Модельное уравнение для одного линейного однородного уравнения типа Эйлера n - го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №3_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Р.Мустафокулов

МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭЙЛЕРА п - го ПОРЯДКА

Таджикский национальный университет (Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 06.01.2018 г.)

В статье рассматривается обобщённый вид линейного уравнения Эйлера п-го порядка. Приводятся условия приводимости таких уравнений к уравнению с постоянными коэффициентами. Определено модельное уравнение. Указаны методы решения модельного (как однородного, так и неоднородного) уравнения.

Ключевые слова: уравнение типа Эйлера, модельное уравнение, формула Фаа-ди-Бруно, характеристическое уравнение, характеристические числа.

Одним из методов решения линейного дифференциального уравнения является сведение его к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной или искомой функции (см. [1]).

В настоящей работе на промежутке (а, Ь) рассматривается линейное дифференциальное уравнение вида

[о (х) ] пу (п) + а1 [о (х) ] п - 1 у (п - 1 + ■ ■ ■ + ап - ^ (х) у' + апу = / (х), (1)

где аI ( I = 1 , 2 , .. ,,п) - постоянные числа, / (х) и о (х) - непрерывные в (а,Ь) функции, причем при .

Так как при о(х) = х уравнение ( 1) совпадает с линейным уравнением Эйлера [1], то уравнение ( 1) мы назовём уравнением типа Эйлера и для его решения применим метод сведения к уравнению с постоянными коэффициентами путём замены независимой переменной. 10. Рассмотрим сначала однородное уравнение

[о (х) ]п у(п) + а1 [о (х) ]п -1 у(п -1 + ■ ■ ■ + ап - ^ (х)у' + апу = 0 (2)

и укажем формулу замены переменной, приводящей это уравнение к уравнению с постоянными коэффициентами.

Предварительно докажем следующее утверждение:

Лемма 1. Пусть функции у = у(х) и Ь = ¡л(х) являются к раз непрерывно дифференцируемыми. Тогда для ^й производной функции у (х) = у {у (Ь) ) = г (Ь), где х = V (Ь) обратное к Ь = л (х) преобразование, справедливо равенство

Адрес для корреспонденции: Мустафокулов Рахмонкул. 734019, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

к ¿=1

где Р^(х) = Р^ (х), л''(х~),..,,л(к)(х)) ( I = 1 , 2 ,. . ,,к) определены формулами

р1(х) = м«(х); р£(х) = Ьл'тк;

Ркх) = м'(х)РГ!(х) + (рим)' (I = 2,3.....к- 1).

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции имеем у'(х) = 2'(0 ■ ах = 2'{1)»!{х) = 2'{1)Р\{Х), у"(х) = 2"(0 [м'(*)]2 + = г'СОРг1 (*) +

у"'(х) = г'"(01№)]3 + г"(0 " Зц'(х)ц"(х) + г'(0ц'"(х) = = г'СО^ОО + 2"(0 Р|(х) + г'"(0 Р|(х)

и т.д. Отсюда видно, что у (к(х) выражается в виде линейной функции от г'(Ь),г''(Ь),...,г(к(Ь) с коэффициентами Р£(х),Р%(х),...,Рк(х). При этом коэффициент Р^(х) определяется через Р£I \(х) и Р^ - г(х) . Чтобы найти формулу зависимости этих коэффициентов, продифференцируем ещё раз по х выражение

к-1 ¿=1

где Р1-г(х)=И(к-г)(х), Рк-1 (х) = [л'(х)] к - г. Имеем

к-1

у№)(х) = ^ [2(г+1)(0¡г'шим + (рию)'] =

¿=1

к-1 /с-1

= ^ 2<г+1>(о ¡л'шим + ^ (рим)'.

¿=1 ¿=1

Объединим слагаемые обеих сумм, содержащие одинаковые порядки производной г(т) (Ь) . Произведение г (к(Ь)л'(х)Рк-1 (х) = г(к(Ь)[л'(х)]к входит только в первую сумму (при 1 = к — 1 ), а

входит только во вторую сумму (при ). Объединяя все остальные произведения, входящие в эти суммы, получим

[л'{х)Р1к~_ 1(х) + (р^^х))'] (2 < г < к - 1).

Поэтому если обозначить

Р^х) = л(к\х), Рк(х) = [л'(х)]к,

Рк(х) = Л' (х) Р1к - ! (х) + $ - г (х) ) ' (I = 2, 3.....к — 1), (3)

то для любого получаем

у * >( х ) =) р ( х ), (4)

г=1

где Рк (х) определены равенствами ( 3 ) . Лемма 1 доказана.

Отметим, что известная формула Фаа-ди-Бруно (см.[2], стр.108) для производной п-го порядка от сложной функции г (Ь) = г {л (х) ) = у (х) содержит мономы ((Рп (х) от п переменных, определяемые целыми неотрицательными решениями диофантового уравнения

рх + 2 р2 + ■■■прп = п,

в то время как формула содержит коэффициенты , определенные рекуррентными формулами и не зависящие от решения диофантового уравнения. Это обстоятельство позволяет в дальнейшем записать в явном виде модельное уравнение для уравнения .

Сделаем теперь в уравнении (2) замену независимой переменной по формуле Ь = л (х) , где Л(х) - некоторая достаточное число раз дифференцируемая функция. Тогда для сложной функции

выполнены условия леммы 1. Подставляя при в уравнение

, получаем

РГЧ*) [Ч*)

-2 Рп-]ХХ)

[¿о(х)ГРДх) 2<п> + кМГ-^ГхО) ( а, + "Ырпп-1(х)1 + - +

/ Р1(х) Р1_

+ш(х)Р^(х)г' ап_1 + ап_2ш(х)-^— + ••• + а^ш^х)]71'2

\ П ( х) РЛ

(х) +

Р1(х)\

+ Ых)]п-1щ^) + апг = 0.

Деля на [о (х) ]пР£(х) = [о (х) ]п[л'(х)]п, получаем

г(п) + Г I ,г лг(и~1} (ог + ы(х)Р£ + - + ш(х)л'(х) \ Рп-гМ)

1 , рК*)

+ [^(х)]«-Ч/(х)]"-12'(а,г-1 +ап~Мх)р[(х) + "' +

Отсюда ясно, что функцию необходимо выбрать так, чтобы коэффициент при был постоянным. Положим

Мх)]п№Шп

= с (с — сопзЬ).

Тогда л' (х) = ПI — ' —"тт. Беря с = ап и опуская постоянную интегрирования, получаем подстановку

"М с соух)

Ь= л (х) = !^-у (5)

Таким образом, имеет место утверждение

Лемма 2. Если уравнение (2) приводимо к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной, то только по формуле .

Пусть в уравнении осуществлена замена независимой переменной по формуле . Тогда получаем

+ (а, + Ых)]пР^-Чх))г^ + ••• + К.! +ап_2Ых)]2РКх) +

... + a1[io(x)]""1P^_1(x) + Ых)]пРп О)У + anz = 0. Если это уравнение с постоянными коэффициентами, то, в частности,

ai + [«^(х)]"^-1^) = ci (ci — const.). Отсюда, так как _ 1 (х) = ^-¿—^[¡i' (х) ] п _2 ¡л'' (х) , то со (х) = ах + b , то есть уравнение (2)

совпадает с линейным уравнением Эйлера.

Таким образом, справедливо утверждение

Теорема 1. Уравнение (2) при постоянных а1,..,,ап заменой переменной по формуле (5 ) приводится к уравнению с постоянными коэффициентами только в том случае, когда со(х) = ах + b, то есть когда оно является линейным уравнением Эйлера.

Из этой теоремы следует, что уравнение ( 2) с произвольной функцией с (х) , отличной от линейной, при постоянных а 1,... ,ап _ 1, заменой независимой переменной не приводится к уравнению с постоянными коэффициентами.

2°. В настоящем пункте рассмотрим однородное уравнение типа Эйлера с переменными коэффициентами

[с (х) ]п у(п) + А1 (х) [с (х) ]п _1 у(п _1 + ■ ■ ■ + А п _ 1 (х) с (х) у' + А п (х) у = 0, (6)

где А1 (х),... , Ап(х) - непрерывные в (а, b) функции.

Теорема 2. Для того, чтобы уравнение (6) заменой переменной по формуле (5 ) приводилось к уравнению с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты имели вид

k-1 _.

Ak (*) = ^ - YA (*) [® (*)]"- Ptk (*) (k = 1,2,..., n -1) (7)

i=0

A0(x) = 1; An(x) = cn,

где - постоянные числа.

Доказательство. Если в уравнении ( 6) осуществить замену переменной по формуле ( 5 ), то получим уравнение

Z(n) + (Д(х) + [<u(x)]nPn~1(*))z(n~1) + - + (Ап.г(х) +^_2(x)[i0(x)]2P21(x)

+ - + ^1(x)[i0(x)]""1P„1_1(x) + [io(x)]"P„1(x))z' + cnz = 0.

Отсюда, если коэффициенты удовлетворяют условиям , то мы

приходим к уравнению с постоянными коэффициентами

г(п) + с -^z (п _ V + ■ ■ ■ + сп _ 1 z' + спг = 0 . (8)

Теорема 2 позволяет непосредственно по коэффициентам уравнения определить приводится оно при помощи замены независимой переменной к уравнению с постоянными коэффициентами или нет.

Уравнение ( 6) , коэффициенты Аk (х) которого определены равенствами ( 7 ) , называется модельным уравнением.

Так как уравнение с постоянными коэффициентами ( 8 ) , к которому приводится модельное уравнение, имеет частные решения вида е^ и tme?Lt (X - числовой параметр), то модельное уравнение имеет частные решения вида е(х) и [ц(х)] mеХц(х\

Отсюда вытекает следующий непосредственный способ интегрирования модельного уравнение .

Ищем решение в виде

у (х) = еЛц (х). (9)

Тогда

к

У Со (я) = e^W^Ai Pl(x) (к = 1,2 ,...,п),

¿=1

где Р^(х) - определенные равенствами ( 3 ) выражения. Подставляя функции ( 9 ) в левую часть модельного уравнения , после сокращения на , получаем

Лп + (Д (х) + [¿оМГРГЧх))!""1 + - + (An-iW +Ап_2(х)Ых)]2РЦх) + ... + ^1(x)[io(x)]""1P„1_1(x) + [<u(z)W(*))a + Ап(х) = 0. Отсюда, подставляя значения коэффициентов Ак (х) из равенств ( 7 ) , получаем

Хп + с1Хп _ + ■ • - + сп _ 1Х + сп = 0. (10)

Уравнение ( 1 0 ) называется характеристическим уравнением, а его корни - характеристическими числами модельного уравнения ( 6 ). Таким образом, функция ( 9) является частным решением модельного уравнения ( 6) , тогда и только тогда, когда X является корнем характеристического уравнения .

Если все характеристические числа X1 ,Х2,. . .,Хп различны, то модельное уравнение ( 6) имеет п линейно независимых частных решений вида ( 9) :

у1 = e*inМу.2 = е^цМt. . . ,уп(х) = е(х\ (11)

Если при этом все корни вещественны, то и решения модельного уравнения будут веще-

ственными и его общим решением будет

n

y0 (х) = Х) (c - const). (12)

i =1

Если среди корней характеристического уравнения имеются комплексно-сопряженные а + i/З, то в формуле общего решения ( 1 2 ) этой паре характеристических чисел соответствует выражение вида

e^W[Clcos(^(x)) + c2sm(^(x))]. Пусть есть - кратный корень характеристического уравнения . Тогда модельное уравнение допускает решения вида

[ц(х)]m е^и(х) (т = 0, 1,...,к- 1). (13)

Если при этом Лг есть вещественный корень, то все решения ( 1 3 ) тоже вещественны и в формуле общего решения этому корню будет соответствовать выражение

где (( к _ г [ . . . ] - полином степени (к — 1) с произвольными коэффициентами.

Нетрудно показать, что если а + 1/ - комплексно-сопряженные характеристические числа кратности , то в формуле общего решения им соответствует выражение

+ 5£п(Мх)К_1[Кх)]),

где ( к_ г [... ] и Як_ г [... ] - полиномы степени (к — 1) с произвольными коэффициентами.

3°. В настоящем пункте рассмотрим линейное неоднородное модельное уравнение

Ых)]пУ*{п) + ^ОО^ООГ"У""1) + ... +

+А п _ г(х) ш (х) у' + А п (х) у = / (х), (14)

где и непрерывные в функции, причем при , а коэффициенты

определены равенствами . Уравнение ( 14) подстановкой ( 5 ) приводится к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами

г (п) + сг г(п _ г) + ■ ■ ■ + сп _ гг' + спг = Р (0, (15)

где .

Если , где - полином степени , а - числовой параметр, то частное

решение уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов, поэтому то же самое имеет место для уравнения с правой частью .

В общем случае, при произвольной функции , частное решение уравнения определяется следующим образом. Сначала находим частное решение г(Ь) уравнения (15) по формуле

V1 ГЖг-О) 2(0 = ^^(0 ]

1 = 1 о

где - алгебраическое дополнение элементов -й строки детерминанта Вронского , соот-

ветствующего фундаментальной системе решений { р^ (Ь) } п уравнения ( 8 ) . Затем частное решение у(х) неоднородного модельного уравнения (14) определяем заменой переменной: г(Ь) = г^ц(хУ) =

У (х) .

Отметим, что в ряде работ профессора Н.Раджабова и его учеников (см., напр., [3] - [6] и их библиогр.) исследовалось модельное уравнение в виде

Ф2)п у + Сг Ф2)п _ 1 у + ■ ■ ■ + Сп _ г Щу + СпУ = г (х) (16)

и связанные с ним сингулярные интегральные уравнения типа Вольтерра, где = (х — а)а число а > 0. В [3], например, найдено интегральное представление для общего решения уравнения ( 16) в случае, когда все корни характеристического уравнения ( 1 0 ) вещественны и различны. Случай, когда

и среди характеристик уравнения имеются комплексно-сопряженные и кратные были рассмотрены в работах [7] и [8] соответственно.

Поступило 14.01.2018

ЛИТЕРАТУРА

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. 18-е изд. - М.: Физматгиз, 1959, 468 с.

5. Архипов Г.Н., Садовничий В.А, Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализа 4 - е изд., исправл. - М. : Дрофа, 2004, 640 с.

6. Кодиров Г.М., Раджабов Н. Интегральные представления и многообразия решений для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений - го порядка с одной левой граничной сверхсингулярной точкой, когда корни характеристического уравнения являются вещественными и разными. - Мат-лы междунар. научной конф., посвящ. 80-летию проф. Стеценко В.Я. - Душанбе, 2015, с. 106-108.

7. Radjabov N. Integral representation of the manifold solution for new class of the Volterra type integral equation with a boundary singularity in case, when kernel contain logarithmic singularity and its power. - Journal of mathematics and system science, v. 6, 2016, рр. 23-37.

8. Раджабов Н. К теории одного класса сверхсингулярного интегрального уравнения Вольтерров-ского типа - Вестник Таджикского национального университета. Сер. естест. наук, 2017, №1/1(130), с. 3-7.

9. Radjabov N. New methods for Volterra type integral equation with boundary singular point. - In books "New trends in analysis end interdisciplinary applications" Springer international publishing, A G, 2017, pр. 121-127.

10. Мустафокулов Р., Мирзоев Дж.А. О разрешимости и многообразия решений одного класса линейных дифференциальных уравнений типа Эйлера, когда характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряжённые корни. - Мат-лы науч.-практ. конф. "VII-е Ломоносовские чтения" филиала МГУ им. М.В.Ломоносова в г. Душанбе. - Душанбе, 2017, с. 20-24.

11. Мустафокулов Р. Об одном линейном уравнении типа Эйлера с кратной характеристикой. - Меж-дунар. науч. конф., посвященная 100-летию проф. С.Г.Крейна. Сб. мат-лов, г. Воронеж, 2017, с. 140-143.

Р.Мустафо^улов

МУОДИЛАИ МОДЕЛИ БАРОИ ЯК МУОДИЛАИ ХАТТИИ ЯК^ИНСАИ

ТИПИ ЭЙЛЕРИ ТАРТИБИ n - ум

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола долати умумикардашудаи муодилаи хаттии Эйлер тартиби п - ум дида ба-ромада шуда, шарти ба муодила бо коэффисиентдои доимй оварда шудани чунин муодиладо оварда шудааст. Муодилаи моделй муайян карда шудааст. Тарзи дал намудани муодиладои моделии дам як^инса ва дам гайрияк^инса нишон дода шудааст.

Калима^ои калиди: муодилаи типи Эйлер, муодилаи модели, формулаи Фаа-ди-Бруно, муодилаи характеристики, адади характеристики.

R.Mustafokulov

EQUATION MODEL FOR ONE LINEARE HOMOGENEOUS EQUATION OF

EULER'S TYPE OF n-th ORDER

Tajik National University

In this work the generalized form of lineare equation of Euler's type of n - th order is considered. For equation of this class the conditions reducibility to equation with constants coefficients is reduce. The model equations is determined. The method of solve of model equations is indicate.

Kay words: equation of Euler's type, model equation, formula of Faa-du-Bruno, characteristic equation, characteristic number.