CC BY
15
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ЭЛЕМЕНТЫ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В ПОЛИТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ Морозов А.В. Email: Morozov648@scientifictext.ru
Морозов Алексей Валентинович — кандидат физико-математических наук, профессор,
кафедра математики, Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург
Аннотация: хорошо известно, что курс математики, излагаемый во втузе, включает элементы математического анализа, аналитической геометрии и алгебры, дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, а также основы численных методов. В целом, математика во втузе успешно решает основную задачу. Она формирует у студентов необходимую теоретическую базу для успешного освоения физики, механики, электротехники и других технических и специальных дисциплин. С другой стороны, очевидно, что открытия и значимые для теории и практики научные результаты в области фундаментальных наук должны находить отражение в учебных курсах не только специальных дисциплин, но и базовых, к каковым относится математика, физика, информатика. В статье обсуждается возможность включения в общие курсы физики, математики и информатики втузов элементов «детерминированного хаоса» — феномена, открытого сравнительно недавно — во второй половине ХХ века.
Ключевые слова: детерминированный хаос, дискретные и непрерывные динамические системы с хаотическим поведением траекторий.
ELEMENTS OF DETERMINISTIC CHAOS AT THE POLYTECHNIC
UNIVERSITY Morozov A.V.
Morozov Aleksey Valentinovich — PhD in mathematics, Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, PROCEEDINGS OF THE MILITARY SPACE ACADEMY NAMED AFTER A.F. MOZHAISKY,
ST. PETERSBURG
Abstract: it is well known that the course of mathematics, presented in the University, includes elements of mathematical analysis, analytical geometry and algebra, differential equations, probability theory and mathematical statistics, as well as the basics of numerical methods. In General, mathematics in the University successfully solves the main problem. It forms the necessary theoretical basis for students to successfully master physics, mechanics, electrical engineering and other technical and special disciplines. On the other hand, it is obvious that the discoveries and significant for the theory and practice of scientific results in the field offundamental Sciences should be reflected in the training courses not only special disciplines, but also basic, which include mathematics, physics, computer science. The article discusses the possibility of including elements of "deterministic chaos" — a phenomenon discovered relatively recently — in the second half of the twentieth century in General courses of physics, mathematics and computer science.
Keywords: deterministic chaos, discrete and continuous dynamical systems with chaotic behavior of trajectories.
УДК 519.6
Конец XX века ознаменовался открытием нового физического явления -детерминированного хаоса, основателем которого, по праву, считается американский метеоролог Э. Лоренц (2017-2008). В 1963 г. при численном анализе системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих конвективное течение жидкости в плоском слое Лоренц, столкнулся с чрезвычайно сложным поведением траекторий в фазовом пространстве [1]. При этом, почти в это же время советский физик А.Н. Ораевский (1934 -2003), исследуя одномодовую модель лазера, также обнаружил сложный режим генерации излучения ранее теоретически не встречавшийся [2]. Кроме того, оказалось, что модели этих явлений тождественны с точностью до линейной замены переменных [3]. Новый феномен
сложного поведения в физических системах, как это часто бывало в истории, не был воспринят научной общественностью, так как противоречил многим устоявшимся фактам, принятым, как в математике, так и физике. Недоумение вызывал сам тезис, что физическая система, находящаяся под воздействием стационарных внешних воздействий, ведет себя сложным - хаотическим образом. Хаос в динамических системах, до этого времени связывался исключительно с откликом на случайное внешнее воздействие и описывался динамическими системами с заданными вероятностными характеристиками на входе систем. Последующие годы достаточно быстро опровергли эти представления ученых, и сегодня детерминированный хаос стал устоявшимся феноменом в кругах физиков, математиков, химиков, биологов, экономистов. Он был обнаружен не только в математических моделях радиотехнических, электротехнических, химических и иных системах, но и подтвержден многочисленными экспериментами. Кроме того, и в «чистой» математики были найдены модели, демонстрирующие сложную динамику, и они поразительно просто устроены [4, 5]. Физическое поведение системы, называемое детерминированным хаосом, описывается математическим (геометрическим) объектом, который называется странным аттрактором. Таким образом, детерминированный хаос и странный аттрактор являются новыми важными феноменами, и должны найти отражение в учебных дисциплинах вузов. Открытие детерминированного хаоса можно сравнить с открытием в 20-х годах прошлого века автоколебательных режимов в автогенераторах и их связью с предельными циклами, открытыми А. Пуанкаре. Странный аттрактор есть математический образ хаотического режима в детерминированной системе, подобно тому, как предельный цикл есть математический образ автоколебания. Конечно, вопросы хаоса подробно излагаются на физических и математических факультетах университетов и являются неотъемлемыми частями их учебных программ. В последние годы даже открываются факультеты нелинейных процессов, в которых эти вопросы изучаются и излагаются с исчерпывающей полнотой. Однако, во многих политехнических вузах, эти вопросы затрагиваются слабо. На наш взгляд знакомство будущих инженеров с этими вопросами необходимо. Кроме того, внедрение этого материала в учебные программы не повлечет много времени.
Все известные математические модели, демонстрирующие детерминированный хаос, можно разбить на дифференциальные и дискретные. К дифференциальным системам (с хаотическим поведением траекторий) относятся системы Э. Лоренца, Рёсслера, Чуа и широкий ряд других [5-7]. Аналитическое - качественное исследование этих систем трудоемко и требует значительного ресурса времени для ознакомления, однако для первого знакомства с такими системами достаточна визуализация сложного поведения траекторий, что можно легко осуществить с использованием современных математических систем типа MATLAB, MAPLE, Scilab, и др. Это можно проделать в курсах физики, радиотехники и электроники и др. Более основательное знакомство студентов с динамическим хаосом можно провести на примерах дискретных динамических систем в курсах математики. Например, в теме численные методы или в дисциплине дискретная математика, в темах курсовых работ. Кроме того, возможна постановка ряда стандартных и нестандартных задач в курсе информатики.
Рассмотрим теперь итерационный процесс (дискретную систему) отображения отрезка в себя, где непрерывная функция. Пусть для определенности
существует корень уравнения . Тогда, как хорошо известно, при выполнении в
некоторой окрестности точки условия на производную , итерационная
последовательность , которую в дальнейшем будем называть траекторией, будет сходиться к корню ( при ). Описанная ситуация является классической, а метод
уточнения корня х „ называется методом простых итераций (см. рис. 1). Геометрически его можно сопроводить рис. 1, где изображена диаграмма, называемая лестницей Кёнигса-Ламерея.
Рис. 1. Лестница Кёнигса-Ламерея: а) 0 < f'(х° ) < 1, Ь) — 1 < f (х° ) < О
Откажемся теперь от условия на производную. Тогда члены последовательности уже не будут стремиться к корню, однако в силу свойства нашего отображения /: [ а, Ь] —■ [ а, Ь] они также и не покинут отрезка [ а, Ь] . Какие возможные сценарии поведения последовательности хп здесь возможны? Ясно, что ответ связан с видом функции / ( х). Пример 1. Рассмотрим функцию
/ ( х) = V 1 —х 2 , х е [ 0 , 1 ] (1) и порождаемую ей итерационную последовательность хп+; = // 1 — х^ Видно, что х„ = ^
корень уравнения х = V 1 — х 2, но для любого х0 е [ 0 , 1 ] получим х0 ,х1,х0,х1 ,х0 ,. . . , т.е. все траектории периодические с периодом 2. Пример 2. Пусть теперь
f ( х) = а — //х—а. (2) Здесь а — некоторое, например, положительное число. Видно, что х„, = а — корень уравнения х = а — /х — а. Как же ведут себя траектории хп+1 = а — // хп — а? Можно показать, что вне зависимости от начальной точки все траектории стремятся к периодической периода 2 [5]:
Хд = О — 1, х; = а + 1, х0 = а — 1, ... (см. рис. 2).
Рис. 2. Устойчивый цикл периода 2 (/'(х 0) < — 1 )
Мы рассмотрели монотонные функции f ( х) , заданные формулами (1), (2). Все траектории в таких системах ведут себя регулярно, т.е. либо стремятся к положению равновесия, либо циклу. Более сложного поведения итераций монотонных функций и в общем случае наблюдать нельзя.
Пример 3. Рассмотрим теперь семейство функций
/ (х) = Лх ( 1 - х) , (3) где Л £ [ 0, 4] — некоторое фиксированное число (параметр) и итерационный процесс, задаваемый формулой хп+1 = Ахп ( 1 — хп) . Анализ траекторий в системе (3) показывает, что при Л £ [0, 1] х 0 = 0 — единственное устойчивое положение равновесия: все траектории . При положение равновесия теряет устойчивость, передавая ее
родившемуся положению равновесия х 1 = 1 — - При Л > 3 происходит следующая
А
бифуркация: положение равновесия х 1 теряет устойчивость и рождается устойчивый цикл периода 2. По мере дальнейшего увеличения параметра Л происходит каскад бифуркаций удвоения циклов периодических траекторий. А именно, цикл периода 2 утрачивает устойчивость и передает ее циклу периода 4, затем цикл периода 4 теряет устойчивость и передает ее циклу периода 8. По такому алгоритму возникнут устойчивые циклы периодов 16, 32, 64 и т.д. При Л = 3,569 период предельной траектории становится необозримым, т. е. оо -наступает хаос. Однако при дальнейшем увеличении Л можно увидеть опять порядок: возникнет цикл периода 3. Таким образом, по мере возрастания параметра Л от 0 до 4 траектории демонстрируют исключительно богатую динамику - от устойчивых положений равновесия и циклов до режимов, при которых поведение, являясь вполне детерминированным, практически неотличимо от какого-либо случайного процесса. На этом мы закончим описание поведения траекторий в системе (3), отсылая читателя к книгам [5-7] для более детального ознакомления. Этот пример, ставший уже учебным, показывает, что хаос - это отнюдь не экзотический режим поведения системы. Сегодня подобных примеров можно привести десятки, и многие из них уже вошли в учебники по нелинейной динамике. Поэтому выбор таких моделей для включения в учебный процесс весьма разнообразен. На пути исследования таких систем может быть предложено много тем курсовых работ, связанных, например, с вычислением характеристик детерминированного хаоса.
Список литературы / References
1. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmospheric Science, 1963. Vol. 20. № 2. P. 130141. (Странные аттракторы: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. С. 88-116).
2. Ораевский А.Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника, 1981. Т. 8. № 1. С. 130-142.
3. Леонов Г.А., Морозов А.В. О глобальной устойчивости стационарной генерации в мазерах // Радиотехника и электроника, 1987. Т. 32. № 9. С. 1915-1921.
4. ФейгенбаумМ. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН, 1983. Т. 141. № 2. С. 343-374.
5. Морозов А.В., Бригадное И.А. Математические основы теории систем. СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006. 232 с.
6. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.
7. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций) 2-е изд. М.: Физматлит, 2006. 356 с.
