Решение задач деформирования пологой длинной цилиндрической панели с учетом и без учета поперечного сдвига Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.37

А. П. ГРИБОВ, Н. И. КУКАНОВ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛОГОЙ ДЛИННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ С УЧЕТОМ И БЕЗ УЧЕТА ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА

Представлена схема получения фундаментального решения линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. С помощью интегрального преобрзования Фурье определены фундаментальные решения задач деформирования пологой длинной цилиндрической панели как без учета, так и с учетом поперечного сдвига (модели деформирования Кирхгофа-Лява и Тимошенко).С использованием полученных фундаментальных решений строится итерационный процесс решения нелинейных задач деформирования пологой длинной цилиндрической панели. Приведены примеры численного решения задач.

1. Схема получения фундаментального решения линейного дифференциального оператора. Пусть дана система N линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (х - независимая переменная): (!)

где I- \линейный дифференциальный оператор; И(х) = [ш(х)] , Р(х)=[£(х)] - искомая и заданная вектор-функции соответственно, Искомая вектор-функция U(x) определяется из соотношения

Цх) - = ¡а(хг%)р(^ £ е Оч

я

где L0l - интегральный оператор, ядром которого является функция Грина G дифференциального оператора L0 [1]; Q - область определения дифференциального оператора L0. Функция Грина находится из условия

(2)

где §(х-£,) - дельта-функция Дирака; 1 - единичная матрица размерностью

Соотношение (2) позволяет определить функцию Грина G дифференциального оператора Ь0. Из (2) видно, что функция G зависит только от свойств L0. Фундаментальное решение (функция Грина) определяется с точностью до решения однородного уравнения (2) и, в общем случае, является обобщенной функцией.

Отметим тот факт, что наблюдается аналогия между определением фундаментального решения линейного дифференциального оператора и вычислением обратной матрицы в матричном исчислении. Так, например, пусть А - матрица размерностью ЫхЫ, тогда аналогом (2) является выражение

4Л 1 =/

где обратная матрица А~1 определяется в результате решения N систем линейных алгебраических уравнений.

В теории пластин и оболочек и(х) - вектор-функция деформации, Б(х) - вектор-функция внешней нагрузки, а определение фундаментального решения оператора L0 соответствует последовательному решению N задач деформирования оболочки под воздействием единичных сосредоточенных нагрузок

г, р, (и = Глг1

' - т * |Ш * 1 4 / , приложенных в точке х =

■ ■. Здесь - символ Кронекера. Таким образом, вектор-функции внешних нагрузок примут вид:

*-,(*)= аОе-Е)«, (г = й/). Р)

В силу линейного принципа независимости действия сил решение системы (1) от воздействия нагрузок (3) представится в виде

(4)

где 1 4 ^ - матрица фундаментального решения размер-

ностью N х N Glm (х,Л) - деформация и1 (х) от воздействия единичной сосредоточенной нагрузки Р°, приложенной в точке х = £; Р = [рЛ f - вектор значений сосредоточенных нагрузок.

Элементы матрицы G определяются из решения N систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (развернутая

(У'=19(Д* ■-й. Ь» =:I ■4

|): j-.ii \ см" I

О)

запись (2)):

Для решения (5) применим интегральное преобразование Фурье [2]. Трансформанта Др) функции /(х) прямого преобразования Фурье определяется соотношением

соотношение между трансформантами производных от /(х) и трансформантой

%)

. ^ .

Ы=С-фТ/(р).

Трансформанта дельта-функции Дирака

^2п

Таким образом, системы дифференциальных уравнений (5) в пространстве трансформант перейдут в алгебраические системы уравнений

которые удобно решать методом Крамера. Здесь Glm (р, £) - трансформанты элементов матрицы фундаментального решения О:

Для восстановления оригиналов по известным трансформантам имеет место следующая формула обратного преобразования Фурье:

/й- 1 <7)

л« ¿я _ж

Рассмотрим вычисление несобственных интегралов следующего вида: 4*- „ -ж

к = /Ц-А.иа!.

-ей Х

Интегралы (8) следует понимать в смысле конечного значения [3]. Рассмотрим интеграл (8) при п = 1:

г Л^А ЛЛ ** Л =

1 I г 1 * 1 т о -

где используются свойства интегралов от четных и нечетных функций; интеграл тт

множитель Дирихле [4]; )-функция знака.

Далее, имеем

известен под названием разрывный

-Ал

~ е— ] в | 1а ^ . ,

\п-[у Отметим

два факта. Во-первых, при отделении действительной и мнимой частей (9), получим следующие соотношения:

В известных справочниках [5, б] интегралы вида (10) определены как имеющие бесконечное значение. 55 Вестник УлГТУ 1/2001

Во-вторых, при /7 — 0 выражение (9) неприемлемо, но значение интеграла известно [7] и равно

Фундаментальное решение задачи линейного деформирования пологой длинной цилиндрической панели (модель Кирхгофа-Лява) В рамках модели, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, задача деформирования линейно-упругой изотропной панели постоянной толщины, модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона у описывается следующей системой дифференциальных уравнений в перемещениях и и w (ось Ох совмещена с дугой панели, ось Oz направлена к центру кривизны):

ГЖ

" и £ ¿¡'Л'

¿г * £

ЕЬ

¿ЙГ

(к

(11)

в=

Где !' ' " жесткость на растяжение и на изгиб соответственно;

кх - кривизна панели; рх^ — интенсивности распределенных нагрузок, действующих в срединной плоскости и по нормали к срединой поверхности соответственно.

Таким образом, оператор 1^0 из (11) принимает вид

0 =

ЕЬ1

¡5РЛ

л ' - 5

ы,

¡к . а

(Щ

: а1

Следуя (4), решение системы (11) от воздействия сосредоточенных сил представится в виде и(х)=^,(хД)Р° +Оа{х,§Р?-,

\\7{х)п021{хА)Р° + 022(х.1)Р°. где и (х) = [ы(х). \т(х)]г = [\¥. (х). и2 (х)]г

Р " (л . К Т — [Р| ■ I - вектор-функция сосредоточенных сил. Матрица Г рина G определится из решения двух дифференциальных систем уравнений (5), описывающих деформацию панели от воздействия сосредоточенных сил Ро(ш= 1,2):

вектор-функция перемещения;

(13)

В пространстве трансформант Фурье оператор ЬО (12) примет вид 56 Вестник УлГТУ 1/2001

]

¿¿**вк1)'

а системы (13) перейдут в алгебраические (ш= 1,2):

Ср„ (рЦ5и СРЛ) - з1и -■ е *; ¡и А. ¿п{- (Р^ь, (р, у Ч вь. -¡1= *«.

Решение систем (14) имеет вид:

1Й

1

] i к

в7+~

1

V 21Г

О р

Используя значения несобственных интегралов (9), восстановим оригиналы G по

(7):

и -1,

,|л ч *

- - 5); (15)

12£?

Дифференцируя (¿5), можно доказать тождественность (13).

Следует отметить, что при кх = О (т.е. цилиндрическая панель вырождается в пластину) задача деформирования панели автоматически распадается на две независимые задачи: задача растяжения и задача изгиба пластины с известными фундаментальными решениями. Соотношения (15) включают в себя данный случай как частный.

1.2. Фундаментальное решение задачи линейного деформирования пологой длинной цилиндрической панели с учетом поперечного сдвига (модель Тимошенко) В рамках модели, основанной на теории типа Тимошенко, задача дефоруиро-вания панели постоянной толщины описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

ГЛ

к, н*

>4

л3

.Га*

где \|/у - угол поворота отрезка нормали у срединной поверхности;

- жесткость на сдвиг; а2 - коэффициент, учитывающий законы распределения напряжений по толщине панели, обычно принимается а2=5/6/

Оператор Ц), как следует из (16), принимает вид

Г .......... -4 0

II * ¡¿V : -5 —¡-+Вк! ..... А 1.17)

0 <

Решение системы (16) от воздействия сосредоточенных нагрузок представимо в виде (4) или в развернутом виде

Ч». С^ДО

¥,(*)= + + (7М

где -^(г)^^*/ - вектор-функция дефор-

мации; , гц. ^ ^ : ] вект0р_функция сосредоточенных

нагрузок; М{*. - сосредоточенный момент, приложенный в точке х=4-

Матрица фундаментального решения G определится из решения трех систем дифференциальных уравнений (ш= 1,2,3):

, ( ** V ■ ' ^ (¿ \ ( с/ ^

С^)73™ +^ ---

Оператор Ьс (17) в пространстве трансформант примет вид

тк,Р 0

¡Бр

"о..... Шр

и трансформанты 01ш(рД) определяются из решения трех систем алгебраических уравнений (ш = 1,2,3):

А | (- '»Д. (р. 4)+ , Г- а» Ра, Ш+1,, (- 1Р ^ (м) - в ,„ ' **;

V 1т

1 (- Ср, ¿4 (- 4)+ ¿я С- грр.^ (р. г). в -4.

Отсюда

1

ЛУ .5 р*

Л* [V в

Е> р

р

При обратном преобразовании (7) с использованием (9), полним оригиналы:

При

подстановке (19) в системы (18) получим тождества.

Если кривизна панели кх - 0, то задача деформирования панели автоматически распадается на две независимые задачи: задача растяжения пластины и задача изгиба пластины по теории типа Тимошенко.

Фундаментальные решения (15) и (19) можно использовать для получения решений линейных задач деформирования пологой цилиндрической панели постоянной толщины и кривизны под воздействием произвольной внешней нагрузки. В настоящей работе данный вопрос не рассматривается.

2.Решение нелинейных задач деформирования пологой длинной цилиндрической панели. Рассмотрим задачу нелинейного деформирования панели шириной L, находящейся под воздействием равномерно распределенного поперечного давления интенсивностью р,-р. Решение задачи рассмотрим в рамках двух моделей деформирования: модели, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, и модели типа Тимошенко (с учетом поперечного сдвига).

2.1. Модель Кирхгофа-Лява

В рамках рассматриваемой модели, система нелинейных дифференциальных уравнений имеет вид:

¿/2н „ ¿^1

" Сьг . Иг !

3

■ к. —

где 1, (х!, /2(г/,\у) - нелинейные дифференциальные операторы:

- - л. ----

Щ (£са

¿¡(й,*)» д.

Л-

Процесс последовательных приближений для решения системы (20) принимается в виде:

где к - 0,1,2,... - номер итерации; 0 < аи. < 1 ;0 < aw < 1 - параметры, обеспечивающие сходимость итерационного процесса. Перемещения и, w определяются из решения системы линейных уравнений, описывающих деформирование пологой длинной цилиндрической панели по гипотезам Кирхгофа- Лява:

и»«). „

На первой итерации (к = 0) за начальное приближение принимается

(°) = 0, w(0)=0.

Решение системы (22) выполняется методом компенсирующих нагрузок [8], в соответствии с которым, решение ищется в виде

УА< М- зд,

«« / н\1 . ^ где О

[0/ш(хл)]3 (1,т - 1,2) - матрица фундаментального решения линейного оператора, описывающего деформирование пологой панели по гипотезам Кирхгофа-Лява (15); Qa,Ob, Ma,Mh - компенсирующие нагрузки на кромках панели,

которые определяются из граничных условий.

Частные решения и]:А(х), wл(x) определяются соотношениями:

^ 1 г • —"" нчшытяпп.

Неизвестные компенсирующие нагрузки определяются из удовлетворения граничным условиям. Рассматриваются следующие условия закрепления на краях панели х = 0 и х = Ь :

И^О, — = 0

- жесткая заделка; (25)

И» 0, —^=0

- шарнирное закрепление. Интегралы, входящие в (24), вычисляются по формуле трапеций, которая позволяет учитывать разрывы в узлах подынтегральной функции. Условие окончания итерационного процесса (21) принимается в виде

ы*л и дя 11с:

где I1 - принятая норма; N - количество узлов разбие-

ния; 8 - малая положительная величина.

Изгибные и мембранные напряжения в панели определяются из соотношений (23):

, \fdw\-

А1 Й(г! ПХ^^Ы

К1«*"" т

Система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая деформирование пологой панели с учетом поперечного сдвига, имеет вид:

61 Вестник УлГТУ 1/2001

а/

Ь/!И

I л-

'■sj-n-

D

•»•Ч^Нх-Ч-^

3H

Г A*

+-V,

(Щ

где t1(u,w), t2(u,w) - нелинейные дифференциальные операторы:

4 L J ■ .. =.. — ... — — VUU^U I UjJ

Г£Г ¿¿r*

LA

г

Итерационный процесс решения системы (28) принимается в виде (21). Перемещения и^ и угол поворота \\) х на каждой итерации определяются из решения линейной системы уравнений, описывающих деформирование панели по теории типа Тимошенко:

S

(.Л3 dx

At,

4

iAf

(29)

die3 Lebr

Учитывая, что в системе (28) отсутствуют нелинейные члены с углом поворота \|/v, в итерационном процессе не уточняется, т.к. на каждой итерации \|/v определяется точно при соответствующих функциях uAk\wAk\ Начальные приближения i/UJ = 0, wA = 0. Решение системы (28) в соответствии с методом компенсирующих нагрузок, ищется в виде:

, М-¿,Г4С(3 , , SадМЬкОдЬ¿)+*£?(*),

[G/m(x,f;)], (J.m = 1,2,3) - матрица фундаментальною решения линей- ного оператора, описывающего деформирование пологой панели по теории типа Тимошенко (19) ; Na,Nb, Qa,Qb, Ma,Mb - компенсирующие нагрузки на кромках панели, которые определяются из граничных условий. 62 Вестник УлГТУ 1/2001

(30)

где G =

Частные решения гу.л(х), \¥л(х), \|/л(1С) определяются соотношениями с

Л)- рк> Ои

*

№)= ¡¿к ■ в

Неизвестные компенсирующие нагрузки определяются из граничных условий на кромках панели при х = 0 и х - Ь: ы = 0, = 0, у)/А. = 0- жесткая заделка; (32)

Й = 0, на. О,

& - шарнирное закрепление.

Интегралы, входящие в (31), вычисляются гго формуле трапеций, которая позволяет учитывать разрывы в узлах подынтегральной функции.

Условие окончания итерационного процесса принимается в виде (26).

Изгибные и мембранные напряжения определяются из соотношений (30):

(У - —г---, О

а* <ь

■ йот!.

(33)

] (¿К I 3.Пример расчета.

По предлагаемому алгоритму решены задачи деформирования пологой длинной цилиндрической панели но двум моделям, а результаты сравнены с известными, полученными методом конечных разностей [9]. При решении задач принимались значения: V = 0,3, N = 100, г - Ю-5, а„ = aw = 1. Результаты решения представлены в безразмерных параметрах: щ,- ¡А _ (I

В таблице 1 приведены решения для граничного условия жесткой заделки при кх= 100, в таблице 2 - для шарнирного закрепления при кх =100.

Таблица 1

Жесткая заделка панели.

- МКР ги Модый, Киркгэ ю-Лявй Метель Тимонивки

Р б"" - ЖЙ^ С Р а*" т7 Р Бшщ СТ

345,1 0,4<И -2,47й 247,9 -¿,474 247,? 0.441 ■2,474

шма -¡¿2.96 331.1 1Ш7 311,3 -МЫ

с.от 423,0 0,896 424.6 -4,251 424.5 п,мо ■4,250

0,102 527,2 Ш9 -5,2? 528.3 \21Ъ -1,300 1Д74 -5.297

<Ш1 441.4 1,844 -13,48 612.6 1.Й50 Й4],В 1.И50 -<¡.455

У. 151 71й,б 2,36» ■7,24 71(5.3 2^7! -7,119 114.1 Ш -7.2ПЗ

ОД57 7193 5,4 7й -7,1(5 ТЖ.! 2,474 -7.344 3,477 -7,5:7

Значения прогиба w и изгибного напряжения а"3<' - в центре панели. Решения сходились за 7-9 итераций.

Таблица 2

Шарнирное закрепление панели

мкр [91 Моден 1, к'црхги и-Лиа шн Молепь Тниииклга

Р Р а™ Р з"™

п.изо О.ОЗЙ 0,М2 о.<мя 0.П53 110,7 1<п,г Щ* 3«,] е. ¡7г 0,101 (ДаЯ П.Л96 о.лг -1 Гой -2,476 -2.Е72 -1396 -3,612 207,4 247,7 гв7.з 3^7 С,171 0,209 0.551) 0,2« У2] ■хот? -2,452 -2,8*1 ■Ъ,27А 207.4 247,7 2Е7,3 326,6 0,171 0.209 0-1« <Ш1 ■7.077 -2М1 ■5,«51 -3,274 -3,597

Вопрос формы потери устойчивости не рассматривался, т.к. решение велось не далее верхней критической нагрузки. Отмечается удовлетворительная согласованность результатов решений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969. -528 с.

2.Шевченко В. П. Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Донецкий государственный университет. - Донецк, 1977. - 1 15 с.

3.Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука, 1978.

4.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. В 2 ч. - М.: Наука. Физматлит, 2000.

5.Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произве-деннй.- М.: Наука, 1971. - 1108 с.

6.Двайт Г'. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - СПб: «Изд-во и типография АО ВНИИГ им. Б.В. Веденеева», 1995. — 176 с.

7.Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. - М.: Физико-математическая литература, 2000. - 400 с.

8.Толкачев В. М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1988. - № 3. - С. 155-180.

9.Корнипшн М. С., Исанбаева Ф. С. Гибкие пластины и панели. - М.: Наука, 1968.

Грибов Александр Павлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Теоретическая, механика» Казанского государственного университета, окончил механико-математический факультет Казанского государственного университета. Имеет публикации в области механики оболочек.

Куканов Николай Иванович, аспирант Ульяновского государственного технического университета, окончил строительный факультет Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации в области механики оболочек.