CC BY
23
Матем атика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. .Лобачевского, 2012, № 2 (1), с. 152-158
УДК 517.987.5
ОБ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВАХ НЕКОТОРЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
© 2012 г. С.С. Бельмесова, Л.С. Ефремова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
belmesovass@mail.ru
Поступило в редокцию 16.12.2011
Рассмотрено однопараметрическое семейство квадратичных отображений плоскости Я2 F^l (х,у) = = (ху,(х - ц)2) при ц е [0,2]. Изучены общие свойства отображений Рц, связанные с существованием инвариантных множеств, при всех ц е [0,2]. Дано полное описание динамики невозмущенного отображения F0.
Ключевые слово: квадратичное отображение, инвариантное множество, инвариантная кривая.
1. Введение
Существует обширная библиография, посвященная изучению полиномиальных и, в частности, квадратичных отображений плоскости (см., например, [1-10]). В данной работе рассмотрено однопараметрическое семейство квадратичных отображений
У) = (xУ, (х -ц)2), (1)
где (х, у) е Я2, Я2 - плоскость, ц е [0,2] .
Задача изучения динамики отображений однопараметрического семейства (1) при ц е [0,2] сформулирована в [6]. Семейство отображений (1) содержит отображение F2, представляющее собой пример отображения следа [11, 12], возникающего в физике квазикристаллов. В настоящей работе, являющейся продолжением статей [6-10], доказана теорема об общих свойствах отображений F^^ при всех ц е [0,2], указаны некоторые инвариантные множества; проведено исследование динамики невозмущенного отображения F0. Рассмотрения данной статьи носят нелокальный характер.
Пусть ^ у) = (/ц.и у^ §ц,„ (х у)) 1 - п-я (п>
> 1) итерация отображения Рцп. Обозначим через J (рП (х, у)) матрицу Якоби, а det J (р” (х, у))
- якобиан отображения Рцп соответственно. Пусть К - г-й открытый квадрант плоскости хОу, г = 1,2,3,4.
Сформулируем теорему о свойствах отображений Рц, справедливых при всех ц е [0,2].
Теорема А. Пусть Рц - квадратичное отображение (1). Тогда:
^.1) при любых ц е [0,2] и п > 1 равенство
Л* J р; (х, у ))= 0 верно в том и только том
случае, если координаты точки (х;у) удовлетворяют хотя бы одному из уравнений /ц,г(х, у)= ц или/ц,г(х, у)= 0, 0 < г< п - 1;
(Л.2) для каждого ц е [0,2] справедливы
включения Рц(Кз )е К1, Рц(к 4 )е К 2, рК2 )е К2,
Рц(к 1 )с К1, где (•) означает замыкание множества;
(А3) при любом ц е [0,2], ц Ф 1, существуют три неподвижные точки: А](0;ц2) с мультипликаторами ^1(^1) = 0 и ^2(^1) = ц2; А2(ц + 1;1) с мультипликаторами 2 (А2) = (1 ± 9 + 8ц)/2 и
Аз(ц - 1;1) с мультипликаторами Ч* (Аз ) =
= 1 ±7 9 - 8ц )/2 ; при этом А1(0;ц2) - сток, если
0 < ц <1, и седло, если ц > 1; А2(ц + 1; 1) - источник, если ц > 0; А3(ц - 1; 1) - седло, если 0 <
< ц <1, сток, если 0 < ц < 3/2, эллиптическая точка, если ц = 3/2, и источник, если ц > 3/2; при ц = 1 отображение Рц имеет две неподвижные точки А](0;1) с мультипликаторами ^(А^ = 0, Х2(А0 = 1, и источник А2(2; 1) 2;
^.4) при любых ц е [0,2] и п > 1 справедливо равенство Рцп (С0) = (0; ц2), а при всех ц е (0,2] и п > 3 справедливо равенство Рцп (Сц)=(0; ц2), где С0 и Сц — критические прямые х = 0 и х = ц соответственно;
Как о^ичж^ (x, у) (x,у) так, чтоflф(x, у) x, 2 тИп неподвижной точки определяется так, как
Яц,0(х, у) = у. указано в [13, часть 2, гл. 8, § 8.4].
(A. 5) при всех ц е [0,2]
(A.5.1) Fц отображает прямую x = с на прямую у = с1, где с е R1, ci = (с - ц)2;
(A.5.2) (п > 2) отображает прямую у = с1,
с1 Ф 0, на кривую (Х У )= (Рп(4 Qn"(X)) , где Pn(x) и Qn'(x) - полиномы степеней п' и п" соответственно, причем пнечетное число, п"— четное число; при с1 = 0 выполнено FГ (x,0) = (0; ц2);
(A.6) при любом це (0,2] существует инвариантный треугольник Дц = { (x; у) е R2 : х, у > 0, х У
----ъ— < 1}, для катетов kx = {(х;0): 0< х< 2ц} и
2ц ц
ky = {(0;у): 0< у< ц2} которого справедливы со- _ отношения Fц(kx) = ky, F^ky) = (0;ц2); отображение F^, на гипотенузе hц треугольника Дц определено в силу равенства F^ (х, у) = (хц(ц -
-х/2), хц(ц - 2у/ц)2) так, что Fц(hц) представляет собой отрезок прямой 2х + цу = ц3, совпадающий с гипотенузой hv^ в том и только том случае, если ц = 2 (при этом граница 0Д2 треугольника Д2 инвариантна относительно F2);
(A. 7) на гипотенузе h2 треугольника Д2 существует периодическая точка произвольного периода п > 1; причем множество периодических точек F2 |h всюду плотно на h2; существуют
массивное множество точек с всюду плотными на h2 траекториями и всюду плотное на h2 множество гомоклинических точек сужения F2 Ih ;
(A. 8) для каждого ц е (0,2] существует единственная периодическая орбита периода
два
B=
Bl
в„
1 + yj 17 + 16ц
с мульти-
так, что
орбита В образована источниками. Более того, при ц = 0 существует неограниченная кривая
х = |(х; у) є R2 : х2у = і}, все точки которой, за исключением неподвижных точек А2(1; 1) и А2(- 1; 1), являются периодическими периода два;
(А.9) при всех ц є [0,2] существует неограниченный инвариантный квадрант £ =
= |(х; у)є R 2 : х>ц +1,у> і}, для любой точки которого, за исключением А2(ц + 1;1), справедливы предельные равенства Ііт f (х, у) =
=1іт я** (x, у)=+да;
(А.10) при любом ц е [0,2] отображение |в задает диффеоморфизм D^l,co на Рц фц>ш);
(А.11) при всех це [0,2] существует С1 -гладкая строго возрастающая функция у = Гц(х), определенная на промежутке [ц + 1, +<»), и такая, что Гц ([ц + 1, +<»)) = [1, +<»); график Гц есть Рц-инвариантная кривая, проходящая через неподвижную точку — источник А2(ц + 1;1).
Перейдем к формулировкам свойств невозмущенного отображения
р0(х, у) = (ху, х2). (2)
Теорема В. Квадратичное отображение Р0 в плоскости Я2 обладает следующими свойствами: (Б.1) в каждом из открытых квадрантов Кг (г = = 1,2,3,4) существуют слоения Ь+ = {+}, k = 1,2 и Ь- = {"}, ] = 3,4 с аналитическими слоями С ={(х;у)е Я2: у = с/х2, с > 0} в К1 и К2, и I- = {(х;у)е Я2 : у = с/х2, с < 0} в К3 и К4, причем слоения Ь+ и Ь+ инвариантны (т.е. для любого слоя 1+ слоения ь+(ь+) существует слой 1+ слоения Ь+(Ь+), такой, что Р0 (/с+) = 1+); более того, любая точка слоя /1+, за исключением неподвижной точки А2(1;1), является периодической точкой периода два;
(Б.2) через каждую точку (х; у)е К, (г = 1,2,3,4) проходит единственная прямая у k = {(х; у)е Я 2 : у = kx, k е Я1} так, что для любого k ф 0 имеют место равенства Р0 (у^ = yl/k, р0 (у:/0 = Уъ
(Б.3) для любой точки (х; у)е Q1, где
й = {х; у)е Я 2 : |у| < 1/х2}, имеют место равенства Нш ^ п (х, у) = lim §0 п (х, у) = 0 ; для каждой
п——+да ’ п—+» ’
точки (х; у) е Q2, такой, что ху > 0, имеют место равенства Нш ^ п (х, у) = Нш §0п (х, у)=+<» ; ес-
п—+« ’ п—+« ’
ли же (х; у) е Q2 и ху < 0, то верны равенства liшf0n(x, уЬ-^ liш §0п (х у^^ здесь
п—ЮТ п—+«
й ={х у)еЯ: |у| > Vх 2}.
2. Доказательство теоремы А
Справедливость утверждений (А.1)-(А.8) вытекает из формулы (1). Укажем лишь, что утверждение (А.7) следует из топологической
сопряженности отображений х = х(4 - х),
у =(2 - у)2 отрезка [0,4] на себя сюръективно-му логистическому отображению м(?) = 4t(1 - t) отрезка [0,1] на себя [14, гл. 6, § 6.1.3].
і
і
Приведем доказательство утверждений Пользуясь непрерывностью отображения Рц, (А.9)-(А.11). имеем:
Для доказательства утверждения (А.9) нам рц(х *, у * ) = рДНш /цп (х, у), liш § цп (х, у )) =
потребуются рекуррентные формулы ^—+“ , п—+“ ,
/,1 (х, у) = ху, = 1—+^ (/ц,п(x, y), §ц,п(х у)) =
/„(х,у) = /и(х,у)П(/»,.(х,у)-ц)2 , п > 2; (3) = 1—(х'у)*»-(хуНх';у')•
г=0 Так как множество содержит единст-
1(x, у) = (х - ц)2, § 2 (x, у) = (ху -
ц) , ную ,д_^ ную ду 2(ц + *; ) ( 1 у>
gnAx у) = Iх -W , §ц,2
Г ?-3.; \
§ц,п(x, у) = Л,1(x, у )П (/м(x, у ) - ц^ - ц
'ц,1
V /=0
верждение (А.3) теоремы А), то (х у ) = (ц+1;1). Последнее противоречит тому, что А2(ц + 1;1) — , (4) источник. Следовательно, Нш / (х, у) = +<»,
^ ' п—+« ^,
п > 3, Иш §ц,п(x, у)=+* .
’ п—+« п
справедливые при всех ц е [0,2]. Лемма 2.1 доказана.
Лемма 2.1. Отображение Рц при всех Справедливость утверждения (А.8) вытекает
гп ,-,1 „ из леммы 2.1.
це 10,21 обладает следующими свойствами: „ ,т
1 -1 Докажем утверждение (А.10).
(1) множество Шц><ю инвариантно относитель- Лемма 2.2. Пусть — квадратичное отобрано Рц;
(2) если (х; у)е D,» \ {А2 (ц +1;1)}, то
lim /ц,п (x, у) = lim gц,п (x, у) = +* .
П___i-l-cVi 1 ’ П__i-l-cVi 1 ’
жение (1). Тогда при всех ц е [0,2] сужение F^ |D задает диффеоморфизм D^ на Fц (D^). Доказательство. Инвариантность множест-Доказательство. Инвариантность множест- ва D^ вместе с утверждением (A.1) влечет за
ва D^ вытекает из формулы (1) и определения собой отсутствие критических линий и всевоз-
множества D^. Укажем также, что внутрен- можных их: прообразов в ^ш. Поэтому сужение
ность intD^ множества D^ инвариантна отно- F^ |D (п >1) - локальный диффеоморфизм.
сительно F„. тг ' „ .
лтг * Кроме того, сужение F, , |D - инъекция DUK) на
Убедимся в справедливости второго утвер- ц ц~
ждения леммы. Возьмем произвольно и зафик- Fn(D^o>), так как система уравнений сируем точку (х; у)е int D. Покажем, что по- |ху = х
следовательности {/ц,п (x, у)}п>0 и fen,п (x, у)}п>0 [(х -ц)2 = у
строго возрастают по п. Действительно, так как имеет решение в D^ (и притом единственное)
х > ц + 1, у > 1, то fц,2(x, у)> fi,1(x, у)> fi,0 (x, у) тогда и только тогда, когда х >ц +1,
и g(x, у) > gц,2 у) > gцд (x, у) > gщ0 (x, у). В 1 < у < (х - ц)2. Отсюда следует также, что
силу формулы (4) для любого п > 3 имеем: „ .
( ( ) ( )) ~ и ( ) Fik„={(x;у):х>ц+1,1 <у<(х-ц)}. Таким
sign (g ц,п+1 у)-g ц,п (x, у))= sign (/ц ,1 (x, у)х _ ц . _
п з образом, отображение Fц |D - биекция D^ на
, у) — ц)2 (/цп-2 (х, у) — ц — 1)). F^D^). Последнее вместе с неравенством det
‘=0 J(Fц(x,y)) Ф 0 означает, что F ^ - диффео-
Тогда, пользуясь рекуррентными соотноше- , Г- п 17/г> ц”\ тт от
• морфизм области D„OT на Fn(DUOT). Лемма 2.2
ниями (3), (4) и инвариантностью множества int ^ ^ ^
доказана.
получаем, что /1,п+1(х,у)> /,п(х,у) и Из леммы 2.2 вытекает справедливость ут-
gц пъ1 (х, у) > gVuri (х, у). Таким образом, последо- верждения (АЛ0) теоремы А.
Перейдем к доказательству утверждения
вательности {/ц,п(^у)}п>0 и {§ц,п(^у)}п>0 строго (А.11). возрастают по п. Отсюда следует, что сущест- Из утверждения (А.9) вытекает справедли-
вуют liш / (х, у) и Нш § (х, у). Из форму- вость включения Рцп Ш )с Рцп-1 (о„„) при лю-
п—+« п—+« ^ ^
лы (1) следует, что указанные пределы одно- бом п > 1. Так как А2 (ц + 1;1)е Рцп (Шц,„), то су-
временно конечны или бесконечны. Убедимся в ществует непустое инвариантное множество
том, что пределы бесконечны. Предположим гп-1(ъ \ ъ тл* ^1
П ( * * ^ = п Рп1 (Ш,»). Докажем, что - С-
противное. Пусть существует точка ^х ; у ^еЩ^, пЯ'
гладкая инвариантная кривая, являющаяся графиком строго возрастающей функции.
такая, что lim f п(x,у)= х\ lim g!п(x,у) = у*.
В силу леммы 2.2 важную роль в доказательстве существования неограниченной инвариантной кривой в играют всевозможные образы границы множества Шц>ш. Из задания отображения следует, что при всех ц е [0,2] и п >
> 2 имеет место равенство
({(х; у): х=ц+1, у > 1})=
= РГ1 ({(х; у): у =1 х > ц +1}).
Поэтому исследование всевозможных образов границы множества сводится к
изучению образов луча {(х; у): у = 1, х > ц + 1}.
Нам потребуются два важных следствия утверждений (А.5) и (А.10).
Следствие 2.3. При всех ц е [0,2] Рцп({(х;у): у = 1, х >ц +1}) (п > 1) является графиком строго возрастающей функции у = уцп(х), х е(ц +1,+«) (х = X ц,п (у), у е (1,+да) )3.
Для определенности будем использовать представление Рцп ({(х; у): у = 1, х >ц + 1}) (п > 1) в виде графика функции у = уцп(х), который обозначим через уцп.
Пользуясь инвариантностью множества и следствием 2.3, получаем
Следствие 2.4. При всех ц е [0,2] справедливо равенство эр; (Оц,„)=уц,п ^уц,п-1 (п > 2), где ЭРцп (шц ,„) — граница множества Рцп (Шц ,„).
Основной результат этой части работы содержит
Теорема 2.5. Пусть — квадратичное отображение вида (1), це[0,2]. Тогда Шц представляет собой инвариантную кривую, являющуюся графиком С1-гладкой строго возрастающей функции у =Гц(х), задающей сюръекцию промежутка [ц + 1, +<ю) на промежуток [1, +да).
Доказательство теоремы 2.5 разобьем на ряд шагов, рассмотренных в леммах 2.6, 2.8, 2.9.
Будем использовать метрику, согласованную с топологией произведения плоскости Я2. Для любых двух точек ^(х^), 22 (х2; у2) е Я2 имеем:
р(2Ь 22) = шах{|х: - х2|, |уа - у2|}.
Рассмотрим произвольную 0-окрестность (0 > >0) ие(А2) = [ц + 1,ц +1 + 0]х [1,1 + 0] неподвижной точки А2(ц + 1;1). Метрика р порождает максимальную строчную норму матрицы Якоби, согласованную с р [15, гл. 5, § 5.6]. Тогда для любой фиксированной точки 2(х; у )еи 0(А2 ) выполнено:
К(х; у} =
= тах х +
ІХ+1 у| ,2 х - ц}.
, 2(х -Ц 0 ,
Отсюда следует, что для любого вектора смещения h = (х1 - х, у1 - у), где zl(xl■;у!)єив(Л2) верно неравенство:
\\Щ (х у)(щ)|| со < |\Щ(x, у|| Щ\ <(ц+2 + 20)Н|, (5)
II II ґ''о
где •со - С -норма.
Справедлива
Лемма 2.6. При всех ц є [0,2] и 1 <- < п (п > 1) в 0-окрестности ие(А2 ) = [ц + 1,Ц +1 + е] х [1,1 + е]
неподвижной точки Л2(ц + 1;1) при Є < 1 для
любых двух точек 2(х, у), 2Х (х1; у1 )є ие(Л2), ких, что р- (2), р- (г1 )є ие (Л2), выполнено:
р(г/(x, y), (х1, у1 Й < (ц +3У р(z, 21),
\\dF- (х, у)(щ)|С0 <(ц + 3ПЩ,
С0 -норма, Щ = (х1 - х, у1 - у) -
та-
где
век-
3 Функция у = Уцп(х) (х = Хцп(у)) представляет собой некоторый полином от иррациональной функции.
тор смещения.
Доказательство. Возьмем произвольно и зафиксируем точки 2(х, у), г1(х1; у1 )е ие(А2) так, что выполнены условия леммы 2.6. Пользуясь теоремой о конечных приращениях для дифференцируемого отображения Рц, теоремой
о дифференциале композиции дифференцируемых отображений [16, гл. X, § 4.3] и определением нормы линейного оператора, получаем:
р(Р*(x, у), (х1, у1Й < ||Шрц(2 |х
х р(р/-1 (x, у), РТ1 (xl, у1 ^ < - < (ц+3) * p(2,21).
Тогда, используя (5), имеем Цшрц' (х, у)(й| с0 <
<(ц + 3)J+^|Щ .
Лемма 2.6 доказана.
Пусть, по-прежнему, 0 <0< 1. Положим [ц + 1,
ц + 1 + 0] = [ц + 1, Ь].
Лемма 2.7. Пусть — отображение (1), ц е [0,2]. Тогда последовательность сужений
К,п |[ц+1,ь ] (х)}п>1 на прогошлжш отрезок [ц + 1,Ь] С'-гладких функций у = уцп(х) сходится на [ц + 1, Ь] в С'-норме к некоторой С'-гладкой строго возрастающей функции у =уц,[ц+1>Ь](х).
Доказательство. Возьмем произвольно и зафиксируем точки (х^ у^ДхО), (х1; Уц,т(х0)е еие(А2), 1 < т < k < п . Предположим, что последовательность {уц,п|[ц+1,Ь](х)}п>1 не фундаментальна в С'-норме. Тогда существует d > 0 и для любого п0 е N существуют k > т > п0, такие,
что ||У|цД 1 [ц+1,Ь] Уц,т |[ц+1,*ЛС1 > d . ВозможнЫ два случая:
х
(1) У ц,к \[ц+1,Ь] У ц,т \[ц+1,Ь]|С
Как и ранее, обозначим через уц,[ц+1>Ь] график функций у =Уц,[ц+1,Ь](х).
В силу утверждения (А.9) теоремы А суще-
= ™Р |уМ |[ц+1,Ь] (х) Уц,т |[ц+1,4](х);
хе[ц+1,ь] 1 ствует строго возрастающая последователь-
пл ||у | -у | II = ность номеров {пк }к..., такая, что при всех k > к*
(2) ||'ц,к 1[ц+1,Ь ] ' ц,т 1[ц+1,Ь]|| с1 >
выполнено
= :Д,]Уц,к |[ц+1,Ь] (х) - Уц,т |[ц+1,Ь] (х)|. Р;к (Уц.[ц+1,ь]) С рпк+1 (Уц,[ц+1,ь]),
Для определенности рассмотрим случай (2). р^1 \р;к ^ ь]) (Уц.[ц+1,ь]) = рп (Уц,[ц+1,ь]).
Тогда найдется х1 е[ц +1, ь], такое, что Тогда, используя утверждение (А.10) теоремы
|Ум \[ц+1,Ь] (х1) - Уц,т \[ц+1,ь] (х1)| > d . Рассмотрим А, убеждаемся в справедливости следующего ут-
ок^ое™ точек Тм<х1)), (х1; Уц,т(х1» ра- верЛеениа_ 2.8. Пусть р„ — отображение (1),
диуса е= — . В силу утверждения (А.3) теоре- це[0,2]. Тогда существует единственная
С1-гладкая функция у = Гц(х), являющаяся рас-
мы А существует 5 = 5(е) < е/(ц + 3) , такое, г . , ч ,
1 , . • ,, , ' ширением на промежуток 1ц + 1, +да) функции
что для 1 < ] = шт{к, т} < п существуют точки _ ( ^ ■' ^ ^
/~* ~*\ /_* _*\ /,\ у =Уц,[ц+1Ь](х).
Vх ; у ), Vх ; у )еи 5(А2) , удовлетворяющие Пользуясь формулой (1) и определением ин-
равенствам рц*(~*,~*)=(х1; уц,к(х1)), р*(х*,у*)= вариантного множества, получаем, что график
у~» функции у = Гц(х) является рц-инвариантной
=(х1; Уц,т(х1)) и включениям р(x,у )е кривой, для любой точки (х;у) которой справед-
е ие (х1; Уц к (х)), рц (х*, у* )е и (х; Уц т (х)). ливы предельные равенства (5).
В силу леммы (2.6) для вектора смещения Теорема2д5 доказана- Справедливость ут-
7 /___* ~* ____* ~*\
п = ^х - х , у - у ) имеем:
верждения (А.11) теоремы А установлена. Теорема А доказана.
\Щрц+1 (х*; у* )п)| о <(ц + 3У+2|Щ <(ц + 3)*+2 5 < е, В [9] доказано существование другой неог-
I /~* ~*\ ! С \ Н~* ~*\ ! * раниченной инвариантной кривой у отображе-
ррц (~ ,~ } рц(х ,у ))<(ц + 3У р((~ ,~ ),(х ,у )). ний семейства рц при всех це[0,1], проходящей
Отсюда, пользуясь равенствами через неподвижную точку А2(ц + 1;1) и лежащей
рц+1 (~* )= рц (/,* (~*,~* )5 §ц,* (~*,~* ))= в
= (х1У ц,к (х1),(х1 - ц)2Х 3. Доказательство теоремы Б
получаем:
|Шр„'+'(х-;ГХл| = /(х,у)\(х,;У.к(х1,) - Из У™!1*» (А'1\) т“ремы А след'ет-
что для любой точки (х; у)е Я , такой, что х > 0, Ш/,1 (^ у)\(х1;Уцт (х1 ))| = |у ц,к (х1)+ ХУм (х1)- у > 0 при ц = 0 справеДОивы равенства
-Уцт (Ч )-х1У ц 1„(х,)<|у (х1)-Уц„ (х,)+ /"1(- Л §«,1(- х-у) = §«,1 (х,у).
/0,1(x,-у)=- /0,1(x, y), §0,1(х- у)=§ 0,1 (х у);
+ х1 |у'цк (х1 ) - У'ц,т (х1) < (ц + 3)" 5 + х1 |у'ц,к (х1 ) -
/0,1 (- x,-у) = /0,1 y), §0,1(- x,-у) = §0,1(x, у).
- у'ц,т (х1) < 7-+ х1 |у'ц. (х1) - у'ц,т (х1) < е . Следовательно, доказательство теоремы В
(ц+3)2 достаточно провести для точек первого квад-
Неравенство + х|у'м(х1 )-у'Цт(х1 )<е ран!а К1 плоскости я2
(ц + 3)2 1 ^ ^ 1 Докажем утверждение (В.1) теоремы В.
выполнено тогда и только тогда, когда Лемма 3Л. Пусть р0 — квадратичное ото-
уц,к (х1) - уц,т (х11 1_ Т-7)2 < ^2(-1) < d. риантное слоение Ь+ с аналитическими слоями
I.+.
/ 1 л , бражение вида (2). Тогда в К1 существует инва-
е_ ,_ 1 < а
(ц + 3)2 J 2(ц +1)
Полученное противоречие означает, что после довательность сужений {уц,п\[ц+1,Ь](х)}п>1 сходит- Доказательство. 1. Пользуясь определением ся в С'-норме к некоторой непрерывной строго слоения [16, гл. 4, § 16], получаем, что семейст-возрастающей функции у =Уц,[ц+1,ь](х). Исполь- во Ь+ является слоением первого квадранта зуя критерий Коши сходимости последователь- плоскости Я2.
ности функций в С'-норме, получаем, что +
функция у =уц,[ц+1>Ь](х) является С'-гладкой на 2. Докажем инвариантность слоения Ь . отрезке [ц + 1,Ь]. Лемма 2.7 доказана. Возьмем произвольно и зафиксируем точку (х0;
у0) на слое 1+ слоения Ь+. Пользуясь формулой (2), получаем /0,1(х„у0) = с1х„, §0,1 (Чo.у) = = х; = с V (А. 1 (х0, у0 ))2 . Последнее означает, что
(/0,1 (xo, у0), §0,1 (xo, у0))е и р0 (/с+)Е 1+2. Пока-
жем, что для любой точки (х; с2/х2) слоя 1+2
существует точка (х0; у0) слоя Гс , такая, что р0(х0, у0) = (х, у). В силу формул (3), (4) имеем х0у0 = х, х02 = с 2/ х2 . Отсюда находим х0 = с/х, у0 = = х2/с, такие, что у0 = с/х0 . Следовательно,
F- (l+ )с l+ и ,
Fo (c)=і:.
0 ус2 у V *1 справедливо равенство л 0} = 12
Лемма 3.1 доказана.
Справедливость утверждения (В.2) теоремы В вытекает из задания отображения Л0, рекуррентных соотношений (3), (4) и определения инвариантного множества.
Обозначим через Щ°у и К0 первые квадранты плоскостей х°у и и°у соответственно.
Докажем утверждение (В.3). Заметим, что отображение
У = •
I и = X У,
|v = У Iх
задает диффеоморфизм KTXOy на Щ0, такой, что отображение F0, определяемое в силу ра-
позволяет описывать
венства Л0(и,у)=(и2,1/^) движение точек первого квадранта по слоям I+ и лучам у + = {ук : к > 0,х > 0}.
Действительно, возьмем произвольно точку (х; у)є К1. Из утверждений (В.1), (В.2) следует, что существуют с = х у и к = у/х, такие, что
(х; у) є {с+ Ь {у +}; при этом (/0,п(x, y), gо,n (х у)) є є{1+п }п{у +}, если п = 2т т > 1 и (/0,п(x, у), §0,п (х у))є Ь п}^ {у++к}, если п = 2т + 1, т > 1.
Заметим, что последовательность (с2п}п>і при 0 <
< с < 1 монотонно убывает по п и Ііт с2п = 0, а при
п—+да
с >1 монотонно возрастает по п и Ііт с2п = +да.
п—+да
Поэтому при 0 < с < 1 справедливы предельные равенства Ііт /0 п (х, у) = Ііт g0п (х, у) = 0 , а при
п——+да ’ п—+да ’
с > 1 справедливы предельные равенства
Ііт /0 п (х, у) = Ііт g0n (х, у) = +да . Утверждение
п—+да ’ п—+да ’
(В.3) доказано.
Утверждение (В.3) означает, что инвариантная кривая т (см. утверждение (А.8) теоремы А) является «разделителем» множеств точек первого квадранта 01+= {(х; у) є К1 : у < V х2} и в+ = {(х; у)є К1 : у > 1/х2}, траектории которых имеют разное асимптотическое поведение.
Теорема B доказана.
Определение 3.2 [17]. Полиномиальное отображение /: G2 ^ G2, G2 с R2 назовем интегрируемым, если существуют непрерывное отображение ~: G2 ^ G1, G1 с R1 и полином a: G1 ^ G1, такие, что справедливо равенство:
а ° ~ ~ ° / .
Отображение F0 доставляет пример интегрируемого отображения в K1 в смысле определения 3.2.
Замечание 3.7. Обобщением интегрируемого отображения F0 является интегрируемое отображение F(x, у) = (хпуп,х2п).
Авторы выражают благодарность Е.А. Сидорову за полезное обсуждение результатов работы.
Список литературы
1. Lyubich M. Dynamics of quadratic polynomials. I-II // Acta Math. 1997. V. 178. P. 185-297.
2. Mira C. Chaotic dynamics from the OneDimensional Endomophism to the Two-Dimentional Diffeomorphism // World Scientific. Singapore. 1987.
3. Li M.-C. and Malkin M. Bounded nonwandering sets for polynomial mappings // J. Dynam. Control Syst. 2004. V. 10. № 3. P. 377-389.
4. Henon M. Numerical study of quadratic area preserving mapping // J. Appl. Math. 1969. V. 27. P. 291312.
5. Gonchenko S., Li M.-C. and Malkin M. Generalized Henon maps and Smale horseshoes of new types // Inter. J. of Bifurcation and Chaos. 2008. Vol. 18. № 10. P. 3029-3052.
6. Бельмесова С.С., Ефремова Л.С. Об однопараметрическом семействе квадратичных отображений плоскости // Труды 50-й Научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 2007. Т. 1. Ч. VII. С. 8-11.
7. Бельмесова С.С., Ефремова Л.С. О неограниченных траекториях одного квадратичного отображения плоскости // Современная математика и её приложения. Т. 53. Труды Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2006. Часть 1. АН Грузии, Институт кибернетики, Тбилиси, 2008. С. 48-57. Англ. перевод: Bel’mesova S.S. and Efremova L.S. On unbounded trajectories of a certain quadratic mapping of the plane // J. of Mathematical Sciences. 2009. Vol. 157. № 3. P. 433-441.
8. Бельмесова С.С. О динамике невозмущенного квадратичного отображения плоскости // Проблемы фундаментальной и прикладной математики. М., 2009. С. 33-51.
9. Бельмесова С.С., Ефремова Л.С. О квадратичных отображениях некоторого однопараметрического семейства, близких к невозмущенному // Тр. МФТИ. 2010. Т. 2. № 2. С. 46-57.
10. Бельмесова С.С., Ефремова Л.С. Об асимптотическом поведении траекторий некоторых квадратичных отображений плоскости // Inter. Conf. «Differential Equations and Related Topics», dedicated to I.G. Petrovskii. Book of abstracts. Moscow, May 30-June 4, 2011. C. 151-152.
11. Damanik D., Gorodetski A. Hyperbolicity of the Trace Map for the Weakly Coupled Fibonacci Hamiltonian // Nonlinearity. 2009. V. 22. P. 123-143.
12. Avishai Y., Berend D. and Tkachenko V. Trace maps // Int. Journal of Modern Physics B. 1997. V. 11(30). P. 3525-3542.
13. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.
14. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
15. Брур Х.В., Дюмортье Ф., ван Стрин С. и др. Структуры в динамике. Москва-Ижевск: РХД, 2003.
16. Зорич В.А. Математический анализ. Т. II. М.: Наука , 1984.
17. Тамура И. Топология слоений. М.: Мир, 1979.
18. Grigorchuk R.I., Zuk A. The Lamplighter Group as a Group Generated by a 2-state Automation, and its Spectrum // Geometriae Dedicata. 2001. V. 87. P. 209-244.
ON INVARIANT SETS OF SOME QUADRATIC MAPPINGS OF THE PLANE S.S. Belmesova, L.S. Efremova
We consider R2 F^ (x, y) = (xy, (x -|^)2) at
invariant sets for all |i e [0,2] have been studied. A complete description of the dynamics of the unperturbed map F0 is given.
Keywords: quadratic map(ping), invariant set, invariant curve.
