Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2006, Том 8, Выпуск 2

УДК 517.92 + 519.217

КВАДРАТИЧНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ СИМПЛЕКСА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ИХ ТРАЕКТОРИЙ

Р. Н. Ганиходжаев, Д. Б. Эшмаматова

В работе изучается асимптотическое поведение траекторий квадратичных автоморфизмов. Доказано, что произвольный квадратичный автоморфизм представим в виде композиции вольтерровского оператора и некоторого пермутатора. Выделен класс автоморфизмов общего положения, которые образуют открытое и всюду плотное подмножество. Изучаются свойства карт неподвижных точек автоморфизмов общего положения.

Введение

Ряд задач прикладного характера приводят к необходимости изучения асимптотического поведения траекторий квадратичных отображений симплекса

т— 1

— ч X — (х1, . . . , Xт) ■ ^ ^

х, — 1, х,- ^ 0

в себя вида

V ■

где

X

к — ^^ Р3,кх,хз,

-,3=1

к — 1,... ,т,

Р,,

:,к — Рзг,к > 0, ¿Р

,3,к

— 1.

к=1

(0.1)

В популяционной генетике эта задача представляет особый интерес в случае, когда V ■ Бт-1 ^ Бт-1 — топологический автоморфизм, изучению которого посвящена данная статья. В §§ 2-3 изучается строение неподвижных точек операторов вольтерровского типа и их связь с функциями Ляпунова. В § 4 для операторов вольтерровского типа общего положения вводится понятие карты неподвижных точек и рассматривается вопрос о существовании инвариантных многообразий. Основная цель статьи состоит в установлении регулярного поведения отрицательных траекторий и, как правило, нерегулярного поведения положительных траекторий квадратичных автоморфизмов. Полученные результаты представляют собой обобщение и дальнейшее развитие работ [1-5].

© 2006 Ганиходжаев Р. Н, Эшмаматова Д. Б.

1. Общий вид квадратичных автоморфизмов симплекса Бт 1

Если коэффициенты {Р^к} отображения (0.1) удовлетворяют условию Р^к = 0 при к = г,], то V будем называть оператором вольтерровского типа. Согласно [5] акк = 0 и а^г = 2Ргккк — 1 при г = к операторы вольтерровского типа можно привести к виду:

V : ж' = Хк ! + аыхЛ , к = 1,...,т,

(1.1)

причем

акг = —агк, \акг \ ^ 1

(1.2)

Далее I = {1, 2,..., т}, точки е% = (он,..., отг), где — символ Кронекера, вершины симплекса Бт-1. Для а С I через Га обозначим выпуклую оболочку вершин {ег }г^а. Внутренность Га в топологии индуцированной из Мт на аффинную оболочку Га называется относительной внутренностью и обозначается через пГа. Аналогично определяется относительная граница дГа грани Га, \а\ — число элементов множества а С I. Следующие предложения легко следуют из определения оператора вольтерровского типа.

(1) V(Га) С Га, в частности, все вершины симплекса Бт-1 являются неподвижными точками.

(2) V(г1Га) С г1Га, V(дГа) С дГа для любого а С I.

Пусть А = (а'г), где а'г удовлетворяют (1.2). Через Аа обозначим матрицу, которая получается из А заменой нулями всех элементов а'г, где (к, г) £ а х а. Пусть Vа — сужение V на Га.

(3) Уа : Га ^ Га также оператор вольтерровского типа.

(4) Множество всех операторов вольтерровского типа геометрически представляет собой (т(т-1) )-мерный куб, центром симметрии которого является тождественный оператор (а'г = 0).

Теорема 1. Оператор вольтерровского типа есть автоморфизм симплекса Бт-1.

< Доказательство проведем индукцией по т. При т =1 утверждение верно. Допустим, что оно верно при 1,..., т — 1. Докажем переход к т.

а) Покажем инъективность V : Бт-1 ^ Бт-1. Согласно предложениям (1) и (2)

имеем

V : дБт-1 ^ дБт-1, V : п Бт-1 ^ г1 Б

т1

учитывая (3) и предположение индукции находим, что V : дБт-1 морфизм. Поэтому остается проверить инъективность, V : п Бт-1 х, у £ г1 Бт-1 и Vж = Vy. Тогда

т- 1 т1

г1 Бт 1. Пусть

Хк акгЖг = Ук 1 + ^ акгУг

или

(Хк — Ук л 1 + акгуЛ = —Х'^2 а'г (Жг — Уг).

(1.3)

Так как ж, у £ г1 Бт 1, то Ж' > 0 и

1 + а'гУг ^ 1 — У1 — ... — Ук-1 — Ук+1 — ... — Ут = Ук > 0.

Поэтому из (1.3) получаем

т

sgn(жfc - ук) = - аЫ(Хг - Уг). (1.4)

г=1

Следовательно,

т

(Хк - Укакг(Хг - Уг) ^ 0, к = 1, . . . ,Ш,

г=1

тт

5>к - Ук) ^ акг(Хг - Уг) ^ 0.

или

к=1

Так как а кг = -агк, то

^2(Хк - Ук) ^ акг(Хг - Уг) = 0.

к=1

Следовательно,

(Хк - Укакг(Хг - Уг) = 0, к = 1, . . . ,

Ш.

1

т1

Учитывая (1.4), из последнего равенства находим Х = У. Таким образом, V : Бт Бт-1 инъективно.

б) Сюръективность. Допустим, V(Бт-1) = Бт-1. По индуктивному предположению V(дБт-1) = дБт-1. Можно выбрать х,у € пБт-1 так, что х € V(Бт-1), У / V(Бт-1) и отрезок [х,у] содержит хотя бы одну граничную точку г множества V(Бт-1). Поскольку V : Бт-1 ^ V(Бт-1) гомеоморфизм, то граничная точка переходит в граничную. Поэтому г € п Бт-1, V-1г € дБт-1, что противоречит равенству V(дБт-1) = дБт-1.

Следовательно, V(Бт-1) = Бт-1. Так как непрерывная биекция компакта является гомеоморфизмом, то из а) и б) следует утверждение теоремы. >

т

Пусть /(х1, ..., Хт) = аг1,..,гкхг1 ... Хгк — однородная симметрическая форма

г1,...,гк=1

к-той степени переменных х1,...хт. Далее мы воспользуемся следующими простыми утверждениями.

(5) Пусть и — открытое множество в Мт, Г некоторая грань Бт-1, причем иг = и П Г = 0. Если f |иг = 0, то f |г = 0.

Следствие. Если квадратичные операторы Vl и V2 совпадают на иг, то они совпадают и на Г.

(6) Если ш > к, то из f |адт-1 = 0 следует f |^т-1 = 0.

Замечание. При ш ^ к утверждение (6) не верно.

Следствие. Если ш> 2, то квадратичные операторы совпадающие на границе симплекса Бт-1 совпадают и на всем симплексе.

Теорема 2. Произвольный квадратичный автоморфизм представим в виде V = Т^о, где Т — матрица перестановок (пермутатор), а Vо оператор вольтерровского типа.

< Пусть Гк = {х € Бт-1 : Хк = 0}. Поскольку V автоморфизм, то для любого к существуют г и х такие, что х € г\Гг^х € пГк. Выберем окрестность и точки х в грани Гг так, чтобы V(и) С пГк. Следовательно, для любого У € и имеем (Vy)k = 0, где (Vу)к — к-тая координата Vy. Тогда согласно следствию из утверждения (5) находим

V(Р) С Гк. Поэтому 0 = = ж» ■ /¿(ж), ж £ Р, где /¿(ж) — линейные функционалы.

т т

Пусть /¿(ж) = ^ б^ж^. Положив а^ = б^ — 1 и учитывая ^ ж^ =1, находим ¿=1 ¿=1

^ж)к = ж/1 + ^ а^жЛ , ж £ Г\ (1.5)

V ¿=1 /

Так как V автоморфизм, то различным к соответствуют различные г. Поэтому в (1.5) ограничение ж £ Р можно заменить на ж £ дБт-1. Тогда при т > 2, пользуясь следствием из утверждения (6), находим

^ж)к = ж/1 + ^ а^жЛ , ж £ Бт-1.

V ¿=1 /

ж, ), ж £ Бт-1. (1.6)

¿=1

т

Суммируя (1.6) по к, получаем ^ а^ж^ж^ = 0 для любого ж £ Бт- . Следовательно,

¿,¿=1

а^ = — а^. Легко заметить, что при | > 1 можно подобрать 0 < е < 1 так, что V(ее» + (1 — е)^-) £ Бт-1. Поэтому а^ = — а^ и | ^ 1. Таким образом квадратичный автоморфизм при т > 2 представим в виде V = Т ■ У0. При т ^ 2 утверждение теоремы проверяется непосредственным вычислением. >

Следствие. Множество всех квадратичных автоморфизмов симплекса Бт-1 геометрически представляется в виде объединения т! попарно непересекающихся кубов раз-

т(т— 1)

мерности ——-.

2. Неподвижные точки операторов вольтерровского типа

В этом параграфе даны необходимые сведения о неподвижных точках операторов вольтерровского типа, которые используются для построения функций Ляпунова и карты неподвижных точек в §§ 3-4. Пусть V : Бт-1 ^ Бт-1 — оператор вольтерровского типа,

V(ж)^ = ж^ 1 + ^ а^ж^ , к = 1,..., т, = —а^, ^| ^ 1, (2.1) и X — множество его неподвижных точек. Из (2.1) ясно, что ж £ X равносильно равен-

т

ству жк£ аыж« = 0, к = 1,..., т, т. е.

¿=1

яиррж П яирр Аж = 0, (2.2)

где яиррж = {г : ж^ = 0}.

Лемма 1. Пусть ж, у £ X и I — прямая, проходящая через точки ж и у. Если яирр ж = яирр у, то

I П Бт-1 С X. < Согласно (2.2) и условию яиррж = яирр у находим

яирр ж П (яирр Аж и яирр Ау) = 0. Поскольку 8ирр(Ап + (1 — А)г>) С яирр и и яирр V, то

8ирр(Аж + (1 — А)у) П зирр(ААж + (1 — А) Ау) С яирр ж П (яирр Аж и яирр Ау) = 0. Следовательно, Аж + (1 — А)у £ X или I П Бт-1 С X . >

Теорема 3. Изолированная неподвижная точка имеет нечетное число ненулевых координат.

< Пусть x = (x\,..., xm) неподвижная точка с четным числом ненулевых координат. Поскольку любая грань Га инвариантна, причем Va также оператор вольтерровского типа, то без ограничения общности будем считать, что m — четное и Xi > 0, i = 1,... ,m. Согласно (2.2) имеем Ax = 0. Поскольку x = 0, то rgA ^ m — 1. Как известно ([8, с. 261]), ранг кососимметрической матрицы четное число. Поэтому rgA ^ m — 2. Пусть L = Ker A ( m

и H0 = \ y G Rm : E yi = 0 k Так как dimL ^ 2 и dimH0 = m — 1, то L П H0 = {0}. ^ i=i >

m

Выберем z G L П Ho, z = 0. Поскольку xi > 0, i = 1,... ,m и ^ Zi = 0, то можно указать

i=1

5 > 0 такое, что x + ez G Sm-1 при |e| ^ 5. По построению x + ez G Ker A или учитывая (2.2) имеем x + ez G X. Следовательно, неподвижная точка с четным числом ненулевых координат не может быть изолированной. >

Лемма 2. Если A = (aui) — кососимметрическая матрица, то

m

P = <¡ x G Sm-1 : Y^ akixi > 0, k = 1,...,m\ = 0.

( т }

< Положив Ек = < х € Бт-1 : ^ а кг Хг ^ 0 >, докажем, что для любого а С I имеем

г=1

Га С и Ек. (2.3)

к£а

Пусть х € Га. Так как акг = -агк, то ^ акгХкХг = 0. Поскольку Хк ^ 0, причем Хк > 0

г,к£а

хотя бы для одного к € а, то

акг Хг > 0 (2.4)

для некоторого к € а, иначе мы имеем

У] акгХк Хг = ^ Хк^2 акгХг < 0.

г,к£а к£а г£а

т

Поскольку х € Га, то согласно (2.4) находим ^ акгХг = ^ акгХг ^ 0. Следовательно,

г=1 г£а

х € и Ек. Согласно комбинаторной лемме Шпернера ([6, с. 612]) из (2.3) следует Р =

к£а

т

П Ек = 0. >

к=1

Следствие 1. Имеет место равенство

т

Я = { х € Бт-1 : акгХг < 0, к = 1,...,ш} = 0.

г=1

< Доказательство следует из того, что матрица А также кососимметрична. Итак, Р = {х € Бт-1 : Ах ^ 0} и Я = {х € Бт-1 : Ах ^ 0}, где — покоординатный порядок, непустые выпуклые многогранники. >

Следствие 2. Справедливы включения Р С X и Q С X. < Пусть, например, ж £ Р. Тогда

жк = жЛ 1 + ^ а^жЛ ^ ж^, к = 1,..., т. (2.5)

Поскольку ^ жк = ^ ж& = 1, то из (2.5) находим ж^ = , т. е. ж £ X. > к=1 к=1

Пример 1. Рассмотрим три квадратичных оператора действующих на Б2: в)

ж1 = ж1(1 + ж2 — жз), ж'2 = ж2(1 — ж1 + жз), Ь) < ^ж3 = жз(1 + ж1 — ж2),

ж1 = ж1(1 + ж2 + жз), ж'2 = ж2(1 — ж1 + жз), с) < ^ж3 = жз(1 — ж1 — ж2),

ж1 = ж1(1 + ж2 — жз), ж'2 = ж2(1 — ж1),

х'з = жз (1 + ж1).

Для каждого из этих операторов легко находим неподвижные точки:

' 1 I

-з, з, з'

а) X = {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1), (з, з, 1)},

b) X = {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)},

c) X = {(0, А, 1 — А) : 0 < А < 1} и {(1, 0, 0)}.

Далее решив неравенства Аж ^ 0, ж £ Б2, и Аж ^ 0, ж £ Б2, получаем:

a) Р = Q = (1, з, з),

b) Р = (0,0,1), Q = (1,0,0),

c) Р = {(0, А, 1 — А) : 1 < А < 1}, Q = {(0, А, 1 — А) : 0 < А < 2} .

Для а С I положим Ра = {ж £ Га : Ааж ^ 0}, Qа = {ж £ Га : А аж ^ 0}. Ясно, что Ра и Qа также непустые выпуклые многогранники, причем

Ра С Xа, Qа С Xа,

где Xа = X П Га.

Заметим, если М С Бт-1 выпукло и ж, у £ п М, то яирр ж = яирр у. Действительно, для минимальной грани Га содержащей М имеем п М С г1 Га. >

Лемма 3. Если ж £ п Р, то яирр ж и яирр Аж = I.

< Поскольку Р С X, то из ж £ пР согласно (2.2) имеем яиррж П яирр Аж = 0. Поэтому допустив, что лемма не верна, без ограничения общности будем считать, что

ж = (ж1 ,...,жт-1,0), Аж = (0,..., 0), (2.6)

где ж1 > 0,..., жт-1 > 0. Общий случай можно свести к виду (2.6) переходом к рассмотрению подходящей грани Га и соответствующего сужения, поскольку ж £ п Р и ж £ Га влекут ж £ п Ра.

Учитывая кососимметричность матрицы А, а также (2.6) находим:

Кег А ± 1т А, Кег А е 1т А = Жт, Кег А = {0}. (2.7)

а) Пусть существует г = (¿1,..., гт) £ Кег А такой, что г = 0. Пусть гт > 0. Тогда при достаточно малых е > 0 имеем ж^ + ег^ > 0, г = 1,..., т и

у = ж + ег £ Бт-1 п Кег А, |ж + ег|

где |ж + ег| = ^ (ж^ + ег^). Поскольку Ау = 0, то у £ Р .Из ж £ п Р, у £ Р следует

г=1

£ п Р. По построению яирр у = I, яирр ж = I. Тогда неравенство яирр = зирр ж противоречит включениям ж, £ г1 Р.

б) Пусть Кег А С {г : гт = 0}. Тогда (0,..., 0,1) £ 1т А согласно (2.7). Пусть Аи = (0,..., 0,1), где и = (и1,..., ит). Так как А' = —А, то (и, Аи) = 0, т. е. ит = 0. Далее при достаточно малых |е| имеем ж» + еи > 0, г = 1,... ,т — 1 и £ Бт-1, причем

А (Й^) = 0 при е = СледоватеЛьно, ^ £ Р и ^ £ Р, где е > 0. Точка ж лежит на отрезке с концами и |Х-ем|, поскольку

|ж + еи| ж + еи + |ж — еи| ж — еи

2 |x + eu| 2 |x — eu|

mm m

' eu») + — = 2 X] Xi =

i=1 i=1 i=1

|x + eu| + |x — eu| = ^(xj + ей») + ^(xj — ей») = 2 ^ ж» = 2. Таким образом, (jX+fuj, ж) С ri P, но

x eu I _

x, 1-Г n P = 0,

|x — eu|/

что противоречит условию x £ ri P. >

и

3. Функции Ляпунова

Пусть V : Бт-1 ^ Бт-1 оператор вольтерровского типа и ж0 £ Бт-1. Последовательность {ж(п)}, где ж(п) = Vraж0, называется траекторией при п £ Ъ, положительной (отрицательной) траекторией при п £ N (—п £ Н). Через ш+(ж°) и ш-(ж°) обозначаются множества предельных точек, соответственно, положительной и отрицательной траекторий. Непрерывный функционал ^ : Бт-1 ^ Ж называется функцией Ляпунова для дискретной динамической системы

x(n+1) = x(») afcjxf) , k = 1,..., m, n £ Z, (3.1)

1

если для любой начальной точки x0 £ Sm—1 существуют пределы

lim ^(x(n)), lim ^(x(n)).

Теорема 4. Если p = (p1,... , pm) £ P, то ^>(x) = x^1 ... x^T — функция Ляпунова для (3.1).

< Вычислив ^>(Vx), находим

m / / m \\ Pk m / m \Pk

^(Vx) = Д ixJ 1 + ^ a^N = + ^ aaxA . (3.2)

k=1 ^ ^ i=1 ' ' k=1 ^ i=1 '

m

Поскольку Pk ^ 0 и 52 Pk = 1, то используя неравенство Юнга [7], получаем k=1

m / m \ Pk m / m \ mm

П ( 1 + ^ akiXi) ^ E Pk[ 1 + ^2 akixi) = 1 + ^2 ^2 akixiPk k=1 i=1 ' k=1 i=1 ' k=1i=1

mm m , m \

= 1 - aik XiPk = 1 - ^2 ( ^2 aik Pk\ Xi ^ 1,

k=1i=1 i=1 \k=1 '

mm

так как 1 + 52 akiXi ^ 0, aki = -aik, 52 aikPk > 0 и Xi ^ 0.

i=1

Учитывая (3.3) из (3.2) lim существуют. >

Учитывая (3.3) из (3.2), имеем p(Vx) ^ ^(x). Следовательно, lim и

п

что 00 = 1.

Замечание. При определении функции p(x) = x^1 .. .xFm на границе Sm 1 считаем, Для r = (r1,..., rm) £ Sm-1 положим

m / m \rk ifir(x) = xl1 ...xrm; фт(ж) = П 1 + EakiXi) , x £ Sm-1.

k=1 ^ i=1 '

Ясно, что рт — вогнутая функция и max = рт (x) = рт (r), причем максимум достигается только лишь в точке r = (r1,..., rm). Заметим, что фт также вогнута, так как

m

является композицией аффинного отображения xk ^ 1+ 52 akixi и вогнутой функции рт.

i=1

Очевидно, 0 ^ фт (x) ^ 2, причем, из r £ P следует фт (x) ^ 1 для всех x £ Sm-1. Лемма 4. Если фт (x) ^ 1 для всех x £ Sm-1, то r £ P.

< а) Сначала докажем, что r £ X. Пусть u = V-1r. Тогда из рт (r) = рт(Vu) = рт (u) ■ фт (u) ^ рт (u) следует u = r, поскольку функция рт своего максимума на Sm-1 достигает только лишь в единственной точке r. Следовательно, r = V-1 r, т. е. r £ X.

m

б) Докажем, что r £ P. Допустив обратное, для некоторого k' имеем 52 ak'ir'i < 0. Так

i=1

m

как r £ X, то из (2.2) следует r'k' = 0. Выберем k" так, что r'k" > 0. Тогда 52 ak"ir'i = 0

i=1

также вытекает из (2.2). Положим x = (x1,... ,xm), где

Xi =

£ при i = k',

Tk" — £ при i = k'', (3.4)

Ti при остальных i.

Если 0 ^ е ^ г к", то х € Бт 1. Напомним, что 52 аы^г = 0 при Гк > 0. Тогда,

г=1

т

учитывая (3.4), находим 52 акгХг = е ■ (акк> - акк»).

г=1

Поэтому для всех к = 1, . . . , ш имеем

Гк

1 + ^2 akiXi) = 1 + £ ■ Tk ■ (a,kk> — akk") + 0(£).

Следовательно,

m ^ m N. rk m

(x) = Д i 1 + E afei^d = 1 + e^Vk(afefe/ - akkff) + 0(e). k=1 ^ i=1 ' k=1

Поскольку

mm

у] rk akk" = - E ak»»ri = 0, k=1 i=1

то

^r (x) = 1 + e • ^ akk'rk + 0(e) = 1 - e • ^ a^r + 0(e) > 1

m

.. iri

k=1 i=1 при достаточно малом e > 0. Итак, допущение r £ P приводит к противоречию с условием леммы. >

Следствие. (x) ^ 1 на симплексе Sm-1 тогда и только тогда, когда r £ P. Пусть

Arg max f (x) = {y £ Sm-1 : f (y) = max f (x)}

— множество точек достижения максимума функции f : Sm-1 ^ R.

Лемма 5. Если r £ ri P, то Arg max (x) = [M] — замыкание множества M = {x £ X : suppx = suppr}.

< (a) Согласно лемме 4 имеем (x) ^ 1. При x £ M из rk > 0 следует xk > 0.

m

Поскольку x £ X, то xk > 0 влечет E akixi = 0. Следовательно,

m / m \ rk

^r (x) = L[ 1 + E ak^xJ =1

k=1 i=1

т. е. M С Arg max (x). Таким образом, [M] С Arg max (x).

б) Пусть y £ Arg max (x). Так как (x) непрерывная вогнутая функция, то множество Arg max (x) замкнуто и выпукло. Поскольку r £ M, то (r) = 1. Поэтому из (y) = (r) = 1 следует, что

^r (Ay + (1 - A)r) = 1, 0 < A < 1.

Дифференцируя это равенство по A находим

m

m rk •E aki(y» - ri)

E-m-—-m-= 0, 0 <A< 1. (3.5)

k=1 1 + E akiri + A • E aki(yi - ri)

i=1 i=1

m

Так как r £ riP С X, то согласно (2.2) имеем rk • Е akiri = 0, k = 1,..., m. Следова-

i=1

тельно, (3.5) можно переписать в виде

m

m rk • Е akiyi

Е-^-= 0, 0 < A < 1. (3.6)

k=1 1 + A • Е akiyi

i=1

m

Нетрудно заметить, что из (3.6) имеем Tk '52 akiVi = 0, т. е.

i=1

supp т П supp Ay = 0.

m

Далее, учитывая aki = -aik и Tk • akiVi = 0, находим

i=1

mm mm

Tk akiVi = — ^2 Vi^2 aik Tk = 0.

k=1 i=1 i=1 k=1

mm

Поскольку yi ^ 0, £ aik Tk ^ 0, то из последнего равенства получаем yi ■ 52 aik Tk = 0 k=1 k=1 или supp y П supp At = 0.

m

Согласно лемме 3 supp t U supp At = I, т. е. Tk и 52 akiTi не могут одновременно быть

i=1

нулями. Поэтому из supp tHsupp Ay = 0 и supp y Hsupp At = 0 следует supp yHsupp Ay = 0.

Следовательно, y £ X и вообще, Arg max 'r (x) С X. Далее

supp y С supp t, (3.7)

что вытекает из равенств supp y H supp At = 0, supp t U supp At = I. Учитывая (3.7) и t £ M, получаем (y, t] С M. Следовательно, y £ [M]. Таким образом, Arg max фr (x) С [M].

Итак, Arg max фг (x) = [M] при t £ ri P. >

Теорема 5. Если x0 £ X, то w+(x°) С dSm-1.

< Допустив обратное, выберем т £ ш+ (x°) H ri Sm-1. Если p £ ri P, то согласно теореме 4 существует lim ^>p(x(n)) = c ^ 0. Очевидно, <рр(т) = c. Поскольку т £ riSm-1,

то Рр(т) = c > 0. Следовательно, фр(т) = = 1. Пользуясь леммой 5 получаем

т £ [M], в частности, т £ X. Для внутренней неподвижной точки согласно (2.2) находим At = 0. Поэтому т £ P и lim ipr(x(n)) = pr(т). С другой стороны, x° = т, поэтому

pr(x°) < pr(т). Далее, {<pr(x(n))} — невозрастающая последовательность (теорема 4). Следовательно, ipr (т) = lim ipr (x(n)) ^ pr (x°) < pr (т). Последнее противоречие завершает доказательство теоремы. >

Теорема 6. Если положительная траектория не сходится, то ш + (x°) бесконечно.

< Пусть w+(x°) = {y1,... ,yt}, 1 < t < ж. Тогда с точностью до нумерации имеем Vyi = yi+1 при i = 1,... ,t — 1 и Vyt = y1. Пусть Г минимальная грань содержащая y1. Тогда y1 £ ri Г ив силу инвариантности ri Г имеем w+(x°) С ri Г. С другой стороны y1 £ X и согласно теореме 5 имеем ui+(y1) = w+(x°) С дГ. Поскольку ri Г H дГ = 0, то получаем противоречие. Итак, допущение 1 < t < ж приводит к противоречию. >

Лемма 6. dim[M] = dimri P.

< Пусть Га — минимальная грань содержащая P. Тогда ri P С ri Га. По определению

Г m 1

M также имеем ri P С M С ri Га. Пусть Lk = < z £ Rm : 52 akizi > 0 >. Если x £ M, то

i=1

m

xk > 0 для всех k £ a. Поскольку M С X, то xk > 0 влечет 52 akixi = 0. Для y £ ri P

i=1

согласно лемме 3 при k £ а имеем Е > 0. Следовательно,

i=1

riP = Р) (M П L). (3.8)

fc^a

Поскольку M выпукло, Lfc открыто и M П = 0, то dim M = dim(M П ). Поэтому из (3.8) получаем dim M = dimri P. >

Следствие. Семейство функций {^y }, r £ ri P разделяет точки M, т. е. если x, y £ M и x = y, то существует r £ ri P такое, что ^y (x) = ^y (y).

< Пусть x,y £ M и ^y (x) = ^y (y) для всех r £ ri P. Поскольку supp x = supp y = supp r = а, то ^y (x) = ^y (y) > 0. Поэтому логарифмируя равенство ^y (x) = ^y (y) находим

^riln x = 0. (3.9)

iea yi

Так как dimM = dimriP, то из (3.9) следует x = y. >

Теорема 7. Отрицательные траектории сходятся, причем ш-(x0) £ P, если x0 £ ri Sm-1.

< а) Для любого p £ ri P имеем ^>p(x0) > 0, поскольку x0 £ ri Sm-1. Далее, {^p(x(-n))} — неубывающая последовательность (теорема 4). Следовательно,

^'(x'-")) = i^Sl) ^ 1 при n ^ +»,

т. е. w-(x0) С [M]. Так как ^>p(x0) > 0, то suppy > suppp для любого y £ ш-(x0). Следовательно, w-(x°) С M. Поскольку {^>p}, p £ riP разделяет точки M, то w-(x°) состоит из единственной точки. Действительно, из сходимости {^>p(x(-"))} следует сходимость любой ее подпоследовательности к тому же пределу. Поэтому, если y, z £ ш-(x0), то ^p(y) = ^p(z) для всех p £ ri P, т. е. y = z. Итак, отрицательные траектории сходятся.

m

б) Докажем, что ш-^0) £ P. Пусть ш-^0) = {y} и y £ P. Тогда Е я^У» < 0 для

i=1

некоторого k, причем в достаточно малой окрестности y последнее неравенство сохраня-

m

ется. Поскольку y £ X, то из Е afciyi < 0 следует y^ = 0. Так как

/ m \ (-") (_"_1) / (-"-1М ^ (-"-1)

в достаточно малой окрестности у, то ж к возрастает. Поэтому ж к ^ у^ =0. Следовательно, ш_(ж°) £ Р. >

Замечание. Если положительная траектория сходится и ж0 £ п то

^+(ж°) £ д.

Пример 2. Пусть V : 53 ^ имеет вид:

x1 = x1(1 + x2 — x3 + x4), x'2 = x2(1 — x1 + x3 + x4), x3 = x3(1 + x1 — x2), x4 = x4(1 — x1 — x2).

Решив необходимые неравенства находим Р = {х € Б3 : Ах ^ 0} = {(0, 0, А, 1 - А) : 0 ^ А < 2}, Я = {х € Б3 : Ах < 0} = {(1,1,1, 0)}, М = {(0, 0, А, 1 - А) : 0 < А < 1}. Любая отрицательная траектория сходится к некоторой точке из Р. Положительные траектории не сходятся.

4. Карта неподвижных точек операторов вольтерровского типа

Итак, в § 3 установлена сходимость всех отрицательных траекторий. В этом параграфе изучается асимптотическое поведение положительных траекторий.

Теорема 8. Если все главные миноры четного порядка кососимметрической матрицы А положительны, то X конечно.

< Допустим, что X бесконечно. Тогда существуют х,у € X, х = у, такие, что яиррх = яирру. Положив а = яиррх = яирру, рассмотрим Га,Уа и Аа. Поскольку х € пГа, эирр х П эирр Аах = 0 и эирр Аах С а, то Аах — 0. Аналогично Аа у = 0. Так как х и у линейно независимы, то ёткег Аа ^ т - |а| +2. Следовательно, все главные миноры порядков |а| и |а| - 1 кососимметрической матрицы Аа равны нулю. Тогда матрица А имеет хотя бы по одному главному минору порядков | а| и |а| - 1 равному нулю. Поскольку х = у, то |а| ^ 2, и следовательно, А имеет нулевой минор четного порядка. >

Оператор вольтерровского типа V : Бт-1 ^ Бт-1 будем называть типичным, если все главные миноры четного порядка кососимметрической матрицы положительны. Поскольку определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка всегда равен нулю, а четного порядка неотрицателен, причем произвольно малым возмущением элементов его можно сделать положительным, то множество всех типичных операторов открыто и всюду плотно в множестве всех операторов вольтерровского типа. Далее будем рассматривать только лишь операторы являющиеся типичными. Поскольку X конечно, то согласно теореме 3 для любого х € X число | яирр х1 нечетно. Напомним также, если х конечно, то из х,у € X и яирр х = яирр у следует х = у (лемма 1). Поэтому обозначение неподвижной точки с носителем а через ха является корректным.

Лемма 7. Если х € X, то яирр х и яирр Ах = I.

т

< Допустим, что существует к € I, для которого Хк = 52 акгХг = 0. Пусть яирр х = а

г=1

и в = а и {к}. Поскольку |а| нечетно, то 1в1 = |а| + 1 четно. Рассмотрим Г в и соответствующие сужения Vp, А/з. Поскольку х € X П Г в, то согласно (2.2) находим Арх = 0, т. е. ёе! Ар = 0. Следовательно, А имеет нулевой главный минор четного порядка. >

Теорема 9. Пусть V'(za) производная оператора V в неподвижной точке га € X и а^)) ее спектр. Тогда

1) 1 € а(^^а));

И) а{У'^а)) имеет |а| - 1 комплексных чисел по модулю больших чем 1 и т - |а| действительных чисел отличных от 1 .

< Вычислив якобиан, находим

V '(х) =

( 1 + 52 а1гХ1 а12Х1 ... а1тХ1

а21Х2 1 + 52 а2гХ2 ■ ■ ■ а2тХ2

\ ат1Хт

\

(4.1)

ат2Хт . . . 1+ аттхт )

После необходимой перенумерации можно считать га = (¿1,..., ¿|а|, 0,..., 0). Учитывая (2.2) и лемму 7, находим = (0,..., 0,^|а|+1,... , ^т), где ^ = 0 при г ^ |а| + 1. Следовательно, из (4.1) получаем

V '(¿а) =

( 1 01221 021-22 1

ад ¿г а^г 00

023-2 . . .

ац-1 гг

0

0

аи ¿1 а2г ¿2

1

0

1 + ^+1 0

0

\

* 0

0 1 + ^т )

где Ь = |а|. Из правого нижнего блока получаем, что '(га)) имеет т — |а| действительных чисел отличных от 1. Левый верхний блок представим в виде:

Е + diag(гl,...,гí)Aí, (4.2)

где Е — единичная матрица порядка Ь, Аг = (а^-) (г, ^ = 1,... — кососимметрическая матрица. Поскольку Ь нечетно, то det Аг = 0. Поэтому 1 £ а(У'(га)). То, что 1 собственное число кратности один следует из того, что все главные миноры Аг порядка Ь — 1 положительны. Все собственные числа кососимметрической матрицы либо 0, либо чисто мнимые, поэтому Ь — 1 собственных чисел V'(га) имеют вид 1 + . >

т

Замечание. Так как на 5т-1 переменные Ж1,... , жт связаны условием Е хг = 1 и

¿=1

1 £ ст^'(га)) отражает этот факт, то 1 следует исключить из относительного спектра. Следствие. Все неподвижные точки оператора V являются гиперболическими. Элементы X представим в виде точек на плоскости, затем точки га, -в £ X соединим дугой, направленной от га к -в £ X, если А7 —а ^ 0, А7¿в ^ 0, где ^ — а и в. Полученный ориентированный граф назовем картой неподвижных точек оператора V и обозначим через О у.

Пример 3. Рассмотрим V : 53 ^ 53, где

V :

ж1 = ж1(1 — ж2 + ж3 — ж4), ж'2 = ж2(1 + ж1 — ж3 + ж4), ж3 = ж3(1 — ж1 + ж2 — ж4),

X = \ (1, 0, 0, 0); (0,1, 0, 0); (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1); ( 3, 3, 3, 0

111

ж4 = ж4(1 + ж1 — ж2 + ж3). Легко заметить, что V имеет 6 неподвижных точек:

111

.0 1 ; ( 0, , , 333

Далее неподвижные точки ха £ X будут называться также вершинами карты Оу. Висячая вершина карты — вершина в которую не входит ни одной дуги.

Теорема 10. Карта неподвижных точек имеет единственную висячую вершину. < 1) Поскольку X конечно, то Р = {ж £ Бт-1 : Аж ^ 0} состоит из одной неподвижной точки. Далее для а Э яирр ж имеем

(Ааж). = ((Аж)" г £ а>

0, г £ а.

Поэтому для любого а Э яирр Р имеем АаР ^ 0, т. е. Р — висячая вершина.

0

2) Обратно, пусть za — висячая вершина. Допустим, что (Aza)г < 0 для некоторого г € I. Согласно (2.2) имеем г € а. Пусть в = аи {г}. Тогда Арza ^ 0. Решение неравенства Арх ^ 0, х € Г в обозначим через z1. Следовательно, Ар za ^ 0, Ар z1 ^ 0, причем za = z1. Поэтому za и z1 соединены дугой направленной из z1 в za, т. е. za не может быть висячей вершиной. Таким образом, Aza ^ 0 или za = Р. >

Вершины za и zв кары Оу назовем соседними, если |а| = 1в| = 1а и в1 - 1. Лемма 8. Соседние вершины всегда соединены дугой.

< Пусть za и zв соседние вершины. Полагая 7 = а и в, находим, что одна из этих вершин является решением неравенства. А7х ^ 0, х € Г7, а другая решением неравенства А7х ^ 0, х € Г7. Действительно, А7za и А7zв имеют только лишь по одной ненулевой координате согласно лемме 7. >

Утверждение обратное лемме 8 неверно. Пример 4. Для V : Б3 ^ Б3, где

V :

х1 = Х1(1 + Х2 + Хз + Х4), х'2 = х2(1 - х1 + х3 - х4), х3 = х3(1 - х1 - х2 + х4), х4 = х4(1 - х1 + х2 - х3),

легко находим X = {(1, 0, 0, 0); (0,1, 0, 0); (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1); (0, 3,1,1)}, Ясно, что Zl и Z234 не являясь соседними вершинами соединены дугой. Карту неподвижных точек назовем однородной, если из того, что две вершины za и zв соединены дугой следует, что | а| = | в| .

Лемма 9. Пусть Оу однородная карта. Тогда число дуг инцидентных вершине za не меньше чем т - | а| .

< Согласно (2.2) и лемме 7 имеем (Aza) = 0 при г € а и (Aza)г = 0 при г € а. Выбрав г € а, положим 7 = а и {г}. Тогда za является решением одного из неравенств

х ^ 0, х € Г7, или х ^ 0, х € Г7. (4.3)

Пусть zв решение другого из неравенств (4.3). Поскольку (А7za)г = (А7zв)г =0 , то za = Zв, причем они соединены дугой. Ясно, что различным г соответствуют различные в. Следовательно, каждой нулевой координате точки za соответствует дуга инцидентная вершине za. Поэтому число дуг, инцидентных za, не меньше чем т - |а|. >

Следствие. Если Оу — однородная карта, то из za € X следует существование не менее т - |а| + 1 неподвижных точек с |а| ненулевыми координатами.

Нетрудно заметить, что однородная карта состоит из следующих связных компонент: неподвижные точки (вершины) с одной ненулевой координатой, затем неподвижные точки с тремя ненулевыми координатами и т. д. Для определенности связные компоненты будем располагать слева направо в порядке возрастания количества ненулевых координат вершин. Положим Оу = О^1 и ОУ3 и ОУ5 и ..., где ОУ2к+1) — связная компонента, состоящая из неподвижных точек с 2к + 1 ненулевыми координатами. Если Оу = Оу1, то карту назовем транзитивной. Заметим, если Оу — транзитивная карта, то все положительные траектории сходятся.

Теорема 11. Пусть Оу однородная и нетранзитивная карта и za решение неравенства Ах ^ 0, х € Бт-1, т. е. za = Я. Тогда существует (т - 1а1)-мерная инвариантная поверхность, содержащая решение неравенства Ах ^ 0, х € Бт-1.

< Пусть za = (zi,... zm) и i £ а. Тогда (Aza)i < 0. Далее, 1 + ^ aijZj > 0, поскольку

j=i

aij не могут быть отрицательными при всех j £ а, что вытекает из однородности и нетранзитивности карты Оу. Поэтому согласно теореме 9 все m — |а| вещественных собственных чисел V'(za) заключены в интервале (0,1). Следовательно, V — локальный диффеоморфизм в некоторой окрестности za. Пусть

aff Sm-1 = Ls 0 Lu

— разложение аффинной оболочки Sm-1 в точке za на «сжимающуюся» и «растягивающуюся» части ([9, с. 80]). По построению «растягивающаяся» часть Lu совпадает с aff Га, причем она является инвариантной не только для V'(za), но и для V. Заметим, что dim Lu = |а| — 1 и dim Ls = m — |а|. Согласно теореме Гробмана — Хартмана [9] в достаточно малой окрестности za существует инвариантная (m — |а| )-мерная поверх-

оо

ность, которую обозначим через M0. Пусть Mn = V(-n)(M0) и M = U [Mn]. Ясно, что

n=1

Mo С Mi С ... Далее, любая отрицательная траектория {x(-n)} сходится. Поскольку M0 П ri Sm-i = 0, то P = {x £ Sm-i : Ax ^ 0} £ M. >

Следствие. Если za и — соседние вершины, то существует инвариантная кривая, соединяющая неподвижные точки za и .

< Доказательство непосредственно следует из теоремы 11, если положить 7 = а U в и рассмотреть VY/. >

Пример 5. Пусть V : S4 ^ S4, где

xi = x1(1 + x2 — x3 + x4 — x5), x2 = x2(1 — x1 — x3 + x4 + x5), V := x'3 = x3(1 + x1 + x2 + x4 — x5), x4 = x4(1 — x1 — x2 — x3 + x5), x5 = x5(1 + x1 — x2 + x3 — x4).

Заметим, что V кроме вершин симплекса S4 имеет еще 4 неподвижные точки:

(1 11А (11 1

z145 = о, 0, 0,-,- , z125 = о, о, 0, 0,

чз' ' ' з' зу 120 Vз' з' ' ' з

( 111У V 111

.3.0 = (о,о,з,з,з], .23. = (о,з,з,о,з

В данном случае m = 5, P = z145, Q = z235, а = {2, з, 5}, m — |а| = 2. Легко проверить, что Z145, Z125, Z345, .235 лежат на одной плоскости, пересечение которой с S4 является инвариантным относительно оператора V.

Теорема 12. Пусть Оу — однородная и нетранзитивная карта, а M — инвариантная поверхность упомянутая в теореме 11. Если x0 £ ri Sm-1 \ M, то положительная траектория {x(n)} не сходится.

< Действительно, если {x(n)} сходится, то согласно замечанию к теореме 7 имеем lim x(n) = Q. Поскольку V — автоморфизм и Q — гиперболическая точка, то последнее

n^+rx

не возможно только лишь при x0 £ M.

Итак, отрицательные траектории всегда сходятся, а положительные траектории, как правило, не сходятся, причем w+(x°) — бесконечное множество. >

5. Построение функций Ляпунова для динамической системы (3.1)

Оценка ш(ж°) С дй™-1, полученная в теореме 5, в ряде случаев допускает улучшения. В этом параграфе предложен метод построения немонотонных функций Ляпунова для динамической системы (3.1). Пусть V : й™-1 ^ й™-1 — квадратичный оператор вольтерровского типа и Су — однородная карта. Следующие предложения дают представление о строении однородных карт:

(1) Пусть £а,£л € Су, причем |а| = |А|. Тогда существует цепочка вершин £а,£в, ¿7,..., ¿л такая, что любые две рядом стоящие в ней вершины являются соседними.

(2) Если Су содержит орцикл (гамильтонов контур) [5], например ¿а ^ ¿в ^ ... ^ ¿л ^ ¿а, то существует вершина такая, что ц С а и в и ... и А и |ц| ^ |а| + 2.

(3) Если ¿а — висячая вершина, то для любой другой вершины ¿в карты Су имеем

1в1 < м-

Доказательства этих утверждений можно провести комбинаторными методами с использованием фактов из теории орграфов.

Пусть ¿а = (г1;... ,гт) € X. Положим <а(ж) = жЦ1 .. . ж™, ж € п й™-1.

Теорема 13. Пусть ¿а висячая вершина однородной карты Су. Если ¿в € X, причем |в| = |а|, то <в — функция Ляпунова для динамической системы (3.1).

Доказательству теоремы предпошлем несколько простых замечаний:

(1) Если ж0 € X, то ш+(ж°) П ш-(ж°) = 0.

(2) Если у € ш+(ж°), то ш+ (у) С ш+(ж°) и ш-(у) С ш+(ж°).

(3) V(ш+(ж°)) = ш+(ж°), V(ш-(ж°)) = ш-(ж°).

(4) Пусть ¿а, ¿в € X, |а| = |в|, а = в. Тогда ^(¿в) = <в(¿а) = 0.

< Доказательство теоремы 13. Без ограничения общности будем считать, что ж° € г1 й™-1 \ М. Тогда согласно теореме 12 ш + (ж°) бесконечное множество. Покажем, что Иш <в(ж(п)) = 0. Допустив противное, имеем <в(у) > 0 для некоторого у € ш+ (ж°).

Ясно, что из <в (у) > 0 следует яирр у Э в. Далее отрицательная траектория начинающаяся в точке у сходится, причем ш-(у) С ш+(ж°). Пусть ш- (у) = {¿7}. Так как яирр у Э в, то, учитывая теорему 7 и однородность карты Су, получим |71 = |в|. Рассмотрим разложение aff й™-1 в точке ¿7 на «сжимающуюся» Р5 и «растягивающуюся» части. Пусть М7 инвариантная поверхность соответствующая Р5. Поскольку ¿7 € ш+ (ж°) и {ж(п)} не сходится, то М7 обязана содержать хотя бы одну предельную точку положительной траектории {ж(п)}. Пусть и € М7 П ш+(ж°). Тогда ш-(и) С ш+ (ж°). Так как отрицательные траектории сходятся, то ш-(и) = {¿5}. Нетрудно заметить, что |$| = |в|. По построению вершины и ¿7 на карте Су соединены дугой направленной от ¿5 к ¿7. Так как последняя связная компонента (компонента содержащая вершины Р и однородной карты не может иметь орциклов, то продолжая приведенное выше рассуждение в конце концов получаем Р = {ж € й™-1 : Аж ^ 0} С ш+(ж°), что противоречит теореме 4. >

Следствие. Если ж° € г1 й™-1 \М, то ш+ (ж°) С Пв <-1(0), где пересечение берется по всем в таким, что |в| = |а| и ¿в некоторая вершина карты Су, а ¿а — висячая вершина.

Для примера 5 теорема 13 позволяет получить следующие функции Ляпунова:

<145 (ж) = (ж1ж4ж5) 3 , <£125 (ж) = (ж^жб) 3 , £>345 (ж) = (жзж4ж5) 3 , <235 (ж) = ^жзжб) 1.

Литература

1. Kesten H. Quadratic Transformations: a model for population qrownth. I // Adv. Appl. Probab.—1970.— V. 2, № 1.—P. 1-82.

2. Валландер С. С. О предельном поведении последовательности итераций некоторых квадратичных преобразований // Докл. АН СССР.—1972.—Т. 202, № 3.—С. 515-517.

3. Menzel M. T., Stein P. R., Ulam S. M. Quadratic Transformations. 1.—Los Alamos, 1959.—P. 158 (Rep. T.A2305).

4. Jenas R. D. Quadratic Differetial Sistems for Interactive Population Models // J. Diff. Eq.—1969.—V. 5.— P. 497-514.

5. Ганиходжаев Р. Н. Квадратичные стохастические операторы, функции Ляпунова и турниры // Мат. сб.—1992.—Т. 183, № 8.—С. 121-140.

6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1984.—752 c.

7. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства.—М., 1948.

8. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.—М.: Мир, 1989.

9. Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику.—М.: Мир, 1975.

Статья поступила 11 января 2005 г. эшмаматова дилфуза бахрамовна, к. ф-м. н.

Ташкент, Ташкентский Институт инженеров железнодорожного транспорта E-mail: [email protected]

Ганиходжаев Расул Набиевич, д. ф.-м. н. Ташкент, Узбекский Национальный Университет