О простейшей модели дискретного автогенератора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проделанный расчет дает основание сделать заключение, что бифуркационная кривая k = k(|) обладает свойством слабого монотонного убывания на некотором промежутке | £ (0, i). Определение i требует теоретического исследования.

Список литературы / References

1. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 548 с.

2. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МЦНМО, 2012. 304 с.

3. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 304 с.

О ПРОСТЕЙШЕЙ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНОГО АВТОГЕНЕРАТОРА Морозов А.В.1, Булекбаев Д.А.2, Носова Л.В.3 Em ail: [email protected]

'Морозов Алексей Валентинович — кандидат физико-математических наук, профессор; 2Булекбаев ДастанбекАбдыкалыкович — доктор технических наук, доцент; 3Носова Людмила Васильевна — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник,

кафедра математики, Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург

Аннотация: известно, что между непрерывным и дискретным описанием различных явлений, процессов и систем наблюдается глубокая связь, а существующие параллели часто помогают понять суть происходящего и предложить правильные решения. Так, например, утверждения, доказанные для непрерывных систем, часто могут быть сформулированы для соответствующих дискретных систем и наоборот. Особенно явно эта связь прослеживается между линейными моделями, например, дифференциальными уравнениями и рекуррентными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для нелинейных объектов дело обстоит сложнее. В настоящей статье, ориентированной в основном на преподавателей втузов и студентов, на элементарном уровне обсуждается дискретный аналог непрерывного генератора колебаний.

Ключевые слова: дискретная одномерная динамическая система, устойчивый 2 цикл, автоколебательная система.

ABOUT THE SIMPLEST MODEL OF DISCRETE OSCILLATOR Morozov A.V.1, Bulekbaev D.A.2, Nosova L.V.3

'Morozov Alexey Valentinovich — PhD in mathematics, Professor; 2Bulekbaev Dastanbek Abdykalykovich — Doctor of technical Sciences, Head of Department; 3Nosova Lyudmila Vasilievna — PhD in mathematics, S.R., MILITARY SPACE ACADEMY NAMED AFTER A.F. MOZHAYSKY, ST. PETERSBURG

Abstract: it is known that there is a deep connection between continuous and discrete description of various phenomena, processes and systems, and the existing Parallels often help to understand the essence of what is happening and offer the right solutions. For example, statements proved for continuous systems can often be formulated for the corresponding discrete systems and Vice versa. This connection is especially evident between linear models, for example, differential equations and recurrent equations with constant coefficients. For nonlinear objects, this is not the case. These connections may or may not be present. In this article, focused mainly on University teachers and students, the discrete analog of the continuous oscillator is discussed at the elementary level. Keywords: discrete one-dimensional dynamic system, stable 2 cycle, self-oscillating system.

УДК 519.6

Введение. Рассмотрим для начала дискретную одномерную систему [1, 2]

хп+1 = — ухп — а + а, п£й, где а > 0 - параметр, х0 — заданное число. Нетрудно видеть, что правая часть / (х) = — Ух — а + а является монотонно убывающей на всей вещественной оси и, кроме того, хп = а (п£М) является неустойчивым стационарным решением и, стало быть, х 0 = а —положение равновесия.

Найдем периодическую траекторию этой системы. Для этого рассмотрим уравнение f 2(х) = х:

У х — а + а = х,

откуда легко находятся корни х 0 = а и х 1,2 = а + 1. Таким образом, периодическая траектория имеет вид X = { а — 1, а + 1 } . Исследуем ее на устойчивость. Для этого вычислим производную f '(х) = —з, её значения в точках цикла f ' ( а — 1) = —, f ' ( а + 1) = —

3 у [х а) 3 3

и мультипликатор ц(Х) = f '( а — 1 ) f '( а + 1 ) = 1 Учитывая неравенство | ц (X) | < 1 , согласно критерию устойчивости заключаем, что является устойчивым циклом

периода 2 [2].

Замечание. В дискретных системах с одномерным фазовым пространством, заданных монотонными отображениями, могут наблюдаться траектории трех типов. Это положения равновесия, периодические траектории, т.е. циклы и траектории, асимптотически стремящиеся при либо к положениям равновесия, либо к циклам, либо уходящие на бесконечность.

По существующей терминологии устойчивые положения равновесия и циклы называют аттракторами (регулярными аттракторами).

Синтез дискретной системы. С технической точки зрения, рассмотренная в нашем примере система, служит моделью дискретного автогенератора. Приводимые ниже соображения элементарны и являются следствием анализа, рассмотренного выше примера, и позволяют смоделировать дискретную систему с обратной связью, обладающую заданными характеристиками.

Рассмотрим теперь линейную систему

хп+1 = f (х„) = Лхп + а (п = 0,1,2,... ) . (1) Ясно, что при фиксированном параметре Ле (—оо , — 1 ) положение равновесия х, =

1—л

является неустойчивым фокусом (рис. 1), при Л = — 1 - центром (все траектории системы -циклы периода 2) (рис. 2), при Л е (—1 , 0) - устойчивым фокусом (рис. 3).

Рис. 1. х, — неустойчивый фокус Рис. 2. х, — центр

Рис. 3. х, — устойчивый фокус

Заметим, что дискретная система (1) подобна линейному осциллятору

х + 2 /гх + о 2 х = 0 ( /г, о 2 — со п бЦ, (2) однако в ней отсутствует информация о частоте. Напомним, что при /г < 0 — положение равновесия осциллятора (2) является неустойчивым фокусом (все траектории -раскручивающиеся спирали), при /г = 0 — центром (все траектории - замкнутые кривые), при /г > 0 — устойчивым фокусом (все траектории - закручивающиеся спирали). Заметим также, что если, в уравнении (2) добавить слагаемое ц ( кх 2 — 1 ) х ( ц, к > 0 ) , отвечающее обратной связи, вместо диссипативного слагаемого 2 /гх ( /г > 0 ) — то получим уравнение Ван дер Поля х + ц( кх 2 — 1) х + о 2 х = 0,

описывающее на фазовой плоскости устойчивые периодические колебания в

непрерывной системе.

Отмеченные выше аналогии приводят к выводу, что если линейную систему (1) определенным образом модифицировать, например, сделать диссипативной, а положение равновесия - неустойчивым фокусом, то можно сконструировать, таким образом, модель автоколебательной системы с дискретным временем. Естественно, что такая модификация связана с заменой линейной характеристики в (1) - нелинейной. Это достаточно просто сделать. Например, взять симметричную относительно точки характеристику в виде,

кусочно-линейной убывающей функции, изображенной на рис. 4. При этом все траектории системы будут стремиться к циклу периода 2 вполне определенной

амплитуды Л, зависящей от выбора / ( х) .

Рис. 4. Предельный цикл дискретной системы

Сформулируем простое утверждение о существовании цикла периода 2 для дискретной системы, заданной функцией вида:

хп+i = / (хп) , / (X) = х„. Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1) / ' ( х) < 0 ,

2) / ' ( х,)<- 1 ,

3) /" (х) (х - х.) > 0, ¥х ф х.,

4) существует число с, такое, что уравнение / ( х) = — х + 2с имеет корни с — А и с + Л. Тогда существует единственный устойчивый предельный цикл X = {с — А , с + А }. Если

график симметричен относительно точки , то .

Завершая статью, заметим, что автономные дифференциальные уравнения 1-го порядка не могут иметь периодических решений, а, следовательно, описывать колебательные режимы, дискретные же уравнения 1-го порядка хп+1 = /(хп) - могут.

Список литературы / References

1. Морозов А.В., Бригаднов И.А. Математические основы теории систем. СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006. 232 с.

2. Морозов А.В. Элементы детерминированного хаоса в политехническом вузе // Вестник науки и образования, 2018. № 12 (48). С. 7-11.