О минимальности J-симметрической и J-самосопряжённой дилатаций линейного оператора с непустым множеством регулярных точек Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2015, том 5(33), №1-2, 69-75 УДК 517.432+517.98+517.982.224

О минимальности J-симметрической и J-самосопряжённой дилатаций линейного оператора с непустым множеством регулярных точек

Ю. Л. Кудряшов, Д. В. Третьяков

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация. В статье доказывается минимальность J-симметрической и J-самосопряженной дилатаций плотно заданного оператора A с непустым множеством регулярных точек. Пространства J -дилатаций строятся с помощью дефектных подпространств исходного оператора. Дефектные подпространства опе-A

раторов. Минимальность указанных дилатаций гарантируются сепарабельностью дефектных подпространств

Ключевые слова: неограниченный, минимальная дилатация, J-самосопряженный оператор

1. Введение. Предварительные сведения

Для оператора сжатия в [6] была построена унитарная дилатация и доказана ее минимальность. Используя преобразование Кэли можно доказать существование самосопряженной дилатации диссипативного оператора и дать определение минимальности такой

В [3] были явно построены J-симметрическая и J- самосопряженная дилатации линейного оператора с непустым множеством регулярных точек.

В статье доказываются минимальности J-симметрической и J- самосопряженной дилатаций из [3] при определённых, естественных условиях на дефектные подпространства исходного оператора.

Определение 1. Пусть A — линейный, не обязательно ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H- Оператор А, действующий в гильбертовом

A

щие условия:

1) существует А0 € p(A) П р(А);

2) H СН;

3) ЕП0 (A) h = РЩ0 (A)h для любых n € Nn h € H, Р — ортопроектор из Н на H, RXo(A) = (A - Ао I)-1, RXo(A) = (A - Ао I)-1.

Исходя из этого определения, естественно, дать следующее определение минимальности J-симметрической дилатации.

© Ю. Л. КУДРЯШОВ, Д. В. ТРЕТЬЯКОВ

Определение 2. Симметрическая дилатация L, действующая в пространстве Н, оператора А, действующего в пространстве H называется минимальной, если

Н = spann>0 {Щ0(L) H} = нmin-

Очевидно, что для произвольной J-симметрической дилатации L выполнено включение Hmin С Н и Hmin инвариантно относительно резольвенты R\0 (L), но не обязательно инвариантно относительно самого оператора L. Поэтому не всякую дилатацию можно сузить до минимальной, как в случае изометрической дилатации оператора сжатия [6]. В случае J-самосопряженной дилатации S, определение минимальности следующее:

Определение 3. Самосопряженная дилатация S, действующая в пространстве Н, оператора А, действующего в пространстве H, называется минимальной, если

Н = spann>o {Rl0 (S) H, RZ- (S) H} = Hmin-

2. J-симметрическая дилатация

Везде далее A — линейный оператор, действующий в гильбертов ом пространстве H, с плотной областью определения dom(A) и —i € p(A). Рассмотрим операторы

B+ = i R-i — i R-i — 2 R-i R-i, B- = i R-i — i R-i — 2 R-i R-^ где R- = (A + i I)-1,

Q± = \J\B±\, B± = J±\B±\ и подпространства Q± = Q±fi.

В гильбертовом пространстве Н+ = ¿2(M+; Q+) Ф H = D+ Ф H, построим оператор L следующим образом.

Вектор h = ( h+(t) V где h+(t) € D+, ho € H, принадлежит dom(L) тогда и только

V ho J

h+ (t)

тогда, когда

1) h+(t) € W2(R+; Q+);

2) ho € dom(A);

3) h+(0) = iQ+(A + iI)ho.

Если h € dom(L), то

Lh = L ( h+(t)

( h+(t)\ = ( (P+h+)(t) \

ho = Aho

где (P+h+)(t) = ih'+(t).

J-метрику в указанном пространстве определим равенством:

Jh = J ( h+

( h+(t)\ = ( (J+h+)(t)\

ho = ho ,

где (J+h+)(t) = J+h+(t) - оператор J+ действует на h+(t) при каждом t G R+. Оператор L является J-симметрической дилатацией оператора А [3].

Теорема 1. Если подпространство 0+ сепарабельно, то дилатация £ является минимальной.

Доказательство. Надо доказать, что

Н+ = ®+ ф Н = 8ралга>0 {№¿1) Н}-

Непосредственными вычислениями можно проверить, что

Я_¿а) ( к+(*) ^ = ( ((Ро + * ¡У^+Ш + * е- Ьо А ^ (2Д)

% V ^о / \ Ьо ) '

где Ро = Р+1аот(Р0)> ¿от(Ро) = {Ь+ € с!от(Р+)| Ь+ (0) = 0},

г

((Ро + г !)-1Ь+)(г) = 1 У е3-гН+(з) йз.

о

Отсюда

( ь) = ( - (2'2)

Докажем формулу для п-ой степени резольвенты оператора 1_:

О =( • где п € N'

tn-k

Mt) = e-tJ2 (n_hM ,-n-k-i Q+ R-- h. Фn = R— ho.

к= (п - к)! гп-к

Легко видеть, что при п = 1 мы получаем формулу (2.2). Если равенство (2.3) верно для любого к < п, то при к = п + 1

n+1 tn-k+1 -t^ 1_ok-1

^ (n - к + 1)! in-k k=1

<Pn+i(t) = e~ / , , , Q+ R- ho.

Применяя формулу (2.1), получим:

D=D=( 1+ f) ■

t

n

- к)! in-k-1

1 f n sn-k

vn+i(t) = -.] es-t • e-s £ (n - k)! in-k-i Q+ Rk--lho ds + i e-t Q+ R- ho,

Ф'п+1 = R-V ho = Фп+1.

(2.3)

Преобразуем ф'и+1 (t):

П ^ gu—k

<fL+i(t) = e-tE (n_kV iu—k dsQ+ R——1 h0 + ie-iQ+ h0

k=1 0

tu—k+1

= e—'; £ (n_k + 1), ,u—k Q+ R——1 ho + i e—Q+ R— ho =

(n - k + 1), iu—k k=1

U+1 ¿и—k+1

£ (П - k + 1), iU—k Q+ R——1 h0 = Фи+1"

Таким образом, формула (2.3)

Пусть ко Е с1от( А) тогда для п > 0, получаем:

+ °tr) ho) - £) = ( 1?)

где ф'и = 0,

tu u+1 ¿и—k+1

v'U(t) = e—t -7-^T Q+ A + iI) ho + , , ^ ,, ■ Q+ R-—2 ho-

( ¿и у n,iu—1

'uVV " 1 n, iu—7 o k=2 (n - k + 1), iu—k

U k t U

t - ->k- 1-1 e t

£ (n - k), ,u—k+1 Q+R——1 ^J = щи=1 Q++" >^

n, i

t

^п(^) Е Я+ (А + 11) аот(А) = н = 0+.

Так как пространство 0+ сепарабельно, то множество вектор-функций вида Ьп е_ ко, где ко € 0+ п > 0, всюду плотно в ¿2(К+; 0+)

Тогда = фапп>1 ) Н}- О

Замечание. Если при построении дилатации положить = ¿2(М+; 0+) где 0+ =D 0+ , то полученная дплатацпя, как легко видеть, минимальной не будет.

3. .^самосопряженная дилатация

Рассмотрим пространства вектор-функций: Э±=¿2(М±; 0±).

Образуем гильбертово пространство Н = ® Н Ф ®+и построим в нем оператор

( к_(Ь)

Б следующим образом: вектор И = I ко | , вде к±(£) € Э±, ко Е Н, принадлежит

V

()

1) к±(*), Е Ж21(К±; 0±);

2) ф = ко + Я- к-(0) е <!от(А);

3) к+(0) = Т* к-(0) + г ,]+Я+(А + г1) ф, где Т* = I + 2 г Я*-г. Если И е с1от(5), то

( н-(г) \ ( (V- к-)(г) Б И = Б I ко ) = I -г ко + (А + г1) ф

\к+(1) ) V (Р+ к+)(1)

где (Р± к±)(г) = гк'±(г).

А

Теорема 2. Если подпространства 0± сепарабельны, то дилатация Б является минимальной.

Доказательство. В нашем случае Ао = —г, следовательно, надо доказать, что

Н = 8рапга>о {ЯП-г^)Н,ЯП^)Н}. Для этого достаточно проверить, что 1) Я+ = 8Рап_> 1 {Яп_г(Б)Я} ;

2) Я- = фап_>1 {Я_(Б)Н}.

Непосредственными вычислениями можно проверить следующие два равенства (3.1) и (3.2):

к-(1) \ ( ((V- + г1)-1 к-)® \ ( У-(1) Я-г(Ъ) I ко ) = I Я-г ко — Я- У- (0) ) = I Уо I , (3.1)

к+(1) ! V ((Ро + г I)-1 к+Ш+ е- У+(0) \ У+(1)

t t ((Po + iI)-1 h+)(t) = 1^j es-th+(s) ds, ((P- + iI)-1 h-)(t) = 1 j es-th-(s) ds,

0 -ж

V-(0) = [(P- + iI)-1 k-(t)]t=0, V+(0) = T* V-(0) + iJ+Q+ ho.

( h-(t) \ ( ((P-o - iI)-1 h-)(t)+ et U-(0) \ ( U-(t) \ Ri(S) I ho I = I Я*-г ho - Q+ U+(0) I = I Uo | , (3.2)

h+(t) ) V ((P+ - iI)-1 h+)(t) ) \U+(t)

((P-o - iI)-1 h-)(t) = ij et-sh-(s) ds, ((P+ - iI)-1 h+)(t) = ij et-sh+ (s) ds,

o

и+(0) = [((Р+ - г/)-1 к+)(*)]Р_о = Р_|м_,

М_ = {к- Еёот(Р_)| к_(0) = 0}, и_(0) = Т^+(0) - ко,

Из (3.1) следует, что:

( 0 I ( 0

Е_'(5) I ко | = I Е_ ко

V к+(*) / V ((Ро + г /)_1 к+)(£) + ге_ .1+Я+ ко

Пусть ко Е с1от(А), тогда для п > 0, получаем

Е__'1 (Б) I (А + 01) ко | - Е_'$) I ко | =

" < (I)

(и+1 ¿u—k+1 ¿и

U(t) = e—t^ ( , + 1), ^ J+Q+ Rk——2 ho + J±Q±(A + i !)ho-

\k=2 (n - k + 1), n,iu

j-u—k \ 0—tj.u

t - - ->k-1 . i p t

u tu—k \ ß—t tи

£ (n - k), iu—k—1 J+Q+ Rl——1 M = J± Q±(A + i1 )ho-

Так как J+Q+ (А + 01) с1от(А) = Q+J+ Н = 0+, то в силу сепарабельности пространства 0+, множество вектор-функций вида: Ьп е_ ко, где ко Е 0+,п > 0, всюду плотно в

¿2(м+; 0+).

Докажем (3.2). Для этого надо обосновать формулу:

0 \ ( Ш

Е'(Б) I ко I = I 9п | , (3.3)

п ^ ¿п_к к 1

где дп = Е_" ко, /п(^) = --к\\1—')п-к-1 J_Q_ Е_' ко- Доказательство анало-

(п — к) (—0)п

k=1

гично.

Пусть ко Е с1от(А*), тогда для п > 0 получаем:

0 \ (0 \ (т

Е'+ \Б) I (А* —01) ко I — Еп(Б) I ко I = ( 0

/u±1 tu—k+1 , 2 tu pt

fH(t) = et V 7-/^s.s k J—Q— R-i ho + 1 J—Q— (A* - i I) ho-

Vk= (n - k + i),(-i) 1 n, (-i)u—1 45 v '

¿u—k k_ 1 \ ¿u pt

- g (n - k) (-i)u—k—1 J—Q— R—- "oj = nrc=iju=r J—Q—(A*- ,i> "o-

(п — к)! (-г)п__ Е_' ко) = п! ( —

Так как J_Q_ (А* — 01 )ёот(А*) = Q_J_ Н = 0_, то в силу сепарабельности пространства 0_, множество вектор-функций вида: Ьп ег ко, где ко Е 0_, п > 0, всюду ПЛОТНО В ¿2 (М_; 0_). □

4. Заключение

В статье впервые доказана минимальность Асимметрической и .(-самосопряженной дилатаций произвольного линейного оператора с непустым множеством регулярных точек при условии, что при построении дилатации дефектные подпространства 0+ и 0-являются сепарабельными. Понятие минимальности позволяет решать ряд важных задач: построение функциональной модели оператора и изучение структуры пространства

Список цитируемых источников

1. Золотарев В. А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов. // Харьков: ХНУ, — 2003. — 342 с.

2. Кудряшов Ю. Л. Минимальность а — симметрической дилатации операторного узла. // Ученые записки ТНУ им. В.И.Вернадского. - 2012. - Т. 25(64) №2. - С. 84-88.

3. Кудряшов Ю. Л. ^эрмитовы и 7-самосопряженные дилатации линейных операторов. // Динамические системы, — 1984. — № 3 — С. 94-98.

4. Кужель А. В., Кудряшов Ю. Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипа-тивных операторов. // ДАН СССР. - 1980. - Т. 253 №4. - С. 812-815.

5. Кудряшов Ю.Л. Минимальность самосопряжённой дилатации диссипативного оператора. // Динамические системы. — 2014. — № 3. — с. 94-98.

6. Секефалъви-Надъ В., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. // М.: Мир, - 1970. - 431 с.

Получена 04-06.2015