О с0-ω-взрывах в гладких косых произведениях отображений интервала с замкнутым множеством периодичеких точек Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.987.5

О С-^-ВЗРЫВАХ В ГЛАДКИХ КОСЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ОТОБРАЖЕНИЙ ИНТЕРВАЛА С ЗАМКНУТЫМ МНОЖЕСТВОМ ПЕРИОДИЧЕКИХ ТОЧЕК

© 2012 г. Л.С. Ефремова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 30.12.2011

Приведено детальное доказательство критерия С0-П-взрыва в С’-гладких простейших косых произведениях отображений интервала (т.е. в косых произведениях отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек). Указаны примеры С’-гладких отображений рассматриваемого класса, допускающих С0-П-взрыв.

Ключевые слова: косое произведение, Q-взрыв, периодическая точка, цепно-рекуррентная точка.

1. Введение

Изучению различных аспектов явления Q-взрыва в динамических системах (не относящихся к классу косых произведений) посвящены, например, работы [1-6].

Результаты данной статьи следует рассматривать в контексте исследований по общей проблеме изучения возмущений динамических систем класса косых произведений, сформулированной Д.В. Аносовым в [7]. Здесь приведено детальное доказательство критерия С-Q -взрыва в С'-гладких простейших косых произведениях отображений интервала (т.е. в косых произведениях отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек), анонсированного в [8]; указаны примеры отображений рассматриваемого класса, допускающих C°-Q -взрыв.

Пусть I = I1 х 12 - замкнутый прямоугольник в плоскости (I1, I2 — отрезки). Будем рассматривать косое произведение отображений интервала, т.е. динамическую систему (д. с.)

F:I ^ I вида F(xy) = (fx), gx(y)), , где

gx(y) = g(x y), (x; y) e1. (1)

При этом f называется факторотображением (фактором) д. с. (1), а отображение gx: I1 ^ I2 при любом x e I1 называется отображением, действующим в слое над x.

В силу (1) справедливо равенство F n(xy) =

= (Ax), gx,n(y)), где

gx,n = gfn-1(x) 0...0 gx. (2)

Будем использовать обозначение gx для отображения gx,n, если x — периодическая точка f (x e Per (f)), a n — ее (наименьший) период.

Обозначим через T°(I) пространство всех непрерывных косых произведений отображений интервала с С°-нормой ||-||0, определяемой для произвольного отображения F e T0 (I) в силу

формулы ||F||0 = maxisup| f (x)|, sup |gx (y)|>.

L xeI1 (x,y )eI J

База топологии в пространстве T(I) задается множеством е-шаров с центром F e T0 (I) для всех е > 0 и всех F e T0 (I), где Д° (F) = = {ФeT0(I):||F-Ф||0 <е}.

Нам потребуется также С0-норма дифференциала DF:I ^ I произвольного С -гладкого отображения F, где

IIdfII = maxi sup f '(x), sup

" "0 [xeIv A (x, y )eI

Основными понятиями, используемыми в данной работе, являются понятие неблуждающего множества динамической системы (см. [9, часть I, гл. 3, § 3.3]) вида (1) и понятие С°-П-взрыва (см. [5, гл. 1, § 4]).

Определение 1.1. Точка z 0(x0; y0) e I называется неблуждающей точкой отображения F e T0 (I), если для любой ее окрестности U(z0) в I найдется натуральное число n = n(z0), такое, что U(z0 )n Fn (и(z0 ))*ф .

"9gx (y) + dgx (yГ

dx V dy )

Множество всех неблуждающих точек д. с.

(1) будем называть неблуждающим и обозначать символом О(.^). Точки фазового пространства, не являющиеся неблуждающими, называются блуждающими.

Обозначим через Т° (I) подпространство (с С0-нормой) пространства Т0(1), состоящее из С1-гладких косых произведений отображений интервала. База топологии в пространстве Т10(1) задается системой е-шаров В601 ^) = В ^) п п Т° (I) при всех F е Т10 (I).

Определение 1.2. Будем говорить, что отображение F е Т10 (I) допускает С0-О-взрыв, если существует 5 > 0, такое, что в любой е-окрестности В601 ^) отображения F в пространстве Т10(1) найдется отображение Ф, для которого выполнено О(Ф) £ и5 (О^)), где и5(О^)

- 5-окрестность неблуждающего множества О(F) отображения F в прямоугольнике I.

2. Используемые понятия и утверждения

Для того чтобы сформулировать и доказать основной результат статьи (теорему А), нам потребуются некоторые понятия и утверждения, содержащиеся, например, в работах [3-13].

Так, важность понятия цепно-рекуррентной точки при изучении явления С°-О -взрыва отмечена в работах [3-5].

Возьмем произвольно и зафиксируем число е > 0. Начнем с определения е-цепи (относительно отображения F е Т0 (I)), ведущей из произвольной точки z1(х1; у1) е I в произвольную точку z2(x2;у2) е I (см., например, [3-5, 11]).

Определение 2.1. е-цепью относительно отображения F е Т0 (I), соединяющей точки z1 и z2, будем называть конечное множество точек {ик }П=0, таких, что

и0 = гх, ип = z2, а d(F(мк_1), ик) <е при к = 1,...,п, где d - метрика в I, согласованная с топологией произведения, т.е. для произвольных точек г(ху) и г'(х',у') выполнено d(z,z') = тах{|х - х'|,

У - у'|}.

Определение 2.2. Точка г е I называется цепно-рекуррентной для отображения F е Т0 (I), если для любого е > 0 существует е-цепь относительно отображения F е Т0 (I), ведущая из г в г.

Приведенное определение показывает, что цепно-рекуррентные точки порождают частный

случай е-траекторий Д.В. Аносова [12]: е-периодические траектории. Обозначим через CR(F) множество цепно-рекуррентных точек косого произведения F e T0 (I).

Для доказательства критерия С0-Q-взрыва в С'-гладких простейших косых произведениях отображений интервала нам потребуется следующее утверждение, доказанное в [4].

Предложение 2.1. Непрерывное отображение Ф метрического компакта X в себя допускает Q-взрыв в пространстве такого рода отображений в том и только том случае, если для множеств цепно-рекуррентных точек CR(F) и неблуждающих точек ^(Ф) отображения Ф выполнено CR(F) ф ^(Ф).

Одним из основных результатов, используемых в данной работе, является следующее утверждение, вытекающее из [13].

Теорема 2.1. Для С'-гладкого косого произведения отображений интервала следующие утверждения эквивалентны:

(2.1) П(Ф) = Per(F);

(2.2) множество периодических точек Per(F) замкнуто.

Важную роль при рассмотрении С0-Q-взрыва в С'-гладких простейших косых произведениях отображений интервала играют понятие достижимости одного множества из другого и понятие «t-пары», введенные в статье [11].

Определение 2.3. Пусть F e T0 (I), Per(F) — замкнутое множество, а K1, K2 с Per (F). Будем говорить, что множество К2 достижимо из множества K1 (K1 —a^ K2), если найдутся точки z1(x1, y1) e K1 и z2(x2, y2) e K2, такие, что для любого е > 0 существует е-цепь относительно сужения , где E = Orbf (x )х 12,

Orbf (x) - f -периодическая орбита точки x, соединяющая z1 c z2.

Определение 2.4. Пусть F e T0 (I), Per(F) -замкнутое множество. Будем говорить, что точки z1 (x1, y1), z2 (x2, y2) e Per(F) образуют t-napy, если

(1) {z 2} —a^ {z1}, причем для всех достаточно малых е > 0 любая е-цепь относительно сужения F\E, соединяющая z1 c z2, содержит хотя бы

одну непериодическую точку; и для любого 5 > 0

(2) существует конечный набор компонент связности K множества Per(F) (i = 1,2,...,m, где т = m(5), т > 1), таких, что z1 e K1, z2 e Km и для всех i = 1,2,.,m - 1 при m > 1 выполнено либо Ki ——^ KM , либо d(Ki, Km) < 5.

Нам потребуются доказанные в [11] критерий несовпадения множеств CR(F) и Per(F) для простейших косых произведений, а также некоторое достаточное условие, при выполнении которого две точки образуют t-napy.

Предложение 2.2. Пусть F e T0 (I), Per(F)

— замкнутое множество. Тогда CR(F) Ф Per(F) в том и только том случае, если существует t-пара.

Для сравнения отметим, что для произвольного непрерывного отображения отрезка в себя замкнутость множества его периодических точек эквивалентна совпадению множеств цепнорекуррентных и периодических точек [10]. Последнее вместе с предложением 2.1 означает невозможность С0-О-взрыва в произвольных непрерывных (или гладких) отображениях отрезка с замкнутым множеством периодических точек.

Лемма 2.1. Пусть F e T0 (I), Per(F) - замкнутое множество, а точка z(x, y) g Per (F) такова, что x — f-неподвижная точка. Если точки z1 eraF (z), z2 eaF (z) (здесь aFz) означает множество всех предельных точек некоторой отрицательной полутраектории точки z) принадлежат одной компоненте связности множества Per(F), то z1 и z2 образуют t-napy. В противном случае для z1 и z2 удовлетворяется только лишь условие (1) определения 2.4.

3. Критерий С-fl-взрыва в Сх-гладких простейших косых произведениях

В этой части статьи доказан критерий С0-Q-взрыва в С'-гладких косых произведениях отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек.

Теорема А. Отображение F e T10(I) с замкнутым множеством Per(F) допускает Q-взрыв в пространстве T10 (I) тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих двух условий:

(a) множество Per(F) связно, и существует, по крайней мере, одна точка x e Per (F), такая,

что Per( ~x) не связно;

(b) множество Per(F) не связно, и либо одна из его компонент связности удовлетворяет предыдущему условию (а), либо, в противном случае, для любого 5 > 0 существует конечный набор компонент связности {Ki }i=m (где m = m(5), m > 1) множества Per(F), таких, что выполнено Km —^ K1, а при всех 1 < i < m — 1 выполнено одно из следующих двух свойств: Kt —^ KM или d(Ki, Ki+1) < 5, здесь d(Ki, Ki+1) - расстояние

между множествами Ki и Ki+1, используется метрика d в I, согласованная с топологией произведения в I.

Доказательство теоремы А разобьем на ряд шагов, проделанных в теореме 3.1 и предложении 3.1.

Теорема 3.1. Отображение F e T10(I) с замкнутым множеством Per(F) допускает Q-взрыв в пространстве T10 (I) в том и только том случае, если выполнено неравенство CR(F) Ф Ф Per(F).

Доказательство. 1. Пусть отображение

F e T10(I) с замкнутым множеством Per(F) допускает Q-взрыв в пространстве T°(I). Тогда в силу определения 1.2 F допускает Q-взрыв в пространстве T°(I). Используя предложение 2.1 и теорему 2.1, получаем отсюда, что CR(F) Ф Ф Per(F).

Обратно, пусть отображение F e T10 (I) имеет цепно-рекуррентную непериодическую точку z . Убедимся в том, что тогда F допускает С0-Q-взрыв.

2. Действительно, положим 8 = d(z, Per(F)) = = inf d(z, z) (где d(z, Per (F)) - расстояние

zePer ( F )

от точки z до множества Per(F)). При сделанном предположении 5 > 0.

Возьмем произвольно и зафиксируем е > 0. Покажем сначала, что существует точка v eU 5/2 (z), v = v(s) (где U5/2( z) - 5/2-окрестность точки z в I), такая, что в шаровой окрестности B01 (F) отображения F в пространстве T10 (I) найдется косое произведение Ф, для которого справедливо ve Per (ф). В самом деле, по-

—s—, г, где м = 1 |df||0 12(M+1) 2J 11 1,0

(см. Введение).

Пусть s1 -цепь из z в z относительно F образована точками {uk }kk=0 (среди которых могут быть как совпадающие точки, так и граничные точки прямоугольника I), здесь u0 = un = z. По

s1-цепи {uk }k=0 построим новую е-цепь

{Vk (xk, yk )}k=n из Vo в Vn = Vo (возможно, v0 Ф z), состоящую из точек с попарно различными абсциссами, попарно различными ординатами и

( ")k=n

такую, что множество {Vk }k=0 не содержит граничных точек прямоугольника I. Для этого определим новые точки {uk }k=0. Положим сначала

u0 = un = z, а в качестве точек {uk }n-1 выберем произвольные точки множеств

ложим s = mm-

ив1 (ик ) \ ((РГ1 ({иО >...> ик-1}) Х 12 ) ^

^ (11 X РГ2 ({и 0,...,и к-1})) ),

где ив. 0-81 -окрестность точки в I,

рг5 : I ^ ^ - естественная проекция I на Л (я = = 1,2), дI - граница прямоугольника I.

При всех 1 < к < п - 1 положим vk = ик. При и0 й 3/ положим у0 = vn = и0. Если же и0 е й/, то в качестве vn = v0 выберем любую точку, содержащуюся во множестве

ив1 (и0 ) \ ((РГ1 ({иО >...> иП-1 }) Х 12 ) ^

и (11 х РГ2 ({и0 ,..., иП-1})) и3I).

Таким образом, все точки каждого из множеств {хк }П-0 и {ук }П-10 (а следовательно, и

{ук (хк, ук )}=П) попарно различны, причем среди

{ук }=п нет точек из д!

Покажем, что множество {у (хк, ук)}=П является е-цепью из v0 в vn = v0 относительно отображения F. Действительно, используя классическую теорему Лагранжа [14, гл. 1, § 3], при любом 1 < к < п имеем:

d (ук, F(vk-1)) = тах{ f (хк-1) - хк [

|&к-1 (Ук-1) - Ук |}^ d (ук, и’к)+d (ик, ик)+

+ d (ик, Е (ик-1))+d (Е(и-1), Е (ик-1))+

+ d (Е(ик-1), Е(ук-1)) < 3е1 + 2Ме1 < е. Перейдем к построению отображения Ф, обладающего требуемыми свойствами.

Возьмем произвольно и зафиксируем положительное число е2 < е1 так, чтобы при любых 1 < i < п выполнялось

ив2 (V )пдI =Ф , где ив2 (У) = и1,в2 (х,) х и2,в2 (У,-X а также при всех

1 < j < п, ] Ф i - и 1,е2 (х,. )п и 1,в2 (xj )=Ф и

и 2,в2 (У,)п и 2,в2 ^ )=Ф .

Такой выбор числа е2 > 0 возможен, так как все точки каждого из двух конечных множеств {хк }п-0 и {ук }п-10 попарно различны, причем

среди {ук (хк, ук )}пп-0 нет точек из д1

Используя равномерную непрерывность Е, по числу е2 > 0 укажем положительное число п < < е2 так, чтобы для любых точек г', г" е I, таких, что d(7 ' , г 0) < ^, выполнялось неравенство d(F(г'),Е(г'О) <в2. (3)

Нам потребуются С -гладкие «шапочки» Урысона, при определении которых будут использованы п-окрестности и1п(хк) точек хк в I1 и П-окрестности и2>л(ук) точек ук (1 < к < п) в ^ Положим

К( x) =

f0, если x e I1 \ U1,n(xk-1); [1, если x = xk-1,

f0, если y e 12 \ U2,n(yk-1);

[1, если y = yk-1.

Тогда корректно определено отображение ф e T10 (I),ф e (ф(x), Vx (y)), где

ф(x) = f (x) + 2 h1( x)(xk- f (xk-J)),

k=1

n

v x(y) = gx(y) + 2 h (y)( yk- gxk-1(yk-1)).

(4)

Из (3), (4) следует также, что Ф e Bs (F). Заметим, что для отображения Ф точка v0 является периодической с периодом n, поскольку при каждом 1 < k < n выполнено

ф(xk-1, yk-1) =(xk; yk), а (xn; Уп ) = (x0; y0),

т.е. ф n (x0, У0) = (x0, У0).

3. Из п. 2 следует, что косое произведение Ф e B0 (F) содержит точку v0 e Q(o), такую, что v0 g U2 (Q.(F)). Последнее означает, что отображение F допускает Q-взрыв в пространстве T10(I) (см. определение 1.2). Теорема 3.1 доказана.

Нам потребуется вспомогательное утверждение, доказанное в [8]1.

Лемма 3.1. Если множество Per(F) С1-гладкого отображения F замкнуто, то множество t(F) (наименьших) периодов периодических точек F ограничено.

Предложение 3.1. Пусть F e T°(I), a Per(F)

- замкнутое множество. Тогда t-rapa существует в том и только том случае, если выполнено одно из условии (a) или (b) теоремы A.

Доказательство. 1. Воспользуемся тем, что при любом n > 1 справедливы равенства Per(F n) = = Per(F), CR(Fn) = CR(F). Из определения 2.4 следует также, что множества t-пар для отображений F и F совпадают. А так как F e T10 (I), то, используя лемму 3.1 и переходя в случае необходимости к отображению FM, где M -наибольший элемент множества t(F) = {1,2, 22,...,2v} при некотором 0 < V < +<» [17], будем считать, не уменьшая общности, что t(F) = {1}.

Из сделанного предположения, в частности, следует, что Per(f) = Fix(f), где Fix(f) — множество f-неподвижных точек. Поэтому при любом x e Per (F) справедливо равенство ~x = gx.

2. Пусть существует t-пара, образованная точками z^x^), z2(x;y2)ePer(F). Тогда для точек z1 и z2 удовлетворяется определение 2.4. Возьмем произвольно и зафиксируем 5 > 0. Ис-

пользуя условие (2) определения 2.4, укажем конечный набор из т = т(5), т > 1, компонент связности {К1,...,Кт} множества Рег(Е), таких, что г1 е К1, г2 е Кт и для всех , = 1,2,.,т - 1

при т > 1 выполнено либо К1 ——^ К,+1, либо d(Kь К+) < 5.

Рассмотрим случай, когда К1 Ф Кт (т.е. Рег(Е) не является связным множеством). Тогда в силу условия (1) определения 2.4. удовлетворяется определение 2.3 достижимости компоненты связности К1 из компоненты связности Кт (Кт ——^ К1). Последнее вместе с условием

(2) определения 2.4 влечет за собой выполнение условия (Ь) теоремы А.

Пусть теперь К1 = Кт. Убедимся в том, что множество Рег^х) = Е,х^х) не является связным. Действительно, предположим противное. Тогда в силу замкнутости множества Рег^х) Е/'х(§х) — отрезок. Если допустить, что отрезок Е/'х(§х) вырождается в точку, то имеем Е,х^х) = = {у1} = {у2}.

В этом случае для произвольного положительного числа е существует е-цепь относительно отображения Е|{х)х^ , соединяющая г2 с г1 =

= г2 и состоящая лишь из единственной неподвижной точки г1 = г2. Полученное противоречие с условием (1) определения 2.4 означает, что у1 ф ф у2 и Е,х^х) - невырожденный отрезок.

Возьмем произвольно и зафиксируем положительное число е < у2 - у1|. Определим натуральное число М, полагая М = ——— , здесь

|_ е _

[•] — целая часть числа.

Разделим отрезок, соединяющий точку г1 с точкой г2 (и лежащий в вертикальном слое {х} х ^ ), на 2(М + 1) равных частей. Тогда длина каждого из полученных подотрезков меньше е/2. Выбирая в каждом таком подотрезке произвольную внутреннюю точку, получаем е-цепь относительно отображения

|{x)xI2

соединяю-

щую z2 с z1 и состоящую из неподвижных точек F. Полученное противоречие с условием (1) определения 2.4 означает, что сделанное предположение не верно и Fix(gx) - несвязное множество. Следовательно, удовлетворяется либо условие (a) теоремы А, если множество Per(F) связно, либо условие (b) теоремы А, если множество Per(F) не связно.

3. Обратно, пусть выполнено одно из условий (a) или (b) теоремы А. Тогда при некотором x e Per (f) множество Fix(gx) не связно. Последнее влечет за собой существование смежного интервала J к замкнутому множеству Fix(gx), среди граничных точек которого нет граничных точек отрезка I2. Отсюда следует, что верно включение

J с gx(J). (5)

Возьмем произвольно и зафиксируем точку y0 e J . В силу включения (5) для у0 корректно определена отрицательная полутраектория {У-п }и>0 с J, a-предельное множество которой совпадает с одной из граничных точек промежутка J (обозначим ее через a). Так как множество Per(gx) = Fix(gx) замкнуто, то ю-предельное множество траектории точки y0 состоит из одной единственной неподвижной точки ю отображения gx. Воспользуемся леммой 2.1, в силу которой точки z1(x,a) и z2(x^) образуют t-rapy, если они принадлежат одной компоненте связности множества Per(F); и для этих точек удовлетворяется условие (1) определения 2.4, если они содержатся в различных компонентах связности множества Per(F).

Рассмотрим случай, когда точки z1(x,a) и z2(x^) содержатся в различных компонентах связности множества Per(F). Тогда выполнено условие (b) теоремы А, а следовательно, и условие (2) определения 2.4. Таким образом, и во втором случае точки z1(x,a) и z2(x,oi) также образуют t-rapy. Предложение 3.1 доказано.

Справедливость теоремы А вытекает из теоремы 3.1 и предложения 3.1. Теорема А доказана.

Утверждение теоремы А показывает, что в основе явления С°-0-взрыва в простейших С1-гладких косых произведениях отображений интервала лежит либо нарушение связности среза некоторой связной компоненты множества Per(F) некоторым вертикальным слоем, либо, в противном случае, такое нарушение связности во множестве Per(F), при котором для любого е > > 0 найдется конечное число компонент связности, содержащих точки, допускающие соединение конечной е-цепью.

Приведем примеры С'-гладких отображений с замкнутым множеством периодических точек, допускающих Q-взрыв в пространстве T10(I). Начнем с примера отображения, для которого реализуется условие (a) теоремы А.

Пример 1 (Е.В. Блинова [8]). С'-гладкое косое произведение отображений интервала F1:[0,1]2 ^ [0,1]2, заданное равенством

F (x, у) = (x, у + 0.1(1 - x)(cos 2лу -1)), обладает следующим свойством:

Per (F1) = Fix(F1) = L, где L = ([0,1] x {0,1}) и ({1} x [0,1]).

Тогда Per(F 1) - замкнутое связное множество; при любом x e [0,1) множество Per(gx) = = Fix(gx) = {0,1} не связно, a Perg) = Fixfe) = = [0,1]. Таким образом, выполнено условие (a) теоремы А, и F1 допускает Q-взрыв в пространстве T° (I).

Завершая работу, приведем пример отображения, для которого реализуется условие (Ь) теоремы А.

Пример 2. Рассмотрим косое произведение Е2:[0,1]2 ^ [0,1]2, факторотображение которого задано равенством:

Дх) =

если xe

1 1

22j+1 ’ 22j

x -—r—-rsin2 n(22j+2 x-1), если xe 1

22j+5

1

22j+2 ’ 22-'-1

если x=0,

а отображения в слоях - равенством gx(y) = = (2х + 1)у(1 - у).

Тогда Е2 е ). Заметим, что Е2 удовлетворяет условию (Ь) теоремы А.

В самом деле, Рег(Е2) = Е,х(Е2) - замкнутое несвязное множество, такое, что

+» 11

Е,х(Е2) = {(0;0)}УУ{(х; у): х е , —],

j=0

L22j+1 ’ 22j '

п 2х

у = 0 или----------}

2 х +1

и ни одна из компонент связности множества Е,х(Е2) не удовлетворяет условию (а) теоремы А. При любом j > 0 положим

К1 = {(х;у): х е [ 1 у = —};

3 и >-223+1 223 2х +1

1

1

К 2 = {(х;0): х е [-3 ^ ]}.

Обратим внимание на то, что для произвольной точки (х; у) е Е,х(Е2) при х Ф 0 верно слеп 2х

дующее свойство: у = 0 - источник, а у =----------

2х +1

- сток или притягивающая неподвижная точка с мультипликатором -1 отображения gx в зависимости от того, выполнено ли неравенство х < 1 или имеет место равенство х = 1 . Поэтому нетрудно видеть, что при каждом 3 > 0 выполнено К1 ——^К^,К2 ——^К1. Следовательно, удовлетворяется условие (Ь) теоремы А (с т = 2 при любом 5 > 0), и Е2 допускает О-взрыв в Т10 (I).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2011 гг.) Федерального агентства по образованию (проект №13/9).

Примечания

1. Аналогичный результат содержит и работа [151. Обратим внимание и на то, что в [151 утверждается существование С“-гладкого косого произведе-

ния отображений интервала типа -< 2“, имеющего одномерное притягивающее множество. Однако само косое произведение реализуется как отображение сдвига по траекториям (определенным при любом t) соответствующей неавтономной системы дифференциальных уравнений с С“-гладкими правыми частями. Последнее означает, что рассмотрения ведутся в R3, и осцилляции траектории в окрестности предельного множества «распределяются» по неограниченной оси t. При рассмотрении косого произведения в прямоугольнике плоскости xOy возможности «распределить» осцилляции траектории, имеющей одномерное притягивающее множество, отсутствуют. Это приводит к осцилляциям частной производной д

—gx (У) и ее неограниченности в окрестности притя-

dx x

гивающего множества, хотя при этом отображение gx(y) может быть отображением класса С“ по переменной у (но не по совокупности переменных) [16].

Список литературы

1. Hirsch M.W., Pugh С. Stable manifolds and hyperbolic sets // Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math., Providence: AMS. 1970. V. 14. P. 133-222.

2. Nitecki Z., Shub M. Filtrations, decompositions and explosions // Amer. Journ Math. 1976. V. 97. № 4. P. 1029-1047.

3. Бронштейн И.У. Неавтономные динамические системы. Кишинев: Штиинца, 1984.

4. Block L., Franke J.E. The chain recurrent set, attractors, and explosions // Ergod. Theory and Dynam. Sys. 1985.V. 5. P. 5321-327.

5. Аносов Д.В., Арансон C.X., Гринес В.З. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением // Сер. Итоги науки и техники. Соврем. пробл. математики. Фундам. направл. Динамические системы-9. М.: ВИНИТИ. 1991. Т. 66. С. 6-247.

6. Palis J. Q-explosions // Proc. AMS. 1971. V. 27. № 1. P. 85-90.

7. Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // В кн.: Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. C. 1-18 (англ. пер. Berlin: Springer-Verlag, 2006. P. 1-17).

8. Блинова Е.В., Ефремова Л.С. Об Q-взрывах в простейших С’-гладких косых произведениях отображений интервала // Труды Междунар. конф. по диф. уравн. и динамич. системам, Суздаль, 2006. // Соврем. мат. и приложения. (Ин-т кибернетики АН Грузии, Тбилиси). 2008. Т. 53. С. 7-81; англ пер. J. Math. Sci. 2009. V. 157. № 3. P. 456-465.

9. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999 (пер. с англ. Katok A., Hasselblatt В. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia Math. Appl. V. 54. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995).

10. Block L.S., Coppel W.A. Dynamics in one dimension // Lecture Note in Math. Springer, Berlin-Hedelberg-N.Y.: Spinger, 1992. V. 1513.

11. Kupka J. Triangular maps with the chain recurrent point periodic // Acta Math. Univ. Comenian. (N.S.). 2003. V. 72. № 2. P. 245-251.

x

0

12. Аносов Д.В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем // Труды V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Т. 2: Качественные методы. Ин-т математики АН Украины, Киев, 1970. C. 39-45.

13. Efremova L.S. The smooth skew product in the plane possessing ramified continuum as the global attractor // Proc. of Intern. Workshop on Nonlin. maps and their applic. (NOMA '11). 2011. P. 31-33.

14. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

15. Bruno D., Lopez V.J. Asymptotical periodicity for analytic triangular maps of type less than 2ю // JMAA. 2010. V. 361. № 1. P. 1-9.

16. Ефремова Л.С Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейшего косого произведения отображений интервала // Матем. сб. 2010. Т. 201. № 6. С. 93-130 (англ. пер. Sbornik: Mathematics. 2010. V. 201. № 6. P. 873-907).

17. Kloeden Р.Е. On Sharkovsky’s cycle coexistence ordering // Bui Austr. Math. Soc. 1979. V. 20. P. 171-177.

ON C-fl-BLOW-UPS IN C'-SMOOTH SKEW PRODUCTS OF INTERVAL MAPPINGS WITH A CLOSED SET OF PERIODIC POINTS

L.S. Efremova

A detailed proof is given of the criterion of a C°-fl-blow up in C'-smooth simplest skew products of interval mappings (i.e. in skew products of interval mappings with a closed set of periodic points). Some examples of C1-smooth mappings of the considered class admitting a C°-fl-blow up are given.

Keywords: skew product, fl-blow up, periodic point, chain recurrent point.