CC BY
40
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VII
197 6
№ 2
УДК 533.6.011.32:532,582,33
ОБ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ II. ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Л. А. Ломакин, О. С. Рыжов
В разложении решения уравнений Навье-Стокса в асимптотический ряд рассматриваются вторые члены для внешней области и третьи — для внутренней, занятой вихревым следом. Их сращивание приводит к системе парных краевых задач. Решение этой системы получено в явном виде; регуляризация входящих в него функций позволяет написать третье приближение, равномерно пригодное во всей окрестности бесконечно удаленной точки. Дается сравнение полученных результатов с точными оценками поведения на больших расстояниях достаточно гладкого решения краевой задачи обтекания, для которого интеграл Дирихле имеет конечную величину.
В настоящей работе продолжена сквозная нумерация пунктов и формул части I [1]. Список цитируемой литературы для удобства составлен отдельно.
5. Покажем, как построить младшие члены во введенном в части I классе асимптотических разложений для параметров несжимаемой жидкости, которая обтекает тело вращения. Рассмотрим второе приближение для внешней области. Входящие в него функции удовлетворяют соотношениям
Первое из них есть не что иное, как интеграл Бернулли, записанный во втором приближении; в нем можно отбросить регулярную правую часть, если по порядку величины она окажется меньше слагаемых в левой части. Последнее соотношение ограничивает
2 — Ученые записки № 2 17
(5.1)
рост обеих частных производных функции <р2 при приближении к полуоси (£>0, С = 0), оно нуждается в уточнении, которое нельзя получить, не зная третьего приближения для области вихревого следа. Найдем содержащиеся в нем функции из решения следующей задачи
д {ух 11'х з) - д1'г •>. .
(dv*3 1 д fox а 1 дРз\ A 6
[ di rt di\ 1 dt] H x)~
I dvx 1 d2 Vx 2 1
^Vr2 dri <?;= Ti
dz
д д V^2'
dr, ‘
J-V ^-2 ‘ Vr 1 дг.
8з^-3 = -Д6^.
fox з
X 1
dvr i ,
1 d(T)lV3)
for 1 _L for;
*1 a?
= — Д6
dz 1 4 ^TI
*3> Vr„ Рз-»0 при Y?
dV%\
d;
d? ' dZ д-It
i afrvfj)'
Ti dr.
дР?Л ' ~d^~i
Vr
I 'I
0 при 7j
rr-*zo, 0 ^ c;
0,
(5.2)
связь которой с задачей (5.1) осуществляется при помощи принципа сращивания асимптотических разложений [2]. Как и при анализе старших членов, применение этого принципа позволяет написать предельные условия при ? = const, г, -*■ оо {Lx -* -(- оо) для внутреннего разложения, а при £ = const > 0,С -» 0 (I, -*■ + с*0) — Для внешнего. Таким образом, задачи (5.1) и (5.2) составляют вторую пару в упомянутой в части I jl] рекуррентной системе. Через Д2 Vx\, Д2 Vty и \2 обозначены главные части функций, образующих остаточный член Rt(Vxo> ^,2> Р<д второго приближения для вихревого следа. Для них верны равенства:
т/(3)
V Х2 =
1/(3) ___
V г 2 —
Яр=
3ci
8 тс£3
■Li
‘-i
16 т;2;3
R
(3)
3 С]
8я53 Yl
L\ +
Зет
32 T? &Yi
=LtR
,(3)
M3)=
In2 + 21n-^ + lnlf-Eu(- -f Eu (- 4-
Из второго уравнения системы (5.2) следует
Ръ = g3 (?; д) - —
Д6
ез 16 тс» S3
оо
-4-£?
где ^->0 при £ ->- + оо. Как показывает написанная формула, отношение е3/Д6 = 0(1). С учетом этого порядкового равенства принцип сращивания асимптотических разложений позволяет сформулировать краевые условия для функций (5.1). В самом деле,
Р 2
е3
(5.3)
при С —О, £>0.
В свою очередь, последнее из соотношений (5.3) определяет граничное условие для vx3, а именно
vx2-+—g3{$■, Д) при оо, £>0.
Принимая во внимание это условие, выделим „потенциальную“ часть функции ъх3. Оставшееся слагаемое найдем, как и при анализе старших членов [1], из требования, чтобы вихревые возмущения не проникали в области ?<С0, которое необходимо учитывать при интегрировании первого уравнения из системы (5.2). Поскольку правая часть указанного уравнения выражается через функции автомодельной переменной Ьи то в результате
vxз = — gз (£; Д) + »«И?, Г, д) + Ъхз (?, у; Д);
/з!) (¿г) 1п2 4~ + Л (¿1) 1п 41 + /з (¿,)
„(1)
Д* 1
ез £3
256.« ^-тг^14«?-276.
х [5 - ч+(-¡у ¿! -1\+2) Ап а+Ей (- 4- £
1024 -з
----- £2
б 4 1
/5=—г(-ж^“1?+2)е
з 4- р +
(хй^ц, +
+
(5.4)
3---¿1 + ¿1 — А? + 2 ) Ей ¿?) е <^]Х
х | Фз о*) +2)6 411
о ' '
Здесь функция
-1 £2
Ь = — /з2> (¿1) е4 1 - (¿? - 56 ь\ + 864 - 3840 Ь\ + 3072) +
+ Т2^{^- 19^1 + 92“ ¿(¿?-36/:1 + 288£?-384) [1п 1\ -
-:Е" (—Т 4] ■—г ^ - 144 ^ + 448>+ ТгЙг {> + е_
т[^-
1 2 в 4 Ч-
12+ (¿1 — 6)^1п ¿1 — Ей --Ц ^
- ТС (1* ~ 36 ^ + 288 - 334) + (¡А - 161\ + 48)е~ .
а коэффициент Сз1* выбирается из условия нормировки
+оо !
/фзОО^и4 — ^ + 2) « 4 11 = О,
в силу которого Х~31з (¿,)->0 при ?-*+0, т}>0. Для функции Vxз нужно, следовательно, поставить задачу Коши
дихЗ
1 д д”х\ п. (2)
ае ^з-ОпРи?-+о, 72>о.
Ее обобщенным решением в рассматриваемом приближении служит квадруполь
(2) Д6_^з_М 4 ? \
“х3 г3 4лИ ^ ]6 М 1.1 , ^ .
Таким образом, функция определилась с точностью до неизвестного пока слагаемого й"3(£; Д).
Интегрирование третьего уравнения из системы (5.2) дает
Д8 С1 1 .. --5“^1\ 1 ? дь г з (£, ¡х, Д) , /г- (-V
=1гтэ-577П7(1~е )-~| « ^ (5-5)
Переходя здесь к интегрированию по Ьъ нетрудно убедиться в том, что как при Х^+0, ^>0, так и при т] -» оо, X >0 величина
V
г 3
Де
Сз2)(<?і) ІП ~ + Сз
Д2
.(3)
(<М, гз)]
Согласно принципу сращивания асимптотических разложений, имеем отсюда
гОг 2'
1 £■
Г
1Г + -Т±г\^ Лі Е2 С4 ¿2 I
X
при С -* 0. I > 0.
(5.6)
Предельные условия (5.3) и (5.6) уточняют последние из формул, входящих в систему (5.1); они содержат необходимую информацию о поведении функций второго приближения внешнего разложения в окрестности полуоси (£>0, С = 0).
Как и при построении первого приближения во внешней области, начнем с решения вспомогательных задач. Именно, введем потенциал
т (21 <32 сс<3) (5, С; 0)
®2 = ?2 (£, С; Д) + ®2 (?, С; Д)+ - 12 1 }
где каждая из функций <р21}, <р(22> и Ф93) удовлетворяет уравнению Лапласа с цилиндрической симметрией. Что касается граничных условий, то они имеют вид: при С -*■ 0, £>0,
_
дС
Р?22>
д;
.13)
Д8
Сз\съ с2) — Сз
(2)
(Сі) ] Л?;
— р- (с- д)
с' /’ ас 2
1 А® (2).
1 п £,
®2 ->----------— — Сз (Сі) -гц ( ІП — — ІП /,
с2
Д2
(5.7)
Заметим, что граничное условие для срг3' получено формальным интегрированием по X и С соответствующей части соотношения (5.6). В первой и третьей задачах интерес представляют лишь частные решения, во второй задаче требуется найти общее решение.
Легко видеть, что потенциал ч41} выражается через производную по 5 функции «11), взятую с надлежащим коэффициентом. Поэтому пишем сразу
4 е2
[ (Си с2) - 4 Сз2) (С,)] 4 [ф2” (¿з) Ш ~ + Ф^2> (¿2)
Ф<1} = (2Z.1 — 1)(1 -4-Z.1) »,
4f >= - {(2Ll - 1 ) In [( 1 + il) (L2 + V1 + Ll)\
- L2 (2L2 + 3 V1 + L\)} (1 + Lt) 2
При отыскании функции будем исходить из структуры последнего из граничных условий (5.7). Имеем
<р!3)= 4- ^ W (ci) X [ф23)(^2) In2 -f - + 0?(Lt) In -J- + ф!,5) (¿2)J .
Интегрируя обыкновенные дифференциальные уравнения, кото, рым удовлетворяют величины Ф(23), Ф(24) и Фо5), потребуем, чтобы были скомпенсированы особенности, порождаемые ими в представлении потенциала <р<3) при приближении к отрицательной полуоси I. Конечный результат гласит
Ф(23) = (1 + L\T ^ Ф(24) = — 2(1+ Llf ТIn [2(1 + Ll)(Lt + Vl +L\)\,
Ф<5)=(1 +L\ )-i/2{ln2(l+l|)-ln2 (L3 + Vl+Ll) +
_______ и _______
+ In 4 In [(1 + Ll) (V\+L\ - LJ] + 4 /(1 +t*2)"1 In ([X +1/1 + IX2) ¡w,x}.
0
Проведем регуляризацию производных d<féu/d£, d* yf}/dl3
и <?3 cp23)/di2<?C на полуоси (£>0, С = 0). С этой целью выделим в области сингулярные части функций «4й (£, С; Д), ?(23) (6, С; А)
и положим в ней
?<21)= - 4- ^-[сз3) (С 1, Ci) -1- Сз2) (Cj)] (2Ï2 - С2) (Ü2 + C2)-5/2ln -f - + Reg <gÿ\
42)= 4 ^ 42) (с,) (S2 + С2)“12 In |2 (É2 + С2) (S + КÎ- + С2)-1] ln у- + Reg
Пусть теперь f2 (i, С; А), ¿^(S, С;Д)и hty (S, С; A) означают регулярные функции, которые определены следующим образом: /г = Лг1— = й!>2) = 0 при £<0, (£,С)/(0, 0) и ‘
X (2 (Ü2 + С2) (2 + WT&)-') ]} [eu (- 4- -fr) - Eu (- 4
2 00
lS 1) ^s3 lt С . л\ ' Е3 г ^£з А* • \/
fc “ТМЕ’Т’ /
X [еР (с,) (|п — In t, j + c'i'(с,, Cj)] ,
ь<2) 1 Да Й3 (
Л2 =---------------л---------- дм яг {
№ д; {у^, [* (Сі’ 2 ^ (С|^
- сР (с,) 1п (2 (Р + с8) (I + у¥ТёГ')]} [Ей (- 4 д5у) - Ей (- 4- во)]
при С, с>0.
Линейные комбинации
О3 <р^
г'тУ^.С; А) =
дЬ
+ ~%Г+/* в 9 $ (Є>0, С = 0),
Reg уз4 + ^ ср23) + 6 7^ [ 43) (с„ с2)
" У’
Л (с — * Г
і Д2 1п —
*»; 2 ’ (£, С; 0)=
- 4 4в(с>'
при ? >0, С = 0;
д<р*21} ,,, ,2,
-Ж + жк + ^ ^ ^ $ $>0' с=°>;
0 при ; > О, С = О,
(5.8)
где С = 0,577 — постоянная Эйлера, регулярны всюду, за исключением начала координат; вне полуоси (£>0, С = 0) с точностью до трансцедентально малых по оси Д слагаемых они совпадают с д$]!дІ + д3 ^¡ді3 и до[У)>,д1 + д3 ^¡дУдІ.
Возьмем общее решение вспомогательной задачи для потен-
(2)
циала $ , продолжив по непрерывности его производные на положительную полуось ?. В результате имеем
ъх(1] {I, С; Д) =
Vr(2г)(^ С; Д) =
асо<2)
^ ; (5, С) $ (5>0, С-0),
—Д); е>о, с=о,
с2
-5-; («.Ч £ (5>о, с = о),
0; Е>0, С = 0.
(5.9)
Вернемся к разложению для внутренней области. Выделим из выражений для ух3 и /?3 сингулярные члены, а оставшиеся слагаемые продолжим в область Е<0. Естественно тогда ввести величины
и. я =
|^,з+ £3; ^>0,
\Рг ~ ёУ, 5 > 0,
8 " \0; I < 0, (£, ті) ф (0,0), иП \0; £ < 0, (5, ч) Ф (0,0). Можно проверить теперь, что функции
■УІ3) (Х, г) = £:, их з + Є2 (^} + г/Д ), 43) (^, г) = Е2 (у’г (21} + 1)т 2’),
Рз
22
/7<3> (X, г) = £3 11р3 — £2 (ъ'Л] + ■У.'г(22)) - 4 А8 К*4<11) + ^12))2 + 11)+ -Уг 12) )2 ]
задают равномерно пригодное в окрестности бесконечно удаленной точки третье приближение при условии, что продолжение (5.9) производных потенциала <рг2> на полуось (?>0, С = 0) осуществляется регулярным образом. Подвергнув®*^ и ^^преобразованию Кельвина [3], получим на основании этого
!
Написанные соотношения отвечают диполю, расположенному в начале координат. Сравнение их с равенствами (5.8) показывает, что порождаемые диполем возмущения по порядку величины больше тех, которые задают функции vxl2 и V,21}. Однако эти функции нужно сохранить, чтобы не нарушалась гладкость рассматриваемого приближения.
Из вида формул (5.4), (5.5) и (5.10) вытекает е2 = е3 = Л6. Заметим, наконец, что формулы (5.9) и (5.10) определяют вид функции
Д6 С4 ~ Ез 2я;2 ’
6. Установим соответствие введенного в части I [1] и более подробно проанализированного выше класса асимптотических разложений для параметров несжимаемой жидкости классу „ламинарных“ решений уравнений Навье—Стокса. Точные оценки для краевой задачи обтекания конечных тел содержатся в работах [4—6]. В применении к осесимметричным течениям такое сравнение ограничивается, правда, лишь первыми приближениями как внутреннего, так и внешнего разложений. Детальное сравнение проведено авторами [7] на примере плоскопараллельных течений у профиля несущего крыла, поскольку в последнем случае имеется значительно большее число оценок.
Как следует из работы [6], любое достаточно гладкое решение задачи обтекания с конечным интегралом Дирихле удовлетворяет условию
V (х, г) — г>оо = О (/?““), а >1/2.
На больших расстояниях от тела для него справедливо асимптотическое представление
V (X, г) = Vaa-\- V1 (х, г) + v3|2(x, г) + О [/?~2(/? — X 4- 1)—1/21п3 /?],
3
VI (б-= 2 Н» <Р)’ ^ = 2 а>> 1$г ’ Р - (Рь Р*’ Р»)-
(6.1)
Здесь а = {ак} — вектор силы, {а/й}—тензор моментов, {Н1к}— матрица Грина для системы линейных уравнений Озеена, индекс г пробегает значения 1, 2, 3. Элементы матрицы Грина
нш (Р - 7) - ~ -ж 1- -> Т = (Т1.Т2, Ь),
¿12
ф(*)“—- * = 1Р-Т1-Р1 + Т1.
о
а символ означает единичный тензор.
Для течений с осевой симметрией а* = а3 — 0, а22 = а33, а/й = 0 при \ ф к. Переходя в формулах (6.1) к внутренним переменным и производя разложение по малому параметру А полученных таким образом соотношений, имеем для продольной составляющей вектора скорости
,ох[х»г) = \-\-а1Н1Х{х, г) + О(/?-21п3Я) = 1 +а, ^ +
+ 0(/?-21п3/?)= 1 — Д2-^*Г1^ + .. . .
Для поперечной составляющей вектора скорости выводим аналогично
1 и Нп (х, г) + а23 ^ + а33 ^ 1+0 (Я~21п3 Я) =
г»,(х, г) =
COS
1
COSi
ду л “33 ^ J .1.
=------^V^4-+0(/?-2ln3/?)=— A8|L _A_ e-T£1 + . .. .
cos& dxdy ' ' 8л ; i/s 1
Одночленное внешнее разложение гласит Vx (Х, г) = 1 + а, Нп (х, г) + О (R~5'2 ln3 R) == 1 + аг (^- +
+ О (R~5'2 ln3 R) = 1 + Д4
С
4тс (£2 _j_ £2)3/2 1 * ’ ’ ’
-ärft„(x,r) + 0(ff-*«In-R) = д. |g.;-!)3„- + ....
Чтобы результаты асимптотического анализа в первом приближении совпали с выводами точной теории, следует положить аа = — с‘х.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ломакин Л. А., Рыжов О. С. Об обтекании тел вращения вязкой несжимаемой жидкостью. I. Главные члены разложений. .Ученые записки ЦАГИ“, 1976, т. VII, № 1.
2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.
М., .Мир“, 1967.
3. Kellogg О. D. Foundations of potential theory. Berlin, SpringerVerlag, 1929.
4. F i n n R. On the exterior stationary problem for the Navier — Stokes equations, and associated perturbation problems. Arch. Rat. Mech. and Analysis, vol. 19, № 5, 1965.
5. Бабенко K. И., Васильев M. M. Об асимптотическом поведении стационарного течения вязкой жидкости вдали от тела. ПММ, т. 37, вып. 4, 1973.
6. Бабенко К. И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью. Матем. сборник, новая сер., т. 91, № 1, 1973.
7. Ломакин Л. А., Рыжов О. С. О применении метода сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений к решению задач динамики вязкой жидкости. .Ученые записки
ЦАГИ*, т. VI, № 2, 1975.
Рукопись поступила 2/IV 1975 г.
