О суммах Уитни алгебр Вейля и расслоений Вейля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.76

О СУММАХ УИТНИ АЛГЕБР ВЕЙЛЯ И РАССЛОЕНИЙ ВЕЙЛЯ

© А. Я. СУЛТАНОВ Пензенский Государственный Педагогический Университет, кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Султанов А. Я. — О суммах Уитни алгебр Вейля и расслоений Вейля // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 235—243. — Целью настоящей работы является изучение суммы Уитни алгебр Вейля и расслоений Вейля. Доказано, что сумма Уитни расслоений Вейля над алгебрами Вейля изоморфна расслоению Вейля над суммой Уитни соответствующих алгебр Вейля этих расслоений. Всякая линейная связность, заданная на базе, позволяет построить горизонтальные лифты функций с базы в расслоение Вейля. С помощью горизонтальных лифтов первого порядка функций на расслоении Вейля построен атлас суммы Уитни касательных расслоений.

Ключевые слова: алгебра Вейля, расслоение Вейля, сумма Уитни алгебр Вейля, сумма Уитни расслоений

Sultanov A.Ya. — About Whitney sums of Weyl’s algebras and bundles // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 235—243. — The aim of this article is to study the Whitney sum of Weyl’s algebra and Weyl’s bundles. We establish an existence of the isomorphism between Whitney sum of Weyl’s bundles over Weyl’s algebras and Weyl’s bundle over the Whitney sum of the appropriate Weyl’s algebras of this bundles. Any linear connection specified on the base enables to construct the horizontal lifts of functions from the base into the Weyl’s bundle. By the instrumentality of the horizontal lifts of functions of the first order on the Weyl’s bundle we construct the atlas of the Whitney sum of tangent bundles. Keywords: Weyl’s algebra, Weyl’s bundle, Whitney sum of Weyl’s algebras, Whitney sum of bundles

Введение

Расслоения А - близких точек были введены А.Вейлем в 1953г. [6]. Впоследствии они стали называться расслоениями Вейля. Примерами этих расслоений являются касательные расслоения, расслоения рг - струй С.Эресмана. Изучению расслоений Вейля посвящены работы А.П.Широкова [2], В.В.Шурыгина [3] и его учеников, И.Коларжа[4], А.Моримото [5] и многих других авторов.

1. Основные понятия

Алгебры Вейля лежат в основе определения расслоений Вейля, а также используются при построении лифтов геометрических объектов с базы в расслоение Вейля.

Приведем определение алгебры Вейля над полем действительных чисел.

Определение 1.1 [3]. Линейная алгебра А конечного ранга над полем М называется алгеброй Вейля, если выполнены следующее условия:

(1) А — коммутативна, ассоциативна, обладает единицей;

(2) существует идеал I такой, что 1т = {0}, а !т+1 = {0};

(3) факторалгебра АД изоморфна М.

Число т называется высотой алгебры А, а число, равное размерности факторалгебры , назы-

0

вается шириной алгебры А. Идеал I, обозначаемый также символом А, является радикалом алгебры А.

Одномерная подалгебра, Мд, порожденная единицей 6д алгебры А, изоморфна М. Алгебру А можно пред-

00

ставить в виде полупрямой суммы Мд и А: А = Мд + А. Отметим некоторые свойства алгебр Вейля и введем понятие суммы Уитни алгебр Вейля.

Теорема 1. Пусть А и В — алгебры Вейля, и / : А ^ В, д : А ^ В — изоморфизмы такие, что /(А) = /(В). Тогда / = д.

Доказательство. Для любого элемента а алгебры А имеет место единственное разложение а = аобд + а1, 0

где ао € М, ао € А. Действуя на а изоморфизмами / и д, получим

/ (а) = ао/(6д) + / (аД д(а) = аод(бд) + д(аД

причем /(6д) = д(6д) = 6®, а по условию /(ах) = д(а]_). Отсюда следует, что /(а) = д(а). Значит / = д. ■

о о о

Теорема 2. Всякий изоморфизм < : А ^ В можно единственным образом продолжить до изоморфизма

< : А ^ В алгебр Вейля А и В.

Доказательство. Рассмотрим линейное отображение < : А ^ В, удовлетворяющее условиям: оо <(6д) = 6®, у(ах) = у(ах) для любого элемента а! радикала А. Отображение у - взаимно однозначное,

что следует из определения <. Для любых а, 6 € А имеем

<(а6) = у((ао6д + а!)(6о6д + 61)) = <(ао6о6д + (ао&1 + а^о) + а^) =

(ао6о)6® + аоу(б1) + 6оу(а1) + <^161) =

(ао6о)6® + ао< (61) + 6о< (а1) + < (а1)< (61) =

(аоб® + < (а1))(6о 6® + < (61)) = <(а)<(6).

Отсюда следует, что < — изоморфизм. Единственность изоморфизма < следует из теоремы 1. Таким образом, любые две алгебры Вейля, радикалы которых изоморфны, являются изоморфными. Это свойство алгебр Вейля позволяет ввести следующее

Определение 1. Суммой Уитни алгебр Вейля А и В называется алгебра Вейля С = А В, радикал

оо

которой изоморфен прямой сумме радикалов А и В.

Определение 2. Линейная алгебра А, изоморфная прямой сумме В ® С алгебр В и С, не сводящихся только к нулевому элементу, называется приводимой. В противном случае алгебра А называется неприводимой.

Имеет место следующая теорема [1]

Теорема 3. Любая алгебра Вейля является неприводимой алгеброй.

Введем понятие расслоения Вейля. Пусть А — произвольная алгебра Вейля над полем действительных чисел М, М — п-мерное вещественное связное паракомпактное гладкое многообразие класса Сто. Обозначим через СТО(М) алгебру гладких класса Сто функций, заданных на М и принимающих значения в М.

Определение 3. Точкой, А - близкой к точке ц € М называется гомоморфизм : СТО(М) ^ А,

о

удовлетворяющий условию (/) = /(ц)бд(то^А).

Множество точек, А - близких к точке ц € М, обозначим через МД. Объединение и МД обозна-

д£М д

чим через Мд. Отображение п : Мд ^ М, определенное условием п(^д) = ц, называется канонической проекцией, а тройка (Мд, п, М) — расслоением Вейля.

На тотальном пространстве Мд возникают структуры гладких многообразий над алгеброй А и над алгеброй М [3].

Пусть / € СТО(М).

Определение 4. 1. Функция /(о) : Мд ^ М, определенная условием /(о) = / ◦ п, называется вертикальным лифтом функции /.

2. Функция /д : Мд ^ А, определенная условием /д(^д) = jq(/) для всех jq € Мд, называется

естественным продолжением / с базы М в пространство Мд.

Из определения следует (/ + д)д = /д + дд, (с/)д = с/д и (/д)д = /ддд, с € М.

Пусть на М выбран атлас гладкой структуры и (и, ж®) — произвольная карта этого атласа. Для координатных функций ж® построим их естественные продолжения (ж®)д = X®.

Обозначим через п-1(и) — полный прообраз области V выбранной карты. Из определения естественного продолжения функций, имеем

(ж®)Ди )= jq (ж®)

для любого jq € п-1(и).

Так как jq(ж®) = ж®(ц)(той I), то

(ж®)ДСД )= ж(о)С?'д)+ ж*аСД )е“ (а = 0). (1.1)

Из последних соотношений следует, что

(ж®)Д = ж(о) + ж*ае“.

Здесь ж^ : Мд ^ М — функции, определенные соотношением (1.1).

Пусть ц — произвольная точка окрестности V. Для каждой функции / существует окрестность точки ц, содержащаяся в V, такая, что в этой окрестности функция / может быть представлена формулой Тейлора

р 1 1 /

/ = / (<7)+Е-г Д/(ц)(ж - ц)8 + -^(Д^ / ◦ £)(ж - ц)8. (1.2)

|я|=1 в! |я'|=р+1 в'!

Здесь р — высота алгебры Вейля А, функция £ определяется условием

£(</) = (9® + в(д'® - 9®)), 0 < в < 1, а ц® = ж®(ц), ц'® = ж®(ц'®).

Выражения (ж — ц)я означают краткую запись выражения (ж1 — ц1)8*1 (ж2 — ц2)Я2...(ж” — ц”)Яп. В формуле (1.2) Д8/(ц) определены так

д|я| /

Дя/(ц) = (дж1)81 (дж2)82...(дж”)8п (ц).

Для каждой точки , А-близкой к точке д, на основании (1.2) имеем

Р 1

Зч(/)= /(<7) + , Е “ГА/(д)(З(х) - #. (1.3)

181=1 в!

В полученном равенстве имеем

(jq (ж) - ц)8 = (jq (ж1) - ц1)81 (jq (ж2) - ц2)82 ...(jq (ж”) - ц”)8п .

Так как jq(ж®) - ц® = ж®(ц) + ц®,еа - ц® = ц®еа = ^® (а = 0), то (1.3) можно переписать в виде

р 1

jg (/)= / (ц)+ -Г Д8/(ц)д8. (1.4)

|81 - 1 -!

Отсюда

р 1

/^ ) = /(0)(jq )+ £ -!(Д8/(ж)) (о) (j q )X18(jq ).

|8|=1 в!

Следовательно, естественное продолжение /д функции / можно представить следующим образом

/ДЫ = / (ж) + %/ (ж)ж^1 + 2т длл/ (ж)жаа11 ^ 7“102 +... +

+ р! % 52...5'р/(ж)ж011 жа2 . . .жоТр7“102...“^ . (1.5)

2.Сумма Уитни расслоений Вейля

Пусть А и В — алгебры Вейля, С = А В — сумма Уитни этих алгебр. Поскольку радикал

оо

алгебры С изоморфен прямой сумме радикалов А и В, то алгебру С можно представить в виде следующей полупрямой суммы

С = Мс + 11 ® 12,

оо

где Мс = {*йс|* € М}, 11,12 - идеалы алгебры С, изоморфные А и В, соответственно. В алгебре С подалгебра Мс + 11 изоморфна алгебре А, а подалгебра Мс + 12 - алгебре В.

Пусть

< : А ^ Мс +11,

ф : В ^ Мс + 12,

являются изоморфизмами указанных алгебр. Эти изоморфизмы будем использовать в дальнейших построениях.

Выберем в алгебрах А и В базисы следующим образом

оо ео = 6д, еа € А, а =1, 2,..., й*тА,

оо е = 6в, ест € В, а = 1, 2, ...,й*тВ,

и пусть (ео,еа), (ео,ест) — соответствующие им дуальные базисы.

В алгебре С базис построим из элементов

_о _ с

Єї = 5е, є? = ¥>(є“), Є2 = ^(ест).

Легко заметить, что є0 = <£>(#а). Элементы дуального базиса к построенному базису обозначим следующим образом:

Єїо, Єїа, Є2ст.

Пусть Мп — гладкое, класса Смногообразие, С“(М„) — алгебра гладких класса Сто функций на Мп.

Рассмотрим расслоения Вейля над Мп, порожденные алгебрами А, В и А В = С.

Стандартным образом построим сумму Уитни Ма ® Мв расслоений Вейля Ма и Мв:

m£ е MB = Шрд, jB)|j^ Є m£, jpB Є M®}. я точка к p Є

Отображение

Здесь jp^ — A-близкая точка к p Є M”, j® — B-близкая точка к p Є M”.

jB)) = P,

определенное условием

п((jp, jp

называется канонической проекцией.

Естественная топология и структура гладкого многообразия класса C“ на M^ е M® порождаются топологией алгебры Вейля C при помощи координатных функций, индуцированных координатными функциями карт гладких атласов расслоений Вейля M^ и M®. Опишем построение этих координатных функций.

Пусть (U, ж®) — произвольная карта гладкого атласа на M”, через n-1(U) обозначим полный прообраз окрестности U. На каждом расслоении Вейля (M^n^M”), (M®,nB,M”) рассмотрим карты

((п^-1^), (ж®)д), ((nB)-1(U), (ж®)в). На n-1(U) определим координатные функции ж0 , жг1а , ж^

oo (а = І, 2, ..., dim A; в = І, 2, ..., dim B) условиями

жго((зД,з'В))= е1о(<((ж®)ДС7£))), жи(ЗрД,3'рВ))= е1а(<((ж®)ДС7Д))), ж*2в ((з'рД,3'рВ))= е2в (Ф((ж®)Х))).

Из определения функций жо,ж1а, ж^в следует, что они порождают инъективное отображение

Н : п-1(и) ^ М” + (11 ® 12)”

по закону

Н((з£,з|)) = (жо(з£),ж*аС?£),жв (з®)).

Поскольку е? = <(6д) = ф(6в), то жо(з'д) = ж((ж®)д)о(з'д) = ((ж®)в)о(Зд)).

Слабейшая топология на Мд ® М®, относительно которой построенные отображения являются непрерывными, называются естественной топологией суммы Уитни Мд ® М®.

Построим теперь расслоение Вейля М^ над Мп, порожденное алгеброй С = А ®^ В.

Пусть (#, зВ) € Мд ® М®.

Рассмотрим отображение зр : СТО(МП) ^ А ®^ В, определенное условием

3рс(/) = <(3рД/) + Ф(зВ/) - /(р)6с. (2.1)

оо

Так как з'Д/ = /(р)6Д(той А), то 3Д/ - /(р)6Д € А. Значит, <(з'Д/) - /(р)6с является элементом идеала

11. Аналогично, ф(зДд) - д(р)6с € 12. Поэтому

(<(з'рД/) - /(р)бс)(Ф(з®д) - д(р)бс) = 0, (2.2)

(<(з'Дд) - д(р)6с)(ф(з'В/) - /(р)6с) = 0 (2.3)

для любых /, д € СТО(МП).

Теорема 4. Отображение ЗД, определенное условием (2.1), является точкой расслоения МД, где С = А ®^ В.

Доказательство. М-линейность отображения ЗД следует из (2.1). Пусть /, д — произвольные функции из СТО(М”). Тогда

з'С(/д) = <((з'Р7)(зДд)) + ф((з'В/Хз^д)) - /(р)д(р)6с = <(з'Д/)<(з'Дд) + ф(з'В/)ф(з'®д) - /(р)д(р)6с.

С другой стороны,

(з'С/Хз'Р^ = (<(з'Д/) + ф(з'В/) - 7Ы^сХфСз'Р^ + ^з'^ - д(р)6с) = 3)<(зДд) + Ф(з'В/)Ф(з®д)) + 3)(ф(з» - д(р)бс) + (Ф(з®/) - /(р)бс)<(зДд) - Ф(з'В/)д(р)бс--/(р)ф(з'®д)бс + /(р)д(р)бс = з'^/д) + <(3р7)(Ф(3®д - д(р)бс) + (Ф(з'В/) - /(р)бс)<(з'Дд)--д(р)(ф(з'В/) - 7(р)6с) - 7(р)(ф(з'вд) - д(р)6с) = з'С(/д) + (<(з'Д/) - 7(р)6с)(ф(з'®д) - д(р)6с)+ +(ф(з'В/) - 7(р)6с)(<(з'Дд) - д(р)6с).

Отсюда, на основании равенств (2.2),(2.3), заключаем, что

з'рс(/д) = (з'рс/)(з'рсд),

Из равенства (2.1) следует, что ЗД/) = /(р)(той 11 ® 12).

Действительно,

3'С(/) - /(р)6с = (<(зр7) - /(р)6с) + (ф(з®/) - /(р)6с) € 11 ® 12.

Предложение доказано. ■

Теорема 4 позволяет ввести отображение

Ф : МД ® МВ * МД®№в

по правилу

Ф((зД,зВ))= 3рс,

где зС определяется условием (2.1). Это отображение является морфизмом, расслоенным над £^мп . Действительно, диаграмма

мД ® мВ -* мД®^в

п I I пс

М” ®-* М”

коммутативна:

п(Ф(зД,зВ)))= Р, *^м„ (п(з'Р\ 3рХ = Р,

откуда

пс о Ф = *йМп о п.

Теорема 5. Морфизм Ф является гладким класса Си биективным, то есть изоморфизмом расслоений.

Доказательство. Найдем локальное представление морфизма Ф. Пусть (V, ж®) — произвольная кар-

со,

}рта на Мд®»В произвольной точки (,

^р ’ ^р /

та на М”, (п 1(и), жо, ж*^, ж^) — карта на Мд ® Мв с индуцированными координатными функциями, ((пс)-1(и), (ж®)с) — карта на Мд®№в. Для произвольной точки (зД,3®) обозначим через (у®)с — координаты точки з'рс = Ф((3Д, 3®)) :

(уТ = (ж®)^).

Положим (y®)c = y0Sc + УІає“ + y2eєв. Из определения морфизма Ф, найдем

(Ж® )C(jpC) = jpV) = p(jV) + ^ж®) — ж® (p) Sc = р((ж®)д(з'Д)) + ф((ж®)в(з'В)) — Ж>^ = p^p^ + жга(з'д)є“) + ф(Ж^ (j®)ee + ж^^в) — ж® (p) Sc = ж®^^ + жга(з'д^ + Ж^ (j® )є^.

Таким образом, морфизм Ф локально задается формулами

у0 = (ж®)(0)

Уіа = жІа (jC),

у2@ = ж2в (jpC)

где (ж® )(0)(jpC) = ^oOpX жІа () = жа (j'p^), ж2в (jC) = Жв (jB).

С другой стороны, прообраз (j£, j®) точки jp при отображении Ф в карте (n-1(U), ж^, жІа, ж^) имеет

такие же координаты. Таким образом, морфизм Ф каждой точке (j£, j®) Є n-1(U) ставит в соответствие

точку Ф((^’Д, j®)) Є (пс)-1(U), имеющую такие же координаты. Отсюда следует гладкость класса C“ и

биективность морфизма Ф. Ш

Из теорем 4 и 5 следует

Теорема 6. Сумма Уитни расслоений Вейля над алгебрами Вейля A и B изоморфна расслоению Вейля над суммой Уитни A е^ B.

3.Горизонтальные лифты функций

Предположим, что на базе M расслоения Вейля Mд задана линейная связность V. Покажем, что на Mд можно построить атлас суммы Уитни касательных расслоений. Пусть (U, ж®) — произвольная карта гладкого класса C“ атласа на M, (п-1 (U),жа) — карта на Mд с координатными функциями ж^, индуцированными функциями ж®.

Для любой функции f Є C“(M) запишем локальное выражение функции і

^ = f(0) + ((djl f )(0)Ж^1 + 2l(dj2jl f) (0) Жо22 j Y“102 + ... +

+p1i(djpjp-l...jlf)(0)ЖІ;жІ7-11 .. .жа11 Y“p“p-l...al)є^, (3.1)

где по а1,. .., аp и v ведется суммирование от 1, 2, ..., dim I.

Линейная связность V позволяет частные производные l...jl f (k > 1) выразить через со-

ставляющие ковариантных производных линейной формы w = df .В результате такой замены получим следующее равенство

fД = fHo + fHl + ... + f, где fHo = f(0). Функции f(i = 1, 2,... ,p) содержат только ковариантные дифференциалы V®-1(df), и будем называть их горизонтальными продолжениями функции f в расслоение Mд.

Рассмотрим подробнее функции fHl. Из определения ковариантного дифференциала для линейной формы w, получим

X2(w(Xi)) = Vw(Xi,X2)+ w(Vx2 Xi),

Xs(X2(w(Xi))) = V2w(Xi, X2, X3) + Vw(Vx3Xi,X2)+ Vw(Xi, VxX2) + Vw(Vl2Xi,Xs) + w(Vx VxXi),

ХкХк-1... Х2ИХ1)) = Ук-1ш(Хь Х2,..., Хк)+^(Ук-2ш,..., Уш, Х1, Х2,..., Хк)+ш(У^Ухк_1 ... УхХ1),

где ^ — многочлен относительно Уш, У2ш,..., Ук-2ш .

Положив в этих равенствах вместо векторных полей Х^ векторные поля натурального репера (д®) на V, а вместо ш — линейную форму 7, получим

д*ш_1...л / = У*-17(дл,... д^к) + ... + 7(У^ Ув,.к_1 ... Уэ3-2 дл),

(к = 2, 3,... ,р). Введем следующие обозначения

Уазк Удзк-1 . . . Уаз'2 д^1 = Г}кЗк-1...]1 д®.

Тогда

7 (уд3к Уд3к-1 ... Уд,2 % )= д®/ Г}к ;к-1...л .

Учитывая равенство (3.1), получим

/Н = (д®/)оК + ^(Г*2ЗЧ)ожа22<70Г1 + ... + ^(г;р5р-1...л )(о)жа;жО- ... ж* ^г*—1 )е".

Введем вещественнозначные функции /[V по формулам

/[V] = е^ О /Н ,

где е^ — линейные формы дуального базиса к базису (е°,е^).

Отсюда следует, что для любой точки 3 € п-1^), имеем

73) = (д®7)(ц)(ц®® + <7“201 + ... + Р^и-1...31 )(ц)ц«Р<-1 .. .ц«17“р“р-1...а1).

Таким образом,

fv = №/ )o(xV + )c)xi22 j ^ + ... + -(rj-!...л )(0)< j-Д .. .< 7^). (3.2)

Для координатных функций x® из (3.2), получим

rf -і = ж® + —(Г® - Vn'\Ж^'2 Ж^1 Ya2al _|_ _|_ —(Г® . - )/п'\Ж'^'Р Ж^р — 1 Ж^1 Y

'[v] ' 2P J2J1 '(0)Ж«2Ж«1 . . pP j jp-1 "Л (0)ЖарЖаР-l . . . Ж«1 Y

Если (V, y®) — другая карта на Mn, U П V = 0, и y® = yi(x1, x2,..., xn) на U П V. Тогда из формул (3.2) следует, что

УМ = (dj yi)(o)xjv]. (3.3)

Соотношения (3.3) показывают, что функции

x0, x®v] (v =1, 2,. .., dim I)

на n-1(U) С преобразуются как координатные функции естественного атласа суммы Уитни

N

© Tv (M„),

v=1

N = dim I экземпляров касательных расслоений.

Таким образом, доказана

Теорема 7. Линейная связность V, заданная на базе M расслоения Вейля MД, индуцирует на Mд атлас суммы Уитни N экземпляров касательных расслоений над M (N = dim I).

Многообразие M — паракомпатно, поэтому оно допускает риманову метрику, а значит и линейную связность. Поэтому на основании теоремы Т имеет место

Теорема S. Расслоение Вейля Mд над паракомпактным многообразием M допускает структуру суммы Уитни касательных расслоений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Султанов А. Я. Действия групп автоморфизмов алгебр Вейля на расслоениях Вейля// Ученые записки Казанского ун-та. Т.147. Серия "Физико-математические науки Книга 1, Казань, 2005. С. 159-1Т2.

2. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Т. 12: Проблемы геометрии. М. 1981. С.61-96.

3. Шурыгин В.В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и многообразия Вейля// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Т. 73: .Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры М. 2002. С.162-236.

4. Kolar I. Affine structures on Weil bundles// Nagoya Math. J. 2000 Vol. 158 Pp. 99-106.

5. Morimoto A. Prolongation of connections to tangent bundles of near points// J. Different. Geom. 1976 Vol. 11., №4. Pp. 479-498.

6. Weil A. Theorie des points proches sur les varietetes differentiables// Colloque internat. centre nat. rech. Sci. Vol. 53. Strasbourg, 1953. Pp. 111-117.