Общее решение уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ахмедов Рахматхуджа Ахмедович -

заведующий отделом контроля и анализа ТГУПБП, кандидат физико-математических наук, доцент

( п ^

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ит + £ ак ит—к Ж = Р

V к=1

Для одного класса линейного уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами и со сверхсингулярной точкой

устанавливается представление общего решения через решения специального класса обобщенной системы Коши-Римана со сверхсингулярной точкой.

В области G, содержащей точку г = 0, рассматривается уравнение

(

ит акит-к Ж = Р (г)

к=1

г є О,

(1)

где т > 2 - натуральное число, а1,а2,...,ат - произвольные вещественные числа и и — дифференциальный оператор

д е (п-----

2т1

-( • )

в котором

ІФ

г = х + іу = те*,

і2 =-1,

д - = -г 2

Ґ

дд — + І —

дх ду

0

комплексное, п Ф 0 - целое и V >0 положительное числа, Ж(г) - искомая и Р(г) заданная функция класса Ьр (О), р > 1. Решения (1) рассматриваются в

классе Ст (О0) I С (О) функций т -раз, непрерывно дифференцируемых в

О0 = О \ {0} и непрерывных в области О.

В основу исследования уравнения (1) положены решения однородного уравнения

иФ = 0 , г є О (2)

и интегральный оператор 8О, который в применении к произвольной функции Р є Ь (О), р > 2.

-П!!

П О

01( г,£, п,Я) й

р (О

+

П2 (г^п,Л)-

р (О

d%dц,

^ = ^+ in, (3)

определяет частное решение неоднородного уравнения

и^ = Р(г), г є О ,

из класса С 1(О0) IС (О) . Исследование уравнения (4) наряду со свойствами оператора 8О содержится в монографии [1].

В настоящей работе для уравнения (1) установлены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть корни х1, Х2,..Хт характеристического уравнения

Хт — а\Хт 1 +.... + (— 1 т ат = 0 (5)

— вещественные и различные. Тогда общее решение уравнения (1) из класса С т (О0) IС (О) представимо в виде

т-1 1

Ж (г) = Фт (г)е-Хт(”г' + £ —----------------- Фт—к (г)е~*-‘Лп') + ^ (г) ,(6)

к=“ П (Х1 -Хт—к )

I=т—к +1

где ФДг), Ф 2(г),..., Ф т (г) - произвольное решение уравнения

(2) из класса Ст (О0) IС(О) и Ет (г) определяется с помощью цепочки

формул ^0(г) = ^(г) и ^р(г) = яа(рр—1(г)е(г+г))•е(г+г\ Р = 1, 2, ....,т .

Теорема 2. Пусть Ж(г) - заданное решение уравнение (1) из класса Ст(О0)IС(О). Тогда Фг(г), I = 1,2,...,т, однозначно определяются через Ж(г) по формулам:

т I—1 1 т

Фг(г) =П(и + Хк)Ж(г)ех(г+ г) +£ (—1)Р--------------------------------П(и + Хк) Ж(г)ех(г+ г) +

к=г+1 Р=1 П (х —хн) к=1—Р+^

-1 (7)

е—1 1 - -

+ 1 (—1)Р^-----------------------Р (г)ех( г+ г) — ^ (г)ех( г+ г)

р=1

П (Х — XI—}-)

]=1

Доказательства теорем основаны на следующих результатах. Лемма 3. Общее решение неоднородного уравнения

и^ + ^1^ = /(г), г е О, (8)

из класса С *(О0)1 С (О), в котором / (г) е С0(С^ Ьр (О)) р> 2, и Л — любое вещественное число, даётся формулой

w(г) = Ф(г)е-Л(г+г) + 8О (/ • еЛ(г+г) )е~Л(г+г) (9)

где Ф( г) - общее решение однородного уравнения (2) из класса

С0 (О)1 С (О) и 8О - интегральный оператор, определенный формулой (3).

Очевидно, что функция, определяемая формулой (9), принадлежит классу С 0(О)1 С (О). То, что она удовлетворяет уравнению (8),

проверяется непосредственно.

Лемма 2. Пусть Ф(г) - произвольное решение уравнения (2) из класса

С1 (О0) IС (О ). Тогда имеет место соотношение

8О [ф(г) • еЛ(г+г) ] = — Ф(г) • еЛ(г+г), (10)

Л

где л ^ 0 - любое вещественное число, и БО- интегральный оператор, определенный формулой (3).

Действительно, пусть и (г) и у(г) - произвольные функции из класса

С !(О0) IС (О ). Легко проверить, что имеет место тождество:

Де1п^

и (иу) = ии + уии---------------— (иу — иу — иу).

2 г

Полагая в этом тождестве и (г) = Ф( г) - решение уравнения (2) из класса С *(О0) IС (О ) и у(г) = ел( 2+2), получим:

и [Ф(г) • ем(г+г) ] = л Ф(г) • ел(г+г).

Применяя к обеим частям этого тождества оператор 8О, в согласии с [2] будем иметь:

Ф(г) • ел(г+г) = л SО [Ф(г) • ел(г+г) ],

т.е. соотношение (10).

Доказательство теоремы 1. Так как корни Х1, Х2, — Хп

характеристического уравнения (5), вещественны и различны, то, в согласии с формулами Виета, уравнение (1) представимо в виде

т

П (и+ Хк Ж = Р(г) (11)

к=1

Уравнение (11) запишем в форме неоднородного уравнения (8) по

т

отношению к функции П (и + Хк Ж, т.е.

к=2

т

(и + Х1)П (и + Хк) Ж = Г(г)

к=2

Согласно формуле (9) получим, что

т _

П(и+Хк) Ж = Ф1(2) е-*("г) + ад (12)

к=2

где Ф1( г) - является общим решением уравнения (2) из класса С '(О0)1 С (О)

и Р1(г) = 8О(Р(г)• еХ1(г+г))• е~Х1(г+г). Далее, представляя последнее равенство опять в форме неоднородного уравнения (8) по отношению к функции т

П (и + Хк) Ж, т.е.

к=3

(и + Х2 )П (и + X») Ж = Ф1 (г) е-*(г*г) + Р (г)

к=3

в соответствии с (9) выводим:

П(и + Хк) Ж = Ф2(г)~Х2(г+г) + 8О (ф1 (г)е(Х2—Х1)(г+г))• е~Х2(г+г) + Р2(г)

к=3

где Ф 2 (г )-общее решение уравнения (2) из класса С '(О0)1 С (О) и

Р2 (г) = SО (р (г ) • е Х2(г+г)) • е—Х2(г+г)

Применяя формулу (10) ко второму слагаемому правой части последнего равенства, получим

т _ 1 _

П (и + Хк ) Ж = Ф, (г)"г) +-----------------------Ф1 (г)г 1 + ад). (13)

к =3 Х2 — Х1

И, вновь записывая (14) в форме неоднородного уравнения (8) по отношению т

к функции П(и + Хк) Ж, т.е. к=4

т _ 1 _

(и + Х3 )П (и + Хк) Ж = Ф2 (г)г+г 1 +--------------Ф1 (г)~Х1("г) + К (г),

3 к=4 Х 2 — Х1

в соответствии с (9) и (10) получим

т _ 1 _

П(и + Хк) Ж = Ф3(г)е~Хз(г+г) +----- ----Ф2(г)е~Хг(г+г) +

к=4 Хэ —Х2 (14)

+ 7------)-------Л (г)е-Х1"‘” + Р,(г)

(2 — Х1 ЛХ3 — Х1 )

где Ф 3( г)- общее решение модельного уравнения (3) из класса

с ‘(о0)П с (О) и ад)=«о (ад) • еХ3(г'!)) • е

Продолжая этот процесс да-раз на основании (8), (9) и (10), для Ж (г)

будем иметь (6), что и доказывает теорему 1.

Доказательство теоремы 2.

Пусть Ж (г)- заданное решение уравнения (1) из класса

С т (О0)П С (О). Тогда, согласно теореме 1, оно представимо в виде (6). Из (12) определяем Ф1 (г) через Ж (г) :

Ф1 (г) = П (и + Хк ) ЖеХ1<'!'г' — аде(15)

к=2

Из (13) с учётом (15) вычисляем Ф2(г) через Ж(г) :

т _ 1 т _

Ф2(z) = П (U + X, ) W(z)eX2(z+z> - —П (U + Zk ) W(z)eX2(z+z> +

к=3 (X2 X\) к=2

+-----1-Fj(z)eX2(z+z) - F2(z)eX2(z+z) (16)

X -Xi

Далее из (14) с учетом (15) и (16) вычисляем Ф3 (z) через W(z) :

т _ 1 т _

Фз(z) = П(U + Хк)W(z)e«z*z) - ——)П(U + Хк)W(z)е’3<z+z) +

к=4 ( Хз X 2) к=3

1 _т_ - 1 -

+ --------- --------- П(U + Хк)W(z)eX3(z+z) ------------------- - F1 (z)eX3(z+z) +

( Хз - X 2 )( Хз - X1 ) к=2 ( Хз - X 2 )(X 3 - X1 )

+-----1----F2(z)ex3(z+z) -F3(z)• e*(z+z)

X 3 - X 2

Продолжая аналогичным образом, получим (7), что доказывает теорему 2.

Ключевые слова: линейное уравнение высокого порядка, общее решение, класс функций, интегральный оператор, корни характеристического уравнения, сверхсингулярная точка.

Key words: the linear equation of a high order, the common decision, a class of functions, the integrated operator, roots of the characteristic equation, over singular point.

Список использованной литературы:

1. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой.- Душанбе, 1993.- 244 с.

Ахмедов Р.

( п \

Общее решение уравнения

Um +^ акит-к

W = F

V к=1

В статье приводится для одного класса линейного уравнения т-ого порядка с постоянными коэффициентами и со сверхсингулярной точкой представление общего решения из класса непрерывных функций через т общих решений специального класса однородной обобщенной системы Коши-Римана со сверхсингулярной точкой и доказывается соответствующая теорема. Далее устанавливается формула обращения, с помощью которой при заданном решении исследуемого уравнения из рассматриваемого класса определяются однозначно т общие решения обобщенной системы Коши-Римана со сверхсингулярной точкой. Основным инструментом исследования является специальный интегральный оператор, который в применении к произвольной непрерывной заданной функции определяет частное решение неоднородной системы Коши-Римана со сверхсингулярной точкой.

Akhmedov R.

( п \

Um +> akUn

W = F

Common decisions of equation

k=1

In the article for one class of the linear equation of a high order with over singular point is given common decision of representation through decisions of a special class of generalized system Koshi-Riman with over singular point and established formula of reference. Further established the formula of transferring, with which help in case if the given decision of the examining equation from reviewing class will be determined uniquely m general decisions of the generalized system of Koshi-Riman. Main tool of the investigation is special integral operator which in appliance to free uninterrupted given function determines quotient decision of multiple system of Koshi-Riman on over singular point.

Шойимкулов Махмудбек -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и моделирования ТГУПБП

О СПЕЦИАЛЬНОЙ СВЯЗНОСТИ РАССЛОЕНИЯ

Биаксиальное пространство эллиптического типа характеризуется абсолютной инволюцией, инвариантной при движениях матрицы, которая задается в виде

[Д ^](А,В=Щ (1)

где Е - единичная матрица второго порядка. Это абсолютная инволюция, т.е. биаксиальная инволюция с осями - абсолютными прямыми

относит ко всякой точке с однородными координатами ** точку

сопряженную данной. Прямые, соединяющие эти точки, называются особыми. Проективный репер, в котором матрица абсолютной инволюции имеет вид (1), называется каноническим.

Если точки биаксиального пространства имеют однородные координаты М ( е.П в которых матрица аффинора абсолютной

инволюции имеет вид (1), то, поделив на первую координату £ * =? О, можно

перейти к неоднородным координатам М (д\ уг й) — М (.1 [ .С V! е),

Для трехмерного биаксионального пространства эллиптического типа предложена классификация подгрупп его группы движения [1]. В статье [2] найдены (в локальных координациях х, у, 2) аффинные связности без

кручения в пространстве Бз, допускающие подгруппы