Расслоения над полиэдрами с конечной группой многозначных автоморфизмов, допускающие плоские связности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 5 (1), с. 158-164

УДК 515.164

РАССЛОЕНИЯ НАД ПОЛИЭДРАМИ С КОНЕЧНОЙ ГРУППОЙ МНОГОЗНАЧНЫХ АВТОМОРФИЗМОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ

© 2010 г. В.Ю. Зинченко

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 16.06.2010

Рассматриваются гладкие расслоения над полиэдром, снабженные конечной группой многозначных автоморфизмов. Получена классификация таких расслоений в случае, когда они допускают плоские инвариантные связности.

Ключевые слова: главное расслоение, полиэдр, симплициальное действие группы, многозначное действие, дифференциальные формы на полиэдре, инвариантная связность, почти Д-расслоение.

Введение

В работе [1] построена категория главных расслоений £,, обладающих следующими свойствами: базой является полиэдр B, на котором задано регулярное симплициальное действие R конечной группы А ; структурной группой - k-мерный тор; функции перехода произвольного атласа расслоения гладкие на симплексах, а соответствующие формы перехода инвариантны относительно R. Поднимая R в каждой карте расслоения £,, мы получаем многозначное действие группы А на тотальном пространстве и превращаем А в группу многозначных автоморфизмов £,. С помощью форм Тома - Уитни [2] на £, задаются связности, инвариантные относительно многозначного действия группы А . С применением этих связностей построены характеристические классы, доказаны их цело-численность и реализуемость. В данной работе изучаются расслоения, характеристические классы которых равны нулю. Для случая, когда базой расслоения является многообразие, подобные конструкции изучены в [3].

1. Гладкая структура на полиэдре

Всюду в работе будем считать, что B -связный полиэдр, состоящий из конечного числа прямолинейных симплексов пространства

RN, K(B) - его симплициальный комплекс, а

Kп (B) - множества симплексов из K(B) размерностей n = 0,1,..., m , где m = dim B < N. Топология на B предполагается индуцированной

обычной топологией пространства Я^. Также везде, называя тот или иной объект гладким, мы

СХ

.

Пусть и - открытое подмножество полиэдра В . Через Ши = I ° е К(В)} обозначим набор гладких д -форм , заданных на пересечениях ап и ^ 0 для всевозможных а е К(В) . Пусть у е К(В) - грань симплекса

а е К(В) , и для форм , ®(7 е верно равенство = ®гу !упи • Тогда формы из семейства будут называться согласованными, а

само семейство - гладкой д-формой на и . Как указано в [2], подобные конструкции для и = В впервые рассматривались Р. Томом и Х. Уитни.

Рассмотрим гладкое многообразие М. Непрерывное отображение / : и ^ М называется гладким, если для произвольного а е К(В)

сужение /а = / |апи является гладким отображением из ап и в М ([4], глава 2, п. 8).

Пусть ? - алгебра Ли группы Тк . Тогда на Тк определена каноническая 1-форма 0, ставящая в соответствие точке g е Тк и касательному вектору У в точке g левоинвариантное векторное поле А е ?, принимающее в точке g значение А(g) = У . Если Е^...,Ек - базис алгебры ), то 0 = О1^ + к + 0кЕк , где 0г -

обычные формы на Тк с действительными значениями.

Рассмотрим гладкое отображение f : U ^ ^ Tk , число i в {1,k,k} . Тогда набор 0гdf = {0гdf ° | а в K(B),an U Ф 0} является гладкой 1-формой на U, а линейная комбинация 0df = QldfE\ +... + 0kdfEk - гладкой 1-формой со значениями в алгебре Ли t .

2. Расслоения с симплициальным действием группы на базе

Пусть А - конечная группа и R : B х B

- правое симплициальное регулярное действие ([5], глава III, п. 1). Как обычно, будем полагать R(a, 8) = Rg (a) = a -8 для всех b е B и 8 е А .

Рассмотрим главное расслоение

£, = ( E, p, B, Tk ) с проекцией p : E ^ B и

структурной группой Tk = Rk / Zk.

Открытое покрытие U полиэдра B мы называем:

1. (^, А) -покрытием, если Rg (U) = U для всех U g U, 8 е А и существует ассоциированный с U атлас A(U) расслоения £,;

2. простым Д-покрытием, если Rg (U) = U и

H(U) = 0 для тех же U и 8 и всех q >0 .

Для любого регулярного симплициального действия R : B х А^ B существует простое Д-покрытие U полиэдра B, являющееся (^, А) -покрытием для произвольного главного

расслоения £, = ( E, p, B, Tk ).

Пусть A(U) - атлас расслоения £,, ассоциированный с U . Для двух карт : U х Tk ^ Ец

и : V х Tk ^ Еу атласа A(U), где U, V е U и U n V ^ 0, имеется непрерывное отображение ^уц : U n V ^ Tk , удовлетворяющее равенству (a,t) = (a,(a) +1) для всех

a g U n V и t e Tk. Оно называется функцией перехода от к ^у ■

Предположим, что ^уц : U n V ^ Tk - гладкое отображение. Тогда на пересечении U n V определена 1-форма 0d^vu со значениями в алгебре Ли t . Ее будем называть формой перехода от карты к карте £,у . Если все формы перехода 0d^vu инвариантны относительно действия R : B х А^ B , то A(U) называется гладким почти Д-атласом. Два таких атласа до-

говоримся считать эквивалентными, если их объединение также является гладким почти Д-атласом. Класс эквивалентности А гладкого почти Д-атласа А(Ц) назовем гладкой почти Д-структурой на £,, а пару р = (^, А) - гладким почти Д-расслоением над полиэдром В [1].

Пусть / : £, ^ - морфизм над В главных

расслоений £, = (Е, р, В,Тк) и = (Е', р, В, Тк ) . Предположим, что они обладают почти Д-ат-ласами А(Ц) и А'(Ц) соответственно. Тогда для карт е А(и) и ^'у е А'(и) определена функция перехода : V ^ и ^ Тк, и в случае гладкости функции форма перехода 0dZyu

со значенеиями в алгебре Ли ? группы Тк . Если все функции перехода ^уи, связывающие карты атласов А(и) е А и А'(Ц) е А', являются гладкими, а соответствующие формы перехода QdZyU инвариантны относительно действия В : В х А —— В , то назовем / морфизмом гладких почти Д-расслоений р = (^, А) и р' = А') или почти Д-морфизмом [1].

Это определение не зависит от выбора атласов А(Ц) е А и А'(Ц) е А'.

При фиксированных В, к, А и В почти А -расслоения с базой В и структурной группой Тк и их морфизмы образуют категорию КР( В, Т к, А, В).

Рассмотрим расслоения р' = (^', А') и

р" = (^', А”) из категории КР(В, Тк, А, В) и простое Д-покрытие и базы В . Тогда найдутся почти Д-атласы А'(И) е А' и А"(И) е А" с системами функций перехода {^уи} и {^уи}.

Так как группа Тк коммутативна, то суммы £,уи = £, уи + ^ уи образуют коцикл. Поэтому существует гладкое почти Д-расслоение р = (^, А) с базой В, структурной группой Тк и атласом А(Ц), обладающим системой функций перехода {^уи}. При этом формула [р] = [р'1 + [р"] корректно определяет алгебраическую операцию на множестве ВР(В, Тк, А, В) классов эквивалентности объектов категории КР( В, Тк, А, В), относительно

которой ВР(В, Тк, А, В) становится абелевой группой.

Пусть £, - главное расслоение с проекцией p : E ^ B , структурной группой Tk и атласом A(U) . Каждая карта : U х Tk — Ец атласа A(U) позволяет определить действие : Ец х А —— Ец группы А на подпространстве Ец = p-1 (U) с Е с помощью формулы

Ru (4и (a, t), 5) = R (4u (a, t)) = ^ (a -8,0- (1)

При этом для каждого S е А выполнено равенство p o R^ = Rg o p .

Если A(U) - почти Д-атлас расслоения £,,

то набор R = {RU | U е U} действий, определенных формулой (1), договоримся называть многозначным действием группы А на Е .

Поскольку для каждого 8 е А отображение

R: Ец — Ец является автоморфизмом сужения расслоения £, над U, то для любого элемента 8 е А набор Rg = {Rg | U e U} можно считать многозначным автоморфизмом расслоения £,, а А - группой многозначных автоморфизмов.

3. Инвариантные связности

Пусть A(U) - атлас расслоения ^ = = (E, p, B,Tk ) с системой гладких функций перехода (£,уи } . Предположим, что на каждом множестве U е U задана гладкая 1-форма ю^

со значениями в алгебре Ли t группы Tk , причем если U , V е U и U n V ^ 0, то на U n V имеет место равенство

— = ®d^vu • (2)

Если E]_,k,Ek и eiek - стандартные бази— k сы алгебры t и пространства R соответственно, то полагая i( Es) = es для всех S = 1, K , k , получим изоморфизм векторных ’—' k

пространств i: t ^ R . Положим Юи = i ° Wjj и 0 = i О 0. Поскольку Tk = Rk/Zk, то определено фактор отображение Exp : Rk ^ Tk . При этом для всех s = 1,..., k имеют место равенства Bd Ехр(е^ ) = Es, 0 d Ехр(е^ ) = es. (3)

Рассмотрим произвольную карту %U G A(U], кусочно-гладкий путь x : I ^ U , некоторый элемент gU & Tk и точку v = (x(0), gU ) &

е Еи с Е . Для любого ? е I определим путь х( : I ^ и формулой х((я) = х(£?) и положим

ни(^х)(0 = £и(x(t),-Ехр( Ь ))■ (4)

На расслоении £, определена Тк -связность Н, которую соотношения (4) определяют в пределах одной карты. Полученная связность будет инвариантна относительно многозначного действия группы А на раслоении £,, если формы

инвариантны относительно действия группы А на базе.

Связность Н будем называть гладкой Тк -связностью на расслоении £,, а использованные

в (4) формы Юи - локальными формами связности Н, соответствующими атласу А(Ц).

Положим О = Тк хА . Связность, инвариантную относительно действия структурной

группы Тк и многозначного действия группы А на пространстве расслоения, будем называть G -связностью.

Определим 2-форму ¥ на В, полагая Е = = db^1J для всех и е и, и будем называть ее базовой формой кривизны связности Н .

Обозначим символом Лд (В, 7) группу инвариантных относительно действия R гладких п -форм на В со значениями в алгебре Ли 7, а символом НД (В, 7) - группу гомологий коцеп-ного комплекса

* * к ^ А”д-1 (В, 7) ^А”д (В, 7) ^ А”д+1 (В, 7) ^ к Через Нд (В, 7 | Zк ) - обозначим подгруппу

в НД (В, 7) когомологических классов форм, имеющих целочисленные интегралы по циклам. Из свойств локальных форм инвариантной связности следует, что ¥ - замкнутая форма на базе,

¥ е Ад(В, 7) и для ее когомологического класса [ Е ]д верно вложение [¥ ]д е НД (В, 7 \Ък ).

4. Расслоения с плоскими связностями

Пусть р = (^, А) - гладкое почти Д-рассло-ение, на котором определена гладкая G-связность Н с набором локальных форм

(Зи | и е и} и базовой формой кривизны ¥ .

'—1 2 )

Допустим, что [Е]д =0 е ИА(В, ?). По определению группы когомологий, отсюда следует, что найдется инвариантная 1 -форма А на В

со значениями в алгебре Ли t группы Tk такая, что F = dA . Определим связность H на ^ набором инвариантных локальных форм

{mU = ®U - A IU }•

Это возможно, поскольку на U n V Ф 0 имеем:

®U — ®V = (aU — A IU —(c°V — A V ) = ®d^VU •

При этом базовая форма кривизны связности H равна

F | и = db~u — dA | и = F | и -dA |и=

= dA | u —dA | u — 0.

Связность, базовая форма кривизны которой тождественно равна нулю, будем называть плоской. Таким образом, если для гладкого почти

Д-расслоения [F]д =0, то на его пространстве можно определить гладкую плоскую G-связность H. Такие расслоения естественно называть плоскими. Подгруппу в BP(B, Tk, A, R) классов эквивалентности плоских расслоений обозначим через BP0 (B, Tk, A, R) .

Рассмотрим последовательность ориентированных ребер {alv..,ar} полиэдра B такую, что начало каждого следующего ребра совпадает с концом предыдущего, а конец последнего совпадает с началом первого. Пусть для j = 1,...,r

a1 : I ^ aj - гладкие пути, начало и конец которых совпадают с началом и концом соответствующих ребер. Тогда цепь a = a + ... + ar является циклом, а соответствующий ей путь a1 = a J * aJ - петлей. Пусть a1 :1 ^ E горизонтальный лифт петли a1 относительно плоской G-связности H. Тогда найдется элемент тн (a) е Tk , удовлетворяющий равенству

а1 (1) = а1 (0) • т н (а).

Как и ранее, положим = i ° юи, где k

i: t ^ R . Не ограничивая общности, можно считать, что aj с Uj е U. Тогда верна следующая лемма.

Лемма 1.

Г

Т H (a) = - Z (Exp 1,1 ) +

р=1 р

r-1

+ Z^Up+1Up (ap (1)) + ^U1Ur (аГ(1))-

р=\

Доказательство. Для t g I определим вспомогательные пути afj : I ^ B , полагая

(z) = а1 (1г) . Тогда горизонтальный лифт а\ пути с начальной точкой ^ (а| (0),

g0) будет равен:

а/() = Ц («I1 (О, £о - ЕхР( [^1 ))■

Его концом будет точка ш2 = а"1 (1) = = Ц («1(1)’ §0 - ЕхР( |,1®1)) = 4и2 (а2 (0)§1) где

ё1 = £о - Ехр( 1,1 ®1) + ^и2и1 (а1 (!)).

Горизонтальный лифт а\ пути а\ с начальной точкой ш2 будет равен

а2 (0 = 4и2 (а2 (0,&1 - ЕхР( ®2 ))■

Поднимая пути один за другим и беря за начальную точку каждого следующего горизонтального лифта конечную точку предыдущего, для у = 1,..., г мы получим

а) () = %и . (а) ()> 8у-1 - ЕхР( \а1 ))»

^ }

где

8]-\ = £о + Е<- ЕхР Ь ^р + ^ир+1ир (а\ (1)>-

р=1 Р

Тогда путь а1 = а1 является гори-

зонтальным лифтом пути а1 с начальной точкой т = а1 (0) = а/(0) = (а1 (0),) . По по-

строению

а1(1) = а1(1) = (аГ (1), Яг-1 - ЕхР(.[^Юг )) =

= ^01 (а1 (1),ёг-1 - ЕхР( .[1 ®г ) + ^и1Ог (а1 С1)))-

Сравнивая начало и конец пути а1, получим утверждение леммы. Заметим, что та же формула верна и в случае произвольного цикла а = а + ... + аг. □

Предложение 1. 1. Если х, у е Z1 (В), то

Т н (х + У ) = т н(х) + т н (У) и т н (-х ) =

= —тн(х). 2. Для плоской связности Н элемент тн(х) зависит только от гомологического класса цикла х.

Доказательство. 1. Полностью следует из леммы 1. 2. Пусть циклы х, у : I ^ В - гомологичны. Тогда цикл х - у гомологичен нулю и найдется 2 -цепь с такая, что дс = х - у . В свою очередь, цепь можно представить как сумму ориентированных симплексов: с = а! +

+ а2 +... + ау и dc = daj + да2 + ••• + dav. Из п. 1 следует, что

т н (дс) = тн (даv) + тн (даv) + - + тн (даv). Рассмотрим симплекс ac U g U с границей da = a + a2 + «з. Применяя лемму 1 к циклу Эа, получим:

тн (да) = -Exp I «и - Exp £ «и - Exp £ «и .

Поскольку связность H - плоская и F = 0, по формуле Стокса получим:

Th W = -Exp( J^) = -Exp( £F) = 0 . Следовательно т н (x) = т н (y) .□

Следствие. Формула тн([х])=тн(х) корректно определяет гомоморфизм тн : H\(B) ^Tk, который мы называем гомоморфизмом голономии связности H .

Для произвольного натурального числа

n g N положим HomA (Hn (B), Rk ) = {h e e Hom(Hn (B), Rk ) | h([x -5]) = h([x]) V5e A} . Для [F]a e НД(B,t) и [c] e Hn(B) формула

1[F] (M) = JCF

корректно определяет гомоморфизм /[F] e e Hom Л ( Hn (B), Rk ). При этом отображение

Iд : HI (B, t) ^ HomA (Hn (B), Rk ), определенное формулой

1A ([F]д ) = I[F], (5)

является изоморфизмом, согласно аналогу теоремы Де Рама для форм на полиэдре. Следовательно, группы НД(B,t |Zk) и Homл(Hn(B),Zk) также будут изоморфны.

Предложение 2. Пусть p = (^, A) - гладкое почти Д-расслоение с проекцией p: E ^ B , H *

и H - плоские G-связности на E, с наборами локальных форм (ю^} и }, ассоциированные с Д-покрытием U базы B . Тогда найдется инвариантная 1-форма A на B, что для всех

* _

= хн - Exp о /[A].

Доказательство. Равенства ю^ —Юу = = позволяют определить ин-

вариантную 1-форму A на B, полагая Л U =

U е U имеем: = йп + A и т * =

H

U.

тн(a) = - Z(Exp[i ) +

р=1 р

r-1

+ Z^Up+1Up (ap (1))) + 4UzU0 (аГ (1))).

р=\

Г

(a) = - Z(ExP [1 ю*) +

p=1 p

r-1

+ Z^Up+1Up (ap(1)) + ^UzU0 (ar (1))).

P=1

Следовательно,

r

тH(a)-Th(a) = -^(Exp f, ю*Р) +

p=i p

rr

+ Z (ExP jfi )= Z (ExP jfi -®jP + ®p ): p=i ^ p=1 ^

Для произвольного цикла a = aj +... + ar по лемме 1 получим

Z (ExP 11A \up ) = -ExP Jf-A •

Предложение доказано. □

5. Инварианты гладких расслоений с плоскими связностями

Для гладкого почти Д-расслоения р и плоской G-связности H на его пространстве рассмотрим гомоморфизм голономии ТH £

е Hom(Hj(B), Tk ) и гомоморфизм Exp^ : HomA(Hl(B),Rk) ^ Hom(Hl(B),Tk), определенный формулой Exp^ (h) = Exp o h. Положим

По ([p]) = т h + ImExp^.

Предложение 3. Последняя формула корректно определяет отображение

По :BPo (B,Tk, A, R) ^

^ Hom(Щ(B),Tk)/ImExp^.

Доказательство. Пусть р = (^, A) и

р' = (^', A') - гладкие почти Д-расслоения такие, что [р] = [р'] е BP0(B, Tk, A, R), H и H' - плоские G-связности на их пространствах, {(Ov } и (ю^ } - наборы локальн^1х форм связностей H и H' , ассоциированные с Д-пок-рытием U . Если f : р' ^ р - морфизм, то на

^ определена гладкая G-связность Н = = f (H') с набором локальн^1х форм {<% = -

r

где Zu функция перехода от карты 4U к карте

4U .

Поскольку dffl* = =0, то связность

*

H - плоская. Из леммы 1 следует, что

т * ([x]) = тн'([x]) для произвольного цикла н

x . Следовательно, т^* = тн'.

Из предложения 2 получим, что Т H' = = ТH* = Тн - Exp О I[ A] . Поскольку I[ A] е

е HomA(Hi(B),Rk) , то Exp о /[А] е ImExp^ и смежные классы т н + ImExp^ и т н > + + Im Exp^ совпадают. □

Таким образом, смежный класс т н +

+ ImExp^ гомоморфизма голономии т н является инвариантом расслоения р. С точки зрения алгебры построенный инвариант представляет собой препятствие к тому, чтобы гомоморфизм

голономии тн '■ H (B) ^ Tk мог быть представлен в виде композиции ТH = Exp О т, где т : Hi(B) ^ Rk - некоторый гомоморфизм, инвариантный относительно действия группы А.

6. Классы эквивалентности почти А-расслоений с плоскими связностями

Предложение 4. Отображение

По :BPo (B,Tk, A, R) ^

^ Hom(Их(B),Tk)/ImExp*A является гомоморфизмом групп.

Доказательство. Согласно определению

сложения в группе B(B, Tk, A, R) , почти Д-рас-слоение р", для которого [р''] = [р] + [р'], обладает набором функций перехода {^Vj = £,vj+ + } . При этом если Юи и ю'^ - наборы ло-

кальных форм некоторых плоских G-связностей H и H' на пространствах расслоений р и р' соответственно, тогда набор локальных

форм {юЦ = юЦ + Юц} удовлетворяет свойствам плоской G-связности на р", которую мы обозначим через H".

Отсюда и из леммы 1 получается равенство тн" = тн + тн'. Следовательно По([р ']) =

= По([PD + По([P'D . □

Предложение 5. Гомоморфизм По сюръек-тивен.

Доказательство. Пусть элемент е = т + + 1шЕхрА, где теНот(Н^В),Тк). Рассмотрим открытые звезды всех вершин полиэдра В и подействуем на них всеми элементами группы А. Орбиты всех звезд образуют простое А -покрытие для В , которое мы обозначим через и . Выберем элементы и,У е и такие, что и п V Ф 0 . Поскольку действие группы А на В регулярно, компонента связности К(и) множества и является открытой звездой некоторой вершины и, а К(V) - открытой звездой некоторой вершины V. В таком случае, компонента связности К(Уи) пересечения - это звезда ребра \ш]. Пусть Б - максимальное дерево одномерного остова полиэдра В с начальной вершиной Vo . Тогда для любой вершины V е К0 (В) имеется единственная цепь Х^ с началом Vo и концом V. Для каждой точки а е К (Уи) положим

4УП (а) = т([Хи + [от] - Ху ])• (6)

Тогда : V п и ^ Тк - локально постоянное и потому гладкое на симплексах отображение, и форма М^уи = 0 инвариантна относительно действия группы 8 е А .

Если и, V,Ж е и и а е Ж п V п и, то имеют место равенства

'^УП + ^ГУ = х([хи + - ХУ ]) +

+ Т([Х^ + [м>и\ - Хи ]) + т([ху + [т>] - хК ]) =

= х(\\му] + \^м] + \^]]) = т(\0]) = 0. Следовательно, существует гладкое почти Д-расслоение р = (^, А) с атласом А(Ц) е А , имеющим систему функций перехода }. Поскольку набор 1-форм (ю^ = 0} удовлетворяет условию (2), то на пространстве расслоения р имеется б-связность Н с локальными

формами {Юц }.

Как и в лемме 1, рассмотрим цикл а : I ^ В , состоящий из ребер аг. Пусть

для I = 1,..., г а1 :1 ^ - гладкие пути, начало

и конец каждого из которых совпадают с началом и концом соответствующего ребра. Наше покрытие построено таким образом, что ни одно ребро не содержится целиком в каком-либо элементе покрытия. Поэтому мы будем применять лемму 1 не к целым ребрам, а к их половинам. Обозначим

через и,- звезду вершины 0^(0). Тогда для произвольной точки Ь еи; + 1 П и! получим

£и. ,u (b) = x(\x 1(0) + ai -x 1(1)]), и по лем-

г+1 i ai (0) ^ (1)

ме 1

r-1/

TH ([a]) = Z\4u;.+1u;

f .

i=1

ai \ 2

+

+

^ul+1ul+1 (a1 (1))) + £>ufr f аГ f 2+ ^U1U1 (аГ (1))

= It i=1

= T

iHXa1(0) + a> Xa1(1) _

= T([a]).

В силу произвольности цикла а этим доказано, что тн = т и По ([р]) = е. □

Предложение 6. Ядро ker По состоит только из нейтрального элемента группы BP(B,Tk, A, R) .

Доказательство. Пусть р = (^, A) - гладкое почти Д-расслоение с проекцией p : E ^ B , обладающее плоской кусочно-гладкой G-связностью H, и По ([р]) = 0. Тогда существует гомоморфизм те Hom Л (Hi( B), Rk ) , удовлетворяющий равенству тн = Exp о т . Найдется

1 ) ^ форма A е Zд (B, t) такая, что /д ([А]д) = т .

Рассмотрим набор кусочно гладких локальных форм {(ov} связности H и положим (Su = + A} . Тогда набор {3^ = + A}

определяет некоторую плоскую связность H

на Ъ,. По предложению 2, гомоморфизм голономии связности H равен т = = хн - Exp o I[a] = Exp о (т -1[а]) = 0 . Таким

образом, группа голономии G-связности H тривиальна. Как и для расслоений над многообразиями. отсюда следует, что [р] = 0 в группе

BP( B, Tk, A, R). □

Теорема. Имеет место изоморфизм BP0 (B, Tk, A, R) = Hom(И (B), Tk )/ImExp^ .

Работа выполнена в рамках федерально-целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационой России», шифр проекта НК-13П-13, контракт П945 и при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00457-а).

Список литературы

1. Зинченко В.Ю. Яковлев Е.И. Гладкие почти Д-расслоения над полиэдрами // Известия вузов. Математика. 2010. № 11. С. 1-19.

2. Леманн Д. Гомотопическая теория дифференциальных форм // Математика. Новое в зарубежной науке: Сборник статей. М.: Мир, 1981. C. 7-85.

3. Рыжкова A.B, Яковлев Е.И. Расслоения с группами многозначных автоморфизмов // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 4. С. 600-616.

4. Манкрс Дж. Элементарная дифференциальная

топология. В кн: Милнор Дж., Сташеф Дж.

Характеристические классы. М.: Мир, 1979. 371 с.

5. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука, 1980. 440 с.

x

Г

BUNDLES OVER POLYHEDRA WITH A FINITE GROUP OF MULTIVALUED AUTOMORPHISMS ADMITTING FLAT CONNECTIONS

V.Yu. Zinchenko

Smooth bundles over the polyhedron with a finite group of multivalued automorphisms are considered. The classification of such bundles has been obtained in the case when they admit flat invariant connections.

Keywords: principal fiber bundle, polyhedron, simplicial group action, simplicial complex, differential forms on polyhedron, invariant connection, almost A-bundle.