CC BY
35
Бифуркации ^^^^^^^^^^^^^^^^^
в динамических системах
Изв. вузов «ПНД», т. 18, № 5, 2010 УДК 535.374:621.375.8
РОЖДЕНИЕ УСТОЙЧИВОГО ТОРА ИЗ ЗАМКНУТОЙ ОСОБОЙ КРИВОЙ И ЕГО БИФУРКАЦИИ В ЛАЗЕРНОЙ СИСТЕМЕ С ОТСТРОЙКОЙ ЧАСТОТЫ
А.А. Кренц, Н.Е. Молевич
Показано, что в модели Максвелла-Блоха реализуется режим устойчивых двухчастот-ных колебаний. Установлено, что происходит рождение устойчивого двумерного эргоди-ческого тора из замкнутой особой кривой. Найдены условия перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода тора. Установлено, что в точках бифуркаций удвоения рождается структурно неустойчивый трехмерный тор, который порождает устойчивый удвоенный эргодический тор. Найдена аналитическая аппроксимация, удовлетворительно описывающая динамику системы вблизи точки рождения тора.
Ключевые слова: Широкоапертурные лазеры, бифуркация удвоения периода тора, эрго-дический тор, хаос.
Введение
Открытие странного аттрактора связывают обычно с работой Лоренца [1], в которой были обнаружены и исследованы хаотические решения нелинейных уравнений, описывающих процесс конвекции. Однако еще раньше хаотические решения были численно получены Грасюком и Ораевским при решении трех точечных уравнений неадиабатической теории мазеров и лазеров. Результаты этих исследований были представлены на международных конференциях (см., например, [2]) и затем подробно опубликованы в ряде изданий, обзор которых можно найти в [3]. Как было затем показано Хакеном [4], эта модель лазера математически точно совпадает с более поздней моделью Лоренца. После этой работы было осознано, что лазер принадлежит к числу систем способных демонстрировать сложное хаотическое поведение и является удобным объектом для исследования различных сценариев перехода к хаосу.
В [5] было показано, что при условиях точечной лазерной системы, соответствующих существованию в фазовом пространстве странного аттрактора Лоренца, траектории лазерного поля обладают при наличии отстройки частоты генерации непрерывной вращательной симметрией и могут наблюдаться окна регулярности, в которых происходят бифуркации удвоения тора.
В последнее время широко исследуются процессы, происходящие в поперечном сечении световой волны, распространяющейся в широкоапертурных лазерных и пассивных оптических системах [6]. Большая область таких явлений, включающая возникновение в поперечном сечении широкоапертурных резонаторов упорядоченных или хаотических пространственно-временных оптических структур, в настоящее время образует направление названное поперечной нелинейной оптикой. В [7-9] теоретически и экспериментально было показано, что с увеличением числа Френеля или параметра накачки в широкоапертурном резонаторе неодимового лазера происходит переход от стационарных поперечных картин к периодическим, квазипериодическим и сильно нерегулярным, возможно, хаотическим картинам. Аналогичные результаты были получены в [9-11] для электроразрядного СО2 лазера, а также ши-рокоапертурного полупроводникового лазера [12].
Для описания этих явлений необходимо проведение исследований уже не точечных, а распределенных динамических систем. В [11,13-15] было показано, что наблюдаемые эффекты могут быть качественно объяснены на основе простой системы уравнений Максвелла-Блоха с отстроенной продольной частотой. Были найдены условия рождения бегущих периодических волн в результате бифуркации Андро-нова-Хопфа.
В работе [16] найдено условие, при котором возможно адиабатически исключить поляризацию из уравнений Максвелла-Блоха. Исследование таких упрощенных уравнений с исключенной поляризацией также показало, что при отрицательно отстроенной частоте возможно возникновение периодических оптических волн, бегущих поперек апертуры, найдены инкременты нарастания, частота и скорость этих волн в аналитическом виде [17-19].
В [20] впервые математически строго показано, что в автомодельной системе уравнений Максвелла-Блоха с адиабатически исключенной поляризацией переход к хаотическому режиму (при изменении скорости распространения волны поперек апертуры) осуществляется через бифуркации удвоения эргодического двумерного тора. Ранее в [21] было показано, что при выполнении условий неустойчивости режима стационарной генерации в лазере с отстройкой частоты фазовый портрет, построенный в любой пространственной точке на апертуре в координатах {мнимая и реальные части амплитуды электрического поля, коэффициент усиления}, имеет вид тора. Это соответствует квазипериодическому режиму колебаний компонент поля. Однако причина такого поведения компонент поля и их возможные дальнейшие бифуркации рассмотрены не были.
В настоящей работе предложен механизм возникновения квазипериодических колебаний в автомодельной системе Максвелла-Блоха, предусматривающий рождение устойчивого двумерного тора из особой замкнутой кривой, и проведено детальное исследование его дальнейших бифуркаций.
Как и в [17,20], в качестве исходной рассмотрим систему уравнений Максвелла-Блоха с адиабатически исключенной поляризацией
1. Основные уравнения. Линейный анализ устойчивости
дЕ д 2Е V
(ш? - т)(1 - ,Ло) •
- — %- = —
дг дх2 2
Модель (1) описывает пространственно-временную динамику лазера в двухуровневом приближении в предположении, что поляризация мгновенно следует за изменениями оптического поля. Предполагается также, что генерация происходит на одной продольной моде резонатора Фабри-Перо. Здесь E - медленно меняющаяся амплитуда поля в широкоапертурном лазере в одномерном (планарном) приближении, нормированная на величину Es, Es - амплитуда поля насыщения в активной среде; N = g/gt, g и gt - коэффициенты усиления активной среды на центральной частоте лазерного перехода и потери, усредненные по длине резонатора; безразмерное время и координата связаны с размерными величинами td и Xd, как t = td/Ti, x = xd(2k/Tic)i/2, к - волновое число, c - скорость света, Ti - скорость релаксации населенности уровней активной среды; v = cTigt - коэффициент, определяющий отношение времени релаксации населенности активной среды ко времени жизни фотонов в резонаторе; До = («о — «)/Tp - отстройка частоты генерации от центра линии усиления активной среды, нормированная на полуширину линии усиления, Tp - время релаксации поляризации; J=|E|2, Nun = gun/gt, gun - ненасыщенный коэффициент усиления на частоте «о.
Перейдем к автомодельной системе координат и с учетом, что E = Ei + 1E2, получим
dEi
dE2 dl dN dl dY dl dZ dl
= Y
= Z,
= Nun — N
E2 + E22
1+ до
о
i
1 ß2
1+ N
— 1J (E2 — До Ei) — Z ■ (Ei + ДоE2) — Y
(2)
N
1+до
Здесь l = t — ßx, где 1/ß - скорость волны, распространяющейся в поперечном к оси резонатора направлении.
Динамическая система (2) имеет два состояния равновесия. Первое состояние равновесия соответствует отсутствию генерации: E = 0, N = Nun. В данной работе исследуется второе состояние равновесия системы (2) - нетривиальный стационарный режим генерации с постоянной интенсивностью Jst. Интересующему нас режиму стационарной генерации в фазовом объеме соответствует особая окружность: Eist + E|st = Jst = NUn — 1 — Л0, Nst = 1 + Д0, Yst = 0, Zst = 0. Нетрудно убедиться в том, что собственные значения матрицы линеаризации различных особых точек, принадлежащих особой замкнутой кривой, не зависят от угла поворота ф = arctg(Ei/Ei) и являются постоянными для любой точки на особой окружности при фиксированном значении параметров модели. От точки к точке будут изменяться лишь собственные векторы матрицы линеаризации. В [17] показано, что стационарное состояние (Jst, Nst) становится неустойчивым при
ß > ßbif
(1+ Ist) Д
(1 + Ist)2 + Д0vIst
1
2
где
+ ^Ьг |Ао|
В [17] показано также, что при в = вы/ выполняются условия теоремы Андронова-Хопфа о рождении предельного цикла. На фазовой плоскости (, N) происходит мягкая бифуркация Андронова-Хопфа и рождение устойчивого предельного цикла бесконечно малой амплитуды. Однако, как показано в [20], для оптического поля Е = Е1 + %Е2 наблюдается более сложная динамика. В фазовом объеме при в = вы/ рождается аттрактор в виде бесконечно тонкой трубки, которая окружает особую замкнутую кривую. Подобную бифуркацию состояния равновесия можно объяснить следующим. Собственные числа для всего множества точек особой окружности равны между собой, и при в = вы/ одновременно для всех точек особой кривой пара комплексно сопряженных собственных значений пересекает мнимую ось. В результате в каждой особой точке рождается устойчивый «предельный цикл» (кавычки здесь уместны, так как согласно [23] предельным циклом называется замкнутая траектория, изолированная от всех остальных замкнутых траекторий). Такие «слепленные предельные циклы» и образуют аттрактор в виде двумерного тора. Однако в данном случае, по-видимому, нельзя ссылаться на бифуркацию Андронова-Хопфа, так как оказывается не выполненным одно из условий теоремы - особая точка не изолирована.
Нелинейную динамику модели (2) в зависимости от управляющего параметра е = (в — вы/)/вы/ исследуем численно.
При е < 0 режим стационарной генерации устойчив, малые отклонения от положения равновесия притягиваются к особой окружности, что подтверждает результаты линейного анализа устойчивости. При малых положительных значениях параметра е на фазовой плоскости (, (1,1/(1^) наблюдается рождение предельного цикла, при этом частота модуляции интенсивности ,1 = Е2 + Е% совпадает с аналитически рассчитанной (3). Как показано в [20], при увеличении управляющего параметра е в численном эксперименте для интенсивности наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода, при этом в спектре появляются субгармоники основной частоты шы/. Существует критическое значение управляющего параметра, при котором движение становится апериодическим, а спектр сплошным. Также, в работе [20] построена фазопараметрическая диаграмма, характерная для систем с каскадом удвоений периодов, приводящим к хаосу.
Более сложная динамика наблюдается, если рассматривать не интенсивность поля, а его компоненты Е1 и Е2. В фазовом объеме (Е^ Е2• N) при малых положительных значениях параметра е, малые отклонения от положения равновесия притягиваются к аттрактору - устойчивому эргодическому двумерному тору. С ростом управляющего параметра тор сначала разбухает, подобно надуваемой шине. При этом фазовая точка движется с частотой ш ~ шц/ вокруг особой кривой и с частотой вращения □ ^ шы/ вдоль особой кривой (рис. 1, а). Такой динамический режим соответствует квазипериодическим волнам оптического поля Е1(^Е2(^). Следует
2. Бифуркации квазипериодических решений
Рис. 1. Бифуркация рождения двумерного тора: а - из особой кривой; б - из предельного цикла
отметить, что приведенное неравенство для частот □ ^ шы/ должно четко выполняться и в других моделях, реализующих предложенный механизм рождения тора. Для сравнения, в результате хорошо известной бифуркации Неймарка [24] из периодического режима частоты Ш1 рождается квазипериодический режим с частотами Ш1, ш2 (рис. 1, б), причем экспериментально наблюдалось обратное неравенство для частот ш1 > ш2 [25].
При дальнейшем увеличении управляющего параметра е происходит каскад бифуркаций удвоения периода тора, приводящий к хаотическому режиму (рис. 2, а). Об удвоении периода тора ясно свидетельствует структура сечения Пуанкаре и спектры мощности (рис. 2, б). Следует отметить, что бифуркации удвоения претерпевает только одна частота ш.
В фазовом объеме (У, Е, N) фазовые траектории также притягиваются к аттрактору - устойчивому эргодическому тору (рис. 3, а). При росте управляющего параметра в сечении Пуанкаре происходит каскад бифуркаций удвоения инвариантной кривой с ее последующим разрушением (рис. 3, б). В исходной системе происходит каскад бифуркаций удвоения тора приводящий к режиму динамического хаоса.
Полный спектр характеристических показателей Ляпунова (рис. 4) показывает, что система (2) описывает бифуркацию нового типа: непростое стационарное состояние в виде особой замкнутой кривой - структурно неустойчивый трехмерный тор-устойчивый двумерный тор. Как показано на (рис. 4, а), сигнатура спектра характеристических показателей Ляпунова меняется при этой бифуркации (точка А) как
0, -, -, -,--► 0, 0, 0, -,--► 0, 0, -, -, -.
В точках бифуркаций удвоения тора (точки Б,С,П) сигнатура меняется (рис. 4, б) как
0, 0, -, -,--► 0, 0, 0, -,--► 0, 0, -, -, -.
Такое изменение сигнатуры спектра характеристических показателей Ляпунова соответствует рождению в точке бифуркации структурно-неустойчивого трехмерного тора, который порождает устойчивый удвоенный эргодический двумерный тор [26]. В точке Е происходит переход к хаотическому режиму
0, 0, -, -,--► 0, 0, 0, -,--► +, 0, 0, -, -.
Рис. 2. Последовательность бифуркаций удвоения тора при увеличении параметра е в пространстве (Еь Е2, N): фазовый объем (а), спектр колебаний Е1 (б). С - мощность спектра, Стах - максимальное значение мощности, / - линейная частота
Рис. 3. Последовательность бифуркаций удвоения тора при увеличении параметра е в пространстве (У, Z, N): фазовый объем (а), сечение Пуанкаре (б)
Гипотеза о том, что аттрактор в виде устойчивого двумерного тора родился в результате рождения множества «слепленных предельных циклов», не объясняет почему фазовые траектории начинают двигаться вдоль особой окружности, то есть не ясна природа частоты □ (см. рис. 1, а ). Заметим, что в случае бифуркации рождения тора из предельного цикла направление и скорость вращения по тору уже заданы -направление совпадает, а частота примерно равна частоте предельного цикла ю1 (см. рис. 1, б). Попробуем найти аналитическое значение для частоты Простая структура спектра мощности временных реализаций (см. рис. 2, б), а также простейший случай режима двухчастотных биений [27] подсказывают вид аппроксимации решений вблизи точки бифуркации рождения тора
Е = Ео (1 + + т2е-^
(4)
N = N0(1 + шм
_
2
(5)
при этом Ш2 > Ш1. Такое условие на амплитуды гармоник необходимо для воспроизведения структуры спектра (см. рис. 2, б), на котором четко видно, что гармоника ю + □ имеет меньшую, чем ю — □ амплитуду (следует отметить, что в [20] на рис. 4, в были ошибочно указаны частоты ю и ю + 20 вместо ю ± □). Также это неравенство между Ш2 и Ш1 обеспечивает отличие фазового портрета в проекции (У, Z, N) (см. рис. 3, а) от (Е1} Е2, N) (см. рис. 2, а) и вид сечения Пуанкаре (см. рис. 3, б) напоминающего бабочку.
Такой вид аппроксимации учитывает гармоники ю + □ и ю — так как из спектра Е1 (см. рис. 2, б) хорошо видно, что высшие гармоники 2ю + 2ю — □ и т.д. имеют гораздо меньшую амплитуду и ими можно пренебречь. Прямая подстановка выражений (4), (5) в систему (2) дает комплексное значение частоты Однако, если положить, что физический смысл имеет только действительная часть, то получим
□ = - Ш1 шм, 8
(6)
где Ш1 и шм глубина модуляции интенсивности и коэффициента усиления, соответственно. Выражение (6) совпадает с результатами компьютерного счета с ошибкой
Рис. 4. Спектр характеристических показателей Ляпунова
),
не хуже, чем 10%. На рис. 5 показаны фазовые портреты (а), (б), фаза поля (в) и временная зависимость Е\ (г), построенные по формулам (4), (5). Также для сравнения приведены результаты расчета при значении управляющего параметра, близкого к бифуркационному, то есть когда тор еще не удвоен. Из приведенного рисунка видно, что аппроксимация решения подобрана удовлетворительно.
5 5
Рис. 5. Аппроксимация (слева) и компьютерный счет вблизи точки рождения тора (справа): а - фазовый портрет в пространстве (Е\, Е2, N), б - фазовый портрет в пространстве (У, Z, N), в - фаза поля, г -временная зависимость Е\(Е)
Заключение
Рассмотренная модель реализует, не описанную в литературе, бифуркацию рождения устойчивого двумерного эргодического тора из особой замкнутой кривой. Исследуемая модель близка к бифуркации рождения тора из предельного цикла тем, что совокупность «слепленных» циклов составляет аттрактор в виде устойчивого двумерного тора. Заметим, что особая кривая в плоскости (E\, E2) не является чем-то уникальным, по крайней мере, для лазерных систем. Такая кривая всегда существует в лазерной системе, где состоянием равновесия является режим стационарной генерации с постоянной интенсивностью. Однако существование такой кривой не всегда означает существование аттрактора в виде тора. Примером может служить хорошо известная точечная модель Лоренца. При отсутствии отстройки частоты генерации фаза не меняется во времени [28], а следовательно, амплитуды поля и поляризации можно считать чисто действительными величинами. Введение ненулевой отстройки в тех же самых уравнениях сразу приводит к динамике фазы во времени, вращению фазовых траекторий вокруг особой кривой, квазипериодическому движению [5]. Представляет интерес поиск других типов фазовой нелинейности в лазерной системе, приводящих к рождению тора из особой замкнутой кривой.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, НК-387П/27, ГКП1930, аналитической целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010), проект 2.1.1/309, НОЦ14.
Библиографический список
1. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atm. Sci. 1963. Vol. 20 P. 130.
2. ГрасюкА.З., Ораевский А.Н. // Труды IV Международного конгресса по лампам СВЧ. Голландия, Шевининген, 1962. Труды 31 курса летней школы Энрико Ферми. Италия, Варенна, 1963.
3. Ораевский А.Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 1. С. 130.
4. Haken H. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers // Phys. Lett. A. 1975. Vol. 53. P. 77.
5. Letellier C. Modding out a continuous rotation symmetry for disentangling a laser dynamics // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2003. Vol. 13, № 6. P. 1573.
6. Weiss C.O., Larionova Ye. Pattern formation in optical resonators // Rep. Prog. Phys. 2007. Vol. 70. P. 255.
7. Hollinger F., Jung Chr., Weber H. Simple mathematical model describing multitransversal solid-state lasers // J. Opt. Soc. Am. B. 1990. Vol. 7, № 6. P. 1013.
8. Hollinger F., Jung Chr. Single-longitudinal-mode laser as a discrete dynamical system // J. Opt. Soc. Am. B. 1985. Vol. 2, № 1. P. 218.
9. Cabrera E., Calderon O.G., Melle S., Guerra J.M. Development of spatial turbulence from boundary-controlled patterns in class-B lasers // Phys. Rev. A. 2006. Vol. 73. 053820.
10. Huyet G., Tredicce J.R. Spatio-temporal chaos in the transverse section of lasers // Physica D. 1996. Vol. 96. P. 209.
11. Huyet G., Martinoni M.C., Tredicce J.R., Rica S. Spatiotemporal dynamics of lasers with a large Fresnel number // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 55. P. 738.
12. O'Neil E., Houlihan J., Mclnerney J.G., Huyet G. Dynamics of traveling waves in the transverse section of a laser // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. 143901.
13. Jacobsen P.K., Moloney J.V., Newell A.C., Indik R. Space-time dynamics of wide-gain-section lasers // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45, № 11. P. 8129.
14. Jacobsen P.K., Lega J., Feng Q., Staley M., Moloney J.V., Newell A.C. Nonlinear transverse modes of large-aspect-ratio homogeneously broadened lasers: I. Analysis and numerical simulation // Phys. Rev. A. 1994. Vol. 49, № 5. P. 4189.
15. Jacobsen P.K., Lega J., Feng Q., Staley M., Moloney J.V., Newell A.C. Nonlinear transverse modes of large-aspect-ratio homogeneously broadened lasers: II. Pattern analysis near and beyond threshold // Phys. Rev. A. 1994. Vol. 49, № 5. P. 4201.
16. Заикин А.П., Молевич Н.Е. Влияние скорости кросс-релаксации на поперечную динамику излучения широкоапертурного лазера // Квантовая электроника. 2004. Т. 34, № 8. С. 731.
17. Заикин А.П., Кургузкин А.А., Молевич Н.Е. Периодические автоволновые структуры в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты. 1. Бифуркационный анализ // Квантовая электроника. 1999. Т. 27, № 3. С. 246.
18. Заикин А.П., Кургузкин А.А., Молевич Н.Е. Периодические автоволновые структуры в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты. 2. Распределенная модель // Квантовая электроника. 1999. Т. 27, №3. С. 249.
19. Заикин А.П., Кургузкин А.А., Молевич Н.Е. Влияние отстройки частоты на пространственно-временную структуру оптического поля широкоапертурного лазера // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 5. С. 87.
20. Кренц А.А., Молевич Н.Е. Каскад бифуркаций удвоения тора в лазере с отстройкой частоты // Квантовая электроника. 2009. Т. 39, № 8. С. 751.
21. Amroun D., Brunel M., Letellier C., Leblond H., Sanchez F. Complex intermittent dynamics in large-aspect-ratio homogeneously broadened single-mode lasers // Phy-sicaD. 2005. Vol. 203. P. 185.
22. Lugiato L.A., Oldano C., Narducci L.M. Cooperative frequency locking and stationary spatial structures in lasers // J. Opt. Soc. Am. B. 1988. Vol. 5. P. 879.
23. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986.
24. Кузнецов С.П. Динамический хаос: Курс лекций. М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2001.
25. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988.
26. Анищенко В.С., Николаев С.М.Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора // Письма в ЖЭТФ. 2005. Т. 31, вып. 19. С. 88.
27. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.
28. Zeghlache H., Mandel P. Influence of detuning on properties of laser equations // J. Opt. Soc. Am. B. 1985. Vol. 2, № 1. P. 18.
Самарский филиал Поступила в редакцию 8.02.2010
Физического института РАН После доработки 25.05.2010
BIRTH OF A STABLE TORUS FROM THE CRITICAL CLOSED CURVE AND ITS BIFURCATIONS IN A LASER SYSTEM WITH FREQUENCY DETUNING
A.A. Krents, N.E. Molevich
Realization of stable two-frequency oscillations is shown in the Maxwell-Bloch model. Birth of a stable ergodic two-dimensional torus from the critical closed curve is observed. The conditions of the passage to chaos via a cascade of torus doubling bifurcations are obtained. It is established that at bifurcations points a structurally unstable three-dimensional torus is produced, which gives rise to a stable doubled ergodic torus. Analytical approximation describing dynamics of the system near a point of torus birth is found.
Keywords: Wide-aperture lasers, torus doubling bifurcation, ergodic torus, chaos.
Кренц Антон Анатольевич - родился в Тольятти (1986), окончил магистратуру Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королева по направлению прикладные математика и физика. В настоящее время является инженером теоретического сектора СФ ФИАН и очным аспирантом СГАУ. Область научных интересов - нелинейная динамика лазерных систем. Имеет 17 научных работ.
443011 Самара, ул. Ново-Садовая, 221 Самарский филиал Физического института РАН E-mail: [email protected]
Молевич Нонна Евгеньевна - родилась в Семипалатинске (1959), окончила Специальный факультет (высшую школу физики) МИФИ-ФИАН (1982). Защитила диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (МИФИ, 2002) по специальности теоретическая физика. В настоящее время является заведующим теоретическим сектором СФ ФИАН и профессором кафедры физики СГАУ. Область научных интересов - динамика оптических и акустических активных сред. Имеет 180 научных работ. Лауреат губернской премии Самарской области в области естественных наук (2002) за цикл работ «Акустика неравновесных сред»
443011 Самара, ул. Ново-Садовая, 221 Самарский филиал Физического института РАН E-mail: [email protected]
