CC BY
12УДК: 517.432 MSC2010: 46C20;47B50
ОБ ОБЩЕМ ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ J-САМОСОПРЯЖЕННОЙ ДИЛАТАЦИИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С НЕПУСТЫМ МНОЖЕСТВОМ РЕГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК
© Д. В. Третьяков
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация
e-mail: [email protected]
On Common Approach to the Construction of J-selfadjoint Dilation for a Linear Operator with a Nonempty Set of Regular Points.
Tretyakov D. V.
Abstract.
The common approach to construction of J-selfadjoint dilation for linear operator with nonempty regular point set is considered in this article.
Let A — linear operator with nonempty regular point set (—i e p(A)) and Closdom(A) = H, where H — Hilbert space,
B+ := iR-i — iR*_ i — 2R_ iR_i, B_ := iR—i — iR_ i — 2R_iR_ ¿,
Q± := д/|B±|, B± = J±Q± — polar decompositions of B±, Q± = Clos(Q±H).
Let D± — arbitrary Hilbert spaces and F± : dom(F±) —> D± (dom(F±) с D±) — simple maximal symmetric operators with defect numbers (q_, 0) and (0, q+) respectively, moreover dimQ± = dimN± = q±, Ф± : N± ^ Q± are isometries, V± — Caley transformations of F±. Let (H±, Г±) are the spaces of boundary values of operators F±, i.e.:
1) Vf,g e dom(F±) (F± f,g)®± — (f,F± g)®± = Ti(r±f, Г±д)н±;
2) the transformations dom(F±) э f ^ Г±f e H± are surjective.
Consider the Hilbert space H = D_ ф H Ф D+. Define in this space indefinite metric J = J_ ф I ф J+ and operator S:
те / те \ те
V h± = £ V±n± e D±, n± e N±, J± £ V±n± := £ V±Ф-1 J±$±n±.
k=0 Vk=0 / k=0
The vector h = (h_,h0, h+)T e dom(S) iff
1) h± e dom(F±);
2) ip = h0 + Q-Ф-Г_h_ e dom(A);
3) Ф+Г+Л+ = T*Ф-Г-Н- + i J+ Q+(A + i)<p, where T* = I + 2iR_i.
If this conditions are fulfil, that for all h = (h_, h0, h+)T G dom(S)
Sh = S(h_,ho,h+)T :=(F_h_, -iho + (A + i)V, F+ h+)T.
Theorem. Operator S is a J-sejfadjoint dilation of operator A.
Différent private cases of dilation S are considered too. Keywords: J-selfadjoint dilation, maximal closed symmetric operator, defect operators.
Введение
Фактически понятие дилатации линейного оператора впервые появляется у М. А. Наймарка [1] в 1940 году. Идея дилатации базируется на растяжении заданного оператора до оператора с более хорошими свойствами в более широком пространстве.
Унитарную дилатацию сжатия впервые построил Б. Сёкефальви-Надь [2]. Идея дилатации оказалась очень плодотворной, она принесла многочисленные приложения в различные математические дисциплины (см., напр., [3]). Отметим, что в [4] была построена унитарная дилатация общего вида для оператора сжатия.
Далее, Л. А. Сахнович [5], А. В. Кужель [6] и Ch. Davis [7] независимо друг от друга построили J-унитарные дилатации произвольного ограниченного оператора.
В 1977 году в [8] вышла в свет пионерская работа Б. С. Павлова, в которой была построена самосопряженная дилатация оператора Шредингера. При этом область определения исходного оператора совпадала с областью определения сопряженного оператора.
Полученные результаты были обобщены в работах А. В. Кужеля [9] и Ю. Л. Куд-ряшова [10], в которых были построены трансляционная и спектральная формы самосопряженной дилатации произвольного диссипативного оператора с непустым множеством регулярных точек.
Этими же авторами были построены трансляционная [9] и спектральная [11] формы J-самосопряженной дилатации произвольного плотно заданного оператора с непустым множеством регулярных точек. Позже вторым автором был доказан изоморфизм трансляционных и спектральных форм в случае самосопряженной дилата-ции [12].
Анализ перечисленных результатов приводит к возможности построения J-самосопряженной дилатации общего вида для произвольного плотно заданного оператора с непустым множеством регулярных точек, частными случаями которой являются дилатации А. В. Кужеля [9] и Ю. Л. Кудряшова [11]. Построению такой ди-латации посвящена данная работа.
1. Предварительные определения и предложения
Пусть H — гильбертово пространство (ГП), A — плотно заданный линейный оператор, причем —i £ p(A), R-i = (A + i)-1. Рассмотрим самосопряженные операторы [6]
B+ = iR-i — iR*_ i — 2R_ iR-i, B- = iR-i — iR*_ ¿ — 2R-iR_ ¿ и их полярные разложения B± = J±|B±|. Пусть Q± = \J|B±|. Определим дефектные подпространства оператора A следующим образом: Q± = Clos(Q±H).
Рассмотрим произвольные ГП D±, в которых действуют произвольные замкнутые простые максимальные симметрические операторы F± с индексами дефекта (0, q+) и (q-, 0) соответственно, где q± = dimQ± = dimN±, а N± — дефектные подпространства операторов F±. В силу последних равенств существуют изометрии
Ф± : N± ^ Q±.
Обозначим через V± изометрические простые операторы, которые являются преобразованиями Кэли операторов F±:
V- = (F- + i)(F- — i)-1 V+ = (F+ — i)(F+ + i)-1. (1)
Формулы обращения имеют вид:
F- = i(V- + 1)(V- — 1)-1 F+ = —i(V+ + 1)(V+ — 1)-1. (2)
Определение 1. Пары (H±, Г±), где Н±-ГП со скалярными произведениями (•> ■)н±,
Г± : dom(F._) ^ H± — операторы, называются пространствами граничных значений (ПГЗ) операторов F±, если:
a) Vf,9 £ dom(F±) (F±/,g)®± — (f, F±g)®± = Ti(r±f, Г±д)н±; (3)
б) отображения dom(F._) э f М- Г ± f £ H± сюръективны.
Из определения и формул фон Неймана вытекает, что в нашем случае в качестве H± можно взять подпространства N±.
Отметим, что ПГЗ для исследования различных свойств симметрических операторов с равными дефектными числами впервые были введены в работах Горба-чук В.И., Брука В.М., Маламуда М.М. и Деркача В.А. в 80-х годах прошлого столетия и оказали, в дальнейшем, большое влияние на решение различных сложных задач в разных разделах математики (см., напр., [15], [16], [17]).
Рассмотрим частный случай формул (3). Пусть в этих формулах д = f £ dom(F±). Тогда получаем, что ||T±f|| = 0, то есть dom(F±) С кегГ±. Обратно, пусть, к примеру, h+ = h+ + n+ £ кегГ+, где h+ £ dom(F+), n+ £ N+.
Тогда по формулам фон Неймана
0 = ||Г+Ь+||2 = ь+, ь+ь+ - (Ь+, Ь+)®+ = (^+Ь++ - т+, ь++ + п+ь+ --(Ь+ + п+,^+Ь++ - т+Ь+ = (^+^°+,п+)э+ - г(га+ ,Ь+)®+ - 2г||п+||2--г(Ь++ ,п+Ь+ - (п+ ,^+Ь+Ь+ = -2г||п+||2.
Отсюда п+ = 0 и Ь+ = Ь+ € dom(F±). Таким образом, dom(F+) = кегГ+. Аналогично = кегГ-. Нами доказана
Лемма 1. Имеют место равенства йот(Е±) = кегГ ±.
Построим теперь ГП Н = ф Н Ф ® + и определим в Н оператор J = ф I ф ¿+, где определяются равенствами:
те / те \ те
V Ь± = Е п± € ®±, п± € , Е п± := Е ^Ф-1 . (4) к=0 \к=0 ) к=0
Имеет место следующее предложение. Лемма 2. = У±7±, ¿±Г± С Г±¿±, С ¿±.
Доказательство. В силу (4) для любых векторов п± €
¿±У±п± = КъФ-1 Ф±п± =
те
Отсюда для любых векторов Ь± = ^ €
к=0
тете
¿±У±Ь± = ¿± Е ^±к+1п± = У± Е ^±кФ_1/±Ф±п± = У±¿±Ь±. к=0 к=0
те
Аналогично для произвольных векторов Ь± = Е € domF±
к=0
тете
¿±Г ±Ь± = ¿±Г ± Е = = Ф-1^Ф±= Г± Е КкФ-1 Ф±= Г±¿±Ь ±.
к=0 к=0
Оставшиеся включения доказываются с помощью равенств (2):
= (I + 2(У+ - 1)-1) С ¿±.
При этом для любых векторов Ь° € domF± имеем ¿±Ь° € domF± так как из-за леммы 2 Г±/±Ь± = ¿±Г±Ь± = 0. □
Следствие 1. С ¿±.
Доказательство. По формулам фон Неймана для любых векторов Ь± € domF¿ имеют место равенства Ь± = Ь± + п±, где Ь± € domF±, п± € и Ь± = ^ т±.
Отсюда
й± = т Ш±) = т ¿^±П±. (5)
Так как /±п± = Ф-1 й/±Ф±п± € и Г±/±й° = 0, то € Следовательно,
из равенства (5) вытекает, что й± = /±й± для любых й± € domF¿. □
2. Построение ^самосопряженной дилатации линейного
оператора
В пространстве Н = ф Н Ф определим оператор Б.
Будем говорить, что вектор И = (Л,_,йо,й+)т из пространства Н принадлежит dom(S) тогда и только тогда, когда:
1) й± € dom(F±);
2) р = йо + д_Ф_Г_^_ € dom(A);
3) Ф+Г+й+ = Т*Ф_Г_й_ + г/+^+(А + г)р, где Т* = I + 2гЯ_г. Для любого вектора И = (й_, йо, й+)т € dom(S) положим
БИ = Б(й_, йо, й+)Т := й_, -гйо + (А + г)р, й+)т. (6)
Доказательству основной теоремы предпошлем следующие два предложения.
Лемма 3. Если вектор Ь = (Л,_,йо,й+)т € йот(Б), то
ф = йо + ^+Ф+Г+й+ € йот(А*) и (А + г)р - (А* - г)ф = 2гйо
Доказательство. Подействуем на обе части условия 3 на область определения оператора Б оператором с учетом равенств Т^+ = и ^+Т* = Т
д+Ф+Г+й+ = Т*д_Ф_Г_й_ + г/+0+ (А+г)р = (I + 2гЯ_ г)д_Ф_Г_й_ + гВ+(А+г)р =
= (I + 2гЯ_г)д_Ф_Г_й_ + г(гЯ_ - гЯ_г - 2Я_гЯ_г)(А + г)р = = (I + 2гЯ_г)д_Ф_Г_й_ - р + Я_г(А + г)р - 2гЯ_гр = (I + 2гЯ_г)(д_Ф_Г_й_ - р) + +Я_г(А + г)р = -(I + 2гЯ_г)йо + Я_г(А + г)р (7)
Из равенства (7) получаем:
2гЯ_гйо + (йо + д+Ф+Г+ й+) = Я_г(А + г)р (8)
Так как (Я_,йо, Я_,(А + г)р} С dom(A*), то вектор ф = йо + ^+Ф+Г+й+ € dom(A*). Подействуем теперь на обе части равенства (8) оператором (А* - г):
2гйо + (А* - г)ф = (А + г)р,
что и требовалось доказать. □
Аналогично доказывается
Лемма 4. Если вектор g = (д_,до,д+)т € йош(Б *), то
V = до + ,/_Я_Ф_Г_д_ € ¿о'ш(Л) и (А + г)<£ - (А* - г)^ = 2гдо.
Теорема. Оператор Б является J — самосопряженной дилатацией оператора А.
Доказательство. Легко проверить, что оператор Б плотно задан.
Так как оператор Б[*], сопряженный к Б в метрике ^ удовлетворяет равенству Б[*] = ^^ [13], то достаточно доказать, что Б =
Найдем дефинитный сопряженный оператор Б*. Для любых векторов И = (й_,йо,й+)т € аош(Б) и g = (д_,до,д+)т € Н, где д± € аош(^±)
(БИ, ^и = й_,д_)®_ + (-гйо + (А + г)^,до) + (^+ й+,д+)®+ =
= д_Ь_ + г_д_Ь_ + (й+,^+ д+ Ь+ - ^^^ г+д+Ь++
+ (йо,гдо) + ((А + г)^,до) = (й_,^_д_Ь_ + г(Ф_Г_й_, Ф_Г_д_)эт_ + (й+,^+ д+)®+ --г(Т*Ф_Г_^_ + г/+ Я+(А + г)у>, Ф+Г+д+) + гдо) + ((А + г)р, до) = = (Ь_д_)®_ + д+)®+ + г(Ф_ Г_^_, Ф_Г _ д_ - ТФ+Г+д+)эт_ +
+ ((А + г)р, до + /+ Я+Ф+Г+д+) + (йо, гдо). (9)
Из равенства 9 вытекает, что вектор ^ = до + ^+Я+Ф+Г+д+ должен принадлежать doш(A*). Тогда используя условие 2. на ёош(Б), получим:
(БИ, g)н = д _)®_ + д+)®+ + г(Ф_ Г_Ь_, Ф_Г _д_ - ТФ+Г+д+)^_ +
+ (йо + Я_Ф _ Г_й_, (А* - г)^) + (йо, гдо) = (й_, д_+ (й+, д+Ь+ +
+ (йо, гдо + (А* - г)^) + г(Ф_Г _й_, Ф _Г _д_ - ТФ+Г+д+ + гЯ _(А* - = (И,
тогда и только тогда, когда вектор g = (д _,до,д+)т € Н удовлетворяет следующим условиям:
1) * д± € doш(F±);
2) * ^ = до + /+Я+Ф+Г+д+ € doш(A*);
3) * Ф _Г _д _ = ТФ+Г+д+ - ¿Я _(А* - г)^, где Т = I - 2гЯ _
Условия 1.*-3.* определяют область определения оператора Б*. Если g € dom(Б*), то
Б*g = Б*(д_,до,д+)т = д_, гдо + (А* - г)^, д+ )т.
Докажем теперь, что J doш(Б) = dom(Б*). Пусть И € doш(Б). Тогда, в частности, € dom(F±). Но тогда € dom(F±). В самом деле, это вытекает из доказатель-
ства следствия 1. Рассмотрим вектор JИ = _, Л,о, /+Л,+)Т. Проверим условия 2.* и 3.*
Условие 2.* ф = йо + /+^+Ф+Г+/+й+ = йо + /+^+Ф+Г+ £ Ф+1 /+Ф+П+ =
к=о
= йо + /+д+ф+ф+/+ ф+п+ = йо + /+д+/+Ф+п+ = йо + д+Ф+г+й+ € dom(A*)
в силу леммы 3.
Условие 3. * Рассмотрим вектор
и = Ф_Г_- ТФ+Г+/+й+ + гд_(А* - г)ф, (10)
где ф = йо + /+д+Ф+Г+/+й+ = йо + ^+Ф+Г+ й+ € dom(A*) на основании леммы 3. Так как И € dom(S), то, в частности,
Ф+г+й+ = т *Ф_г_й_ + г /+д+(А + г)р, (11)
где р = йо + ^_Ф_Г_й_ € dom(A).
Подействуем на обе части равенства (11) слева оператором Т
Т/+Ф+Г+й+ = /_(/ - 2гЯ_г)(/ + 2гЯ_г)Ф_Г_й_ + г^_(А + г)р + 2^_р. (12)
В равенстве (12) используем еще раз лемму 3:
Т/+Ф+Г+й+ = /_(/ - 2(гЯ_ - гЯ_г - 2Я_гЯ_г))Ф_Г_й_г^_ +
+г^_((А* - г)ф + 2гйо) + 2^_(йо + д_Ф_Г_й_) = /_Ф_Г_й_ + г^_(А* - г)ф. Таким образом, доказано равенство
/_Ф_Г_й_ = Т/+Ф+Г+й+ - гд_(А* - г)ф, (13)
где ф = йо + ^+д+Ф+Г+/+й+ = йо + ^+Ф+Г+ й+ € dom(A*).
те
При этом Ф_Г_/_й_ = Ф_Г_ £ V-Ф-1 Ф_п; = = ^_Ф_Г_й_,
к=о - - к о
и, аналогично, ТФ+Г+/+й+ = Та/+Ф+Г+Л,+ . Сравнивая равенства (10) и (13), приходим к заключению, что и -нулевой вектор. Это доказывает включение J dom(S) С dom(S*).
Обратное включение доказывается аналогично с помощью леммы 4. Следовательно, справедливо равенство J dom(S) = dom(S*), опираясь на которое, легко убедиться в J-самосопряженности оператора S. В самом деле, для любого вектора И = (й_, йо, й+)т € dom(S) на основании следствия 1
JS*Jh = JS*J(h_, йо, й+)т = J(J_F_й_, гйо + (А* - г)ф, й+)т = Sh
в силу леммы 3. Здесь ф = йо+^+Ф+Г+й+ € dom(A*), р = йо+^_Ф_Г_й_ € dom(A).
Предположим теперь, что ^ Л < 0. Найдем резольвенту оператора S. Для этого составим следующее уравнение
((^_ - Л)й _, -(г + Л)йо + (А + г)р, (Л* - Л)й+)т = (#_,#о,#+)т, которое эквивалентно системе:
- Л)й _ = £_,
-(г + Л)йо + (А + г)р = #о, (14)
(*+ - Л)й+ = £+.
Так как симметрический оператор с индексом дефекта , 0), то нижняя полуплоскость не содержит собственных значений оператора , поэтому й _ = - Л)-1д_. Второе уравнение перепишем так: (А - Л)р + (г + Л)(р - йо) = до или
(А - Л)р = ^о - (г + Л)^ _Ф _ Г_й_.
Множество р(А) открыто. Будем считать, что Л принадлежит той окрестности точки - г в нижней полуплоскости, которая содержит только регулярные точки оператора А. Тогда
р = ЯЛ(£о - (г + Л)^ _Ф _Г_(^_ - Л)-1£_). (15)
Из равенства (15) находим вектор йо:
йо = Ял£о - (I + (г + Л)Ял)д _Ф_Г - Л)_ V
Из условия 3. на dom(S) следует равенство
г+й+ = ф+1т *ф _ г_ й_ + гФ+1 /+д+(А + г)р. (16)
По формулам фон Неймана й+ = й+ + п+, й+ € dom(F+), п+ € Ш+, причем, Г+й+ = п+. Ввиду формулы (16)
п+ = Ф+1(Т*Ф _Г_ й_ + г/+^+(А + г)р). (17)
Перепишем теперь третье уравнение системы (14) следующим образом:
(*+ - Л)й+ - (г + Л)п+ = £+.
Находим вектор
й+ = (*+-Л)_ 1(^++(г+Л)п+) = (*+-Л) _1(^++(г+Л)Ф+1(Т*Ф _ Г_ й_+г /+^+(А+г)р)). Отсюда
й+ = й+ + п+ = (*+ - Л)_ + (I + (г + Л)(^+ - Л)_ 1 )п+ = = (*+ - Л) _ + (I + (г + Л)(*+ - Л) _ 1)Ф+1(Т*Ф _Г _й _ + г/+^+(А + г)р) = = (*+ - Л) _ + (I + (г + Л)(*+ - Л) _ 1)Ф+1(Т*Ф _Г - Л)-1£_ + +г/+д+(А + г)Дл(^о - (г + Л)ф_Ф_Г - Л)-1£_)).
Воспользуемся следующими обозначениями: для любого линейного оператора Ь, для которого существует (Ь - Л)_: обозначим через оператор I + (г + Л)ЯЛ(Ь).
Кроме того положим
МЛ) := (П - А)_1д_, г+(Л) := Т*Ф_Г_г_(Л) + г/+Я+^_гЛ(А)(до - (г + Л)Я_Ф_Г_г_(Л)). Тогда получаем формулу
= (*+ - Л)_1д+ + Ж_гл(^+)Ф;Ч(Л). (18)
Используя (17) и (18), находим решение системы (14):
й_ = г_(Л)
^о = Длдо - Ж_гл(А)Я_Ф_Г_г_(Л) = (*+. - Л)_1д+ + Ж_гл(^+)Ф_1г+ (Л)
Таким образом, резольвента оператора Б имеет вид:
^л(Б)(д_,до,д+)Т =
= (г_(Л), Ялдо - Ж_гл(А)Я_Ф_Г_г_(Л), (*+ - Л)_1д+ + Ж_гл(^+)Ф+1г+(Л))т. Обозначим через Р : Н ^ Н ортопроектор. Тогда
РДл(Б)(0,до, 0)т = Р(0, Длдо, гЖ_*л(*+)Ф+1 /+Я+^_гл(А)до)т = Ялдо. Теорема доказана. □
3. Некоторые частные случаи
Рассмотрим некоторые частные случаи построенной дилатации. 1. Пусть D± = L2(R±; Q±), где R- = (-то, 0], R+ = [0, Тогда операторы
Ф± можно считать единичными. В пространствах рассмотрим симметрические операторы F±, которые определяются следующим образом:
dom(F±) = {h± G Жг(Е±; Q±)|h±(0) = 0}, (F±h±) = ih±(t), h±(t) G dom(F±),
где W21(R±; 0±)-классы Соболева. Операторы F±, очевидно, являются простыми и максимальными с индексом дефекта (0, q+) и (q-, 0) соответственно. Сопряженные операторы задаются такими же дифференциальными выражениями на линеалах dom(F±) = Ж1(Е±; Q±).
Для любых векторов f±,g± G dom(F±)
(F±/±,£±Ь± - (/±,F±g±)D± =
= У ((г/±(¿),Ы*)Ь± - (Ы*),г£±(¿)Ь±Э = тг(Ы0),Ы0)Ь±.
к±
Отсюда получаем равенства для граничных операторов: Г±/± = /±(0). По формулам (1) легко находятся операторы
г г
(У+у)(*) = у(*) - ^ еи_гу(«)^, (V- у)(*) = у(*) - 2 У ег_
о _ те
Рассмотрим дефектное подпространство = 8рап{фо(2£)д+|д+ € П+} оператора где
6 I (/п6 _ г)(п)
фп(*) = 6 6, ) , п = 0,1, 2...-
п!
ортонормированные функции Чебышева-Лаггера [14]. При этом, как легко проверить, справедливы равенства Уп(фо(2£)д+) = фп(24)д+, п = 0,1, 2.... Так как оператор простой, максимальный и симметрический , то "^-односторонний сдвиг [14] и, поэтому, для любой функции й+(£) € Ь2(К+; П+) справедливо разложение
М*) = X] фп(2*)д+ = ^ ^(фо(2*)д+), = / фп(2£)й+(^ € П+, п > 0.
п=о п=1
о
С помощью равенства (4) зададим оператор </_
+
те
(7+й+)(*) = £фп(2^)= фп(2*)д+ = /+й+(*),
п=о п=о
то есть, оператор /+ действует на функцию й+(£) при каждом ¿.
Аналогичная ситуация обстоит с определением оператора . Продолжим вначале ортонормированную систему функций Чебышева-Лаггера на промежуток (-то, 0]:
ф_п(*) := фпИ), п = 0,1, 2,...
Справедливы следующие равенства V?(ф/)о(2^)д_) = ф_п(2^)д_, п = 0,1, 2..., где -односторонний сдвиг. Для любой функции й _ (¿) € Ь2(М. _; П_) имеет место разложение
те те °
й _(*) = ^ф_п(2*)д; = ^ "_п(фо(2^;), = ф_п(2£)й_€ П_, п > 0.
п
п=о п=о
По равенству (4)
тете )(*) = ^ф_п(2*)/_= /_ ^ф_п(2^; = /_й _(*).
п
п=о п=о
Оператор таким образом, действует на функцию Л-_(*) при каждом Отсюда вытекает формула
^ = (/_м*)А, /+М*))Т.
В пространстве Н = £2(Е_; 0_) Ф Н Ф ¿2(К+; 0+) определим оператор Б.
Вектор И = (Л,_(£), й0, ^+(*))т принадлежит dom(Б) тогда и только тогда, когда:
1) М*) е ^21(К±; 0±);
2) р = ^о + ^_й_(0) е dom(A);
3) й+(0) = Т*й_(0) + г/+д+(А + г)р, где Т* = I + 2гЯ_г.
Для любого вектора И = (Л._(*), Л,0, Л,+ (*))т е dom(Б) положим
БИ = Б(М*),йо,М*)Г := (гй'_(*), -г^о + (А + г)р, гй+ (*))т.
В результате получаем ^самосопряженную дилатацию, построенную в [11].
2. Пусть = /2(й±; 0±), где Z_ = {..., —3,-2, — 1}, Z+ = N. Тогда операторы Ф± можно считать единичными. В пространствах рассмотрим симметрические операторы которые определяются следующим образом:
dom(F±) = { h± е D±
Ь± е D± Е IIS±nM2 < Е h±n = 0},
где
F+h+ = F+(h+, h+,...) := -2i(Sih+, S2h+,...), F-h- = F-(..., h-2, h-i) := 2i(..., S-2h-, S-ih-),
1 i
Snh+ = 2h+ + E h+ S-nh- = 2 h-n ^ S h-k,
fc=ra+1 fc=ra+1
2
dom(S±n) = \ h± е D± Рассмотрим также операторы
Е I h± k I|2< -.
=n + 1 S
k=n+1
ОО ( +О ч
= Е ^, dom(S±) = < Л,± е Е II й ||2< ^ \.
Вычисления показывают [6], что ,#±)э± — )®± = Т2г(5±^±, 5±д±)0±,
следовательно, для граничных операторов получаем следующие равенства:
Г±/± = ^2£±/±.
По формулам (1) находим операторы
= (...,й_2,й_ь 0), й+ = (0,йьй2, 0,...), е 0± —
это односторонние сдвиги в ®±.
В пространстве Н = ф Н Ф зададим оператор J:
J(h_,hо,h+)T = д_ й_,йо, J+h+)T,
где J_й_ = (..., /_й_2, /_й_ 1), = (/+йъ /+й2,...).
Определим теперь оператор S в пространстве Н. Вектор (й_,йо,й+ )т € dom(S) тогда и только тогда, когда:
1) й± € dom(F±);
2) р' = йо + /2(3_ € dom(A);
3) /25+й+ = /2Т*5_й_ + г/+3+(А + г)р', где Т* = I + 2гЯ_ Для любого (й _, йо, й+)Т € dom(S)
S(h_,hо,h+)T = й_, -гйо + (А + г)р', й+)т
Условия 1.-3. принадлежности вектора (й _,йо,й+)т € dom(S) области определения оператора S запишем следующим образом:
1) й± € dom(F±);
2) 72р' = Айо + 3_5_й_ € dom(A);
3) 5+ й+ = Т*5_й_ + г/+3+ (А + г)(7р').
Положим р = (^ р'). Тогда получаем условия на dom(S) и формулу для оператора
S:
1) й± € dom(F±)
2) р = 7йо + 3 _5_й_ € dom(A);
3) = Т*5_й_ + г/+3+ (А + г)р,
S(h_,hо,h+)T = й_, -гйо + /2(А + г)р, й+)т. Это и есть /-самосопряженная дилатация из [6].
Заключение
В работе построена общая J - самосопряженная дилатация произвольного линейного, плотно заданного оператора с непустым множеством регулярных точек. Для построении дилатации использовались операторы , сопряженные к максимальным простым симметрическим операторам, и пространства граничных значений операторов . Частными случаями построенной дилатации являются известные ранее J - самосопряженные дилатации.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Наймарк, М. А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. - 1940, Т. 4. - № 3. - C. 277-318.
NAYMARK, M A. (1940) Spectral functions of symmetric operator. Izvestiya AN SSSR. V. 4, N. 3. p. 277-318.
2. SG.-NAGY, B. (1953) Sur les contractions de l'espace de Hilbert. Acta Sci. Math.. V. 15. p. 87-92.
3. Никольский, Н. К. Лекции об операторе сдвига / Н. К. Никольский. — M.: Наука, 1980. - 384 c.
NIKOLSKY, N, K. (1980) Lections on shift operator. Moscow: Nauka.
4. Никольский, Н. К., Хрущёв Функциональная модель и некоторые задачи спектральной теории функций // Труды Математ. института АН СССР. — 1974, Т. 176. — C. 97-210.
NIKOLSKY, N K., KHRUSCHOV, S V. (1987) Functional model and some problems of spectral function theory. Works of Mathematical institute. Academy of Sciense USSR. V. 176. p. 97-210.
5. Сахнович, Л. А. О J—унитарной дилатации ограниченного оператора // Функц. анализ и его приложения. — 1974, Т. 8, Вып. 3. — C. 83-84.
SAKHNOVICH, L A. (1974) On J—unitary dilation of bounded operator. Func. analyz i ego prilozheniya. V. 8, Issue 3. p. 83-84.
6. Кужель, А. В. J—самосопряженные и J—унитарные дилатации линейных операторов // Функц. анализ и его приложения. — 1983, Т. 17, Вып. 1. — C. 75-76.
KUZHEL, A V. (1983) J—selfadjoint and J—unitary dilations of linear operators. Func. analyz i ego prilozheniya. V. 17, Issue 1. p. 75-76.
7. DAVIS, CH. (1970) J—unitary dilation of a general operators. Acta Sci. Math.. V. 31, N. 1-2. p. 75-86.
8. Павлов, Б. С. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора Шре-дингера и разложение по его собственным функциям // Мат. сб.. — 1977, Вып. 102 (144), № 4. — C. 511-536.
PAVLOV, B. S. (1977) Selfadjoint dilations of dissipative Shredinger operator and its eigenfunctions decomposition. Mat. sb.. V. 102 (144), N. 4. p. 511-536.
9. Кужель, А. В. Самосопряженные и J—самосопряженные дилатации линейных операторов // Теория функций, функц. анализ и их прил.. — 1982, Вып. 37. — C. 54-62.
KUZHEL, A V. (1982) Selfadjoint and J—selfadjoint dilations of linear operators. Teoriya functsiy, func. analyz i ikh prilozheniya. V. 37. p. 54-62.
10. Кудряшов, Ю. Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипатив-ных операторов // Теория функций, функц. анализ и их прил.. — 1982, Вып. 37. — C. 51-54.
KUDRYASHOV, Yu L. (1982) Symmetric and selfadjoint dilations of dissipative operators. Teoriya functsiy, func. analyz i ikh prilozheniya. V. 37. p. 51-54.
11. Кудряшов, Ю. Л. J—эрмитовы и J—самосопряженные дилатации линейных операторов // Динам. системы. — 1984, № 3. — C. 94-98.
KUDRYASHOV, Yu L. (1984) J—Hermite and J—selfadjoint dilations of linear operators. Dynam.sistemy. N. 3. p. 94-98.
12. Кудряшов, Ю. Л. Изоморфизм спектрального и трансляционного представлений самосопряженной дилатации диссипативного оператора // ТВИМ. — 2018, № 1. — C. 40-47.
KUDRYASHOV, Yu L. (2018) Isomorphism of spectral and translation representations for selfadjoint dilations of dissipative operator. TVIM. N. 1. p. 40-47.
13. BOGNAR, J. (1974) INDEFINITE INNER PRODUCT SPACES. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 224 p..
14. Ахиезер, Н. И., Глазман И. М. Теория линейных оперторов в гильбертовом пространстве. Т.1 / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. — Харьков.: Выща школа, 1977. — 315 c.
AKHIEZER, N, I., GLAZMAN, I M. (1980) Theory of linear operators in Hilbert space. V. 1. Kharkov: Vyscha shkola.
15. Горбачук, В. И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений / В. И. Горбачук. — К.: Наукова думка, 1984. — 284 с.
GORBACHUK, V, I. (1984) Boundary value problems for differential-operator equations. Kiev: Naukova dumka.
106
fl. B. TpembHKoe
16. DERKACH, V., A, MALAMUD, M., M. (1999) Non-self-adjoint extensions of a Hermitian operator and their characteristic functions. Journal of Mathematical Sciences. V. 97, N.5. p. 4461-4499.
17. BRUK, V., M. (2014) On the characteristic operator of an integral equation with a Nevanlinna measure in the indefinite-dimensional case. Journal of Math. Phisics? Analysis, Geometry. V. 10, N.2. p. 163-188.
