Об алгебрах Ли голоморфных аффинных векторных полей на расслоениях Вейля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 4 Физико-математические пауки 2009

УДК 514.76

ОБ АЛГЕБРАХ ЛИ ГОЛОМОРФНЫХ АФФИННЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА РАССЛОЕНИЯХ ВЕЙЛЯ

А.Я. Султанов

Аннотация

В работе установлены максимальные размерности алгебр Ли голоморфных аффинных векторных полей па расслоениях Вейля, снабженных голоморфными линейными связностями.

Ключевые слова: алгебра Вейля, расслоите Вейля, голоморфная функция, голоморфная лилейная связность, аффинное векторное поле, алгебра Ли.

1. Основные определения и факты

Определение 1 [1]. Линейная алгебра А конечного ранга над полем R называется алгеброй Вейля, если выполнены следующие условия:

(1) А - коммутативна, ассоциативна, обладает единицей;

(2) существует идеал I такой, что Ip = {0}, а Р+1 = {0};

(3) фактор-алге бра АД изоморф на R.

Число p называется высотой алгебры А, а число ш, равное размерности фактор-алгебры Я/Я2, - шириной алгебры А.

A

действительных чисел R. Будем считать, что единица S алгебры А отождествлена с единицей 1 поля R. Тогда А как векторное пространство может быть представлено в виде прямой суммы R и идеала I. Выберем какой-нибудь базис е“, а = 0,1,..., dim I алгебры А, причем е0 = 1. Наряду с А будем использовать дуальное пространство А* линейных форм, заданных на А, со значениями в R. Обозначим через еа элементы дуального базиса к базису (е“), тогда еа(ев) = Se.

Пусть Mn - п-мерное вещественное связное гладкое многообразие класса Сто , обозначим через CTO(Mn) алгебру гладких класса Сто функций, заданных на Mn

R

Определение 2 [1]. Точкой, А-близкой к точке q G Mn, называется гомоморфизм jq : CTO(Mn) ^ А, удовлетворяющий условию jq(f) = f (q)(mod I).

Множество точек, А-близких к точке q G Mn, обозначим через 9q(Mn). Объединение U 9q (Mn) обозначим че рез MA. Отображе ние п : Mn ^ Mn,

q£M

определенное условием n(jq) = q, называется канонической проекцией, а тройка (M%, п, Mn) - расслоением Вейля.

На тотальном пространстве M^ возникают структуры гладкого многообразия над алгеброй А и над алгеброй R. Пусть f - функция класса C, заданная на Mn. Функция fA, определенная уеловием f A(jq) = jq (f), называется естественным продолжением функции f. Для каждого элемента a* G А* функция а* о fA = f(a*) называется (а*)-лифтом функции f с Mn на MA.

В.В. Шурыгиным доказано [2, с. 99], что всякую голоморфную функцию / на МА можно представить в виде / = еа/А для некоторых функций /а Є СТО(М„), где еа - элементы некоторого базиса алгебры А. Алгебру голоморфных функций над А обозначим через В, а через В - алгебру гладких класса Сто функций на расслоении М^, снабженном естественной гладкой Сто -структурой над М.

Векторное поле X на расслоении МА называется голоморфным, если функция X/ голоморфна для каждой голоморфной функции /.

Определение 3. Для каждого векторного поля X Є 701(М„) единственное векторное поле X Є ТдЧМп), удовлетворяющее тождеству

называется естественным продолжением векторного поля X.

Обозначается это векторное поле через XА. Итак, XА/А = (X/)А.

Другой подход к построению векторного поля XА был дан в 1976 г. А. Мори-мото [1].

д А

Из определения векторного поля XА следует, что ^ А = .

Введем понятие голоморфной линейной связности.

Определение 4. Линейная связность V на называется голоморфной, если для любых голоморфных векторных полей X и У векторное поле Vх у голоморфно.

Линейная связность V на М^ голоморфна тогда и только тогда, когда для любых векторных полей X и У, заданных на Мп, векторное поле VхА УА голоморфно.

Предложение 1. Линейная связность V, заданная на расслоении Вейля М,^,

М

ность V = Го, тензорные поля Га (А = 0) типа (1.2) такие, что выполняется тождество

Среди голоморфных линейных связностей выделим линейную связность, которая определяется тождеством

для X, У € 701(МП). Эта связность определяется лишь связностью V, заданной на базе М п расслоения Вейля Ми называется естественным продолжением линейной связности V с базы Мп в расслоение М^. Связность, определенная тождеством (1), обозначавтся VA; она впервые была введена А. Моримото [1].

На основании определения 3, предложения 1 и тождества (1) заключаем, что имеет место

Теорема 1. Линейная связность V на МА голоморфна тогда и только тогда, когда на базе Мп расслоения существуют линейная связность V, тензорные поля Га (А = 0) такие, что

X/А = (X/)А,

V ХА УА = е^Г^У ))А

V* УА = (V* У )А

(1)

V = Vа + ЄЛГА (Л = 0).

Тензорные поля кручения Т и кривизны Д голоморфной линейной связности

V = £°Та та расслоении Вейля МА можно представить в виде:

(1) Т = е“ТА,

(2) д=£“да,

где То — тензорное толе кручения, До _ тензорное поле кривизны линейной связности Го = V, а тензорные поля Та, Да (А = 0) определяются соответственно условиями:

Та(Х,У) = Га(Х,У) - Га (У, X), Да(Х, У, 2) = Vх Га (У, 2) - ^Га(Х, 2) + Га(Т(X, У), 2)+

+ 7ат(Г,(X, Гт(У, 2)) - Гст(У, Гт(X, 2))),

где по а, т (= 0) ведётся суммпрование, 7^т - структурные постоянные алгебры Вейля А.

Если связность V являете естественным продолжением связности V с Мп в М,А, то

Т = тА и Д = дА.

2. Голоморфные аффинные векторные поля

Пусть V - голоморфная линейная связность на МА.

Определение 5. Голоморфное векторное поле X, заданное на М^ называется аффинным относительно линейной связности V, тел и Ьх V = 0.

Если X - аффинное векторное поле, то тензорные поля кручения Т и кривизны Д связности V удовлетворяют тождествам:

Ьх(VкТ)=0 и Ьх(VкД)=0, к € N.

Обозначим через д(МА) множество всех голоморфных аффинных векторных полей относительно связности V. Из определения производной Ли линейной связности следует, что если X, У € д(МА) и а, Ь € А, то + Ьу, [X, Т] являются голоморфными аффинными векторными полями относительно V. Следовательно, А-модуль д(МА) голоморфных аффинных векторных полей относительно связности V, снабженный операцией коммутирования, является алгеброй Ли над А.

Модуль д(МА) обладает естественной структурой векторного пространства над полем действительных чисел И, поэтому пара (д(МА), [, ]) является алгеброй Ли голоморфных аффинных векторных полей над М. Обозначим эту алгебру символом (д(МА))®, а символом д(Мтп) - вещественную алгебру Ли аффинных векторных полей относительно V®. Вещественная реализация X(г) голоморфного векторного поля X определяется условием X(г)/(а*) = (X/А)(а*}. Вещественную реализацию алгебры (д(МА))® обозначим через ®(д(МА)).

Предложение 2. Отображение к: ^(М^)® ^ д(М^тп), определенное условием ) = X(г), является инъективным гомоморфизмом.

Следствие. Алгебры Ли (д(Мп))® и ®(д(Мп)) С д(Мтп) изоморфны.

Из этого следствия получаем, что алгебра (д(М„))к конечномерна. Действительно, алгебра Ли д(Мт„) имеет размерность, не превышающую (шп)2 + тп, где т - ранг алгебры А.

Рассмотрим расслоение линейных реперов (Ь(М^„),п, М^„) над многообразием М»„ • Известно, что соответствпе Z ^ , ще 2 Є д(Мт„), - значение

в точке д' Є Ь(М^т „) полного лифта векторно го поля 2 в расслоен ие Ь(М^ „), является инъективным [3, с. 219].

Пусть д Є М»„ - естественная проекция точки д' Є .ЦМ^,„), то есть д = п(д'), (и, ж?) - карта па М^„ такая, что д Є и, индекс і принимает значения от 1 до п,аа-от 0до ш — 1. На ДМ^ „) построим карту (п-1(и), ж?, ж?'). Для любой точки д' Є п-1(и) матрица Их?'(д')|| является элементом полной линейной группы СЬ(шп, М).

Для произвольного голоморфного аффинного векторного поля X Є д(МА) имеем:

X(й) = (X гдг)(<5) = (X %а)дг(е“) = X? д?.

Здесь є“, - элементы базиса алгебры А и дуального ему базиса в пространстве

А*, Xг = X?єа - координаты векторного поля X в карте (и, (жг)А = ж?єа). Полный лифт векторного поля X(<5) имеет вид:

X(0) = (X?)(0)(дг°)(0) + (X?)(, ) (д?)(і ).

В точке д' Є Ь(М^т„) будем иметь, что

xq0) = X;(д)(дг°)(0) , + дтX;(д)х'(д') С

В силу голоморфности векторного поля X Є (д(МА))к выполняются тождества (условия Шефферса):

дТ x;(q) = 5, дВДдЫ,

где 7?т - структурные постоянные алгебры А относительно базиса (є“): 7^т = = еи(емет), 5^“ = 5.

Введем следующие обозначения: Xkм = 5адаX^. Тогда

^10) = X?(д)(дг°)(0) , + Xг„(д)7?тжк"(д') д?

Система векторов (д“)(0)|п,, 7^тж'(д') д?'

касательного пространства Т9

к расслоению Ь(Мт„) линейно независима. Действительно, пусть

Аг„ (д?)(0) + А*7Гхк" (д') С

0.

(2)

Векторы (д“)(0)| 0 д? образуют базис касательного прострапства Тд/ (ДМ^,„))•

Поэтому из (2) следуют соотношения

Аг? = 0. 7?т (д') = °-

Так как Ця'(д')|| Є СЬ(шп.

уГжк' (д') -

то из (3) получим:

Аг = 0 = 0.

Свернув эти соотношения с , придем к следующим равенствам:

Aafc = 0.

Отсюда следует, что подпространство пространства Tq' (ДМ^,„)), натянутое на векторы (d“)(0)| 0 y^t(q') , имеет размерность m(n2 + n).

q J q'

Таким образом, доказана

Теорема 2. Размерность алгебры Ли над R голоморфных аффинных векторных полей относительно связности V на не больше, чем m(n2 + n), г<?е m -ранг алгебры A.

Определение 6. Рангом элемента а алгебры A называется ранг линейного оператора La : A ^ A действующего по правилу Ьа(ж) = аж.

Обозначим ранг элемента а через rank а.

Для любого ненулевого элемента а алгебры Beйля rank а > 1, причем оценка эта точная. Действительно, если а являете элементом идеала Ip алгебры Вейля A высоты p, то rank а = 1.

В данной работе мы будем рассматривать лишь линейные связности V, не имеющие кручения, то есть T = 0.

Обозначим через W тензорное поле Вейля связностп V. Тензорное поле W определяется аналогично, как и тензорное поле Вейля проективной кривизны вещественной линейной связности без кручения.

Если (U, ж®) - карта A-гладкого атласа на , то обозначим через Wj состав-W

ствам:

Wj = —Wy,

Wj = 0 (по s ведется суммирование)

и тождеству Бианки

Wj + =0.

W

следующим свойством: тензор Wq, q G , отличен от нуля тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

а) существует карта (U, ж®), q G U такая, что W223(q) = 0;

q

в точке q равны нулю, но существует карта (U, ж®), q G U, в которой W2134(q) =

=0

Эти условия были использованы П.П. Егоровым при исследовании алгебр Ли иифииитезимальных аффинных и проективных преобразований [4, с. 19 20]. Имеет место

Предложение 3 [5]. Пусть V - голоморфная линейная связность на MA и T = 0. Если существует карта (U, ж®) A-гладкого атласа на MA такая, что W2123(q) = а = 0 и r = гапк а, то

dimR (g(Mn))R < m(n2 + n) — r(3n — 5).

rank а > 1

Предложение 4. Максимальная вещественная размерность алгебр Ли голоморфных аффинных векторных полей на MA с A-гладким,и линейными связностями V, тензорные поля Вейля W которых имеют в некоторой карте отличные от нуля составляющие вида W^, равнa m(n2 + n) — (3n — 5), m = dimR A.

Имеет место следующее

Предложение 5 [5]. Если в каждой карте составляющие вида (h = i, j, i = j) тензорного поля Вейля равны нулю и W234(q) = А2 = 0, W3142(q) = Аз, W4123(q) = А4 и q G MA, то dimR(g(MA))R < m(n2 + n) — r(4n — 12) — 2r1, где r = rank A = (A2, A3, A4), A® - матрица линейного on epamopa L\i

/A2 — A3 0 0

r1 = rank I 0 A2 — A4 0

0 0 A4 — A3

rank а > 1 r > 1 r1 > 2 Предложение 6. Если в каждой карте составляющие вида W^j (h = i, j, i = = j ) WW = 0

иостъ алгебры Ли голоморфных аффинных векторных полей таких пространств (MA, V) равнa m(n2 + n) — 4(n — 2), m = dimRA.

Для доказательства точности оценки рассмотрим

Пример. На A-гладком многообразии An = (Rn)A линейную связность зададим соотношениями:

Vд2d3 = Vдзд2 = Ьж4, Vдзд4 = Vд4д3 = 2Ьж2, остальные Vdk = 0,

где b G A и rank b = 1.

Тогда Д234 =— b, -K342 = — bj R423 = 2b) R243 = b) ^324 = b> ^132 = —2bj ДРУГИе составляющие i?*kl = 0.

Можно установить, что Vki? = 0 для каждого натурального числа k. Поэтому соотношения L? V kR = 0 будут являться следствиями соотношения L? R = 0. Последнее равносильно следующей системе равенств:

bxf = 0 (h > 1), ьх2 = 0, bx3 = 0, ьх4 = 0 (i > 4), bx24 = 0 bx3 = 0, bx4 = 0, bx4 = 0,

b(X22 + X33 + X44 — X1) = 0.

Интегрируя систему L?V(dA, dA) = 0, получим, что алгебра Ли голоморфных аффинных векторных полей пространства (An, V) состоит из всевозможных

векторных полей вида:

X = ^ж3 + c4)dt — (с3Ь(ж2)2ж4 + с3Ь(ж3)2ж4 + с4Ьж2ж3 + 2c2bж3ж4)д1,

где cS = cSae“, c4 = - произвольные элементы алгебры A координаты cSa,

c^ удовлетворяют системе однородных уравнений

Aec^ = 0 (h> 1),

Aec^ = 0 (а = 2, 3, 4; 1> 4),

Aec^e =0, Aec^ = 0 (а = 2, 3),

Ae (c2e + c3e + c4e— c1e) =0, где Ae = b v7^“, bvev = b. Ранг рассматриваемой системы равен 4(n — 2). Отсюда следует, что число произвольных параметров c£a, c^ равно m(n2 + n) — 4(n — 2). Значит,

dimR(g(An))R = m(n2 + n) — 4(n — 2).

Из предложений 4 и 5 следует

Теорема 3. Максимальная вещественная размерность алгебр Ли голоморфных аффинных векторных полей на расслоениях Вейля М^ с голоморфными линейными связностями с Т = 0 и Ж = 0 равна т(п2 + п) — 3п +5 (п > 3), т = ё1шк А.

Summary

A.Ya. Sultanov. Он Lie Algebras of Holomorpliic Affine Vector Fields on Weil Bundles.

We establish maximal dimensions of Lie algebras of holomorpliic affine vector fields on Weil bundles endowed with holomorpliic linear connections.

Key words: Weil algebra, Weil bundle, holomorpliic function, holomorpliic linear connection, affine vector field. Lie algebra.

Литература

1. Murimutu A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points // J. Differ. Geom. 1976. V. 11, No 4. P. 479 498.

2. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгии В.В. Пространства над алгебрами.

Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1984. 262 с.

3. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1. 344 с.

4. Егоров И.П. Движения а пространствах аффиппой связности // Движения в пространствах аффинной связности. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. С. 5 179.

5. Султанов А.Я. О вещественных размерностях алгебр Ли голоморфных аффиппых

векторных полей // Изв. вузов. Матем. 2007. Л'! 4. С. 54 67.

Поступила в редакцию 05.08.09

Султанов Адгам Яхиевич кандидат физико-математических паук, профессор кафедры алгебры Пензенского государственного педагогического университета имени

В.Г. Белинского.

Е-шаП: ниИапоьауа вгатЫег. ги