CC BY
28
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОБ ИЗЛОЖЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЩЕМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Булекбаев Д.А.1, Морозов А.В.2 Email: [email protected]
'Булекбаев ДастанбекАбдыкалыкович — доктор технических наук, доцент;
2Морозов Алексей Валентинович — кандидат физико-математических наук, профессор,
кафедра математики, Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург
Аннотация: в статье обсуждаются актуальные вопросы содержания курса дифференциальных уравнений в техническом вузе, на изучение которого отводится небольшое количество часов. Предлагается наряду с изложением теории на лекциях по каждой технической специальности демонстрировать основные теоретические понятия дифференциальных уравнений на ряде эталонных значимых для практики моделей. Такое изложение предмета позволит использовать учебное время с большей эффективностью и способствовать формированию в курсе математики необходимых инженерных компетенций. Ключевые слова: содержание курса дифференциальных уравнений, эталонные примеры курса.
ON THE REPRESENTATION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE GENERAL MATHEMATICS COURSE Bulekbaev D.A.1, Morozov A.V.2
'Bulekbaev Dastanbek Abdykalykovich — Doctor of technical Sciences, Head of Department;
2Morozov Alexey Valentinovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, DEPARTMENT OFMATHEMATIC;
MILITARY SPACE ACADEMY NAMED AFTER A.F. MOZHAYSKY, ST. PETERSBURG
Abstract: the article discusses topical issues of the content of the course of differential equations in a technical University, the study of which is given a small number of hours. It is proposed to demonstrate the basic theoretical concepts of differential equations on a number of reference models important for practice along with the presentation of the theory in the lectures on each technical specialty. This presentation of the subject will allow to use the study time with greater efficiency and contribute to the formation of the necessary engineering competencies in the course of mathematics. Keywords: course content of differential equations, reference examples of the course.
УДК 531
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) - большая математическая наука. В технических вузах она представлена, как правило, несколькими темами в курсах высшей математики, либо математического анализа. В настоящее время теория ОДУ объединяет: общую теорию дифференциальных уравнений, качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию динамических систем, приближенные методы (асимптотические, численные), а также аналитическую теорию дифференциальных уравнений в комплексной области. Она накопила множество понятий, результатов, приемов и методов исследования дифференциальных уравнений. Исаак Ньютон считал главным своим открытием теорию дифференциальных уравнений. Последующие триста с лишним лет убедительно доказали эффективность этой теории. Приложения этой науки и сегодня являются постоянным источником новых моделей, идей и задач, а некоторые научные направления, такие как, «Асимптотические методы нелинейной механики» практически являются ветвями теории дифференциальных уравнений, так как занимаются разработкой приемов построения решений конкретных классов ОДУ современной механики.
По ряду причин, сегодня на изучение обыкновенных дифференциальных уравнений во многих технических вузах отводится, к сожалению, немного времени. На повестку встают два вопроса: чему учить и как, если в учебной программе предусмотрено 10-12 лекций и 12-15 практических занятий, а материал столь обширен. Ясно, что для многих втузов в сложившихся обстоятельствах необходима выработка новых концепций изложения, как теории ОДУ, так и
практики. Думается, что методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка, сводящиеся к квадратурам, должны быть вынесены на практические занятия. На лекциях должны остаться общие вопросы теории уравнений первого порядка (типы уравнений, понятия о частном, общем и особом решениях, задачи, теоремы) и возможно ряд геометрических задач. На практике необходимо рассмотреть основные типы уравнений, но увлекаться интегрированием разных типов уравнений первого порядка, коих существует великое множество, не следует. Доминанта, связанная с интегрированием на групповых занятиях массы искусственных примеров дифференциальных уравнений первого порядка, должна уйти в прошлое. На лекциях при изложении дифференциальных уравнений высших порядков наряду с теорией, должны найти отражение математические модели, за которыми стоят реальные физические процессы. На этих моделях надо демонстрировать понятия, задачи, утверждения и методы исследования. Это позволит оживить изложение, более эффективно и рационально использовать учебное время и сблизить математику с ее инженерными приложениями. При этом здесь не идет речь о замене математики ее приложениями. В основной части изложение должно вестись строгим научным языком. Здесь наряду с основными понятиями и теоремами должны найти отражение вопросы теории устойчивости решений, линеаризации уравнений, элементы теории бифуркаций, методы фазовой плоскости, малого параметра и усреднения, разностные схемы и дискретные отображения, т.е. те вопросы, которые естественным образом возникают при анализе любой технической задачи моделируемой дифференциальными уравнениями. На наш взгляд на математических кафедрах для каждой специальности вуза должны быть отобраны эталонные модели, изучение которых должно быть обязательным. Например, для студентов электротехнического и радиотехнического профилей необходимо включить в тематические планы лекций и практических занятий исследование следующих уравнений второго порядка х = ах + Ьу + р(х,у) у = сх + йу + ц ( х,у) ,
У" + ¿у' = ~9 (У) , У 9 (У) >0 , у" + о 2 у + ау 2 = 0 , у " + (ху ' + со 2 у + ау 3 = 0 , у " + ¿¿у '+ со2 б 1 пу = 0 ,
у " + (у 2 _ 1 ) у ' + о 2 у = 0 .
Эти модели чрезвычайно важны для формирования "нелинейного мышления" инженера. Их необходимо исследовать с учетом параметров и, желательно, разными методами: малого параметра, усреднения, фазовой плоскости. Такой объемный взгляд на одни и те же объекты очень полезен и формирует глубокое знание.
Кроме всего, необходим и компьютерный практикум, целью которого должна быть выработка у студентов навыков моделирования решений на экране монитора с разными начальными данными и значениями параметров, а также исследованием дифференциальных систем, как в фазовом пространстве, так и в расширенном фазовом пространстве. Средства визуализации решений и траекторий, которые присутствуют в современных пакетах прикладных программ, несут неоспоримую помощь в освоении теории и реализуют эффективную обратную связь. Для будущего исследователя-прикладника инструментами должны выступать качественный анализ, вычислительный эксперимент, имитационное моделирование.
Для эффективного усвоения курса ОДУ весьма желательно, выполнение курсовой работы. В ней можно реализовать полноценную исследовательскую студенческую работу, вынося на самостоятельную работу некоторые вопросы теории. Примером такой курсовой работы может быть исследование некоторых типов дифференциальных уравнений теории колебаний с помощью аппарата эллиптических функций. Проведение такой работы частично могло бы восполнить недостающее аудиторное время, способствовать развитию инженерной интуиции и в целом повышению математической культуры.
Завершая размышления о содержании краткого курса, остановимся на учебной литературе. Учебная литература по обыкновенным дифференциальным уравнениям представлена либо фундаментальными книгами, рассчитанными на продолжительный и основательный (годовой или полугодовой) курс дифференциальных уравнений, либо книгами для начального ознакомления, включающие результаты прошлого века, в классическом изложении. Студенты, желающие ознакомиться более основательно с теорией дифференциальных уравнений, в сложившейся ситуации испытывают значительные трудности при выборе учебника. Сегодня
учебник Филиппова А.Ф. [1], на наш взгляд является наиболее удачным для начального знакомства с ОДУ и методически безупречным. Книга Треногина В.А. [2] - более фундаментальна, современна по изложению, широка по спектру излагаемого материала и интересна своими приложениями. В целом она доступна студентам второго курса, и мы рекомендуем также ее к использованию. Книги Понтрягина Л.С. [3], Арнольда В.И. [4] представляют взгляды двух выдающихся ученых на предмет с разных точек зрения и весьма поучительны для будущих инженеров, но написаны на очень высоком научном уровне и трудны для изучения на первых курсах.
Как известно центральным понятием всей математики является понятие функции. Функцию можно задать явно, неявно, таблично, графически, а также с помощью дифференциального уравнения (точнее ДУ с начальными условиями). В этой последней трактовке важен вопрос о форме представления этой функции (решении) и изучении ее свойств. Поэтому вопросам исследования свойств решений ОДУ, которые в курсах ОДУ часто замалчиваются надо уделить особое место. Мало получить какую-то формулу для решения, надо исследовать свойства полученного решения. Этому вопросу в технических вузах уделяется крайне мало внимания. После получения формулы, которая часто оказывается необозримой, обычно ставится точка и считается, что задача решена. Напомним, что задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение решения и изучение его свойств. Если же решение (решения) в аналитической форме найти не представляется возможным, то необходимо, как говорят, качественное интегрирование, т.е. изучение свойств решений по структуре математической модели (уравнения или уравнений) либо поиск численных решений. Но эта задача не общего курса ОДУ [5, 6].
Список литературы / References
1. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004.
2. Треногин В.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982.
4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.
5. Морозов А.В. Качественная теория дифференциальных уравнений - основная составляющая теории динамических систем. // Труды Военно-космической академии им. А.Ф. Можайского, 2014. Вып. 642. С. 177-184.
6. Булекбаев Д.А., Катранов А.Г., Морозов А.В. Формирование компетенций в курсе математики. // Труды Военно-космической академии им. А.Ф. Можайского, 2015. Вып. 648. С. 192-201.
