CC BY
22
ИЗВЕСТИЯ
IZVESTIA
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
ПГПУ
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 514.76
ОБ УСЛОВИЯХ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ В РАССЛОЕНИИ ВЕЙЛЯ СО СВЯЗНОСТЬЮ ПОЛНОГО ЛИФТА
© К. М. БУДАНОВ
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра прикладной математики и информатики e-mail: ko13bud@rambler.ru
Буданов К. М. - Об условиях интегрируемости уравнений движений в расслоении Вейля со связностью полного лифта // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 51-57. - Получены условия интегрируемости уравнений движений в расслоении Вейля со связностью полного лифта.
Ключевые слова: алгебра Вейля, расслоение Вейля, линейная связность, полный лифт линейной связности, инфи-нитезимальное аффинное преобразование.
Budanov K. M. - About integrability conditions of motions equations on the Weil bundle with the connection of complete lift // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 51-57. - The integrability conditions of motions equations on the Weil bundle with connection of the complete lift are obtained.
Keywords: Weil algebra, Weil bundle, linear connection, complete lift of linear connection, infinitesimal affine transformation.
Пусть А - алгебра Вейля ширины 2, высоты 2, псевдобазис которой состоит из элементов (е1,е2). Размер-
1. Основные определения и понятия
ность алгебры равна 4. Базис образуют элементы [е°,е1,е2,е3], где е0 = 1, е1 = е1, е2 = е2, е3 = г2 и имеют место определяющие соотношения:
e32 = 0 , е33 = 0, e2e2 = qe3 , q = ±1. Ненулевыми структурными константами данной алгебры являются:
(1)
(2)
Пусть Мп - дифференцируемое многообразие размерности п, снабжённое линейной связностью V и МА -расслоение Вейля над алгеброй Вейля А размерности N. Тогда [3] на многообразии МА существует линейная связность Vе, удовлетворяющая условию:
VCX (* )¥(Ь) = (V х¥)(аЬ)
для любых векторных полей X,У е ^1о(Мп) и элементов а,Ь е А .
Связность Vе называется полным лифтом связности V в расслоение Вейля М^.
Пусть <! = —- I - натуральный репер и г| - коэффициенты линейной связности V в локальной карте
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
Рассмотрим локальную карту (тг~1(и), х“) с индуцированной системой координат на расслоении МА, где
п : МЩ ^ Мп - каноническая проекция. Тогда <д“ = ^ - натуральный репер в расслоении Вейля МА . Мож-
[ дх?
но показать, что связность Vе имеет коэффициенты Г“вк:
V дв = Гав д?
д“ 3 ,з? к ’
где а ,р,? = 0,..., N-1 и Г®? определяются равенствами:
д
г в = гарг^(Гку \ц) (3)
В выражениях (3) у?в - структурные константы алгебры А, (Г*)(р обозначает (р) - лифт функции Гк в расслоение Вейля МпА .
Пусть Ти R соответственно тензоры кручения и кривизны связности V. Можно показать [2], что для произвольных векторных полей X, У, 2 е3о(Мп) справедливы равенства
Т(X, У) = УХУ -УУХ -[X, У ] (4)
Я((X,У)Z = УX-У уУ^ -у[х,у]Z (5)
Тогда компоненты тензоров кручения и кривизны ( 3 и RIjkl соответственно) в локальной карте (и, х1) на многообразии Мп определяются условиями:
т (д з, дк) = 3 д,
К(д з, дк )д1 = Щк1 д,
Используя (4) и (5) можно показать, что:
гр1 _ р, р,
тзк =Г зк -Гкз
Щи =д ри -д к Г1 а +Г'„Гт -гктгт
При этом имеют место следующие соотношения:
Т]к = -ТЫ Щы = -Щк}1
R ;И + ЩкІі + Щік = 0 (6)
Кроме того, если тензор кручения Т = 0, то имеет место соотношение
3 + Кз + К3к
Равенство (6) называется тождеством Бианки.
Аналогично тензоры кручения и кривизны связности V = Vе (Т и К соответственно) определяются равенствами
Т (X, У) = V ХУ - VfX - [ X, У ]
К(X, У)2 = VкVy2 - VyV- VX У^2
для произвольных векторных полей X ,У, 2 е 30 (МА)
имеют вид:
Также можно показать, что компоненты тензора кручения Т^ и тензора кривизны связности V
Тй=г;вг7(т;ы)(,,
=г;1’г’р,гР»:,к, )т
Кроме того, в силу коммутативности и ассоциативности алгебры Вейля А, имеют место равенства:
таР: = т Ра:
3к? ~ ¿Ш?
ка/Зр: = кар/З: = иР<%Р: = ир^ш = к^раг = к^ар!
КЧк1? = Кчк1? = Кчк1? = Кчк1? = Кчк1? = Кчк1?
В [1] найдены ненулевые компоненты линейной связности V, тензоров кручения Т и кривизны К в расслоении Вейля над алгеброй Вейля с определяющими соотношениями (1) и структурными константами (2):
Г? = (Гк)(?) ? = 0,1,2,3
т-'01к _р10к _т-Ю2к _т-120к _-г-ЮЗк _т—30к _т-11к _/т_,к \
Гу1 = Г31 =Гз 2 = Г3 2 = 33 =Г33 = Г33 = (Г3 )(0)
3 = ?(Г| )(0)
01к 10к к
Г 33 = 1,33 = (Г3 )(1)
02к 20к к
Г33 =Г33 = я(Гз )(2)
Т?к = (Т3к)(?) ? = 0,1,2,3
^-’01к _гр10к _гр02к _гр20к _гр03к _гр30к _гр11к _/т^кч
Т31 = Т:1 = т:2 = т:2 = Тз3 = Тз3 = Тз3 = (Тз )(0)
3 = ?(Т3 )(0)
01к 10к к
Т33 = Тз3 = (Тз )(1)
Т332к = Т2°к = яТ )(2)
= (К3и)(?), ? = 0,1,2,3
п001 :_п010 :_____7-Д00 :_п002:__________________________п020:_п200:_п003 :_п030 :_п300 :___.•п : \
К3к11 = К3к11 = Кзк11 = Кк12 = Кк12 = К3к12 = К3к13 = Кк13 = Кк13 = (Кк1 )(0)
п011 : = п110 : = п101 : = (К )
К3к13 = Кзк13 = Кк13 = (Кзк1 )(0)
К022: = о202: = о220: = К )
К3к13 = Кзк13 = Кзк13 = Кк1 )(0)
001 010 100
К3к13 = Кзк13 = Кзк13 = (Кк1 )(1)
о002: = п020: = о200: = п(К )
К3к13 = Кзк13 = Кзк13 = я(Кзк1 )(2)
2. Инфинитезимальные аффинные преобразования и их уравнения
Векторное поле X = X1 д , называется инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (Мп, V) тогда и только тогда, когда выполняется условие
Lx V = 0
Производная Ли LxV линейной связности V является тензорным полем типа (1,2), удовлетворяющим тождеству
Lx V(Y, 2) = Lx (Уу2 ) - Vy (Lx2) - V[x ,у ]2 где X, Y, Z - произвольные векторные поля.
В случае расслоения Вейля векторное поле X = X?д? является инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (мА, V = Vе ) тогда и только тогда, когда выполняется условие
Lx V = 0 (7)
При этом производная Ли LxV линейной связности V удовлетворяет тождеству
LX V(У, 2) = LX (^2) - ^ ^2) - ^ X у ]2 (8)
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
Уравнение (7) можно записать в развёрнутом виде, используя (8) для векторных полей У = д® и 2 = д^ :
дад^?+г ^д^т+г% дР^т - Гвд IX?+xmд .г?=0 (9)
Можно показать, что первая серия условий интегрируемости системы дифференциальных уравнений (9) имеет вид:
LxT = 0 (10)
LxR = 0 (11)
Равенства (10) и (11) можно записать в развёрнутой форме:
гртр: лат . грат, лРт грсс/Зт л т, . втр,т rpo.pi _ р /-104
Ттк?А3т + Т3т?Акт 13к а Аа?+Л т и (12)
р тРр^ л&т I т>атр лРт . п&Рт лрт т^аРрт лт . ^тр>т т^аРр^ _-г^ау^гртрз лРт . грРтз лрт (13)
Ктк1?А3т + К3т1?Акт + К3кт?А1т К/кг Ат? +Л т °тК]Ы? 1 3з?У1т1^^кт + Ткту А1т ) = 0 (13)
В формулах (12) и (13) использованообозначение Ар^ = дрxV .
Далее будем считать, что связность V не имеет кручения и тензор Т = 0. Следовательно, связность V также не имеет кручения и тензор Т = 0 . В этом случае левая часть (12) тождественно равна нулю, а равенство (13) принимает вид:
Кфрг лат + пар в + пар™ лрт - КаРрт лп + Лmдт паРрг = 0 (14)
Ктк1?А3т + КЧт1?Акт + К3кт?А1 т К3к1т Ат?+Л т дтК3к1? = 0 (14)
Если придать индексам а, р, ?, р значения 0, 1, 2, 3, то система (14) сводится к системе более простых уравнений. Применяя свойство антисимметричности тензора кривизны по первым двум нижним индексам, а также тождество Бианки, получим следующие соотношения:
(к.« 1,3=0
/(0)
А 0
(3),, а,3. = 0
(0)
л 2т
( К3кт )
(0)
(0)
10
(К3кт )( Ат = 0
()
'(0,
т0
(0)
Л
71
(3),, аИ = 0
/(0)
(К'.)(, Л = 0
(0) т2
()(2) 3 а(Ктк1 ) А3. = 0
'(2) V "““/(0)
(3)(2) 4т а(3)т
я (*7« )(2) Ат»+(кь )т (к,« )(1) 3+(ки )(0) -3.
А37 +| ) А]. = 0
А70 +(Я1,) А.0 = 0
(")- )(1) 4" +(")-)(, ЛІт = 0
/(0)
("" )(1) А"о -(Щ" )
А0о = 0
"
(1) V ■''“/(0)
"к, )(1) а") -(")„ )(0) А"+я (і )(2) л'0'+я (і )(0) лії = 0 Кк, )(1) А20" +("0ы, )(0) л2"+я ("" )(2) лк"+, ("" )(0) Ак" = 0
/(2)'
(Кк, )(1) А2" +(К"к, )(0) л;"-(К" )(0) л"1 - , (К"к, )(2) л"1 = 0 к" )(1) л,"0 -(і )(0) а)" - я (К,, )(2) л}" + я ("),« )(0) л)" = 0 "" )(1) лі"+( к" )(0) лі"+я (К" )(2) лй' + я (і )(0) 4; = 0
(і )(1) А"т -(і )(0) 4° -("" )(0) 4 - я ("" )(2) 41 =0
і" )(1) 4" + (К'к" )(0) 4" + Я ( "Ок, )(2) 40' + Я ("Ок, )(0) л/2 = 0
і )(1) л/0” -(і )(0) л,2" + я (К]т, )(2) лі"-я (К", )(0) лі" = 0
(і )(1) 4"+(і )(0) л,2" - ("" )(0) 41 - я ("" )(2) 41=0 (К.И )(2) 4" +("ш )(0) л1"-("" )(0) 4"-(Кк, )(1) 4; =0
(і)(2) 4" +(і)(0, л1"-("")(0) л"2 -("")
(і )(2) 4-(і )(0) A2" -(К" ІА-л,)
'(1)
а0і2 = 0
4); = 0
("тк, )(2) 4)0 + ("Оок,)
2"
(0) і2 V /(2)
(2) V ■''“"/(0) ^ V ■''“/(0) — \ ■>/(1)
("0 )(2) лі" +(Кт, )(0) А")' +(КК" ) А)" - (К",)
(0()0
(Rm«)(2)AJ2)'+( К"к,)(0) )?-( КЦ0)л00т+( Кікт )(2) А"" ^"Ц.,/ "2" - ( "")
(0)
л3 ) + Ат" " ( 0
=0
(дтКк,)(0)
(дт"к0,)(0)=0
( "тк) )( 2. І + (Кок, У А"" + (І )(0. Ак" + (Щкт У А10 - ( "" ).0. Ло - Я (К%1 V 4г 2 + Х<" {дтК)к,)
(0)
=0
(и ) І +(К03к,)(0)^41," +(;, ) 40 +(Кт, )(0) А1т + (К(кт ),0) - (к",)^ 3 + С(
((00))
(К"«)(1) А10 -(К,и) А"' -("„,) А0; -(К-ь„)(1) 41" -(((от)(0) 4; - (я",) 4,0 +хо
(КОок,)„. А10” -(ятвілт -(К") Аї; -(К'т) А,0" -(("0-,) 4 - (к;и),) А"1 -.0
((00))
І
А3, 0
(дтКік, )(
'(д тЩк,\
(5тКік,)(
= 0г
= 0г
=0
(я)« )(0) 400т -(к;т,)(2) А)"-(Що,, )(0) Аї" -(Кк) )(2) А,2" )тА"о- (("і
/(0)
А)^-X) Ід
0 (дтКк'кІ)
(0)
(г0
= 0
(К)к' )(0) А-00т -1 (Ккт, )(1) -^,30' - (0г'т, )(0) аЦ;;' - (К•„" )(1) Ай'-(К)" )(и А0--( к;„і А),0-Х)")оо, К'а)
("ш )(0) 40 - (""т, )(2о )к,"00 - ("44"-("0" )(0) А0от-(""( ) А0)-я( )(") а)2--То" (ат"",),', ="
(""к, )(0) А0о"-('о;-2)1))кй-Що/М і )(0)л0" - ("Я) л"1 -("0, )(1)
4)1 - (о" (д)"
(дm"■і■kі )(0)
= о
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технипески е наук и » №
( к- )(0) 3+(К,н, )(0) Акт+(к. )(2) А}™+(Цн )(0) а2н - (КН^3 а-я( Rн,)(2)Al2+л-»
1Rm«L Ат'+(4—+( Rj4„ -с+3 )(0) а;н - (к—, )(0) пт!-( к» )(1) а„1+т'>
/(0) ^ \ ■'"“/(0) V ■'“‘/(1) \ ■'"•'"/(0) “ V ■''“/(0) V ■> /(1)
(КНк1 )(3) .Н3Н А(RНkl),1) АН А9»RНkl )(2) А3т+(КНк1 )(0) А3н+(3 )(0) 4т
/(3) ^ V "““/(1) ^ V "““/(2) ^ V "““/(0) ^ V ■'"“/(0)
)(0)Аю - (^ )(0)Ат3 + Xo )(0) :
к0
+
(' )(3) А30т +3 )(1) А?1Н А я 3 )(2) А1327 +3 )(0) А?3Н +(Ктк1 )(0) А0Н + + (К1 н )(0) Ак— - (Щ-!к )(0) А—3 + X— (д „Щы )(0) = 0
(К,нИ )(0) А<0н А (Щн, )(0) АкН А (Щкн )(0) АЮН - (Щи )(0) АН(0 - (Щи )(1) А—0 --(Щм )(2) АНг0 -(Щм )(3) АН’о + XН (д-Щ], )(0) = 0
(Км )(3) А]— + (Кы )(1) А]— + я (Кы )(2) 4— + ()(0) А]— + я (З )(2) Ак0 +
+ я (Цн )(0) А^— + я (Щы )(2) 4о- + я (Щы )(0) А02т - я (Ща )(0) АНз-- я (' )(2) АН3 + ЯXН (дтК3и )(2) + ЯX2Н (дтК3и )(0) = 0
(Щкн )(3) А1207 а' )(1) А127 + я(Щн )(2) А1227 +3 )(0) А/3Н + я(Кш )(2) А0— + + я (Км )(0) А0н + я (Щ— )(2) Ак0 + я (3 )(0) Ак— - (Я- )(0) 4.3 -- я (Ща )(2) А.3 А ЯXН ^тЗ )(2) + яХ- Н (дтЩы )(0) = 0
(к1* )(3) 47 +(Кы )(1) А1— + я (Кы )(2) А1— +(Кы )(0) А1— 0(3 )(1) 47 + + (К)н1 )(0. 4\ + (Щкт I Л0- + (Щкт I АЛт - (Щы I АН3 -
-(Щк1 )(1) А^ 3 + X0m (д „Жзи )(1) + Xlm (д „Жзи )(0) = 0 3 )(3) 4— + (Щкт )(1) 47 + я 3 )(2) 42 + (Щкт )(0) 4— + (<« )(1) 4— А^ш )(0) А0н а^— )(1) 47 А^ )(0) 47-(Щ! )(0) А„3
0т А
(0) (1) (0) (0) ■ (К* )(0) 43 А (дтЗ ),„ А X- (дтЗ )(0) = 0
(0) (1) (0)
(п‘ \ л
; 0
(К'ш)(1) А0- А^-к,)(0) А0- +(К-)(1) АкХ +(К'— )(0) 4- А{К'зк-)(1) А00- А
А(еj*н)(0)а0-“^д,)(0)AНl'-{Кы)(1)АН,1 -{К-'к)(2)АНл -
- (Ки )(3) А-1 А XН (д-3 )(1) А Х- (д„К,, )(0) = 0
(К-М)(2) А0Н +(Ки)(0) 4- +{3)(2) 4‘Н + (к'—,)(0)4Н +(К3кт)(2) Al00m + + (К'зк— )(0) А0— “()(0) А—1 ~{RН^-^ )(1) АН1 ~{RН^-^ )(2) А—1 “
- ( Кы )(3) А—1+х— (д „3 )(2) а л- — (атц„ )(0)=0
18 (22) 201К ]^. )т= 0 Р-3 )(0) = 0
(3) \ /(1) я \ ч2) ' (0)
- (і )(3) Ако - (і )(1) 40 - Я (і )(2) 400 - (і )(0) Ак03т -
- (Щкт )(3) А10 - (Щкт )(1) 40 - Я (Щкт )(2) А" - (Щкт )(0) 4
" ("" і0) А0т3 - ("" Ь А")3 - (""к,) А)з - (""к, V А
3)
(0) (1) (2) (3) "3
- (о" (дтЩкІ )(3) - (дтЩкІ )(1) - &0 (дтЩкІ)()) - (3" (д;ЩкІ )(0) = 0
Таким образом, получена система условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований в расслоении Вейля со связностью полного лифта.
При исследовании размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований будем опираться на полученную систему.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буданов К. М. Лифты линейной связности и функций в расслоение Вейля над специальной алгеброй Вейля // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвузовский тематический сборник научных трудов. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. Выпуск 38. С. 12-16.
2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981. 344 с.
3. Султанов А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. вузов. Мат. 1999. № 9. С. 81-90.
