Решение задачи изгиба пластины на упругом основании методом граничных интегральных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.37

А.П. ГРИБОВ, Н.И. КУКАНОВ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматривается применение метода граничных интегральных уравнений для решения задачи изгиба пластины на упругом основании типа Винклера. Приведен вывод интегральных уравнений, дан анализ их ядер и исследованы предельные значения основных по-тенциалов. Составлены программа расчета, получены численные результаты, согласующиеся с известными решениями.

Рассмотрим задачу изгиба тонкой изотропной пластины постоянной толщины И на упругом основании типа Винклера, с коэффициентом упругости основания к. Срединная поверхность пластины занимает область ограниченную контуром Г. Дифференциальное уравнение изгиба пластины в декартовой системе координат имеет вид [1]

я(*>у)

Ьм>(х, у) =

О

1 д2 где Ь = А2 + -г - дифференциальный оператор; А = —- . 2

/ дх

+

ду

(1)

- оператор Ла-

пласа; /4= —; П = ЕИ3/[12(1-V2)] - изгибная жесткость пластины; Е, V-

/с

модуль упругости и коэффициент Пуассона; - прогиб точки срединной поверхности пластины; q - интенсивность распределенной поперечной нагрузки.

На контуре Г рассматриваются следующие граничные условия:

м = — = 0 - жесткая заделка; (2)

дп

м/ = 0, Мп = 0 - шарнирное закрепление; (3)

К = 0, Мп = 0 - свободный край, (4)

где п - нормаль к контуру Г; Мп9 Уп - проекция вектора контурного момен-

• та на касательную т к контуру Г и обобщенная поперечная сила на Г. ' Усилия Мп и Уп определяются как

а2™

Мп = -Я

Ди>-(1- у)

дг

(5)

V =-£>■

' П

а, +М " а3^ (д2м> дV —N

-г -к >

дпдт2 [дп2 дх')

(6)

л ? d2

где к - кривизна контура в рассматриваемой точке; А = —j +

дп2 дт2 '

Решение краевой задачи (1), (2)-(4) рассматривается как сумма основного и компенсирующего решений [2]. Основное решение определяет деформацию бесконечной пластины от заданной нагрузки; компенсирующее решение определяет действие на бесконечную пластину системы сил, распределенных по контуру Г, за счет действия которых выполняются краевые условия. Сумма основного и компенсирующего решений должна удовлетворять (1).

Исходя из вышеизложенного, решение (1) ищется в виде

Ц/)= J

Afc)+wr(f), (7)

где ¿(х,у) - точка области О. ; ~~ точка контура Т\ сЬ - элемент длины

контура Г; *п(0 - искомые компенсирующие нагрузки;

N

Г

= А кеА — - фундаментальное решение задачи изгиба пластины на

/2

упругом основании типа Винклера [2]; А---; г2 = (х-^)2 + (у-У\)2;

kei

- функция Кельвина; (?) - частное решение уравнения (1).

/

Неизвестные компенсирующие нагрузки и ?п(£) определяются из

системы сингулярных интегральных уравнений, которые получаются при подстановке (7) в краевые условия (2) - (4) на контуре Г.

При записи системы сингулярных интегральных уравнений, необходимо учитывать разрывы в некоторых ядрах подынтегральных выражений, возникающих при переходе точки Г через контур Г. Для анализа предельного значения потенциалов на границе области необходимо определить особенности, которые имеют ядра подынтегральных выражений.

Асимптотическое представление функций Кельвина кег(х), ке1{х) и их производных при х —> 0 имеет вид:

кег(х) « - 1пх + со + + о(х4), кег(х) » 1пх - ~ + (о) +1)+о(х4), (8)

^ I ' ЯС I (ДП * * - " 4 р 4 < * . * ^

кег'(х)*—1пх-- + — + о[х3), кег'(х)» —- 1пх + -(2со +1)+ — + о(х5), 47 16 х 8 V ; 4 ' 64 Х '

2

кег"{х)» —/«х + -1 + - + 0(х21 « -1/« л- + - (2о) +1)++ о(х4),

16 х2 8 у у 2 4 ; 64 V '

л __ «

где ю = /и 2 - С; С = 0,577... - постоянная Эйлера.

С учетом (8) функции Кельвина второго порядка в окрестности нуля записываются в виде:

2 тс Z \

ker2 (х) = ker(x) — kei'(x) « — + — л*2 + о[хл J,

Y 9 Ч?

2 32

kei2(x) = kei(x) + — ker'(x) ^--x2 lnx-—- +

о{Л

х 8 х

Следует отметить, что особенность при х -» 0 фундаментального решения задачи изгиба пластины на упругом основании такая же, как и фундамен-

л

тального решения задачи изгиба пластины, а именно х 1пх.

Анализ предельных значений потенциалов проводится на основе методики [3], в соответствии с которой каждой точке контура Г сопоставляется местная система координат, где ось х направляется по касательной к контуру, а ось у — по нормали. Пусть у — /(х) - уравнение контура в местной системе

координат.

Контур Г является контуром класса Л„, если /(х) имеет непрерывные

производные до порядка п. При этом п -я производная удовлетворяет уело-вию Гель дера.

Возьмем произвольную точку Р0 на контуре Г и запишем уравнение окрестности этой точки в местной системе координат. Будем предполагать, что проекция окрестности этой точки на касательную есть отрезок (-*0;+х0),

симметричный относительно начала координат. Предположим, что в окрестности точки Р{) контур Г0 принадлежит классу АР Для контура класса Л,

функцию /(х) можно разложить в ряд Тейлора: у = о|х|1+а], где а - показатель Гельдера для функции /'(х), 0 < а < I.

В принятой системе координат точка / имеет координаты (0,р); точка £ - (х,0); п - единичный вектор внешней нормали к Г0 в точке Р0; й1 - единичный вектор

внешней нормали в точке £ (рис. 1).

Ядра потенциалов определяются через функции cos у , sin у, l/r.

Для контура, состоящего из прямолинейных участков, функции eos у, sin у, 1 ¡г

определяются по формулам:

Рис. 1. Система координат для линейного участка контура

г

-V

2 2 р . . X

X +Р , cosy = cosy¡ =---, Siny-Siny} = —, y = Yj,

г г

(9)

где у и у, - углы между радиус-вектором г и нормалями п и пх соответственно.

Для вычисления предельных значений потенциалов необходима также за-

сЬс

I

висимость ds = —, где fc, = 1 + о(х\2а j.

Приведем исследование предельных свойств потенциала

г ап\ I Г V' /

для контура Л1.

Потенциал Р2(() можно представить в виде

л«- т—^^у

г_ 5/2,

р-»±0 *0->0

•г. Эи1

г0 щ Г г

Используя асимптотическое представление (8), рассмотрим интеграл /(/) как сумму двух слагаемых - сингулярного и регулярного:

1 ГЛ г

где /' - сумма интегралов, которые в пределе при р -» 0 равны нулю.

Разрыв потенциала при переходе точки / через контур Г определяется интегралом по Г0, то есть интегралом

ГЛ Г г г

10 10

Преобразуем полученный интеграл по формулам (9)

с1х

о

- .V,

Л-Чр2

= -Х(р0 )р агс^

г ^

л:

*о

- д:

о

Определим предел /(/) при р ±0 и х0 -» 0:

АХ{Р0)к . /2

7(0=-4 Нт

4 /2 до->о

\(Р0)р Нт аг

р—>±о

/ \ хо

X

\р)

Отсюда получаем предельное значение потенциала Р2(7):

20

где (/) - предельные значения потенциала/^ (г) при р —» ±0.

Аналогичным образом определяются следующие потенциалы, которые терпят разрывы:

дп2дп,

МсХ

2D р дпдх дпх

но следует отметить, что предельное значение потенциала (7) при переходе через контур Г необходимо рассматривать для контура класса Л2.

Таким образом, можно выписать разрешающие системы сингулярных уравнений для определения компенсирующих нагрузок и Пре-

дельные значения потенциалов берутся в области О,.

1) Жесткая заделка

\G(t, смс У* - «(О*+М=о >

г дп\

(10)

» •

о,

р дп р 3/?

2) Шарнирное закрепление

JGC.CMO*- + >/(/) = <>,

imW-Dj

z i

г

ОТ

(11)

q(Qds +

+ DJ

г

dAGjt.p (1 v)a3G(/,C)

дя,

дх'дп

1 _

3) Свободный край

ft

ifcM'+

г

dAG(t,Q _ (1 _ ^дЩХ)

дп, дхгдп.

m(QdS + Mrn(t)=V,

(12)

Ut)-Dj

дА G(t, С)

дп

+

(

Л

J

qiQds +

+ Dl

г

3/7(3/7

<Э/?5т 5/7

5/7^5/7! 5т дп

1

где ^ =

Эя /1/7

cosy;

аи. /

ч/у

cos у,;

kei

d2G(t,Q= A

дпдщ 12

d2G(t,Q= A

дп2 i2 d2G(t,Q= A дх2 12

'ft

Kh

kei'

COS у COS у I +

w

kei

>t

/ N

r

I

соз' у +

\rj

kei

/ N

r

j

sin у sin у j

j

/

I

r

kein

\

- sin2y + I r

V У /

•f

/

5Ш" у

\l J

AG(t,0=4ker

I

\rj

/ \ r

kei'

r \ Г

Jy

сот2 у

I

дАG(t£)_ A . .iV

\h

дп " /3

%

дх2дпх /3

а3бф,с)= a

дп2дп{ /3 d3G{t,C)=A дпдх2 /3 d2AG{t,Q= А дпдщ /4

а«ат2а/71 /4

for'

ч/у

ЗА G{t,Q А , ,

cosy;-i—^ = —-кег

дп, /3

✓ N

Г

Jj

cos у,;

кег'

/ \ г

\

I

sin у cosy х +

кег

/

У

\Г)

/ 7 N

кеъ

/ N

г

v/y

coy ycavy1 -

/

г

кег'

/ N Г

/

V У

/ » N

усойу-

/

v>*y

V У

кег

кег— /

у

сау(2у + у,) c<9s(2y + у,)

V

/

сауу(1~2со?2у)

V4 у

кег"

/ \ г

ч/у

cos у cos у j +

'Г

кег9

кег'

/ \ г

w

кег'

Г \

- -3

yl)

ч/у /

W

у cosy cosy х +

КГ)

Т

/' N

г

J,

sinysinyx

кег'

Г7Л ч/у

cos уsinysiny] -

кеп

/ N Г

(2 sin 2у sin{ у + у,) - cos (у - у,))

Функции плотностей и т{С) удовлетворяют условию Гельдера:

Ш-q{Q<C\t-^■\m{t)-m{Q[Щ-t^, С = сот1> 0, 0<а<1. (13)

Для определения напряжений на контуре Г необходимы еще следующие интегральные соотношения:

^«-vüi&Uj Aefr.o-o-v^ö

Z n

дя

+

+ £>J

3/7

i дп дп

~ d2G{t,Q

1 J

дпдх

?(0-

дпдхдпл

•m

(с)

ds + Mrm(i),

где

дпдт /2 ~

чЬ

соя у ят у;

а3а(лс)= л

тахЭи, /3

кег'

/ N

Г

/

Ч* /

кег2 / \ г ят(2у + ух)

\Г)

Ядра граничных интегральных уравнений содержат особенности типа

1 -1 1пг, г" и г при г —>0. Интегралы с особенностями типа г определяются

в смысле главного значения по Коши, а интегралы с особенностями типа

л

г" — в смысле конечного значения по Адамару [6].

При численной реализации алгоритма контур Г разбивается на граничные элементы, в пределах которых компенсирующие нагрузки считаются постоянными.

Интегралы, не содержащие особенностей, вычисляются по восьмиузло-вой схеме Гаусса. Сингулярные интегралы вычисляются аналитически, при этом возникает необходимость взятия интегралов от выражений, содержащих функции Кельвина. Выпишем эти интегралы в общем виде через модифицированные функции Бесселя:

г •

¡X-1К'0(хЛ)&, ¡К2, \х~]К0(хЛ}к, 3\х~2к2(х^}}х,

К'(хЛ)=

= кег(х)+1 кег^х);

дкег{х) . дке1\х)

I /

дх дх дх

= кег'(х)+1 ке1'{х)\

Используя рекуррентные соотношения для функций Бесселя [4], можно показать, что для приведенных интегралов можно получить соотношения:

\х'х К'0 (хЛ}1х = / ¡К0 (хЛ)сЬс - К'0 (хЛ)9 \К2 (х^Ц)Ьс = -{К0(хЛ)±с - / 2К'0 (х<Л)9

3 \х~2К2 (х^}/х = I \К0 (х^)ск - х~хК2 {х41)~ К'0 (хуЦ).

(14)

В таблице 1 приведены исходные интегралы, которые получаются путем разделения действительной и мнимой частей (14); в графе 1 приведен харак-тер особенностей подынтегральных выражений исходных определенных интегралов; в графе 2 - соответствующие им неопределенные интегралы; в графе 3 результаты преобразования неопределенных интегралов, необходимые для вычисления определенных интегралов, имеющих особенности при х-» 0.

Преобразования неопределенных интегралов, содержащих

функции Кельвина_Таблица 1

Характер особенности подьгатегральной функции при х —> 0 Исходный интеграл Результат преобразования интеграла

х-2 \х'] кег'(х)3х - ^ке1{х)с1х - кег'(х)

1пх \х~[ке?{х)£х |кег(х)с/х - ке?{х)

нет особенности |кег2 (х)с1х - ^кег(х)сЬс + 2ке/'(х)

|ке12 {х)с!х -1ке/(х)с1х-2кег,{х)

х-1 \х~1 кег2(х)сЬс х~]ке1'(х)

х-3 ^х"хкеи {х)с1х - л:"1 кег\х)

х-2 3 |х"2 кег2 (х)с1х - ^ке^х)(1х - х-1 кег2 (х)- кег'{х)

х-4 3 ^х"2ке\2 {х)с!х |кег(х)скх - х~]кег2 (х) - кег{х)

Полученные соотношения применяются при вычислении сингулярных интегралов по элементам контура Г. Например, найдем значение определенного интеграла от выражения х~2 кег2{х) с особенностью типа Адамара на интервале [—1;+1] аналитически и по квадратурным формулам [5].

Из таблицы 1 имеем

+1 1 +1

1 1 Г 1+1

|л;~2 кег2 (х)с1х = — ^кег{рс)(Ъс — [х~1 кег2 (х)+ кег'(х)=

-I

-1

2 3

\ке1(х)с1х + кег2 (1)+кег'(\)

_о

«1,18329302...,

где интеграл ^ке1{хрх определяется либо аналитичесюим интегрированием

о

ряда, которым представляется функция Кельвина, либо вычисляется численно по квадратурным формулам Гаусса, учитывающим особенность типа

х21пх на конце интервала интегрирования.

Квадратурная формула для вычисления конечного значения рассматриваемого интеграла имеет вид

Л

/1-1 Г I

¡х 2 кег2 (х)сЬс = X кег2 ((ок 1 — -

-1

к-0

г,

ы

(15)

где точки =-1, ?„=+!, разбивают отрезок [-1/+1] на (я + 1) равных

частей к -

(я + 1)

, п - нечетное число, а гок - середина отрезка [¿¿/¿¿-и].

Ниже приведены значения искомого интеграла, найденного по (15) в зависимости от п, с точностью до восьмого знака:

1) 1,18275055 (я=21);

2) 1,18328704 (л =201);

3) 1,18329290 (п =2001).

Как видим, численное значение интеграла с особенностью типа Адамара практически равно значению, определенному по (14).

Аналогично можно найти и сравнить численные и аналитические значения для других интегралов (14).

Сингулярный элемент контура Г; представляется как отрезок прямой, соединяющей точки (хА,у А) и (хв,ув). Точка /(х,у) - середина отрезка Гу. Ее

I I ' • Л

координаты равны: х = (хА + хв)/2; у-(уА + ув)/2. Введем координату /0, определяющую положение точки на отрезке Г;:

■Ул+^в , Уъ~У\

£ " /

+

Л»

где /0е[-1Д}

Расстояние между точками t и С, равно

г

о

где А,- длина отрезка ГJ .

Фундаментальное решение и его производные зависят от аргументов л* — , у-г|, которые определяются выражениями

----г го> .У ч - ^ Не-

выразим элемент длины (к через координату

+Г (Уд-Ул)

/

N

Ч

У

Я. 2

* ^^

Таким образом, учитывая что Гу - отрезок прямой (у = у, = те/2), а также

используя (14) и свойства интегралов от четных и нечетных функций (кег(х) и - четные функции, их первые производные - нечетные функции),

приведем аналитические значения некоторых основных сингулярных интегралов по элементу контура Г,:

/ \ г

\Git.Qds = А ¡Ы - Л = 2А1 ¡Ы(г)сЬ9

а

кЬ

О

1 Г/

_ _ ^

г дпдпх

> дпдп, /V

г)

кеЛ - № = -

/

г —

Г/

'Г

г )

кег'

г \ г

I

ds =

\1 /

/ г \

/

чО

кег'

I

\1

I

\Г )

2А I

2А /3

/сегп

м

- кег {а)

_о

л

^ке^рг + /се г'(а)

о

^ \ г

I

\* /

йЬ =---ткегЛа),

А./ 2У У

•1

где (7 = —; 2 = —1—1. 21 21

Заметим, что интегралы от нечетных производных фундаментального решения равны нулю.

По представленному алгоритму в качестве тестов были решены задачи изгиба круглой пластины радиуса а (рис. 2), лежащей на упругом основании, с граничными условиями (2)-(4) при действии локальной и распределенной нагрузки. Результаты численных решений сравниваются с точными решениями [2].

Для решения были приняты следующие значения параметров: а = 10 (см), /? = 1 (см), /с = 1540 (кТ/см ), £ = 2-10' (кГ/см), \' = 0,3; при действии рас-

Л

пределенной нагрузки ¿7 = 200 (кГ/см ), при действии сосредоточенной силы Р = 400 (кГ).

а - 10 см

Рис. 2. Характеристик пластины на

• I

л

упругом основании для тестовой задачи

По результатам расчетов построены графики распределения прогибов и> (рис.3,а), радиальных моментов Мг (рис.3,б), тангенциальных моментов М1?

(рис.3,в) и поперечной силы О (рис.3,г). На графиках точками отмечены результаты, полученные по предлагаемому алгоритму; линиями нанесены аналитические решения: сплошные соответствуют свободному краю, штриховые - шарнирному закреплению, штрихпунктирные - жесткой заделке.

ql2 0.20

0.00

-0.20

-0.40

-0.60

-0.60

My

H2 0.20

0.00

-0.20

-0.40

-0.60

-0.80

%

P

0.32

0.28 0.24 r_ 0.20 * 0.16 0.12 0.03 0.04 0.00 -0.04

*

Рис. 3. Результаты решения тестовой задачи изгиба круглой пластины на упругом основании при различных граничных условиях и силовых воздействиях

Реализация данного алгоритма осуществлялась с помощью математической библиотеки IMSL, входящей в среду MS Fortran PowerStation 4.0, где имеются подпрограммы определения функций Кельвина и их производных.

• д

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

• _

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963.636 с.

2. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960. 458 с.

3. Панич О.И. О потенциалах полигармонического уравнения четвертого порядка // Мат. сборник. Одесса. Вып. 3. 1960. Т. 50. С. 335-354.

4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. СПб.: Изд-во и типография АО ВЫИИГ им. Б.В. Веденеева, 1995. 176 с.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их приложения в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253с.

6. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

Грибов Александр Павловичу доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи в области механики оболочек.

Куканов Николай Иванович, аспирант Ульяновского государственного технического университета, окончил строительный факультет Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации в области механики оболочек.

?