CC BY
114
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
О РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ И УРАВНЕНИЯХ Морозов А.В. Email: [email protected]
Морозов Алексей Валентинович - кандидат физико-математических наук, профессор,
кафедра математики, Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург
Аннотация: в статье предлагается план изложения линейных рекуррентных уравнений в курсе высшей математики. По целому ряду причин этот материал часто рассматривается в специальных дисциплинах. На наш взгляд, первое знакомство с этим разделом математики уместно провести в общем курсе математики сразу после теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, возможно в несколько усеченном виде. При такой последовательности изложения предмета следует обратить внимание студентов на существующие аналогии, общность методов и структуру решений линейных дифференциальных и рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами. Статья ориентирована на преподавателей математики и физики ВТУЗов, а также студентов.
Ключевые слова: линейные рекуррентные уравнения с постоянными коэффициентами, пространство решений.
ON RECURSIVE SEQUENCES AND EQUATIONS Morozov A.V.
Morozov Aleksey Valentinovich - PhD in mathematics, Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICS,
PROCEEDINGS OF THE MILITARY SPACE ACADEMY NAMED AFTER A.F. MOZHAISKY,
ST. PETERSBURG
Abstract: the paper proposes a scheme of presentation of linear recurrent equations in the course of higher mathematics. For a variety of reasons, this material is often considered in special disciplines. In our opinion, the first acquaintance with this section of discrete mathematics is appropriate to conduct in the General course of mathematics immediately after the theory of linear differential equations with constant coefficients, perhaps in a not-so-truncated form. In this sequence ofpresentation of the subject should pay attention to the existing analogies, the General methods and the structure of solutions of linear differential and recursive equations with constant coefficients. The article is aimed at teachers of mathematics and physics of Universities, as well as students. Keywords: linear recurrent equations with constant coefficients, solution space.
УДК 531
Введение. Хорошо известно, что линейные дифференциальные и рекуррентные уравнения с постоянными коэффициентами образуют класс уравнений, для которых имеется законченная теория. По существу, она является ветвью линейной алгебры и преподается в разных объемах во многих технических вузах. В настоящей статье дается обоснование изложения теории рекуррентных уравнений в курсе высшей математики после темы «Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами».
Напомним некоторые факты из математического анализа. Известно, что числовые последовательности можно задавать по-разному:
1) формулой общего члена хп = х(п), п £ И;
2) графически;
3) таблично;
4) рекуррентно, т.е. с помощью формулы хп+1 = / (хп) (в этом случае говорят, что числовая последовательность получается итерациями функции /). При этом для однозначного задания числовой последовательности требуется задать начальное значение х0. Разным х0, будут отвечать и разные числовые последовательности.
Последний способ задания числовых последовательностей можно обобщить. Так, например формулы
хп+ 2 =/ (хп + 1,хп) ; (!)
хп+3 =/ (хп+2 + 1,хп) (2)
также позволяют генерировать числовые последовательности, только в случае (1) требуется задать начальные данные х^х^ во втором - х0,х1,х2. Естественным обобщением последних формул является соотношение
хп+к =/ (хп+ к- 1,хп+к-2 , ■ ■ ■<хп) • (3)
Формулы (1), (2), (3) называются рекуррентными, соответственно 2 , 3 , ■ . . ,к — го порядков. Ясно, что для однозначного определения последовательности, задаваемой рекуррентным соотношением го порядка (3), надо задать чисел •
Заметим, что знакомые со школы арифметическая и геометрическая прогрессии также могут быть заданы рекуррентными формулами вида: хп+2 = 2 хп+1 — хп и хп+ 1 = хп q•
Предположим, теперь, что каким-либо образом найдена явная функция хп = , т.е. числовая последовательность натурального или целого аргумента, обращающая соотношение (3) в тождество при всех п. Тогда говорят, что функция хп = х (п) является решением уравнения (3). Если функция / в уравнении (3) линейная относительно своих переменных, то уравнение (3) называется линейным однородным рекуррентным уравнением к —го порядка. Если функция / — нелинейная, то уравнение (3) называется нелинейным. Примером нелинейного рекуррентного уравнения является хп+1 = хп ( 1 — хп) , п 6 И 0.
Линейные однородные уравнения. Рассмотрим линейное рекуррентное однородное уравнение с постоянными коэффициентами го порядка
хп+к + а1хп+к- 1 + а2 хп+ к - 2 + + акхп = 0 > (4)
здесь кбИ = { 1 ,2 , ■ . .}— фиксировано, п 6Z = { 0, + 1 , + 2 , ■ . .} , а1,а2 ,..,ак — постоянные вещественные числа (коэффициенты).
Решения уравнения (4) обладают следующими свойствами.
Лемма 1. Если хп = х (п) , пб2 решение уравнения (4), то схп (с — const) —
-с (1) (2) (ш) (1) . (2) .
также его решение. Если решения (4), то
решение (4).
Лемма 2. Если хп = ип + i гп — комплексное решение уравнения (4), то вещественные числовые последовательности и будут решениями (4).
Теорема 1. Если решения уравнения (4) х( ) , I = 1 , ■ . ., к — линейно независимы (это понятие здесь мы не обсуждаем [1]), то во множестве всех решений они образуют базис и все решения находятся в формуле
к
хп = сгх^ + с2х® + —I- cfcx® = ^ сгх® ■ (5)
i=i
Здесь произвольные числа.
Определение. Линейно независимые решения х( ) ,Z = 1 , ■ . .,к называются фундаментальной системой решений однородного рекуррентного уравнения (4). Решение (5) называется общим решением (4). При фиксированных сг ( I = 1 , 2 ,■ . ,,к) решение (5) называется частным.
Внимательный читатель обратит внимание на схожесть рассматриваемой модели с линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами, а также общую структуру совокупности всех решений, называемую общим решением.
Поиск фундаментальной системы решений уравнения (4) обнаруживает полную аналогию с поиском фундаментальной системы соответствующего линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решения уравнения (4) разыскивают в следующем виде
Х„ = X (п) = Х", (6)
где Х — пока неизвестное число.
Подставляя (6) в (4), приходим к алгебраическому уравнению
Х,с + а1Х,с " 1+а2 Х*- 2 + - • • + а ^ = 0 . (7)
Таким образом, как в теории дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, так и в теории рекуррентного уравнения (4) задача нахождения фундаментальной системы решений приводит к одному и тому же уравнению (7), называемому характеристическим.
Пусть простой вещественный корень уравнения (7). Тогда функция
х„ = X", пЕ Ъ, (8)
будет решением (4), а в формуле (5) этому решению будет отвечать с^Х" . Если Х0 — корень кратности т то, решениями будут следующие функции
х( ) = Х(ъ х( ) = пХ" — , х( ) = п?п 1Х" (9)
а в общем решении (5) появится слагаемое с^Х" + с2 пХ" + —+ стпт " 1Х".
(к)
Доказательство того, что функция х( ) из совокупности (9) удовлетворяет уравнению (4) проводится непосредственной подстановкой.
Пусть теперь простые комплексные корни
характеристического уравнения (7). Тогда, применяя формулу Муавра и лемму 2, получаем, что вещественными решениями уравнения (4) будут функции
Х(с) = г" СО Бпф, х(г;) = гпБтпф, (10)
Для кратных Х", 2 = а + (3 I = г е'ф вещественными решениями (4) будут:
(сД) п (с, 2) п (с,1) 1-1 п
х" = г' С О Бпф, X" = пг' С О БПф, — , х" = П 1 "г "СО БПф
(Л1) П ■ (Л2) п ■ (5,1) 1 п ■
х" = г" Б 1 ппф, х" = пг"Б 1 ппф, .... , х" = п1 1г"б 1ппф
(11)
Здесь I — кратность корней Я^ 2 = а + (3 I = г е'ф.
Решениям (11) уравнения (4) в общем решении будет соответствовать сумма
где произвольные постоянные.
Для уравнения (4), так же, как и для соответствующего дифференциального уравнения ставится начальная задача (она также называется задачей Коши): найти решение (частное решение), удовлетворяющее начальным данным:
х0,х1, . . ■ , х/с- 1. (12)
Поиск этого частного решения приводит к решению линейной алгебраической системы относительно неизвестных .
Пример 1. Сравним решения следующих уравнений.
Рекуррентное уравнение Дифференциальное уравнение
хп+з — 7хп+2 "Ь 16хп+1 — 12хп — 0 х'" - 7х" + 16х' - 12х = 0
Характеристическое уравнение
Л3 - 7Л2 + 16Л-12 = О => (Л-3)(Л-2)2 = О
Фундаментальная система решений
.уС1) _ on v(2) _ on _ ri7n лп ~ э 'лп ~ 'лп ~ n^ Xl(t) = e3t,x2(t) = e2t,x3 (t) = te2t
Общее решение
xn = c13n + c22n + c3n2n x(t) = c^e34 + c2e2t + с 3te2t
Начальные условия
Xq = 0 , X i = 3 , X 2 = 1 5 x(0) = 0, x'(0) = -3, x"(0) = -15
г сг+с2 = 0 j ЗС1+2С2+2С3 = —3 taci+^+Scg = -15 г сг+с2 = 0 j 3c1+2cz+c3 = —3 \9C1+4C2+4C3 = -15
сг = —3, с2 = 3, сг = 0 сг = —3, c2 = 3, сг = 0
Решение задачи Коши
хп = -3 ■ 3" + 3 ■ 2", пеъ x(t) = —3e3t+3e2t, t 6 Ш
Пример 2. Сравним решения следующих уравнений.
Рекуррентное уравнение Дифференциальное уравнение
хп+2 ^Хп+1 2хп 0 x" + 2x + 2x = 0
Характеристическое уравнение
X2 + 21+2 = 0 =>A1j2 = -1 ± i = V2 (cos^+ tsin
Вещественная фундаментальная система решений
/—п 371П !—п 371П и„ = V2 cos-,v„ = V2 sin- IL 4 4 xx(t) = e ^ost, x2(t) = e tsint
Общее решение
1—n / 37in Зжп\ xn = V2 I C^cos —— + C2 sin ———I x(t) = e~t(C1cost+ C2 sint )
Линейные неоднородные уравнения. Рассмотрим линейное неоднородное
рекуррентное уравнение (уравнение с правой частью)
хп+к + а1хп+к- 1 + а2 хп+ к - 2 + I" акхп = дп, (13)
здесь дп= д (п) — заданная числовая последовательность.
Теорема 2. Структура общего решения уравнения (13) дается формулой
к
хп ^ ' С[Хп ~Ь хп. (I"4")
i=i
Здесь хп — частное решение уравнения (13).
В курсе дифференциальных уравнений, как правило, рассматриваются способы интегрирование неоднородных дифференциальных уравнений
L(x) = х(к) + а1х0с~1') + а2х(к~2) + ■■■ + акх = g(t),
(здесь х = х ( t) , х ( г) = со специальной правой частью:
д (t) = eat (Ри (t) со s р t + (?m (t) sin p t) , где Р„ ( t) , <2m ( t) — алгебраические полиномы степеней n и m; а и /? - заданные константы. При этом частное решение соответствующего уравнения разыскивают в виде где многочлены с
неопределенными коэффициентами степени г = m ах {n,m} , а s = 0, если а + р i не является корнем характеристического уравнения, если же а + р i является корнем характеристического уравнения, то кратность этого корня.
В теории уравнения (13) также можно рассмотреть несколько случаев специальной правой части с известными способами нахождения частных решений. Ограничимся случаем (с другими можно ознакомиться в [1,2]) последовательности д„ = д (n) = РДп)а". Здесь Р^(п) — заданный полином от n степени у, а — заданное число. Частное решение х„ при этом разыскивают в виде х„ = nsPj (n) а", где РДп) — многочлен с неопределёнными коэффициентами, число s определяется так же, как и в случае дифференциального уравнения.
Пример 3. Найти общее решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения 2-го порядка х„+ 2 + 3 х„+х + 2 х„ = п (—2 )
Составляем характеристическое уравнение и находим корни Я2 + 3 Я + 2 = 0 => Ях = — 1 ,Я2 = — 2 .
Выписываем фундаментальную систему решений х(1) = (— 1 ) х(2 ^ = (—2 ) ". Частное решение ищем в виде . Подставляя в исходное
In 5
уравнение, находим Л = —, В = — -.
Общее решение имеет вид х„ = С1 (— 1 ) " + С2 (—2 ) " + п (1п — (— 2 ) ". Заключение. Опыт чтения лекций и проведения практических занятий по темам «Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» и «Линейные рекуррентные уравнения» автором настоящей статьи, привел к заключению, что этот материал имеет смысл изложить последовательно в курсе математики. Для доказательства выше были приведены в конспективном виде элементы общей теории линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами. Методика изложения указанных разделов должна заключаться в строгом и последовательном использовании одинаковых обозначений и одинаковой лексики. Если реализовать указанную выше последовательность изложения материала, образовательный эффект будет очевиден.
Список литературы /References
1. Бобровский Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным временем. М.: Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. 360 с.
2. Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. М.: «Вильямс», 2003. 960 с.
