CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2021, Том 23, Выпуск 3, С. 52-63
УДК 512.54
DOI 10.46698/l4033-4336-3582-u
ОБ ОБОБЩЕННЫХ ДРЕВЕСНЫХ СТРУКТУРАХ ГРУПП АРТИНА#
И. В. Добрынина1, А. C. Угаров2
1 Академия гражданской защиты МЧС России, Россия, 141435, Московская обл., г. о. Химки, ул. Соколовская, 5; 2 Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, Россия, 300026, Тула, пр-т Ленина, 125 E-mail: [email protected], [email protected]
Посвящается профессору Стефану Григорьевичу Самко по случаю его 80-летнего юбилея
Аннотация. Основными алгоритмическими проблемами теории групп, сформулированными в начале прошлого века для конечно определенных групп, являются проблемы равенства, сопряженности слов и проблема изоморфизма групп. Исследование данных проблем привело к возникновению комбинаторной теории групп. Неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп доказана П. С. Новиковым. Это привело к рассмотрению алгоритмических проблем в конкретных группах. К. Аппелем и П. Шуппом в 1983 г. определен класс групп Артина экстрабольшого типа, где ими решены проблемы равенства и сопряженности слов. Группы Артина с древесной структурой в 2003 г. введены В. Н. Безверхним. В графе, соответствующем группе Ар-тина, всегда можно выделить максимальный подграф, соответствующий группе Артина с древесной структурой. В. Н. Безверхним и О. Ю. Платоновой решены основные алгоритмические проблемы в данном классе групп Артина. В статье рассматривается строение диаграмм над обобщенными древесными структурами групп Артина, представляющих собой древесные произведения групп Ар-тина экстрабольшого типа и групп Артина с древесной структурой, объединенных по циклическим подгруппам, соответствующим образующим этих групп, и их применение к эффективному выписыванию образующих централизатора элемента и решению проблемы сопряженности слов в данном классе групп. В доказательстве основного результата данной статьи используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним. Ключевые слова: группа Артина, алгоритмические проблемы, древесное произведение групп, диаграмма.
Mathematical Subject Classification (2010): 20F36.
Образец цитирования: Добрынина И. В., Угаров А. C. Об обобщенных древесных структурах групп Артина // Владикавк. мат. журн.—2021.—Т. 23, вып. 3.—С. 52-63. DOI: 10.46698/14033-4336-3582-u.
1. Введение
В начале прошлого века сформулированы фундаментальные алгоритмические проблемы теории групп: проблема равенства слов, проблема сопряженности слов (М. Ден [47]), проблема изоморфизма групп (Х. Титце [2]). Исследование этих проблем
#Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 19-41-710002 р_а.
© 2021 Добрынина И. В., Угаров А. С.
в значительной мере способствовало развитию комбинаторной теории групп. На сегодняшний день основные достижения комбинаторной теории групп систематически изложены в ряде книг, среди которых особое место занимают монографии В. Магнуса, А. Карраса и Д. Солитера [3], Р. Линдона и П. Шуппа [4], А. Ю. Ольшанского [5].
Неразрешимость фундаментальных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп доказана П. С. Новиковым [6], что привело к рассмотрению алгоритмических проблем в конкретных группах.
Пусть С — конечно порожденная группа Артина с копредставлением
С = (аь...,ага; (а*а,)т^' = (а,а*)т^, г,; = 1,...,п, г = Д
где (а*а, )т^ — слово длины т,, состоящее из т, чередующихся букв а* и а,, г = т, — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера: т, € N \ {1} и {то}, г,; = 1,..., п, г = В случае т, = то, г = определяющего соотношения между образующими а*, а, нет.
К. Аппелем и П. Шуппом [7] определен класс групп Артина экстрабольшого типа и в нем решены проблемы равенства и сопряженности слов.
Группы Артина с древесной структурой введены В. Н. Безверхним [8]. В графе, соответствующем группе Артина, всегда можно выделить максимальный подграф, соответствующий группе Артина с древесной структурой. В данном классе групп В. Н. Безверхним и О. Ю. Платоновой (Карповой) решен ряд алгоритмических проблем, в том числе проблемы равенства и сопряженности слов [9].
В статье рассматривается строение диаграмм над обобщенными древесными структурами групп Артина, представляющими собой древесные произведения групп Артина экстрабольшого типа и групп Артина с древесной структурой, объединенных по циклическим подгруппам, соответствующим образующим этих групп и их применение к эффективному выписыванию образующих централизатора элемента и решению проблемы сопряженности слов в данном классе групп.
В доказательстве основных результатов используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним, а также методы работы [10].
2. Строение диаграмм над обобщенными древесными структурами групп Артина
Рассмотрим конечно порожденную группу Артина, заданную копредставлением
С = (аь ... ,ага; (а*а,)т^' = (а,а*)т^, г,; = 1,... ,п, г = Д
где (а*а, )т,у — слово длины т,, состоящее из т, чередующихся букв а* и а,, г = ;, т, — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера: т, € N \ {1} и {то}, г,; = 1,..., п, г = при т, = то определяющего соотношения между образующими а*, а, нет.
Если т, > 3, г = ;, то С называется группой Артина экстрабольшого типа [7].
Построим для группы Артина С граф Г такой, что образующим а* поставим в соответствие вершины графа Г, а каждому определяющему соотношению (а*а,)т^' = (а,а*)т^, т, = то — ребро, соединяющее а* и а,, г = Если при этом получится дерево-граф Г, то группа С называется группой Артина с древесной структурой [9].
Группа Артина С с древесной структурой может быть представлена как свободное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам: от графа Г группы Артина О перейдем к графу Г так, что вершинам графа Г поставим в соответствие группы Артина на двух образующих Сц = («1,%-; (сца.;}"4' = а всякому ребру ё, соединяющему вершины, соответ-
ствующие С^- и С^к — циклическую подгруппу ).
Далее в статье будем рассматривать группу Артина
представляющую собой древесное произведение групп Артина С3, где С3 либо группа Артина с древесной структурой, либо группа Артина экстрабольшого типа, запись а%т — ajl означает, что объединение групп Артина Сi и Gj ведется по бесконечным циклическим подгруппам {(цт), {ajl), где а^т — некоторый образующий группы Сi, ajl — некоторый образующий группы Gj. Такую группу Артина С будем называть обобщенной древесной структурой групп Артина и далее всюду под группой Артина С будем понимать такую группу, если нет специальных оговорок.
Данный класс групп относится к почти большим группам Артина и в нем алгоритмически разрешимы проблемы равенства и сопряженности слов [11].
Пусть Fi — ^), ^ = Л*Fi — свободное произведение циклических групп Fi.
Обозначим через Я^ — множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободном произвдении Fij — Fi * Fj и равных 1 в группе Сij. Группу Артина Сij можно задать как С^- — {ai, aj; Я^).
В дальнейшем под Я будем понимать Я — Уi jg{l п} Я^ — симметризованное подмножество свободного произведения F. Пусть и> — нетривиальное циклически приведенное в F слово, равное 1 в С, т. е. ад € {Я)р, где {Я)р — нормальное замыкание симметризо-ванного множества Я в свободном произведении F [4]. Тогда из теоремы ван Кампена [4] следует, что существует Я-диаграмма М с граничным циклом 7 — дМ, меткой которого является слово ад, ^>(7) — ад, и с метками областей В С М из Я^. Будем называть такую Я-диаграмму М Я-диаграммой М над С, а ее области — Я^-диаграммами.
Обозначим через |ад| длину слова ад, а через ||ад|| — слоговую длину слова ад.
Подвергнем Я-диаграмму М следующему преобразованию.
Если две области В1, В2 являются одновременно Я^-диаграммами, пересекаются по ребру с меткой ^>(дВ1 ПдВ2), то, стирая это ребро, объединим В1, В2 в одну область В. Допустим, что каждая из областей В1, В2 есть Я^-диаграмма, В1, В2 пересекаются по вершине. Тогда объединяем В1 , В2 в одну область В. Если в том или другом случае метка границы полученной области равна единице в свободном произведении F, то, удалив эту область, склеиваем ее границу. Таким образом, через конечное число шагов мы получим приведенную в F односвязную Я-диаграмму М, инвариантную относительного рассмотренного преобразования с граничной меткой, равной ад, причем если две области В', В'' из М пересекаются по ребру, то слоговая длина метки этого ребра равна единице.
Аналогично рассматриваются кольцевые Я-диаграммы над С.
Введем ряд определений, следуя работам [9, 12-14].
Область В С М назовем граничной, если дМ П дВ — 0. Символами ¿(В) будем обозначать число внутренних ребер в граничном цикле В, ^(В) — число ребер в граничном цикле В.
Область D с граничным циклом dD = 67e-M, расположенная по обе стороны относительно ребра e, в которой склеенные ребра e и e-1 пересекают граничный цикл D, называется (s — ^-областью.
Будем говорить, что dDПdM — правильная часть M, если dDПdM есть объединение последовательности 11,12, • • •, замкнутых ребер, где 11,..., встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для D ив некотором граничном цикле для M [4].
Граничную область D R-диаграммы M назовем правильной, если dD П dM есть правильная часть.
Определение 1. Правильная область D R-диаграммы M называется деновской, если i(D) < d(D)/2.
Определение 2. Удаление внешней границы деновской области R-диаграммы M называется деновским сокращением R-диаграммы M или R-сокращением
Определение 3. Поддиаграмма П = (jn=i Di образует полосу в R-приведенной R-диаграмме M с граничным циклом dM = 7 U если
1) dDi П dDi+1 = ei, i = 1,..., n — 1, где ei — ребро;
2) dDi П y = Yî, i = 1,..., n, где Yi — связный путь, причем ||yî || ^ 1;
3) ||dD1 П y|| = ||dD1 \(dD1 П Y)|| и ||9Dra П Y|| = ||dDra\(9Dra П Y)||;
4) |dDj П y|| + 2 = |dDj\(dDj П Y)||, j = 2,..., n — 1.
Определение 4. Пусть П — полоса R-диаграммы M. Замену R-диаграммы M на -R-диаграмму Mi, полученную из M удалением полосы П, назовем R-сокращением.
iî-приведенное слово w группы G назовем Д-приводимым (iî-сократимым), если в нем можно выделить подслово S1S2 ... sn, где каждое st содержится в некоторой группе Gij и является подсловом соотношения s-1d-1btdt+1 € R, причем при 1 ^ t ^ n l|dt|| = ||dt+11| = 1, llstll = 11bt| +2 и для t, 1 < t < n, ||bt|| = ||st|.
Лемма 1. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Артина G выяснить, является ли w R-приведенным.
Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Артина G выяснить, является ли w R-приведенным.
Определение 5. Приведенную связную кольцевую R-диаграмму M с границей dM = a U т будем называть однослойной, если
1) M состоит из областей D1, D2,..., Dm, где Dj П Dj+1 — ej, j — 1,..., m — 1, D1 П Dm = em, Dj П a = 0, Dj П т = 0, j = 1,..., m, ej — ребро,
или
2) M = ( (jp=1 Nj) U ( UP=1 Yj) , N — поддиаграммы (диски) в M с границами dNi = ai U Ti, ai П Ti = {Ai, Bi} — вершины, i = 1,... ,p, Yi — простые пути с концами Bi-1, Ai, i = 2,... , p, простой путь Y1 имеет начало Bp, а конец — A1, где каждое Ni состоит из областей Di1, Di2,..., Dim , причем Dj П Dij+1 = eij, j = 1,..., mi — 1, Dj. П a = 0, Dj. П т = 0, j = 1,..., mi, ej. — ребро.
Из данного определения имеем, что в случае 1) все области M граничные, каждая пара соседних областей, взятых в циклической последовательности, пересекается по ребру, каждая область пересекает и a, и т (пересечением может быть вершина, одно или несколько ребер). В случае 2) имеем простую кольцевую R-диаграмму, т. е. R-диаграмму, в которой a П т = 0. Пути Yi, по которым пересекаются a, т, отделяют поддиаграммы (диски), причем заметим, что эти пути, в том числе, могут иметь нулевую длину (быть вершиной).
Аналогично определяются однослойные односвязные диаграммы:
Определение 6. Приведенную односвязную Я-диаграмму М равенства слов и, V с границей дМ — 7 и 5, ^>(7) — и, ^>(5) — V-1, будем называть однослойной, если
1) М состоит из областей В1, В2,..., Вт, где Ву П В^+1 — еу, 3 — 1,..., т — 1,
П 7 — 0, П £ — 0, 3 — 1,..., т, — ребро,
или
2) М — (и?=1 и (иР=2 ), N — поддиаграммы (диски) в М с границами д^ — 7i и ^, 7i П 5i — {А, Bi} — вершины, г — 1,... ,р, ^ — простые пути с концами г — 2,... ,р, где каждое N состоит из областей В^, Вi2,..., В^., причем Вь. П В^ — е^., 3 — 1,..., т^ — 1, В^. П 7 — 0, В^. П 5 — 0, j — 1,..., mi, е^. — ребро.
Далее будем рассматривать равенство и сопряженность слов ад, V, заданных в нормальной форме [4], т. е. ад — ад1ад2 ...адк, V — v1v2 ...^, где адь^ € С, I — 1,...,к, Сil есть либо группа Артина с древесной структурой, либо группа Артина экстрабольшого типа из представления (1), причем слова адг+ь а также VI, эд+1 принадлежат разным группам из (1), VI не являются элементами из объединяемых подгрупп. Заметим, что в случае равенства слов, количество слогов в словах ад, V совпадает [4].
Теорема 1. Пусть М — приведенная односвязная К-диаграмма равенства К и К-не-сократимых слов ад, V € С над группой Артина С. Тогда М является однослойной.
Пусть М — приведенная связная кольцевая Я-диаграмма сопряженности слов ^>(а), ^>(т) € С над группой Артина С, не содержащая (з — г)-областей; а, т — соответственно внешний и внутренний граничный циклы М, слова <£>(<т), (р(т) циклически К и К-несо-кратимы. Тогда М является однослойной.
< Пусть ад — V и ад — ад1ад2 .. . адк, V — v1v2 .. . ^, где ад^^ € С, I — 1,..., к, С^ есть либо группа Артина с древесной структурой, либо группа Артина экстрабольшого типа из представления (1), причем ад^, ад^+1, а также VI, принадлежат разным группам из (1) и не являются элементами из объединяемых подгрупп. По теореме ван Кампена [4] существует Я-диаграмма М равенства слов ад — V над С такая, что дМ — 7и5, ^>(7) — ад, ^>(5) — V-1, ^>(дМ) — ^>(7)^(5) — —V-1. Имеем ад1ад2 ... адк — v1v2 ... ^.
Рассмотрим слова ад1, V!. Пути с метками V! и ад! выходят из одной точки, V!, ад! из С^. Допустим, что концы этих путей не совпадают, тогда существует кратчайший путь с меткой и такой, что метка граничного цикла поддиаграммы в М имеет вид и-"^-1—^ где и-1^-1— — 1, т. е. v-1ад1 — и, и € С^. Если V — ад, то по теореме 2.6, а также лемме 2.3 из [4], единственно возможными случаями для равенства слов V и ад в рассматриваемом классе групп являются случаи, когда и равно 1 или и равно ail 1, а^ — 0, где ^^) — объединяемая подгруппа для С^ и С^. Получаем, что либо ад1 — V!, либо ад1 — v1ail 1.
1. Допустим, что ад1 — V!, где —1^1 € С^, тогда поддиаграмма диаграммы М с граничной меткой V-1—! (V-1—! — 1) является Я^-диаграммой М1 равенства слов —1 — V! над С^, причем Я^ С Я и является объединением Яу из С^; дМ1 — 71 и 51, ^(71) — ад1, ^(51) — V-1, ^>(дМ1) — ^(71 )^(51) — —V-1. Из работ [9, 14] имеем, что данная диаграмма является однослойной.
2. Если ад1 — v1ailгl, где ^) — объединяемая
подгруппа для С^ и Сi2, то поддиаграмма диаграммы М с граничной меткой a_aгl V-1—! (a_агl V-1—! — 1) является Я^-диаграммой М1 равенства слов ад1 — v1aalгl в С^, дМ1 — 71 и 51, ^(71) — ад1,
_а '1 _а * 1
^(51) — ail пV- , ^>(дМ1) — ^>(71)^>(51) — ад1ail пV- . Из работ [9, 14] имеем, что М1 является однослойной.
Далее для случая 1 в С имеем равенство слов ад2 ... — — v2 ... ^. Для ад2, v2 также возможны два случая:
а) w2 = v2, где w2,v2 € Gi2. Тогда поддиаграмма диаграммы M с граничной меткой v-1 w2 является Ri2-диаграммой M2 равенства слов w2 = v2 над Gi2, M2 однослойна, как следует из [9, 14], и связана вершиной с Mi. Далее рассматриваем равенство слов W3 • . -Wfc = V3 ... vfc.
б) w2 = v2a^2, где (ai2 ) — объединяемая подгруппа для Gi2 и Gi3, тогда поддиаграмма
диаграммы M с граничной меткой a-a¿2 v-1w2 есть Ri2-диаграмма M2 равенства слов
W2 = V2a"2'2 над Gi2, dM2 = 72 U ¿2, ^(72) = W2, ^>(¿2) = a-"'2 v-1, причем Ri2 с R и является объединением Rj из Gi2. Из работ [9, 14] имеем, что данная диаграмма является однослойной. M2 связана вершиной с M1 . Далее рассматриваем равенство слов w3 ... Wfc = ai2 v3 ... Vfc .И так далее.
В случае 2 рассмотрим равенство w2 ... w = a-"11 v2 ... и слова w2, a-"11 v2. Для них возможны два случая:
а) w2 = a-"11 v2. Тогда подддиаграмма диаграммы M с граничной меткой v-1a"ii1 w2 есть Ri2-диаграмма M2 равенства слов w2 = a- v2 над Gi2. Она является однослойной и будет иметь общее ребро с меткой a"2n с M1. Далее рассматриваем равенство слов W3 .. .wfc = V3 ... vfc ._
б) w2 = ai1 11 v2ai2i2. Рассматриваем Ri2-диаграмму M2 равенства слов w2 = ai1 1 v2ai22 над Gi2. Она является однослойной и имеет общее ребро с меткой ai11
с M1. Далее рассматриваем равенство слов w3 ... w = a-"¿2 v3 ... .
Продолжая рассуждения, аналогичные изложенным выше, получаем строение R-диаграммы M над G с граничным циклом dM = 7 U ¿, ^>(7) = w, ^(¿) = v-1, ^>(dM) = ^(7)^(5) = wv-1, удовлетворяющей условиям леммы.
Таким образом, приведенная односвязная R-диаграмма M равенства R и R-несокра-тимых слов w, v € G над группой Артина G является однослойной.
Рассмотрим случай, когда M — приведенная связная кольцевая R-диаграмма сопряженности слов w, v, для которой выполнены условия теоремы. Пусть z-1wz = v, w = w1 w2 ... wfc, где wi, v € Gi;, l = 1,..., k, Gi; есть либо группа Артина с древесной структурой, либо группа Артина экстрабольшого типа из представления (1). На основании теоремы 2.8 из работы [4] получаем, что любое циклически приведенное слово, сопряженное w, является циклической перестановкой элементов w1, w2,..., w^, и последующим сопряжением словом из объединяемой подгруппы. Тогда слово v = v1v2 ... v^ должно быть равно слову h_1wt+1... w^w1... wth, где h = 1, либо h = , ait = 0, где a^4 принадлежит объединяемой подгруппе (ait ) для Git, Git+1. Поэтому равенство z-1wz = v должно сводится к равенству слов h_1wt+1... w^w1 ... wth = v1v2 ... v^. Диаграмма равенства слов h-1 wt+1... w1... wth и v1v2 ... имеет такое же строение, как рассмотрено выше. Склеивая ее по ребру с меткой h = , либо по вершине, соответствующей h = 1, получаем диаграмму сопряженности слов w, v. В полученной диаграмме все вершины являются граничными, а любая область пересекает и а, и т, где <^(а) = w, ^>(т) = v. Поэтому приведенная связная кольцевая R-диаграмма M сопряженности слов, удовлетворяющая условию леммы, является однослойной. >
Определение 7. Кольцевую связную приведенную однослойную R-диаграмму M с граничными циклами а, т над группой Артина G, метки которой <^(а), <^(т) приведены в F, (£>(<т) — R-приведено и R-приведено, назовем особо специальной R-диаграммой, если в M существует одна область D такая, что ||^>(dD \ (dD П а)) У + 2 = ||^>(dD \ (dD П т))|| (||p(dD \ (dD П а))|| = ||^(9D \ (dD П т))|| + 2), а для остальных областей D' ||<p(9D' \ (dD' П а))|| = ||p(dD' \ (dD' П т))||.
Замену слова ^(а)(^(т)) на слово <^(т)(^>(а)) назовем специальным кольцевым Я-со-кращением.
Определение 8. Будем говорить, что циклически несократимое слово — группы Артина О является тупиковым, если ю циклически Д-несократимо, циклически Д-несо-кратимо и к нему неприменимо специальное кольцевое Я-сокращение.
3. Централизатор элемента и сопряженность слов в обобщенных древесных структурах групп Артина
Теорема 2. В обобщенной древесной структуре групп Артина С централизатор элемента конечно порожден. Существует алгоритм, выписывающий образующие данного централизатора.
Теорема 3. В обобщенной древесной структуре групп Артина С разрешима проблема сопряженности слов.
Лемма 2. Пусть М — связная приведенная минимальная Я-диаграмма над группой Артина С с граничными циклами а, т; <^(а), <^(т) являются тупиковыми. Тогда если ср(а) = хт, то ср(т) = ут, где х,у € {а^1}^!^ {аЛг=Т71 ~~ множество образующих группы С.
Доказательство следует из работ [9] и [36], где также показано, что такие диаграммы состоят из (з — г)-областей.
Теорема 4 [12]. Пусть Су — {ai,aj; {aiaj— ^ai)mji), — € циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2ту, и равно единице в Су. Тогда оно имеет вид:
при ту — 2к + 1 amajai... aia_ma_1a_1... a_1, либо aiajai... ama_1a_1a_1... a_m, либо им обратные,
при ту — 2к, к > 1, amaj ai ..^у a_ma_1a_1 ...a_1, либо ai aj ai...
a™ a- 1aJ- 1 a- 1... a_ m, либо им обратные,
при my = 2 amaja- ma_ 1, либо им обратные, m, l € Z \ {0}.
Из [12] также следует, что показатели степеней можно ограничить числом p, называемым параметром диаграммы: p = |w| + |v|.
Пусть M — кольцевая R-диаграмма, v — произвольная точка, принадлежащая некоторому замкнутому ребру e € M, e = e'e'', e' П e'' = v. Тогда замкнутый путь l € M с начальной и конечной точкой v: l = e'-1 ei... ent, где t = e' либо t = e''-1, либо l = e''e1 ... e^t', где t' = e' либо t' = e''-1, назовем циклическим в M, если l гомотопен т, соответственно ст. Кратчайший из всех циклических путей кольцевой R-диаграммы M, проходящих через некоторую точку v, принадлежащую ребру e, e € M, назовем циклическим геодезическим путем с началом и концом в v.
Пусть u = xr, x € {af1}, i = 1,..., n, тогда из леммы 2 следует, что v = yr, y € {af1}, i = 1,..., n, и диаграмма сопряженности этих слов состоит из (s — ^-областей.
Пусть сто = ст, Ст1,..., ст^ = т — граничные циклы R-диаграмм, полученных из M = Mo последовательным удалением (s — ^-областей. Но тогда ^(ст^) = x^, Xi € {af1}, i = 0,..., k, j = 1,..., n, и любые два элемента xr_1, x^, i = 1,..., n, где xr = x0, x^ = yr, сопряжены в GXi-lXi максимальным куском определяющего соотношения группы GXi-1 Xi.
Пусть m0 = max{my : my < то}. Тогда длина любого циклического геодезического пути из M заключена в пределах |u| ^ d ^ |u| + 2mo. Заметим, что для кольцевых R-диаграмм, состоящих из (s — ^-областей, в качестве параметра p можно взять любое число, в частности, p = 0.
Пусть слова u, v не являются степенями образующих в G. В этом случае u, v будут метками граничных циклов кольцевой R-диаграммы M как в теореме 1. Так как u сопряжено с v, u, v являются тупиковыми, то, как следует из [9, 14] и теоремы 1,
Укажем границы изменения длины циклического геодезического пути для диаграммы M. На основании теорем 1 и 4 длина d циклического геодезического пути заключена в пределах |u| ^ d ^ |u| + |v| + 2p.
Построим множество слов s(u, v), длина d которых заключена в пределах |u| ^ d ^ |u| + |v| + 2(p + mo).
Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, проводимым в статьях [10, 12].
Рассмотрим базисные последовательности, соответствующие слову u:
u(0), Hi, u(1), H2, ..., H, u(k), (1)
где Vf, i = hk, u = u® € s(u,v), Щ e {af, 1 < i < = u«,
{aj}j=T^ ~~ множество образующих группы G.
Базисную последовательность назовем фундаментальной, если u(j) не совпадает с u(s), 0 ^ j < s < k, и существует целое v, 0 ^ v < k, такое, что u(v) = u(k).
Лемма 3. Если последовательность (1) фундаментальная, то слово H1H2... Hv-1Hv ... HfcH—1 ... H—1 H-1 принадлежит централизатору элемента u.
Доказательство очевидно.
Слово H1... HkH—1... H2-1H1-1, связанное с фундаментальной последовательностью, назовем базисным словом.
Лемма 4. Если последовательность (1) фундаментальная, то k ограничено.
Доказательство очевидно.
Лемма 5. Число фундаментальных базисных последовательностей, относящихся к данному слову, конечно.
Доказательство очевидно.
Базисная последовательность (1) называется особой, если она не содержит фундаментальную последовательность либо является пустой, т. е. все H = 1.
Слово H1H2 ... Hfc, соответствующее особой базисной последовательности, назовем особым базисным словом.
Если в базисной последовательности (1) u(0) = u, u(k) = v, то слова u и v сопряжены. Ясно, что число особых базисных последовательностей конечно, а k ограничено.
Лемма 6. Пусть F-1uF = v, тогда существует разбиение F в произведение Н1Н2 ■ ■ - FLm, где Hi € {aff, 1 ^ t ^ и базисная последовательность, связанная
с данным разбиением F:
u(0), H1, u(1), ..., Hm, u(m). (2)
< Слова u, v являются тупиковыми и сопряжены в G с помощью F.
Если u, v не являются степенями образующих, то в силу теоремы 1 мы имеем кольцевую однослойную R-диаграмму M сопряженности слов u, v с граничными циклами а, т, метками которых являются соответственно слова u, v. Путь с меткой, равной F, соединяет а и т. Данный путь областями разбивается на ребра, причем ребро может лежать на граничных циклах а, т, либо соединять а с т. Метка каждого ребра есть степень образующего, метки а, т не превосходят максимальной длины геодезического. Таким образом, в качестве u надо взять либо метку а, т, либо их циклические перестановки.
Если и является степенью образующего, то V является степенью образующего по лемме 2 и Я-диаграмма М сопряженности слов и, V с граничными циклами а, т, метками которых являются соответственно слова и, V, состоит из (8 — г)-областей. Путь с меткой, равной ^, соединяет а и т и разбивается на ребра, причем метка каждого ребра также есть степень образующего, и, следовательно, искомое разбиение и связанная с ним последовательность существуют. >
Лемма 7. Пусть ^ — Я1... Ят таково, что ^-1и^ — V и (2) — базисная последовательность, соответствующая данному разбиению ^. Тогда из последовательности (2) можно выделить особую подпоследовательность такую, что соответствующее ей базисное слово таково, что с помощью него слова и и V сопряжены.
< Если и — V, то в качестве особой базисной подпоследовательности возьмем пустую ^ = 1.
Если последовательность (2) не содержит фундаментальных подпоследовательностей, то она является особой и ^' — ^.
Если (2) не является особой и пустой, то существуют целые числа V, к, 0 ^ V < к < т, такие, что подпоследовательность
и(0), Яь ..., Я^, и^), Я^+1, ..., Яд,
является фундаментальной.
Вычеркнем из (2) подпоследовательность вида Я^+1, и(^+!), Я^+2,..., Яд., и(д).
Получим базисную последовательность
и(0), Я1, ..., Яу, и(^), Яд+1, иД+!, ..., Ят, и(т)
с базисным словом Я1Я2 ... Я^Яд+1... Ят, удовлетворяющую требованиям леммы. >
Таким образом, мы доказали теоремы 2 и 3.
Заметим, что решение проблемы сопряженности слов для слов слоговой длины 1 может быть получено из леммы 2.
4. Заключение
Рассмотренный в статье класс групп важен для изучения алгоритмических проблем в группах Артина, которые могут либо быть представлены как обобщенные древесные структуры групп Артина, образованные из групп Артина с древесной структурой заменой некоторых вершин соответствующего дерева-графа группами Артина большого или экстрабольшого типов, а также группами Артина с п-угольной структурой, либо непосредственно принадлежат к перечисленным классам, аналогично [3].
Результаты исследования докладывались на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора Н. И. Фельдмана и 90-летию со дня рождения профессоров А. И. Виноградова, А. В. Малышева и Б. Ф. Скубенко [16].
В работе использовался метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним в части введения Д-сокращений и специальных кольцевых сокращений, а также метод построения фундаментальных последовательностей Г. С. Маканина [10].
Литература
1. Dehn M. Über Unendliche Diskontinuierliche Gruppen // Math. Ann.—1911.—Vol. 71.—P. 116-144. DOI: 10.1007/BF01456932.
2. Tietze H. Über die Topologischen Invarianten Mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten // Monatsh. Math. Phys.—1908.—Vol. 19.—P. 1-118. DOI: 10.1007/BF01736688.
3. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп.—М.: Наука, 1974.
4. ЛиндонР., Шуп П. Комбинаторная теория групп.—М.: Мир, 1980.
5. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.—М.: Наука, 1989.
6. Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в теории групп // Тр. МИАН СССР.—1955.—Т. 44.—C. 3-143.
7. Appel К., Schupp P. Artins Groups and Infinite Coxter Groups // Ivent. Math.—1983.—Vol. 72, № 2.— P. 201-220. DOI: 10.1007/BF01389320.
8. Безверхний В. Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. V Междунар. конф.—Тула, 2003.—C. 33-34.
9. Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.—2006.—Т. 12, № 1.—С. 67-82.
10. Маканин Г. С. О нормализаторах группы кос // Мат. сб.—1971.—Т. 86 (128), № 2 (10).—С. 171-179.
11. Holt D. F., Rees S. Biautomatic Structures in Systolic Artin Groups // Internat. J. Algebra Comput.— 2021.—Vol. 31, № 03.—P. 365-391. DOI: 10.1142/S0218196721500193.
12. Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундам. и прикл. математика.—1999.—Т. 5, № 1.—С. 1-38.
13. Безверхний B. H. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина большого типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп.—Тула: ТГПУ, 1986.—С. 26-61.
14. Безверхний В. Н., Кузнецова А. Н. Разрешимость проблемы степенной сопряженности слов в группах Артина экстрабольшого типа // Чебышевский сб.—2008.—Т. 9, № 1.—С. 50-69.
15. Безверхний B. H., Безверхняя Н. Б., Добрынина И. В., Инченко О. В., Устян А. Е. Об алгоритмических проблемах в группах Кокстера // Чебышевский сб.—2016.—Т. 17, № 4.—С. 23-50. DOI: 10.22405/2226-8383-2016-17-4-23-50.
16. Добрынина И. В., Угаров А. С. О централизаторе элемента в обобщенных древесных структурах групп Артина // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, прило-жени и проблемы истории: материалы XVII Междунар. конф., посвященной 100-летию со дня рождения профессора Н. И. Фельдмана и 90-летию со дня рождения профессоров А. И. Виноградова, А. В. Малышева и Б. Ф. Скубенко.—Тула: ТГПУ, 2019.—С. 42-44.
Статья поступила 22 августа 2020 г.
Добрынина Ирина Васильевна Академия гражданской защиты МЧС России, профессор кафедры высшей математики
РОССИЯ, 141435, Московская обл., г.о. Химки, ул. Соколовская, 5 E-mail: dobrynirina@yandex. ru https://orcid.org/0000-0002-6737-8353
Угаров Андрей Оергеевич
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, ассистент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии РОССИЯ, 300026, Тула, пр-т Ленина, 125 E-mail: [email protected]
Vladikavkaz Mathematical Journal 2021, Volume 23, Issue 3, P. 52-63
ON GENERALIZED TREE STRUCTURES OF ARTIN GROUPS
Dobrynina, I. V.1 and Ugarov, A. S.2
1 Academy of Civil Protection EMERCOM of Russia, 5 Sokolovskaya St., Khimki, 141435 Moscow region, Russia;
2 Tula State Lev Tolstoy University,
125 Lenin Ave., 300026 Tula, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
Dedicated to the 80-th anniversary of Professor Stefan Samko
Abstract. The main algorithmic problems in group theory formulated at the beginning of XX century, are the problem of words, the problem of the conjugation of words and the isomorphism problem for finitely presented groups. P. S. Novikov proved the unsolvability of the main algorithmic problems in the class of finitely presented groups. Therefore, algorithmic problems are studied in particular groups. In 1983, K. Appel and P. Schupp defined a class of Artin groups of extra-large type, in which they solved the problems of equality and conjugation of words. In 2003, V. N. Bezverkhnii introduced the class of Artin groups with a tree structure. In the graph corresponding to the Artin group, it is always possible to allocate the maximum subgraph corresponding to the Artin group with a tree structure. V. N. Bezverkhnii and O. Y. Platonova solved algorithmic problem in the class of Artin groups. The article examines the structure of diagrams over generalized tree structures of Artin groups, which are tree products of Artin groups of extra-large type and Artin groups with a tree structure, amalgamated by cyclic subgroups corresponding to the generators of these groups, and their application to the effective writing out generators of the centralizer of an element and solving the problem of conjugation of words in this class of groups. The proof of the main results uses the method of diagrams worked out by van Kampen, reopened by R. Lindon and refined by V. N. Bezverkhnii.
Key words: Artin group, algorithmic problems, tree product of groups, diagram.
Mathematical Subject Classification (2010): 20F36.
For citation: Dobrynina, I. V. and Ugarov, A. S. On Generalized Tree Structures of Artin Groups, Vladikavkaz Math. J., 2021, vol. 23, no. 3, pp. 52-63 (in Russian). DOI: 10.46698/l4033-4336-3582-u.
References
1. Dehn, M. Uber Unendliche Diskontinuierliche Gruppen, Mathematische Annalen, 1911, vol. 71, pp. 116-144. DOI: 10.1007/BF01456932.
2. Tietze, H. Uber die Topologischen Invarianten Mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Monatshefte fur Mathematik und Physik, 1908, vol. 19, pp. 1-118.
3. Magnus, W., Karras, A. and Solitar, D. Kombinatornaya teoriya grupp [Combinatorial Group Theory], 1974, Moscow, Nauka (in Russian).
4. Lyndon, R. and Schupp, P. Kombinatornaya teoriya grupp [Combinatorial Group Theory], 1980, Moscow, Mir (in Russian).
5. Ol'shanskiy, A. Yu. Geometriya opredelyayushchikh sootnosheniy v gruppakh [Geometry of Defining Relationships in Groups], 1989, Moscow, Nauka (in Russian).
6. Novikov, P. S. On the Algorithmic Unsolvability of the Word Problem in Group Theory, Trudy Mate-maticheskogo Instituta imeni V. A. Steklova, 1955, vol. 44, pp. 3-143 (in Russian).
7. Appel, К. and Schupp, P. Artins Groups and Infinite Coxter Groups, Inventiones Mathematicae, 1983, vol. 72, no. 2, pp. 201-220. DOI: 10.1007/bf01389320.
8. Bezverkhniy, V. N. On Artin Groups, Coxeter with a Tree Structure, Algebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya: tezisy dokladov V Mezhdunarodnoy konferentsii [Algebra and Number Theory: Modern Problems and Application], Tula, 2003, pp. 33-34 (in Russian).
9. Bezverkhnii, V. N. and Karpova, O. Ju. Power Conjugacy Problem for Words in Coxeter Groups with Tree Structure, Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika [Proceedings of the Tula State University. Ser. Mathematics. Mechanics. Informatics], 2006, vol. 12, no. 1, pp. 67-82 (in Russian).
10. Makanin, G. S. On Normalizers in the Braid Group, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1971, vol. 15, no. 2, pp. 167-175. DOI: 10.1070/SM1971v015n02ABEH001538.
11. Holt, D. F. and Rees, S. Biautomatic Structures in Systolic Artin Groups, International Journal of Algebra and Computation, 2021, vol. 31, no. 03, pp. 365-391. DOI: 10.1142/S0218196721500193.
12. Bezverkhnii, V. N. Decision of the Generalized Conjugacy Problem in Artin Groups of Large Type, Fundamentalnaya i Prikladnaya Matematika [Fundamental and Applied Mathematics], 1999, vol. 5, no. 1, pp. 1-38 (in Russian).
13. Bezverkhnii, V. N. Solution of the Problem of Conjugation of Words in Artin Groups of Large Type, Algoritmicheskie problemy teorii grupp i polugrupp [Algorithmic Problems of Theory of Groups and Semigroups], Tula, TSPU, 1986, pp. 26-61 (in Russian).
14. Bezverkhnii, V. N. and Kuznetsova, A. N. Solvability of the Problem of Power Conjugacy of Words in Artin Groups of Extra-Large Type, Chebyshevskii Sbornik, 2008, vol. 9, no. 1, pp. 50-69 (in Russian).
15. Bezverkhnii, V. N., Bezverkhnyaya, N. B., Dobrynina, I. V., Inchenko, O. V. and Ustyan A. E. On Algorithmic Problems in Coxeter Groups, Chebyshevskii Sbornik, 2016, vol. 17, no. 4, pp. 23-50 (in Russian). DOI: 10.22405/2226-8383-2016-17-4-23-50.
16. Dobrynina, I. V. and Ugarov, A. S. On the Centralizer of an Element in Generalized Tree Structures of Artin Groups, Algebra, teoriya chisel i diskretnaya geometriya: sovremennye problemy, prilozheniya i problemy istorii: materialy XVII Mezhdunarodnoy konferentsii, posvyashchennoy 100-letiyu so dnya rozhdeniya professora N. I. Fel'dmana i 90-letiyu so dnya rozhdeniya professorov A. I. Vinogradova, A. V. Malysheva i B. F. Skubenko, Tula, TSPU, 2019, pp. 42-44 (in Russian).
Received August 22, 2020 Irina V. Dobrynina
Academy of Civil Protection EMERCOM of Russia, 5 Sokolovskaya St., Khimki, Moscow Region 141435, Russia, Professor of the Department of Higher Mathematics E-mail: dobrynirina@yandex. ru https://orcid.org/0000-0002-6737-8353
Andrey S. Ugarov Tula State Lev Tolstoy University, 125 Lenin Ave., 300026 Tula, Russia, Assistant of the Department of Algebra, Mathematical Analysis and Geometry E-mail: [email protected]
