.^+а^й-й«); (11)
й><*+1> = + а- = 0,1,2,...),
где вектор и (и, й») определяете* из решения системы линейных дифферен-
циальных уравнений:
К —— = л | Л]
Я
¿х2
¿г
<£с
£с (£с2 )
(12)
+ -с£с 2
у ¿5"
+
¿г2
с граничными условиями при л: = 0 и х = 1:
м = 0, = 0, и = 0 - жесткая заделка;
и> = О, = м = 0 - шарнирное закрепление. (13)
В соответствии с методом компенсирующих нагрузок решение системы (12) ищется в виде:
V ^ И \ ' / и \ > \ ! '
\ /■ —и \ - / ч - / а ' ""С л?; 1 V"!'
(14)
гтте
Г
V / Л \ ' -V ( 1
О V
о
с£с
2
ах
)
*1 +
¿X2
-^>4- Ъ
1 <Бс2
)
сГс
Здесь С- ^ - + - - фундаментальное
решение задачи изгиба длинной пластины на упругом основании;
Щ
I V - 1
А? гтт п а* # дт«*л п г тт/\ л матттАтттга пл т?л*»тт л л а гп» п лтгпттпЛИ
л; ципугД х адрпуу р^Ц-ьигсг.:^ -эо^личгА
пластины; Мь, Оа,<2ь, Ма, Мь - компенсирующие нагрузки на кромках
панели, которые определяются из граничных условий (13).
Вестник УлГТУ. 2/2000 51
у
Интегралы, входящие в (15), вычисляются по формуле трапеций, которая позволяет учитывать разрывы в узлах подынтегральной функции.
Условие окончания итерационного процесса принимается в виде (8), где
\Р( = + I - номер узла отрезка.
1
По известным прогибам и касательным перемещениям изгибные и мембранные напряжения определяются соотношениями: 2 . ^Щх)
И к
о = ст
<зм -ам
ЕИ2
л_
Ек2
¿Г
=\\2
¿«М Г 1Г
¿х 1 к } &
= СОИЛ* .
В таблицах 1 и 2 приведены прогибы максимальные по толщине изгибные напряжения ои в центре панели и мембранные напряжения а для шарнирно закрепленной и жесткдоаделанной панелей с кривизнами ку ~ 20
и кх = 100. В столбце 6 приведено количество итераций для решения этой же задачи по методике, изложенной в [2], а в столбце 5 - для предложенного в настоящей паботе итерационного ппоцзсса.
Вычисления п^ово^члись п^и значениях £ —10
т ^ г
-5
■ П О
интегрирования разбивался на 80 элементов. Нагрузки, набранные жирным шрифтом, являются критическими. Полученные результаты сравниваются с
ТОЧНЫМИ ГЙ1
Таблица 1.
у = 0.3 Шарнирное закрепление к1 = 20
Настоящая работа Точное решение
№ — И !. О /ч 1/ ' с"1/4 ЧаСлО Й1С- раций „ И' — и <Т —« <г"
1 2 3 4 5 6 7 8 9
14.4 0.0516 0.0700 -0.1791 33 198 0.052 0.070 -0.179
18.7 0.0678 0.0926 -0.2340 29 220 0.068 0.092 -0.234
< П ПйлЧ 0.1189 -0.2962 29 245 Л П»Л Л 1 1Я -0.297
28.8 0.1072 0.1494 -0.3659 30 277 0.107 0.149 -0.366
34.6 0.1310 0.1849 -0.4436 31 320 0.131 0.183 -0.443
40.7 0.1569 0.2249 -0.5271 32 392 0Л57 0.224 -0.527
47.3 0.1862 0.2721 -0.6196 33 408 0.186 0.270 -0.619
54.2 0.2185 0.3267 -0.7190 35 401 0.218 0.324 -0.718
1 Л 1*1(1 ^. -—^ о л эолт V» ш* -> А ©^¿С "XI ллп -1 * 1 П ъсл 0.387 А QfУЛ -«.оа-Г
! сг г | ОО.Э м О 1 ^ \J.4ol 0 л А Л -0.9041 38 437 0.281 Л л «ч г и.ч^у -0.903
N
Таблица 2.
у = 03 Жесткая заделка к1 = 100
Настоящая работа Точное решение
р Б»/4 ам/4 число итераций УV оя
1 2 3 4 5 б 7 8 9
248.1 0.0441 0.1203 -0.6193 227 1271 0.044 0.111 -0.619
330.9 0.0601 0.1735 -0.8273 206 1327 0.060 0.158 -0.824
423.0 0.0792 0.2451 -1.0595 225 1249 0.079 0.224 -1.06
527.2 0.1028 0.3498 -1.3234 255 1346 0.102 0.317 -1.32
642.4 0.1333 0.5143 -1.6171 305 1519 0.131 0.461 -1.62
716.6 0.1569 0.6673 -1.8076 329 1709 0.153 0.592 -1.81
729.3 0.1614 0.6991 -1.8404 237 1749 0.157 0.619 -1.84
Вычисления проводились при значениях е = 10 5, аи = = 0.9, отрезок интегрирования разбивался на 80 элементов. Нагрузки, набранные жирным шрифтом, являются критическими. Полученные результаты сравниваются с точными [8].
Для шарнирного закрепления панели с параметром кривизны 4.45 < кх < 9.04 теряют устойчивость по симметричной форме (потер* устойчивости второго рода). Для жесткого закрепления такая форма потери устойчивости наступает для значений параметра кривизны 10.3 < кх < 20.1 [8].
Потепя устойчивости пеплогп ппгта |'на симметричную бюому оавнове-сия накладывается несимметричная) наступает у панелей с параметром кривизны
-м
г ¡8 у/А 11 <г
кх > ¡.1.1--, где ц = -,--- - параметр сжимающего усилия;
V 3 В 2 V £)*
<
а) для шарнирного закрепления (кх > 9.04); ц = тс; А = —- + -; В = —г- + -;
2\1 3 ц, 3
1
б) для жесткой заделки (кх > 20.1); ц « 4.4934; А = -; В = -,
Нагрузка., при которой происходит такая форма потери устойчивости. определяется как
з и,;
и
з(1-у2)
А-В + л
V
Из результатов численного решения задам видно, что предложенный итерационный процесс с использованием фундаментальных решений задач изгиба и растяжения пластины на упругом основании имеет большую скорость сходимости, чем итерационный процесс, предложенный в [2]. Вестник УлГТУ. 2/2000 53
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Грибов А.П. О построении итерационных алгоритмов метода граничных элементов для задач изгиба пологих оболочек и пластин на упругом основании // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.2. Казань, 1996. С Л12-117.
2. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.З. Саратов, 1997. С. 49-54.
3. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964.
4. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960.
5. Толкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. 3. С.155-180.
6. Бенерджи П., Батгерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984=
1. Адамар Ж. Задачи Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978.
8. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. М.:
Т Т_____ "I л/о
паука,
9. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер,С. Пластинки и оболочки. М.;
Наука. 1966.
щ/
Грибов Александр Павлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи в области механики оболочек.
Столяров Николай Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» Самарского государственного технического университета. окончил Самарский политехнический институт. Имеет работы в области численных методов решения нелинейных задач механики оболочек.
Куканов Николай Иванович, магистрант УлТТУ.
