Исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

уда 5зо.з

А.П. ГРИБОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕ^ПШГЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛАСТИН И ПОЛО! ИХ ОБОЛОЧЕК МЬТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассматривается применение мегода граничных элементов для исследования нелинейного деформиров1ния гибких пластин и пологих оболочек, находящихся под действием распределенных и локальных нагрузок.

Применение метода граничных элементов часто осложняемся отсутствием фундаментальных решений дифференциальных уравнений или громоздкими сложными выражениями, опреде.шющими фундаментальные решения.

В настоящей раЬоте даегся развитие мсто,щки [1, 2] построения итерационных алгоритмов метода граничных элементов для решения задач изгиба ниш оболочек в геометтшчески нелинейной постановке. А^хгоритмы основаны на применении фундамента^ных решений задач изгиба и растяжения пластины, которые имеют более простою структуру, чем фундаментальные решения пологих оболочек.

Д.1Я реализации алгоритма в системе нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях выде.шются линейные операторы изгиба и растяжения пластины. Такой подход позволяет построить итерационный процесс решения нелинейных задач, пои котором на каждой итерации непрямым методом граничных элементов решаются линейные задачи изгиба и растяжения пластины.

Получено решение задач о больших прогибях ппястич и пологих оболочек сложной формы, находящихся под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок при различных способах закрепления на контуре. Построены зависимости <шрогиб - нагрузка».

1. Система нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающая деформирование гибкой топкой линейно-^ттругпй педогой оболочки по теории основанной на гипотез* Кирхгофа-Ляга, при действии поперечных нагрузок имеет вид [3|

де

/( (и, V Н')= ¡((yk.jW.x+kiW.x-W^ W.xx-\flW,x H^-VjH^ W.xy): l7(u,v,w)= K[vkxw,y+k1w,y-w,y w,yy-vxw,v w>xx-v2w>x w>xy)>

1 , I . I

_i

2

/3(m,V, w) = К

rM MW- +v| + 1 #

(л,

kj\v + - w

>k2 +W>y>)\ +

Ш I \

+ Т.-т( И' V+ + п, г И>, V К г„,

(1 + V) 4 '

где и, V, и>-компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности оболочки; £ - Е^ II - жесткость ооолочки на

растяжение; /) = £/» /2^1 —у — жесткость оболочки на изгиб; Е, V -

модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала; Л - толщина оболочки: р - интенсивность поперечной нагрузки; = (1 - ц)^;

у-,= (1 + у)/2; кх, кг- главные кривизны оболички в направлении

координатных осей х, у.

На контуре 1 рассматриваются следующие I раничные условия:

dw

н' = 0. — = 0, и = 0, V = 0 - жесгкая заделка дп

и> = 0, Мп = 0, и = 0, v = 0 - шарнирное закрепление, п = 0, Тп= 0. Тт =0 - свободный край,

(3)

(4)

(5)

где Мп, п - изгибающий момент вокруг касательной к контуру и обобщенная поперечная сила на контуре; Тп, Т/п- проекции ьеюора контурного усилия на нормаль п и касательную т к контуру Г \4]ш

7„ -Л(с. + vs.), V-0~;К< «. =

2 дп

2

/л \2

OW

V On;

2

диг , 1 ом ди_ ди dw thi

£т =- --KtH' + -l— ; £Я1 •— -t- —-~2kmw +--

дп дтJ дп дп дп ск

((у)

% = k{n\ + к2п,2; km = nin2(k2 - ); кп= Щ /if + кгп\; я, = cos(n, х); щ = cosi я, у). Процесс последовагельшлх приближений для решения системы (1) принимается в виде

Весгник^лГТУ 1/99 53

(/Ы) (*) . Vх ' = VК ' + (

ау(?-у^); (7)

= 0,1,2,...),

где аи, а„, а^ (0<а„<1, 0<ау<1, 0<аи<1) - параметры, обеспечивающие сходимость итерационного ппоиесса. Вгктор iw ~.i l определяется из решения системы линейных уравнений

К(и.....=

у ЛЛ I >уу г -А// 1у ' ' I'

= ^(ААи^); (8)

описьшающих изгиб и растяжение пластины, с граничными условиями:

и = о, — = 0, '=0, у = 0 - жесткая заделка; (9)

дп

~ = V „„+У1 хт = 0," 0, = 0 - шарнирное закрепление; (10) для свободного края, не содержащего угловых точек, граничные условия

г» О ГТТ »ОТ ТТЧ О Л ГТ Т» т* Г I тур

X ^Д 1) ОГ1Д&

а

оу

и*),,('>,»■<*>),

5« <?т■ \ /

дн'

Ч дп ,

Ш'У 7,иЛ'игА^иЛ'—---—, (12)

у ' дп от

и, =иг\+ йх = - щ, + Vл,

Решение системы (8) выполняется методом компенсирующих натгрузок [5, 6], в соответствии с которым область П, представляющая 9« пологой оболочки, дополняется до бссконсчной плоскости и на контуре Г, который ограничивает область П, к бесконечной пластине прикладываются компенсирующие нагрузки.

По методу компенсирующих на1рузок решение системы (8) ищется в виде:

Щ = | ^ С>| I) + + "Ч<);

г

Щ = (/,с)ф1 (;)++/(г); (13)

г

«(0-1

Здесь /(х,^) ^(^."П' ¿¿у - элемент длины контура/";

6 , =С,| 728 1пг-у1у) /г2), (г,у = 1,2) - матрица фундаментальных решений Кельвина лгя плоского напряженного состояния пластины [7]: С,=-(1 + у) /(4^/2); С2=(3-у)/(1 + у);^=(х-у/г; ^ ^-ц)/,;

I

8^- символ Кронекера; г= лГ|2; (7(*,£) = г21пг / (ЯпО) -

фундаментальное решение задачи изгиба пластины; «(<£")- внешняя нормаль к контуру Г] (р{(С), Ф^С), ~ компоненты век-юра

компенсирующих нагрз зок на контуре Г; (Ш, срг- усилия в срединной посгрхпости, направленные ьдоль координатных осей х, у; д, т-усилне нормальное срединной поверхности и момент вокруг касательно!: к контуру У ).

Ф>нкции I (/), >/(/) опредьтяются соотношениями

где <Ш - элемент площади плана оболочки. -(£.??) е & -

Система сингу.гярных интегральных уравнений с неизвестными компенсирующими нагрузками получается при подстановке (13) в граничные условия (9) - (11) и имеет для граничных условий (3), (4) вид: 1) жесткая зaдeJжa

1

ЗаМ

•' 21пг + г(11пг + 1)с^у ¡/«(С)]^) +ф = о; (15)

8л£

I\г{11пг + 1)соуу + [(21пг + 1)с<м(у - У I ) +

+2 сауу ли у, + (0 •

с,/ - Ф, (С)+(с2 /лл - *1П2 е)ф 2 (С) = 0.

2) шарнирное закрепление 1 -{[г2/лг^<;) + г(2/лг + 1)сауу, /иф]^) + и>'(/) = 0;

2 8л I

(16)

«(3+

С.1

г

+2(1 - +^т.)] цс)Ц)+к«)-

(С2 /л Г- С052 е)ф, (с) - ^ ф2(с)]^(с) + "'(')= О;

5/Л26

Ф,(С) + (С, 1пг - зт1 9)ф2(с) + /(*) = 0,

где 1{х,у) /2; ^ Г; ^ (/) =-/)(<„(*) + ™4(/)).

Ядра системы интегральных уравнений определяются в системе координат, связанной с контуром (см. рис. 1).

Рис. 1. Системы координат и, т ил;, т(, связанные с контуром

оболочки

Функции плотности т{£) удовтетворяют условию

Гсльдера.

'Условие окончания итерационного процесса (4) принимается в виде

¿7-^||/р)|<в, (17)

где Щ2 = V 1г(/()+у2 !,)+е - малая положительная величина;

(гР

Перемещения и усилия в области О и на контуре Г определяются соотношениями вида (13). При определении усилий на контуре / необходимо учитывать разрывы, возникающие за счет предельных значений потенциалов. Ядра граьичных интегральных уравнений

содержат особенности типа 1пг, /г, /г2 при Интегралы с

особенностью типа /г2 определяются в смысле конечных значений по Аламару [8)

При численной реализации алгоритма контур ' аппроксимируется отрезками прямых линий или дугами окружностей и разбивается на граничные элементы, в пределах которых компенсирующие нагрузки считаются постоянными. Инте!ралы, не содержащие особенностей вычисляются На ^леменгал койтура но зоеьмиузлевой формуле Гаусса. Сингулярные интегра.п>1 вычисляются аналигически.

Функции у<*> , определяются интегральными операторами со слабой особенностью (интегрирование проводатся по срединной поверхности ¿2). Для вычисления этих интегралов срединная

поверхность разбивается на треугольники или секторы (рис. 2).

В ■ ~ ; ■

ячейка

Рис. 2. Схема разбивки области П на элементы

Далее каждый треугольник разбивается на отдельные элементы (ячейки). На срединную поверхность О. наносится сеточная область, узлы которой являются центрами тяжести отдельных ячеек. Интегралы по отдельным ячейкам можно представить в вилс

J = (7 = U..-,m), (18)

где ti - центр тяжести / - й ячейки; A t - площадь j - й ячейки: т - число ячеек в области интегрирования; к ядро интегрального оператора;

ф(С)- плотность, которая удовлетворяет условию I ельдера

|<р(£) - <рЩ ^ ClC - ; 0 < X < 1; С = const > 0.

Если i * j, то интеграл (17) вычис.1яется по форм>ле

J^.k^tj^Aj. (19)

При i = j интегралы типа (I7) имеют слабую особенность. Ядра этих интегралов имеют вид

¿4-,;) = !(j Э; k(t,= A(lt^y Inr;(X = ОДД): (20)

IA(i,сот.

Цля вычисления этих интегралов вводится полярная система координат с полюсом в точке г,. Интегралы с ядром (18) представляются следующим образом

(21)

•i г н г

J - Л Цг) = A^.t,>p(i,)|гх Ыф). § = ОД,2).

д< Д,

Интегг>а.1ы входящие в (20). преобраз>ются к виду

di2(C) 2" 1 'М 2х м'ч>)

j = j dip j -rdr = Jdr| \r Inr сЮ(ц)* ¡rx+i Inrdr (22)

Л, r О О Г 0 0 A, 00

и вычисляются численно или аналитически.

Исследование нелинейного деформирования оболочек сводится к решению нелинейных задач, зависящих от параметра, который может задаваться различными способами. При численном решении нелинейных задач строится шаговый процесс для монотонно изменяющихся значений ьыбранного параметра. Эффективность алгоритма зависит от спосооа выбора этого параметра. Б настоящей работе изучение нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек проводится с помощью зависимостей «прогиб - нагрузка». За ведущий параметр принимались

поперечная нагрузка р или прогиб w* в заданной точке t'^x'.y'}

срединной поверхности оболочки.

В первом случае строится итерационный процесс с шагом по нагрузке Ьр, т.е. решаются нелинейные задачи для нагрузок pQ, д, . . . , pw. При

этом = /?м +Лр (/ = 1,2,...,jV). За начальное приближение при нагрузке

р принимается решение при нагрузке /?,_,. При нагрузке д, можно

принять

к(0)=0, v(o1=0, w(o)=0. (23)

Это соответствует рлпению на первой итерации задачи изгиба и растяжения пластины в линейной постановке.

Во втором случае к системе нелинейных уравнений (1) добавляется

уравнение w^/*j = w* и нагрузка р считается неизвестной величиной.

Строится итерационный процесс с шагом по прогибу Аи'* в заданной точке 1 , т. е. решаются нелинейные задачи гщя значений прогибов и>0, иГ. ... , w'N в точке t При этом щ = н*_, + Аи>* (/= J).

За начальное приближение к решению при значении прогиба w* в точке 1 можно принять

м(<) =BMV-1)1 v(0 = Bv('-0. ^ =ph,Mf (f Д1), (24)

где р = -

w, ,

При значении в точке t прогиба и'0 начальные приближения можно принять в виде (23). Задание начального приближения в виде (24) является эффективным, если деформация оболочки происходит без резкого изменения формы.

При решении задач для больших перемещений с начального приближения (23) итерационный процесс может не сходиться. В тгом случае, чтобы nojiy4HTb решение нелинейной задачи, можно применить процесс продолжения по параметру.

2. В качестве примера рассмотрим задачу нелинейного деформирования пологого сферического купола с жестко заделанными краями, находящегося под действием равномерно распределенной поперечной налрузки интенсивности р, направленной к цеь±т>у кривизны. Радиус основания купола равен а. радиус кривизны R.

В таблице I приведены прогибы, мембранные и максимальные по толщине изгибные напряжения в центре и на краю оболочки с параметрами к 8, v- 0.3, полученные методом граничных элементов

при равномерном разбиении контура на 20 дуговых элементов и методом конечных разностей [9]. Введены следующие безразмерные параметры:

к=--а2/(Ыг), р=ра*/{Е1г*). о/ = ст аг¡{ЕЙ1),

Ъмт = а а2/(ьУ).

где ст^ - радиальное нормальное мембранное напряжение; ст^-радиальное максимальное по толщине и^гибное напряжение

Таблица 1

метод конечных разнос!ей ¡91 Метод граничных элементов

р и(0) #(0) «ГЦ Я®

12 0.115 0.107 -0.837 -1.17 -0.586 0.116 0.115 -0.840 -1.19 -0.605

18 0.178 0.166 • -1 28 -174 -0.892 0.180 0.173 -1.28 -1.74 -0 92

24 0.247 0.232 -1.75 -2.29 -1 21 0 249 0.243 -1.75 -2.30 -1.24

30 0.324 0.316 -2.24 -2.82 -1 54 0.325 0.327 -2.25 -2.84 -1.57

36 0.411 0.434 -2.78 -3-30 -1.89 0.409 0.450 -2.785 3.36 -1.93

42 0.520 0.659 -3.39 -3.70 -2.26 0.511 0.612 -3, *0 -3.78 -2.30

Для приведенных в таблице значений нагрузок итерационный пиоцесс (4) сходился с начального приближения (22) при аи=0.2, а, =0.2,

а№= 0.05 и е = 10~4 за 20-50 итераций.

На рис. 3 приведены зависимости п - й>0, где и'0 - прогиб в центре

оболочки, для оболочек с кривизной к =0;1;4;8. За ведущий параметр

принят прогиб и^.

0.0

1.0

2.0

и>»

Рис. 3. График зависимости между прогибом в центре и нагрузкой для пологого сферического купола

Как показали расчеты, = м>тах. При к =0;1 зависимости р - и0 носят монотонный характер. При к = 4; 8 (как следует из рис. 3) оболочка теряет устойчивость хлопком. Верхняя и нижняя критические нагрузки соответственно равны: /?в=11.2; рн = 49.7. Значения этих

нагрузок, приведенные в работе [9]. равны: рп-11.6; р., =49.69. Для пологой оболочки с к = 4 нижняя критическая нагрузка рч -9.15. Это значение совпадает с приведенным в работе [3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грибов А.П. О построении итерационных алгоритмов метода граничных элементов для залач изгиба пологих оболочек и пластин на упруюм основании // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.2. Казань, 1996. С. 112-117.

2. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.З. Саратов, 1997. С. 49 -54.

3. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих ооолочек и методы их решения. М/ Наука, 1964. 192 с.

Д Галимов К З. Основы нелинейной теории оболочек. Казань: Изд-во Казанского университета, 1975. 382 с.

5 Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселеных функциях. М. Физматгиз, 1^60. 28/ с.

6. То.гкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теооии изгиба пластин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. № 3. С. 155-180.

7. Ьенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир. 1984. 496 с.

8. Адамар Ж. Задача Копи для линейных уравнений I частными производными гиперболческого типа. M : Наука , 1978. 352 с.

9. Корнишин М.С., Иеамбаева Ф.С. Гибкие пласгиьы и панели. М. : Наука , 1968. 260 с.

Гчиоов Алексанор Павлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи в области применения численных методов для тзасчета пластин и оСолочек.