Инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения второго порядка со связностью горизонтального лифта над проективно-евклидовым пространством Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.76

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАТЕЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СВЯЗНОСТЬЮ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЛИФТА НАД ПРОЕКТИВНО-ЕВКЛИДОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

© Н. И. МАНИНА

Пензенский Государственный Педагогический Университет, кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Манина Н.И. — Инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения второго порядка со связностью горизонтального лифта над проективно-евклидовым пространством // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 137—142. — Получено каноническое разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка со связностью горизонтального лифта над проективно-евклидовым пространством. Найдены необходимые и достаточные условия существования этого преобразования.

Ключевые слова: горизонтальный лифт линейной связности, инфинитезимальные аффинные преобразования, проективно-евклидово пространство

Manina N. I. — Infinitesimal affine transformations of a tangent bundle of the second order over a projectively Euclidean space with connection of the horizontal lift // Izv. Penz. gos. pedagog.

univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 137—142. — We obtain the canonical expansion of an arbitrary infinitesimal affine transformation of a tangent bundle of the second order over a projectively Euclidean space with connection of the horizontal lift.Also we obtain the necessary and sufficient conditions, under which a vector field is an infinitesimal affine transformation.

Keywords: horizontal lift of linear connection, infinitesimal affine transformation, projectively Euclidean space

1. Основные понятия

Пусть Мп - дифференцируемое многообразие класса Сто, V - линейная связность, заданная на Мп. На касательном расслоении второго порядка Т2(Мп) существует единственная линейная связность Vй, удовлетворяющая условиям [2]:

Vfнo Ух = (VхУ)На, VHXЩ УНа = 0.

где а = 0,1, 2; Ь =1, 2; а X, У - произвольные векторные поля на базе Мп. Предположим, что связность V на Мп без кручения и проективно-евклидова.

В работе [3] было получено каноническое разложение инфинитезимального аффинного преобразования X касательного расслоения второго порядка со связностью горизонтального лифта, установлены

необходимые и достаточные условия, которым удовлетворяет это преобразование. Это разложение имеет вид:

1 2 1

X = £#272 +

+ д?271 + к ?171 + сЯо71 +Е ^+2 С?27171, (1)

6=0 а=0

■ Ь ' ' * ' ' / ^~ а 1 2

а=0

Компоненты разложения должны удовлетворять условиям:

УВ = 0, где В = Е, К, д, С, Е0, р,

С + (5 = 0, ЕЬоУД = 0, (6 = 0,1),

ДоР = 0, (г = 1, 2, 3), где Р = Е0, С,

£х0У = 0, У2ХС = 0, (с = 1, 2),

Дх1 - Д(ХЬ ) = 0, Д^ + Дор = 0,

ЕЬ о Д + ЕЬ о Д = 0, 6 = 0,1, (2)

(Е + УХо)о(Д + Д) -Ух(Д(Хо, ) + Д(Хо, )) + УД(Хо, )+

+уд(х0, ) - (д^к + док) - (доух0 + доух0)--(д°к + док) - (доух0 + доух0) = 0,

У((Е + УХ0)оД + УД(Х0, ) + Ух (С - Д(Х0, ))-

-(д^к + док) - (доух0 + доух0)) = 0.

Приведенные тензорные поля определяются тождествами 5(Х,У) = С(У,Х),

Дх (У,£) = Д(У,£ )Х,

Д(х,у,£) = д(х, £,у),

УД (5, X, У, £) = УД(5, X, £, У),

Д(Х, У, £)1Р = Д(Р(X), У, £).

Компоненты разложения С, Р0, Р., Е, К, д - тензорные поля типа (1,1), С - тензорное поле типа (1,2), Ха

- векторные поля, заданные на Мп.

2. Каноническое разложение инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка со связностью горизонтального лифта над

проективно-евклидовой базой

В данной работе доказывается, что в случае проективно-евклидовой базы некоторые компоненты разложения тождественно равны нулю. Чтобы рассматриваемое базисное пространство Мп являлось проективно-евклидовым, связность в локальной системе координат должна иметь следующие компоненты [1]:

5 = -¿зфк - 4Фз,

а ее тензор кривизны — компоненты:

ДЗк = ¿5(Фк - Ф1к) + 4Фз1 - ¿¡Фзк, (3)

где = Vkф ффи - произвольный ковектор.

Рассмотрим условия RoP = 0 (где P = Fo,C) из (2). Ограничимся подробным рассмотрением системы С‘^Н.^к = 0. Свернув по i, j равенства этой системы, получим CtsRsk = 0, откуда

Rsk = n^sk — Фкз. (4)

Аналогично, свернув по i,j а затем по i, к равенства Cf Riksj = 0, получим CtsRks = 0, CtsRsj = 0, откуда

Rks ^sk „^ks, Rsj („ + l)(^sj ^js). (5)

Из (4) и (5) следует

nRks Rsk

^ks = --:-----2--. (6)

1 — n2

Учитывая соотношение (3), равенство C^R^- = 0 примет вид

Cts(4 (V4? — j + ¿S ^kj — ¿j ^ks) = 0. (7)

Подставляя равенства (4), (5) и (6) в соотношения (7), последние можно представить в следующем

виде:

r<s (s:s Rsj jjs (nRks — RskA I /^s / n

c‘ ( k„ГГ — ¿j i — „2 ) + C^« =0

откуда следует, что C^kj = 0. Поскольку тензор кривизны R = 0, то хотя бы одна компонента ^kj отлична от нуля в некоторой окрестности точки x G Mn, значит CS = 0 в этой окрестности.

Рассуждая аналогичным образом, получим, что и FSt = 0. Далее, рассматривая условия 3 3 -

RXl —R(Xi, ) = 0 и RoFi+R0F1 =0 из (2), находим, что XS =0 и F1t = 0 соответственно. Таким образом, в случае проективно-евклидова пространства каноническое разложение инфинитезимального аффинного преобразования X касательного расслоения второго порядка (1) примет вид:

X = eh272 + дЯ2 Y1 + KHiY1 + Xc(c) + 1 GH2YlYl, (8)

где c = 0, 2, а тензорные поля E, K, Q, Xo, X2, G удовлетворяют следующим условиям:

VB = 0, где B = E, K, Q,

G + (5 = 0, LXo V = 0, V2X2 =0,

(E + VXo)o(R + R) — Vx(R(Xo, ) + R(Xo, )) + VR(Xo, )+

+VR(Xo, ) — (RoK + rOk) — (R0VXo + rOvXo) —

— (RoK + rOk ) — (RoVXo + R0VXo) = 0,

V((E + VXo)oR + VR(Xo, ) + Vx(G — R(Xo, )) —

—(RoK + rOk ) — (rOvxo + r°vxo)) = 0.

Верно и обратное: если XT имеет разложение (8), а слагаемые удовлетворяют перечисленным требованиям, то X является инфинитезимальным аффинным преобразованием касательного расслоения второго порядка над проективно-евклидовым пространством аффинной связности.

И.П.Егоров доказал, что максимальная размерность групп движений проективно-евклидовых пространств аффинной связности равна точно „2. Им был приведен пример пространства с объектом связности V, компоненты которой в локальных координатах выглядят следующим образом [1]:

rjk = ¿j^k + ¿k^j, где ^k = a#1, a = const , a = 0. (9)

Рассмотрим тензорные дифференциальные уравнения Уд = 0, УЕ = 0, УК = 0. В локальной карте (и, ж®) на Мп уравнение УЕ = 0 равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных

Ук £ = 0.

В развернутом виде эта система имеет вид:

дк£ = ¡у - £Г й8.

Условия интегрируемости этой системы представляют собой систему алгебраических соотношений:

7® Г?я ї?я Ї?®

- £ лягй

EiRSik - E,sRSifc = 0, (10)

Из условий (3), (9), (10) следует

-ЕВД - Е]5к¿1 + Е^ + Ек¿151 = 0,

откуда, при к = 1, = 1,1 = 1, г = к,

Е1 = 0.

Если к = 1, ] = 1 = 1, г = к

Ек = Е5к, Е - произвольная постоянная.

Тензоры ^ и К имеют аналогичную структуру.

Уравнение У2Х2 =0 в локальной карте (и, ж®) можно записать в виде системы У5УкХ2 = 0. Распишем подробно левую часть системы, учитывая (9). Получим:

дздкХ2 + а4дзХ1 + Ц-дкХ^ + а2^®Х1 - а2^ ¿]Х2 = 0.

Введем новые неизвестные: дкХ2 = «к. Тогда полученная система будет равносильна системе дифференциальных уравнений в частных производных:

Г дкХ2 = ик,

\ дз«к = -«к - а2^^Х2 + а2^ ¿1X2.

Далее, из условий интегрируемости дз- дк X2 - дк дз- X2 = дз-ик - дк и® = 0 получим

x!(¿!¿5 - ¿15®) = 0,

откуда следует, что X;, = 0. Таким образом, наша система примет вид:

x! = 0,

% X = и‘, (11)

dj uk = a2^1 ¿)*2.

Учитывая, что

dj д;мк — d;dj uk = 0,

<ЗДи‘ — ) = 0.

получим

¿к (¿з иг - ¿г и) Отсюда при = 1, 1 > 1

дгX2 = 0,

из чего заключаем, что X2 зависит только от переменных (ж1).

Тогда система (11) примет следующий вид:

Г X! = 0,

\ д1д1X2 = a2X2.

Интегрируя последнее уравнение, получим

Г X! = 0,

1x2 = С® еах1 + С2 е-ах1, г> 1.

Таким образом, уравнение У2Х2 = 0 имеет 2(п - 1) линейно независимых решений.

Система £х0 У = 0 в локальной карте с учетом (9) запишется следующим образом:

Г дк Х0 = 0*,

1 дз= -а401 - 01.

Из условий интегрируемости системы дифференциальных уравнений (12) получим

дкХ0 = 0*,

0г1 = 0,

дз 0® = 0,

откуда

[ Х0 = с® ж- + со, і > 1.

В этих соотношениях п2 произвольных постоянных.

Найдем структуру тензора О. Для этого обратимся к соотношениям

У((£ + УХо)оД + УД(Хо, ) + Ух (О - Д(Хо, )) - (ДОК + Д^К) - (Д^УХо + Д^УХо)) = 0 условий (2)и соотношениям (9). Получим систему уравнений

У20 = 0.

В локальной карте (и, ж®) она примет вид

У- Уй0®т = °.

Расписывая левую часть системы и учитывая соотношение О + (5 = 0 условий (2), получим: ®® к °1т ufelm,

д-иЫт = «¿¿Х'Йт + ^¿¡Ціт + — - «4^т - 2«^!¿!0-т - 3«^! ¿^т - 2«2¿^0- +

+«ВД01т + 2«^Чгт - За^О^ - З«2^^1О1к + 2а—01т + ЧЧзт + «ЧЧ0^+

+«^т +«2^т ¿® оу- «¿з «кгт+«2^ ¿!окт+^¿з ¿т ^

Далее, из соотношения д-д-0®т - д^д-0®т = 0 получим систему алгебраических уравнений:

-¿^0®з + ¿X0®к + ¿50®т - *!4Оіт + ¿1^]0кт - ¿1 — = 0,

откуда находим: О^® = 0 при к > 1, О^ = 0, 0кт = 0 при к > 1, т > 1.

(12)

(13)

С учетом этих соотношений система (13) примет вид:

' Gis = 0,

G*m =0, k> 1, m > 1,

í) лі „ г

dk G1m ,

dj«km = 4lMjfcm + 2a^fc«jm + Xj - ^^G'm - ^^^ím - 2a2^fc^Gj + +2a¿jukím - 3a2^1^lGfcm - 3a2&^jGífc + a^1ufcjm + <«fcíj

Далее, учитывая условия интегрируемости, получим «кіт = 0 при k > 1, m > 1, то есть компоненты G1m зависят только от переменных ж1. Найдем эти компоненты из системы дифференциальных уравнений

d11G1m - 6ad1G1m + 8a2G1m = 0.

Решениями системы (13) являются функции:

Gjk = 0, j> 1,k> 1,

Gis = 0,

Glm = Gime4“xl + G2me2“xl , * > 1, m > 1,

где С*т,С2т - произвольные постоянные. Число этих постоянных равно 2(п - 1)2.

Учитывая полученные произвольные постоянные, перепишем разложение (8) следующим образом:

X = Е(ж2 + 1Г1вж?ж1)АН2 + дж®дН2 + Кж®ДЯ1 + (С1е-ах1 +С2еах1 )Я*2 + (С1те4ах1 + С2те2ах1 )ж1жГАЯ2 +

2

1

+ с!^?0 + С[(ж^?0 + (ж2 + 2Гр8жРж!)^Н2 + ж!^?1 ) + Сог Д?0, (1, т, г, = 2,..., п).

Отсюда следует, что векторные поля

(ж*2 + 1гр8жрж1)ДгЯ2, ж!^?2, ж!^?1, е-ах1 Д?2, в“х1 Д?2, в4аж1 жіж^?2, в2аж1 ж^Я?2,

Д?0, ж'Д?0 + (ж2 + ^ТрджРж!)^?2 + ж!^?1, Д?0, (1, т,г, = 2, ...,п)

являются базисными векторными полями алгебры Ли всех инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения Т2 (Мп) со связностью горизонтального лифта У?, где У задается коэффициентами (9). Размерность этой алгебры равна Зп2 - 2п + 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности // Ученые записки. Казань 1965. С. 5177.

2. Манина Н.И. Некоторые свойства горизонтального лифта линейной связности в касательное расслоение второго порядка// сборник Фундаментальные науки и образование. Бийск, 2006. С. 39-44.

3. Манина Н. И. О разложении инфинитезимального аффинного преобразования касательного рассло-

ения второго порядка // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. Пенза 2010. № 18 (22). С. 58-63.