CC BY
33
Математика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 1, с. 162-169
УДК 515.16
ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ С НЕАБЕЛЕВОЙ СТРУКТУРНОЙ ГРУППОЙ, ОБЛАДАЮЩИЕ МНОГОЗНАЧНЫМИ АВТОМОРФИЗМАМИ
© 2011 г. Т. Т. Юсупов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
ttyusupov@gmail .com
Поступила в редакцию 07.10.2010
Рассматриваются главные расслоения с заданным на базе действием конечной группы А. Найден общий вид поднятия действия на пространство расслоения. Построена категория псевдо А-расслоений, допускающих существование на тотальном пространстве инвариантной относительно поднятного действия связности. Найдены характеристические классы. Для частного вида поднятия действия получены критерий существования инвариантной связности и критерий морфизма.
Ключевые слова: гладкое многообразие, главное расслоение, поднятие действия группы, инвариантная связность, характеристический класс.
Введение
Объектами исследования настоящей статьи являются гладкие главные расслоения £, с проекцией р : Е — В , фиксированной базой В и структурной группой О . На базе задано эффективное правое действие Я: В х А^В конечной группы А.
Рассмотрим открытое покрытие и многообразия В, для которого существует ассоциированный с и атлас А(и) расслоения £, и
Яб (и) = и для всех и е и, беА. Тогда и называется (^, А) -покрытием.
Действие группы А можно поднять на тотальное пространство Еи сужения £, над
—и
и еи таким образом, что р ° Яб = Я§ ° р для
всех бе А и Яб (у • g)= Яб (у) • g для всех
V е Еи, g е О . При этом действие —и
Я : Е хА^ Е назовём локальным поднятием где : их О — Е^ - карта из атласа А(и), а
В данной статье найден общий вид действия
Я , обладающего указанными свойствами без ограничений на действие вдоль слоя и для произвольной группы О. Построена категория псевдо А -расслоений, которая является обобщением категории почти А -расслоений, найдены характеристические классы. Особо рассмотрен случай, когда поднятие не двигает точку вдоль слоя. В этом случае получены критерий существования инвариантной О -связности на пространстве расслоения £, и критерий морфизма псевдо А -расслоений в терминах функций перехода между картами атласов.
Псевдо А -расслоения и их характеристические классы
Предложение 1. Общий вид локального поднятия Я задается формулой:
Я б (Уи (Ь, g)) = У (Ь • б, Бби (Ъ^), (1)
действия Я. Набор всех Я , и е и, будем называть псевдоподнятием действия Я , в общем случае оно является многозначным.
В статьях [1] и [2] была построена и исследована категория почти А -расслоений, допускающих существование на тотальном пространстве инвариантной относительно действия группы А О -связности. При этом группа О предполагалась абелевой, а поднятие - сохраняющим координату по слою.
: и —— О - некоторое гладкое отображение.
При этом семейство | б еА} обладает
свойствами:
БЕи- е, (2)
Бф (Ъ) = Бр (Ъ • а)Б^ (Ъ) для всех Ъ е В
и а, РеА, (3)
здесь в и е - единицы групп А и О соответственно.
Доказательство. Рассмотрим произвольную карту Уи е А(и) и точку V е Еи . Так как
Яб ° р(у) = Ъ •б, то условие р ° Яб = Яб ° Р эквивалентно равенству
Яб (Уи (Ъ, g)) = Уи (Ъ • б, g),
где g - некоторый элемент из О . Поэтому ло-
—и
кальное поднятие Я можно записать в виде:
Яб (Уи (Ъ, g)) = Уи (Ъ • б, ©б (Ъ, Е)), (4)
где ©б : и х О — О. Запишем значение левой
части условия Яб (у • е) = Яб (у) • е :
яб (Уи (Ь, я) • я') = яб (Уи (Ь, &)) —
(5)
= Уи(Ъ •б,©б (Ъ,ее')).
Значение правой части указанного условия выражается по формуле:
яб (Уи (Ь, я)) • я' = Уи (Ь • б, ©б (Ь, я)) • я' =
(6)
= Уи (Ъ •б, ©б (Ъ, е ) Е).
Из равенств (5) и (6), а также используя изо-морфность Уи, получаем:
©б (Ъ, ее') = ©б (Ъ, е )Е (7)
для всех Ь еи, g, g' е О. Подставим g = е в (7):
©б (Ъ, Е) = ©б (Ъ, е)Е . (8)
Обозначим = © б (Ъ, е) и, учитывая (4), получаем:
Я б (Уи (Ъ, Е)) = Уи (Ъ • б, (Ъ)Е). (9)
Так как Я - правое действие, то: —и _.
я е -\dEjj,
—и —и
(10)
Я ар - Яр о Я а (11)
для всех и є и и а, РєД. Из (9) и (10) получаем:
Яив (Уи (Ъ, Е)) = Уи (Ъ, Би (Ъ)Е) =
= Уи (Ъ, Е X
что равносильно свойству (2). Запишем левую и правую части (11) в соответствии с (9):
Я ар (Уи (Ъ, Е)) = Уи (Ъ • аР, БЦр (Ъ) е ),
ЯР ° Я а (Уи (Ъ, Е)) = ЯР (Уи (Ъ • а, Би (Ъ) е)) = = Уи (Ъ •ар, Б^ (Ъ •а)Би (Ъ) Е).
Из этого следует свойство (3). □
Согласно предложению 1, псевдоподнятие действия Я определяет семейство гладких отображений
Б(11) — : и ^ О | и є и,б є Д}, обладаю-
щее свойствами (2) и (3).
Определение 1. Если О -связность Н инварианта относительно всех Я є Я, то она называется инвариантной относительно псевдоподнятия Я действия Я группы Д на Е.
Определение 2. Пусть задано главное расслоение Е, (Е, Д) -покрытие и и псевдоподнятие Я действия Я . Если на Е существует инвариантная относительно Я О -связность, то пару (А(и), Б( и)) будем называть псевдо Д -атласом. Два псевдо Д -атласа будем считать эквивалентными, если множества О -связностей, инвариантных относительно соответствующих псевдоподнятий, совпадают. Если А
- класс эквивалентности псевдо Д -атласа
(А(и), Я), то пару р — (Е, А) будем называть псевдо Д -расслоением.
В силу этого определения, если О -связность инвариантна относительно некоторого псевдо Д -атласа расслоения р, то она инвариантна относительно всех его псевдо Д -атласов. Таким образом, с каждым псевдо Д -расслоением р связано множество инвариантных О -связностей Нр.
Пусть /: Е ^ Е’ - морфизм над В главных расслоений Е — (Е, р, В, О) и Е ' — (Е', р', В, О) . Тогда / - изоморфизм и индуцирует биекцию /* множества О -связностей расслоения Е на множество О -связностей расслоения Е'. Рассмотрим теперь псевдо Д -расслоения р — (Е, А)
и р ' — (Е ', А).
Определение 3. Если /*( Нр ) — Нр', то будем называть / морфизмом псевдо Д -расслоений р и р'.
Будем считать фиксированными многообразие В, группы О , Д и действие Я: В х Д ^ В. Тогда множество псевдо Д -расслоений над В со структурной группой О и их морфизмов
образует категорию К (В, О, Д, Я) .
Обозначим символом Л'Д (В, Я) группу инвариантных относительно действия группы Д внешних п -форм на В, а символом
НД (В, Я) - группу гомологий коцепного комплекса
d d ... ^ Л71 (В,Я)^ЛпД(В,Я)^ЛпД+1 (В,Я) ^.
(Я) * Ф( XI,., X 2к ) —
= АИ 0(П( Я11 (X), Я (т2)),...,
П( Яи (X 2к-1), Яи (X 2к ))) —
= АЫ 0(ОД,X2),., ^2^1,X2к )) —
= ( Яб Е )^р( Xl),., dp( X2к )) —
= р (Я5Е)(Xl,...,X2к) —
я є О.
Рассмотрим произвольное псевдо Д -расслоение р — (Е, А) с проекцией р : Е ^ В , форму кривизны П некоторой инвариантной О -связности Н є Нр и Ad -инвариантную к -
форму 0 на алгебре Ли группы О со значением в Я . Поскольку Е - главное расслоение, существует замкнутая 2к -форма Е на В, что р Е — 0 о П = А1г 0(П,., П) = Ф .
Предложение 2. Е єЛ2Дк (В, Я).
Доказательство. Рассмотрим произвольный псевдо Д -атлас (А(и), Б(и)) є А и карту
и є и. Тогда (Яи) — w и (Я^и) П — П на
Еи для всех бєД. Используя свойство = Ііш
том X : а : Я ^ О. При этом X —
_ d (gat)
я dt
Также рассмотрим У є д . Согласно [3, с. 47]:
t—о •
^,У^ —Ііт1 [Уg -Ad(а-1)У§ t^о t
для всех
Таким образом:
0(...,[ X ,У ^ ,...) —
= 0(...,1іш1 У - Ad(а-1)У}...) —
t^о t
— Иш^Ч--.,Уg - Ad(a-l)Уg,.) — t^о t
—и
р ° Яб = Яб ° р локального поднятия, получим:
** 7ТИ«И« Т Г *
р (яЯбГ) = (Яби ) р Е = (Яби ) Ф. (12)
Вычислим значение правой части (12):
1 [0(---У,.)-0(.,Ad(а;1)Уё,...)] —о. □
= Ф( X!,..., X 2к ).
Тогда р* (Я*Е) = Я )* Ф = Ф = р* Е .
Пусть V е Еи, Ъ = р(у). Тогда для всех Х1 е ТъВ существует Xг- е ТуЕи, что Х1 = йр(Х1).
*
Вычислим значение Яб Е на векторах
Xь...,X2к :
я* Е ( X!,..., X 2к ) =
Теорема 1. Пусть р = (Е, А) и р ' = (Е' , А') -
изоморфные объекты категории К (В, О, А, Я) ; О и О' - формы кривизны инвариантных О -связностей Н е Нр и Н' е Нр'; Е,Е' еЛА(В, Р)
- замкнутые 2-формы, причём р Е = 0 ° О и р * Е ' = 0 ° О'. Тогда [Е ]А = [Е' ]А.
Доказательство. Поскольку объекты р и р ' изоморфны, то существует / : р — р ' - изоморфизм псевдо А -расслоений. Тогда м = / м' является формой некоторой связно-
= р Е(X!,.,X2к) = Е(X!,.,X2к).
Следовательно, ЯбЕ = Е . □
Предложение 3. Пусть 0 - Лё -инвариантная к -форма на алгебре Ли д группы О
со значением в Р . Тогда 0(...,[X,У]Е,...) = 0 для всех X, У е д, е е О.
Доказательство. Пусть X е д, тогда определена соответствующая однопараметрическая подгруппа группы Ли О , порождённая элемен-
сти Н е Нр .
С другой стороны, / также является морфизмом главных расслоений Е и Е', следовательно существует 1 -форма О на В, что
г * *
/ м — м = р О . Так как О -связности Н и
* и * * * и *
Н инвариантны, то (Яд ) м = м , (Я5) м = м.
А значит, (Яб ) р О = р О для всех и еи, где (А(и), Б(и)) е А . Следовательно, Я*О = О.
Поскольку / : р — р ' - морфизм, то
р = / °/. Тогда р Е' = (/ °р'*)Р = /(р'У') = f *(0 ° О') = 0 ° (/*О') = 0 ° О* , то есть Е' яв-
*
ляется проекцией на В формы кривизны О . Используя также предложение 3, получаем:
р (Е — Е) = 0 ° (О — О) =
= 0 ° (ёш * — ёш) = 0 ° ё (р *О) = р *ё (0 ° О).
Откуда следует, что Е' — Е = ё(0 ° О), а
значИT, [Е]А = [Е']А . □
Таким образом, когомологический класс — Еи 1и еи} действия Я и форма ш О -[Е ]а ф°рмы Е является харакгержтачгск™ связности Н , и еи, беА. Тогда инвариант-
классом псевдо А -расслоения р . ~~д
ность Н относительно Яд равносильна равен-
Специальные локальные поднятия ству
и
и псевдо А -расслоения со = со (17)
Будем рассматривать частный случай ло- Доказательство. Докажем необходимость.
кальных поднятий, когда ЯШ - е для всех Пусть Н - О -связность, инвариантная относи-
и еи, беА. В этом случае можно получить тельно Я б . Тогда ёЯ б (Н.. ) = Н_и для всех
У Яц (у)
дополнительные результаты. б
Подставляя Б = е в формулу (1), получаем V е Ед. Достаточно доказать равенство (17) по
упрощенный общий вид псевдоподнятия дей- отдельности для горизонтальных и вертикаль-
ствия Я : ных векторов.
яб (У/ (Ъ, ё)) = У (Ъ •б, ё). (13) Зафиксируем произвольную точку V е Еи .
При этом для каждой пары карт Рассмотрим X е Н* - горизонтальный вектор
Уи, Уг е А(и) с непустым пересечением V пЦ относительно О -связности Н . Тогда ш(^) = 0.
формулой Ф1ббд1(Ъ) = Утлт(Ъ)~1 Утпт(Ъ •б) опреде- ~ л"Би/^\ и
б ^ Также из того, что а Я б (X) е Н_ и , следует
лено гладкое отображение Фб7 (Ъ)^ п 7 — О. яб (у)
Предложение 4. Пусть для расслоения Е за- т;и*
равенство Я б ш( X ) = 0 . Следовательно, (17)
дано псевдоподнятие Я = {Я :Ед хА — Ед Цеи} справедливо для горизонтальных векторов от-
—и —V _1 У77 носительно О -связности Н.
действия Я . Тогда Яб (у) = Я б (у) • (ё Фб (Ъ) ё), т
4 б 4 Теперь рассмотрим вертикальный век-
где V,U е п и у = Уи(Ъ, ,§■) еV п тор X еVV . По определению, dp(X) = 0. Поп и, беА. и и
Доказательство. Пусть V = Уи (Ъ, е)= скольку р ° Яб = Яб ° р , то ёр(ёЯб ^)) = = УV (Ъ, Уш (Ъ) ё) е V п и . Из определения ло- = ё (р ° Я б XX )= ё (Яб ° рXX) = ёЯб (dp(X)) = 0.
кального поднятия и свойств действия группы О — и
* Поэтому вектор ёЯ б (X) - вертикальный,
на слое следует, что существует ё (у) е О, что:
Ъи,л *г \ *г \\ /1 „ч значит, ^'Яб (X)) = щ^б (X)) = ©е °
Яб (у) = Яб (у) • ё (у) = Яб (V • ё (у)) . (14)
Пофодмуле (13): ° №Яб М (X)), где в*^)-V • ё , а
я б (у) = яб (Уи(Ъ, ёО) = Уи(Ъ •б, . (15) ©: ТО — д - каноническая 1-форма. Вычисляя
Аналогично: далее значение формы в векторе X, получаем:
Яб (у • ё (у)) = Яб У (Ъ,Уш (Ъ)ёё (*)))= (16) -и
= yV(Ъ•б,Уш(Ъ)ёё*(у))= ш(ёЯб(:к^ = ©е°(ёв б е) Vя6^^(^
= Уи(Ъ •б,Уш(Ъ ^б)—1 Уги(Ъ)Её*(у)) . = ©е[((ёвЯб (у\)—1 °ёЯбXX)].
Из (14), (15), (16) получаем:
Уи (Ъ •б, ё ) = Из Я б (у • ё)= Я б (у) • ё следует Я б (в* (ё )) =
= Уи (Ъ •б, УVU (Ъ •б)-1 ^и (Ъ)ёё* (V)). -и -и Яб (V)
Поскольку У^ и х О — Еи - диффеомор- = Я б (* •ё) = Я б (^ = В (ё) . ^ об-
мизм, то ё = Ууу (Ъ •б) 1 Уга (Ъ)ёё (у) , откуда име- разом, Я б ° в* = в б ^ ^. Дифференцируя поем: (у) = ё^Ууи (Ъ)—1 Уш (Ъ • б)ё = ё_1Ф^и (Ъ)ё .□ следнее равенство и рассматривая результат в
Предложение 5. П^сть для расслоения Е единице е группы О , получаем:
задано псевдоподнятие Я = {Я : Ед хА— ёЯ б ° ёвуе = ёвЯ б ^ е . (19)
Так как ёв*е : ТеО — ТХЕ - изоморфизм для действия я. Тогда существование на тотальном пространстве расслоения О -связности,
инвариантной относительно заданного псевдо/л я8 (у) \—1 * \—1 поднятия, равносильно локальной постоянно-
ствовать слева (‘в б е ) , а справа (‘в е) :
сти отображения Ф* для всех V,и е
(‘вЯб (у)е )—1 ° ёЯб =(ёвуе )—1. (20) еЦУ пи ^0 и беА.
Подставляя равенство (20) в выражение (18), Доказательство. Для начала докажем шо6-
всех V є V, то на равенство (19) можно подей -и
е ) , а справа (<ле е
*и
получаем:
ходимость. Пусть для расслоения Е заданы
ш(ёяб (X))-©е [(ёвуе)—1(X)]- псевдоподнятие Я = {Я7 : Еи хА — Еи 17 еи}
= ш0 (X) = Ш(X) действия Я и О -связность Н на его простран-
—и стве Е , инвариантная относительно Я .
А ш(ёяб ^)) = ш(X) и для верти- Рассмотрим локальные формы связности Н
кальных векторов. Шц и Шv для некоторых V,U еЦ^ п 7 ^0.
Таким образом, ш ° ‘Я* = ш . Для них справедливо соотношение:
Далее докажем достаточность. Пусть шк = Л‘ (Ут )(шц — © ° аУт ). (23)
ш ° ‘Я* = ш . Рассмотрим произвольную точку Также, согласно предложениям 5 и 6, вы-
V е Ец . Возьмём произвольный вектор полняются равенства: ш и ° ая* = ш и
—и — и Шv ° ёЯб = = Шv .
X е ёЯб (Ну ). Тогда X = ёЯб (У), где У е Ну . к у
и
Выберем произвольное б е А и подействуем
) = ш(‘Я* У) = ш(У) = 0, а значит X е Н_ц . на обе части (23) Я* , при этом учтём, что
яб (у)
г-г „ ш и ° ёЯб =ш и:
Теперь рассмотрим произвольный вектор 7
__ту >Н >Н
X е Н_и . Положим У = ‘Я—б (X). Тогда Яб ш = я* Ла (yvu)(ш и—© ° dyvи ) =
Яб (у\ = Лё(Уvu )(шц ° ёЯб — © ° dУvи ° ёЯб ) = (24)
ш^) = ш(ёЯб (У)) = ш(У) = 0, а значит, = Лё(Уvu)(шд — © ° dУvu ° ‘Я*).
X е Ну, то есть ‘Яб(Щ ) = Н_и . □ С другой сTоPоны, из равенства (23) следует:
б ( ) Яб Ш = ш = Ла(Ут)(ши—©°аУт). (25)
Предложение 6. Пусть для расслоения Е за- Объединяем выражения (24) и (25):
дано псевдоподнятие Я = {Я : Ец х А — Л‘(У^у )[© ° (‘(У^у ° Я*) — аУш)] = 0.
— Еи\Цеи} действия я и форма ш О - А значит, ё(Уш ° Яб) — аУи =0 и Ф
связности Н , е и, б е А . Тогда следующие
условия равносильны: Теперь докажем достаточность. Пусть отоб-
* ^и
Я Ши = Ши, (21) ражение Ф* локально постоянно для всех
_^* V, и е иV п и ^ 0 и беА. Построим на то-
яб ш = ш. (22) тальном пространстве Е расслоения О -связ-
Доказательство. По определению, ность Н . Определим отображение Ни : Ец —
*
ш и = ст и ш, где ст и : и — Еи, ст и (Ъ) = уи (Ъ, е) . — ТЕц для всех и еи по следующей форму-
Тогда Яб*ши =(сти °Яб)*ш . Но сти(Яб(Ъ))= ле:
- и -и нЦ = ‘ст б (ТЪВ), (26)
= Уи(Ъ•б,е) = Яб (Уи(Ъ,е)) = Яб (сти(Ъ)). Сле- * ^Ъ
б )- луШ —о и ФУи локально постоянно.
довательно, Яб*ю и — (аи о Яб )* ю — (Яб о аи )* ю — где v — Уи (Ь, g), а (Ь) — Уи (Ь', ^ . Заме-
- и* ^ „ л * *— и* л тим, что р ° стб ={‘и. Докажем, что таким об-
что даёт равносильность условий (21) и (22). □ разом определяется О -связность Н на про-
= сти(Яб ш). Отсюда я* ш и — ши = °и(Яб ш —ш), о даёт равносильность условий (21) и (22). □
Теорема 2. Пусть для расслоения Е задано странстве Е и, инвариантная относительно
псевдоподнятие Я = {Я7 : Еи х А — Еи \ и еЩ локального поднятия Я б .
Рассмотрим произвольную точку V є Еи и вектор X є Т^,Еи. Рассмотрим вектор Р — Лр(X). В соответствии с формулой (27), вектор Нх — Л<^ (Р) является горизонтальным. Убедимся, что Vх — X — Нх является вертикальным вектором:
ЛрЩ) — Лр( X) - Лр(Ш) —
= Р - Лр о dag(Р) — Р - Л(р о си)(Р) — о.
кости формы Юо и отображения си о р .
В силу определения отображения aUg , име-
g
ем: Я^ о сиг — си№>. Поэтому ЛЯ^ о — ЛсЦ,',
но тогда ая^ (Ну ) = ‘Яб' (‘ст'б (ТъВ)) =
= ‘ст^ - (ТъВ) = Нуб'. Получаем, что Ни инвариантно относительно действия Я^.
Также из определения ст^ и общего вида локального поднятия Я* получаем:
яб ° стб (Ъ) = Яб (Уи (Ъ, б)) =
и
М /
яб (V)
Это означает инвариантность связности Н относительно Я * для всех беА.
Таким образом, построена О -связность Н на пространстве Е , инвариантная относитель-
и
и
но Я * . Обозначим символом ш форму на Е,
и 77
совпадающую с ш на Е у и равную нулю вне
Следовательно, Т.Еу = Ну + V. . Пусть вектор X еVV пНи. Тогда, с одной стороны, dp(X) = 0, а с другой, - X = аст б (У), где У е ТъВ . В результате
0 = ‘р( X)=а (р ° стб )(у )=а ааи)(У) = у ,
откуда следует, что X = 0. Тогда справедливо равенство Т*Еи = Ну © V*.
Обозначим символом шУ форму связности Н . В соответствии с определением связности Н7, действие ш 7 на вектор X е Т.Еу записывается следующим образом:
ш.(X) = Ш0*(X — а(стб ° Р)(X)).
Тогда гладкость формы ш 7 следует из глад-
Ед. Поскольку ш 7 - форма связности Ну на Ед, то справедливы утверждения:
ш и (X ) = ш0у (X) V* е Еи, X еVV, (28)
1
Яё ш = Ла(б )ш Vg е О. (29)
Пусть ц° \ и еЦ - локально-конечное разбиение единицы на В, подчиненное 7. Фор-
мулой Цу = ^ (^беА^° ° Яб) добавим к разбиению свойство инвариантности относительно
—и и
действия Я* . Положим Ц = Ц ° р для всех и е и. Рассмотрим на Е форму
(30)
= Yj (b -б, g ) = ag о Ru (b), откуда следует
dR U (HJ ) = dR U (da g (TbB)) =
=da g о dR (TbB) = da g (Tb.&B) = hJj . (27)
В каждой точке данная сумма является конечной из-за локальной конечности разбиения, поэтому форма ш является гладкой. Если
V е Ед и X еVV , то
ш( X ) = £ци ( р(*))ш0у (X ) =
= ш0* (X )Хци ( р(у)) = ш0* (X), где суммирование производится по всем и еи, содержащим точку р(*). Т акже для
всех б е О и любого вектора X е Т.Е справедливы равенства:
ш(‘Яб (X)) = ХЦи (р(* • б ))ши (‘Яб (X)) =
= (р(*)) Ла (б-1)ши (X ) =
= Ла (б _1)ХЦи (р(у))ши (х) = Ла (б—1)оXX).
Тогда, по соответствующей теореме, форма ш является формой некоторой О -связности Н на Е . При этом Ну = Кег ш. для всех V е Е .
Остаётся проверить инвариантность Н от-
—V
носительно Я б для всех V еЦ, беА. Зафиксируем произвольные V еЦ, беА. Рассмотрим произвольный вектор X е TVEv, где V е V. Тогда согласно (31):
ш(аЯб (X)) = (р(* '))ши (‘Я* (X)), (31)
где V' = Яб (у) и суммирование производится по всем и еи, содержащим точку р(у') . По свойству локального поднятия р(у') = Я* (р(у)), а значит, так как Я* действует из и в и, условия р(у') е У и р(у) е У равносильны. Следо-
вательно, слагаемые вычисляются для таких и , что V е Еу , т.е. V е Е№ , где Ж = У п V.
Подействуем Я* на равенство (32) для формы ши О -связности Ни и вычтем его же из
результата:
Яб шу шу = Ла(Уш) х
х (ябшЦ—шу+© ° аУ(7и—© ° аУш ° ‘я*).
Поскольку Ф^8у - локально-постоянно, то а(Уу ° Я* — йУу) = 0, следовательно:
Яб шу — шу = Ла(УШ)(Яб шУ — шу ) . (32)
По построению, О -связность Ни инвариантна относительно Я * для всех беА. По предложениям 5 и 6, имеем Я* шУ = шУ, тогда из (33) получаем Я* шу = шу, что в соответ-
*
~гУ и и
ствии с предложением 6 означает Я б ш = ш .
Применяя последнее равенство к (32) и учиты-
и и и вая, что ц ° Я* = Ц , получаем:
ш(аЯб (X)) = Хцу (р(*' ))ши (аЯб (X)) =
= Хцу (я* (р(у)))ши (X ) = ш( X ).
—V *
Таким образом, Я б ш = ш , откуда при помощи предложения 5 получаем инвариантность О -связности Н относительно локального под-—V
нятия Я * для всех V еЦ, беА. □
Рассмотрим / : Е — Е' - морфизм над В главных расслоений Е = (Е, р, В, О) и Е ' = (Е', р', В, О) . Для расслоений Е и Е' зада— —и
дим псевдоподнятия Я = {Я : Еу х А —
— Еи \ У еУ} и Я = {Я1/ : EV хА — EV \ V е е У} действия Я. Пусть А(и) и А'(и') - атласы расслоений Е и Е' соответственно, а Фvu - функции перехода между картами фу и фV данных атласов, где У е У, V еУ ', VпЦ ф 0. Тогда для беА определено отображение ст*7 : VпУ — О: ст*7 = ф—^ф^ °Я*).
Рассмотрим О -связности Н на Е и Н на Е', связанные равенством Н'. = (Ну ) для
всех V е Е . Доказана следующая теорема:
Теорема 3. Если связность Н инвариантна —и
относительно Я б : Еу — Еу, то связность Н ' инвариантна на EV пу относительно
Я'* : EV — EV тогда и только тогда, когда отображение ст^7 : V п У — О локально постоянно.
Доказательство. Пусть шу и ш^ - локальные формы О -связностей Н и Н соответственно. Тогда справедливо равенство:
ШV = Ла(фш)(шу — © ° ёфш ) . (33)
Из предложений 5 и 6 и инвариантности Н * . следует Я* шу = шу . Подействуем на обе ча-
*
сти (34) Яб :
*
Яб ш =
*
= Ла (фvu )(Яб ши — © ° афу ° аяб )= (34)
= Ла(фvu)(шу — © ° dфvu ° аяб). Вычитая (33) из (34) получаем:
яб шV — ШV =
= Ла(фvu)\©(афуи °аяб — dфvu)] .
В соответствии с предложениями 5 и 6 данное равенство означает, что инвариантность О -
—V
связности Н' относительно Я'* эквивалентна равенству ёфш ° ‘Я* — ‘ф^у =0, то есть локальной постоянности отображения ст*7 : V п пУ — О. □
При помощи теорем 2 и 3 для рассматриваемого частного случая поднятия получены эквивалентные определения категории псевдо А -расслоений в терминах функций перехода.
Предложение 7. Пусть {Ууу} - система функций перехода атласа А(и) расслоения Е и
псевдоподнятие Я = {Я \ У е и} действия Я обладает указанным выше свойством. Тогда пара (А(и), Я) является псевдо А -атласом в том и только том случае, если отображения Фд7 = Ууи(Ут ° Я* ) локально постоянны для всех иV еЦ, V п У ф0 и беА.
Доказательство. Непосредственно следует из определения 2 и теоремы 2. □
Предложение 8. Если / : Е — Е' - морфизм над В главных расслоений Е = = (Е, р, В, О) и Е ' = (Е', р ', В, О) , а р = (Е, Л) и р ' = (Е', Л') - псевдо А -расслоения указанного типа, то / является их морфизмом тогда и только тогда, когда локально постоянны все отображения ст^7 = ф—\г(фш ° Яб) , где фш -
функции перехода между картами атласов А(и) е А и А'(и') е А' при морфизме / .
Доказательство. Непосредственно следует из определения 3 и теоремы 3. □
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», шифр проекта НК-13П-13, контракт П945; поддержана РФФИ, грант 10-01-00457-а.
Список литературы
1. Рыжкова А.В., Яковлев Е.И. Расслоения с группами многозначных автоморфизмов // Математические заметки. 2005. Т. 77. Вып. 4. С. 600-616.
2. Рыжкова А.В., Яковлев Е.И. Инвариантные расслоения в категории почти А -расслоений // Вестник ННГУ. Серия Математика. 2004. Вып. 1(2). С. 148-170.
3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1.
PRINCIPAL BUNDLES WITH A NON-ABELIAN STRUCTURAL GROUP POSSESSING MANY-VALUED AUTOMORPHISMS
T.T. Yusupov
Principal bundles with a finite group A action given on the base are considered. A general form of action lifting on the bundle space has been found. A category of pseudo A-bundles has been constructed which admits the existence of invariant (relative to the lifted action) connection on the bundle space. Characteristic classes have been found. For a particular case of action lifting, the existence criterion for invariant connection and the morphism criterion have been obtained.
Keywords: smooth manifold, principal bundle, lifting group action, invariant connection, characteristic class.
