CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ
Т о м IV 1 97 3 №6
УДК 533.6.011.35:532.582.33
ОБ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Ю. Б. Лифшщ
Рассмотрены асимптотические свойства потока на больших расстояниях от конечных тел и приведены результаты численных расчетов течения газа со звуковой скоростью на бесконечности около двух различных тел вращения. С помощью обработки численных данных на основе формул асимптотической теории выявлено, начиная с каких расстояний она справедлива и насколько точно примененная разностная схема описывает течение газа вдали от тел вращения.
1. Теория течения газа на больших расстояниях от тел вращения описывает наиболее общие свойства потока, не зависящие от конкретной формы обтекаемого тела, поэтому при ее построении делаются обычные предположения об отсутствии вязкости и теплопроводности. Кроме того, считается, что возникающие скачки уплотнения на больших расстояниях настолько слабы, что изменением энтропии в них можно пренебречь по сравнению с величиной других параметров течения, рассматриваемых ниже. Так как набегающий звуковой поток является на бесконечности равномерным, то при указанных условиях он будет всюду безвихревым. Следовательно, от системы уравнений Эйлера можно сразу перейти к одному уравнению для потенциала скорости частиц
!2<Р о„. „ I /Л2_«2Ч?ЗР . ** .Зр
(а2 _ ±1_ 2 V V ? 4- (а2 — V2) -4- — — О П П
(а дх* ^®*®Удхду^Ка Vv> ду* у ду и’
где
V =^1 V =Лі _І_(3,2 .1.3,2) I °2 =.х+1_д2 (12)
* дх ' У ду ’ 2 ' х—1 2(*— 1) . у }
Здесь х и у обозначают оси цилиндрической системы координат, юх и юу -т- составляющие вектора скорости вдоль этих осей, <р — потенциал, а — скорость звука, х — показатель адиабаты Пуассона, звездочкой отмечены критические значения параметров.
і
При скоростях частиц, близких к критической, потенциал можно представить в виде
Второй член асимптотического разложения потенциала (1.3) является автомодельным решением уравнения Кармана. Входящая в него функция /0(5) удовлетворяет нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка
При решении уравнения (1.4) одновременно с /0(£) необходимо определить величину параметра п. Сама же функция /0(£) удовлетворяет следующим граничным условиям: соответствующие ей возмущенные скорости стремятся к нулю, и, кроме того, на оси симметрии _у = 0 при хфЬ требуется обращение в нуль поперечной скорости vy. Во всей области потока должны отсутствовать предельные линии и линии, вдоль которых имеется разрыв в производных скорости любого порядка. Что же касается скачков уплотнения, то в рассматриваемом решении они имеют форму ? = ?ск = = const.
При переходе через фронт ударной волны компоненты скорости частиц должны удовлетворять условиям Гюгонио, которые были упрощены в работе [1] применительно к трансзвуковым течениям газа. В дальнейшем индексом „1“ будем отмечать значения параметров среды на стороне разрыва, обращенной к набегающему потоку, а индексом „2“ — параметры на противоположной стороне фронта. Из условий ударного сжатия следует, что функция /0 остается непрерывной на скачке уплотнения, а ее производные удовлетворяют равенству
Впервые решение рассмотренной задачи определения главного члена потенциала возмущений было получено в работах [2] и [3] путем численного исследования свойств интегралов уравнения (1.4). В работе [4] авторы использовали параметрическое представление искомой функции /0 (Ё), что позволило найти решение в замкнутой форме и определить точное значение параметров п = 4/7 и а>0= —2/7. Аналогичные результаты получены также в работе [5].
Из уравнения (1.4) и граничного условия (1.5) следует, что функция /0(Е) определяется с точностью до постоянного множителя. Согласно приведенной в работе [6] формуле его величина зависит только от распределения давления по образующей тела вращения в области вверх по течению от предельной характеристики. Вид функции f0(i) указывает общую структуру потока на больших расстояниях. Если двигаться вместе с частицей вдоль линии тока из бесконечности, то сначала ее скорость будет дозвуковой, затем она последовательно пересечет звуковую линию, предельную характеристику и, наконец, скачок уплотнения. За скачком скорость частицы монотонно убывает от сверхзвуковой до звуковой, которая достигается лишь в бесконечности. Величина указанного выше постоянного множителя однозначно определяет автомодельную координату S* звуковой линии и координату скачка
(
dfo
di
?У^ + п{5п-4П^.-(Ъп-2)>/0==0. (1.4)
(1.5)
£ск. Связь £* и £ск следует из вида функции /0(?) и выражается равенством _
^ = 4-(/з+1)(7-^)_ме,. (1.6)
2. Уравнения для последующих членов разложения потенциала получаются в результате подстановки формул (1.3) в уравнения (1.1), (1.2) и в соотношения на фронте скачка уплотнения, форма которого в соответствии с (1.3) имеет вид
Каждая из искомых функций /, (Е), /2 (?),... удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка, содержащему один неизвестный параметр а>г. Граничными условиями для них являетса обращение в нуль соответствующих добавок поперечной скорости на оси симметрии _у = 0. Кроме того, искомые функции должны удовлетворять соотношениям на скачке уплотнения (2.1) и иметь непрерывные производные любого порядка вдоль предельной характеристики, координата которой определяется из решения для /0 (£). Последнее условие позволяет выделить искомый спектр значений «>1<С0>о в представлении потенциала перед скачком.
В работе [7] указано преобразование, с помощью которого можно привести линейное дифференциальное уравнение для искомых функций /Д£) к каноническому виду гипергеометрического уравнения Гаусса. Оно основано на знании точного аналитического выражения для функции /0(£). Свойства решений гипергеометрического уравнения хорошо известны. Они позволяют сразу определить те значения для которых функции /;(£) не имеют особенностей в своих производных на. предельной характеристике [7]. Для дальнейшего достаточно знание только первого из них<о2= —6/7. Течение перед скачком уплотнения, как указывалось выше, должно быть симметричным относительно оси.у = 0. Это требование выделяет только симметричное решение гипергеометрического уравнения. Поэтому функция /2(£) перед скачком уплотнения определяется с точностью до одного постоянного множителя. В соответствии со сказанным, положение звуковой линии описывается в рассматриваемом приближении формулой
в которой Х1 — постоянная.
Функции /,($) за скачком уплотнения удовлетворяют прежнему линейному дифференциальному уравнению, условию симметрии на оси у— 0 и двум соотношениям на скачке уплотнения, в которые постоянные величины Сг И 2 входят линейно. Последняя из них является постоянным множителем, с точностью до которого может быть получена искомая функция /Д&). Указанные уравнения на скачке относительно с1 и 2 имеют единственное решение, если соответствующий определитель отличен от нуля. Нулю же он равен только при ш = о)1 = — 4/7. Это означает, что при (о4 =—4/7 за скачком уплотнения существует нетривиальное решение /1 (I), хотя перед скачком эта функция тождественно равна нулю. Остальные члены разложения потенциала за скачком получаются только при значениях ш(, определенных ранее в результате решения задачи
(2.1)
* = (*+ 1)і/з (^у/7 + х,),
(2.2)
перед фронтом разрыва. В соответствии со сказанным форму скачка уплотнения в рассматриваемом приближении дает формула
* = (х+1 )1/3акУ/7 + Х2у,7 + Х3),
(2.3)
в которой л2 И — постоянные.
Второй член разложения потенциала ^ = у~м1(5) получен в работах [8] и [9]. В последней из них выяснен его физический смысл. Оказывается, что наблюдатель, находящийся на большом расстоянии от пролетающего мимо него тела вращения, воспринимает его как источник массы, расход которого пропорционален множителю 2, с точностью до которого определена функция /г (I). Одновременно тело вращения представляется наблюдателю в виде полутела с цилиндрической хвостовой частью, площадь сечения которой также пропорциональна Ь\,г. Поскольку при реальном обтекании расход газа через замкнутую поверхность, окружающую конечное тело, равен нулю, то внутри полутела следует ввести вихревой след, обладающий соответствующим дефицитом расхода.
Все это означает, что представление поля течения в виде (1.3) несправедливо в окрестности оси х на больших расстояниях вниз по потоку от тела вращения и должно быть заменено другим. Его построение выполнено в работе [8], где выписаны первые три члена соответствующего разложения, и проведено их асимптотическое сращивание с тремя членами ряда для потенциала возмущений (1.3). Главный член указанного разложения определяет расход газа через вихревой след и сопротивление тела вращения, формулы для которых приведены в работе [8].
Покажем, что скорость течения на очень больших расстояниях от тела в вихревом следе дозвуковая. В рассматриваемой области поперечная скорость пренебрежимо мала, давление постоянно и равно звуковому, а продольная скорость юх = а^и{у). Из уравнения Бернулли следует формула для давления
в которой 5—энтропия. Учитывая, что р — р* и получим
из (2.4) искомое неравенство и{у)<^ 1, причем знак равенства выполняется только при 5* = 5.
Вычислим разность уих — р*а* в вихревом следе. При помощи уравнения Бернулли получим соотношение рих — р*а* = — р^а* X
. х + 1 -4-(х—1) й п X (1 — и) х | __ и2 < 0. из которого, в частности, следует,
что условием существования дефицита расхода в следе и связанного с этим сопротивления тела вращения является отличие от нуля множителя Ь\, 2-
3. Рассмотрим в качестве примера результаты расчета обтекания звуковым потоком двух тел вращения. Меридиональное сечение тела I представляет собой руль Жуковского с относительной толщиной 12%. Тело II получено в результате вращения симметричного 14%-ного профиля Чаплыгина вокруг его оси. Расчеты проводились интегрированием уравнения для потенциала (1.1) при помощи релаксационного метода. Примененная разностная схема
х
X
(2.4 >
наиболее близка описанной в работе [10] для расчета трансзвукового течения около профиля. Главные различия между ними относятся к выделению особенности на оси симметрии = 0, отсутствующий в случае плоского течения, аппроксимации граничного условия непротекания и способа расчета параметров на луче & = const внутри круга единичного радиуса, на который конформно отображается внешность меридионального сечения тела вращения. (Внутри этого круга бралась полярная система координат г, 0.) В окрестности начала координат плоскости г, 0, на которую отображается бесконечность физической области, асимптотическое разложение (1.3) специально не вводилось. Результаты расчетов для первого и второго из указанных тел приведены на фиг. 1 и 2 соответственно в виде полей линий уровня числа М. Обработка
их в соответствии с формулами (2.2) и (2.3) позволяет выяснить, на каких расстояниях от тела вращения, реализуется асимптотический режим течения (1.3).
На фиг. 3 кружками и крестиками нанесены координаты х звуковых линий, полученных в результате расчета течения около тел I и II соответственно в зависимости от величины у4!7. Через расчетные точки можно провести прямые линии, что полностью согласуется с (2.2). Отклонение расчетных точек от этих прямых при у <0,4 показывает, что асимптотический закон поведения звуковой линии достаточно точно выполняется, начиная с .у = 0,4: При помощи графиков фиг. 3 легко определяются постоянные и входящие в формулу (2.2). В результате получаем уравнения звуковых линий в рассматриваемых течениях для тела I
* = 0,17бу1'7 + 0,048;
для тела II
х = 0,2 у17-г 0,054.
б
%
_ Более сложным является определение постоянных Л2 и ь», входящих в формулу для скачка уплотнения (2.3). С этой целью сначала вычислим координаты хск и уск фронта разрыва, совместив его с линией максимального градиента. Здесь следует отметить, что в обоих примерах скачок уплотнения начинается на некотором расстоянии от тела, а на самом теле он отсутствует. После определения координат скачка по известному значению с помощью
Фиг. 2
(1.6) найдем величину £ск и нанесем на график в виде точек разность *ск — (х + 1)1/3&скУ417 в зависимости от у2>7. При .у >0,4 линия, проведенная через эти точки, оказывается прямой (фиг. 4). Ее наклон и ордината при у2'7 = 0 дают искомые постоянные в формуле (2.3). В результате получаем равенства, определяющие асимптотическое положение скачков уплотнения в рассматриваемых течениях для тела I
х = 0,405у*'7 — 0,318 у2'7 + 0,758,
для тела II
л: = 0,535 У'7 —0,720У'7 + 1,013.
На фиг. 1 и 2 точки, рассчитанные по приведенным формулам, нанесены крестиками.
Полученные результаты свидетельствуют как о правильности представлений, положенных в основу асимптотического разложения (1.3) для потенциала, так и степени точности примененного численного метода решения задачи обтекания тел вращения. Они указывают также, что асимптотические законы затухания возмущений в осесимметричных течениях начинают действовать с относительно небольшого расстояния, несколько меньшего четырех калибров тела.
ЛИТЕРАТУРА
I В u s е m а пп A. Die achsensymmetrische Kegelige OberschallstrOmung. Luftfahrt-Forschung, Bd: 19, Lfg. 4, 1942.
2. Guderley K. G., Yoshihara H. An axial-symmetric transonic flow pattern. Quart, of Appl. Mathem., v. 8, No 4, 1951.
3. BarishD. Т., Guderley К. G. Asymptotic forms of shock waves in flow over symmetrical bodies at Mach 1. J. of Aer. Sci., v. 20,
No 7, 1953.
4. Ф а л ь к о в и ч С. В., Чернов И. А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа. Прикл. матем. и механ., т. XXVIII, вып. 2, 1964.
5. М 011 е г Е. А., М a t s с h a t К. Ahnlichkeitslosungen der transso-nischen .Glelhungen bei der Anstrom-Machzahl 1. Proc. 11-th Internet.
Congr. of Appl. Meehan., Miiniche, 1964. Springer-Verlag, 1966.
6. Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Об обтекании полутел звуковым потоком идеального газа. Ж. выч. матем. и матем. физ., т. 9,
№ 2, 1969.
7. Е u v г a rd D. Etude asymptotique de I’dcoulement a grande distance d’um obstacle se depla<;ant a la vitesse du son. III. J. de MScanique, v. 7,
No 3, 1968.
8. Tournemine G. Comportement asymptotique de l’dcoulement sonique autour d’un corps de revolution de dimensions finies, en aval de l’onde de choc. J. de Mecanique, v. 7, No 3, 1968.
9. Д и e с п e p о в В. H., Рыжов О. С. О телах вращения в звуковом потоке идеального газа. Ж. выч. матем. и матем. физ., т. 9,
№ 1, 1969.
10. Garabedian P. R., Korn D. G. Analysis of transonic airfoils. Comm, on Pure and Appl. Mathem., v. 24, No 6, 1971.
Рукопись поступила 29/XII 1972 г..
