Инфинитезимальное аффинное преобразование пространства (t20(Mn), ∇ h) над максимально подвижным непроективноплоским пространством (Mn, ∇) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА (T20 (Mn), Vя)

НАД МАКСИМАЛЬНО ПОДВИЖНЫМ НЕПРОЕКТИВНОПЛОСКИМ ПРОСТРАНСТВОМ

(Mn, V)

O.A. Монахова

Аннотация

В статье получено разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта над максимально подвижным непроективноплоским пространством аффинной связности. Вычислена размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований этого пространства.

1. Основные определения и факты

Рассмотрим гладкое класса С ^многообразие Мп и расслоенное пространство Т20 (Мп) дважды ковариантных тензоров над ним. Задание линейной связности на базе этого расслоения позволяет построить связность уя _ горизонтальный лифт связности V на Т0(Мп) Щ. Vя однозначно определяется условиями, аналогичными для горизонтального лифта связности в касательном и кокасательном расслоении [3]:

№у = 0, н Уя = У)я, X н = 0, н ЯУ = 0)У,

где 0, № - тензорные поля типа (0,2) на б^е расслоенного пространства, X, У - векторные поля на базе, Xн - горизонтальный лифт векторного поля X, 0У -вертикальный лифт тензорного поля 0.

Известно, что для того чтобы произвольное векторное поле являлось инфи-нитезимальным аффинным преобразованием пространства аффинной связности необходимо и достаточно, чтобы производная Ли от объекта связности вдоль этого векторного поля обращалась в 0. Таким образом, произвольное векторное поле XX является инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (Т0 (Мп), Vя) тогда и только тогда, когда

Ьх Vя = 0. (1)

Проинтегрировав систему (1), найдем необходимое и достаточное условие существования инфинитезимального аффинного преобразования пространства

(Т0 (Мп), Vя).

Теорема 1. Для того чтобы произвольное векторное поле X являлось инфинитезимальным аффинным преобразованием на расслоении (Т0(Мп), Vя), необходимо и достаточно, чтобы на Мп существовали тензорные поля А € (Мп), В € (Мп), Р € Щ(Мп), Б € 30(Мп), удовлетворяющие следующим условиям:

X = AHy + BC + PVy + DV,

(2)

У А = 0, А * Я = 0,

У2Б = 0, (3)

УР = 0, Ьв У = 0.

Каждое из векторных полей, входящих в разложение (2), самостоятельно является инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (Т20 (Мп), Ун), если X является инфинитезимальным аффинным преобразованием этого пространства.

2. Расслоение (Т°(Мп), Ун) над максимально подвижным

(Мп, У)

Рассмотрим расслоение дважды ковариантных тензоров над максимально подвижным непроективноплоским пространством Кп с объектом связности

г;к=6\^63к+6?6*к)х*, 1,],к=Т~^.

Тензор кривизны этого пространства имеет компоненты

Щы = - Ь з, к, I = ТЯ

Пусть X = АНт + Вс + РУ1 + Бу - произвольное инфинитезимальное аффинное преобразование связности Ун на Т°(Мп). Тензорные поля А £ 3д(Мп), В £ 310(Мп), Р £ (Мп), Б £ 3°°(Мп) удовлетворяют системе уравнений (3).

АВ

Р, Б на базе. Система (3) распадается на четыре независимые системы

|УА = °' (4) А* Я = 0,

У2 Б = 0, (5)

УР = 0, (6)

Ьв У = 0. (7)

Система (7) была проинтегрирована И.П. Егоровым в работе [1].

Рассмотрим смешанную систему дифференциальных и алгебраических уравнений (4). Найдем условия интегрируемости этой системы. Запишем систему (4) в развернутом виде:

' У,А1шк = 0,

к , (8) Я*,. А1тг = 0.

Условия полной интегрируемости этой системы имеют вид

' Я1«, Агтк + Я™. А1гк =0, А1тг = 0.

Подставим в систему компоненты тензора кривизны

'(¿2¿3 - ¿?)(й1 А2тк + А12к) = 0, (52¿1 - 62)ёкА1т2 = 0.

Придав различные значения индексам, получим первую серию условий интегрируемости:

'А1Ш2 _ о,

А2рк _ о, Aq2s _ 0, A21r + A12r

I, то = 1, п, к = 1, п, р = 2, п, s = 1, п, q = 2, п, 0, г = 1, п.

Чтобы получить вторую серию условий интегрируемости, продифференцируем каждое уравнение первой серии и подставим значения частных производных:

А1шк = ¿3 + ¿3¿2)^1 Агшк + 6гпА1гк + ¿кА1шг)х2 ,

(9)

(9) является развернутой записью первого равенства системы (8). Каждое из уравнений второй серии является следствием некоторых уравнений первой серии, следовательно, система уравнений (4) имеет только одну серию условий интегрируемости.

Учитывая условия интегрируемости, получим общее решение системы (4):

A^mfc _ _

(x2 )6

(x2)

2\4

5[5^5кс + + 6[6fcimi + 6^ёкс

(x2)2

^ / /^л3mk rm , rk, /->lmk

2

-(¿1 C3mk + ¿m Cl3k + Sk Clm3) + Cl

где константы С'к удовлетворяют следующим условиям: 'С1т2= 0, 1,т = Т7п,

С2?>к =0, к = 1~п, р = 2Тп,

С"?28 =0, в = Т7п, q = 2Тп,

^С21г+С12г = 0, г = Т^.

Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений (5). Обозначив Ук через Бкгз, систему (5) дифференциальных уравнений второго порядка сведем к системе уравнений первого порядка:

Vk Dij Skij j ViSkij _ 0.

Условия интегрируемости системы (10) состоят из двух серий и имеют вид

(Dn + D21 =0,

Dij =0, j = T7n, j ф 2,

Ai =0, i = T7n, г 2,

•4^12+^21=0, k = l,n,

Slab = 0, a, b = 1, n,

Srsi =0, r, s = 1, n, s 2,

=0, p,q=l,n,

(10)

8

Проинтегрируем систему (10). Запишем эту систему в развернутом виде: 'Зщ = дк А; - (¿2+ ¿3¿2)х2Яу - (¿2+ ¿2)х2,

^ = х2 ((¿2 ¿3 + ¿гЧ2 + + ¿^¿2 ).

Общее решение второй группы уравнений системы (10) имеет вид

(¿¿Ч2 - ^Ф^-тг-Скп + Скц.

(х )

22

~>к%з \"г"3 "г"3! 2

Константы Ск; удовлетворяют условиям

(11)

Ск12+Ск21=0, к = 1,п,

С\аЪ = 0, а, Ъ = 1, п,

Сгя1 =0, г, в = 1, п, з ф 2,

Ср1д =0, р,д=1,п, дф 2.

(12)

Проинтегрируем первую группу уравнений системы (10) с учетом (11) и условий интегрируемости этой системы. Получим общее решение системы (5) в виде

Щ = да - ( Щ-Ск12хК - ) + Скцхк + сь.

(ж2)2 2

Константы Ск« определены условиями (12), а С« - следующими условиями: С12 + С21 = 0,

Сц =0, з= Т7п, ^ ф 2,

Сл =0, г = Т7п, г Ф 2.

Рассмотрим систему уравнений (6). Общее решение этой системы имеет вид

22

2\4

4

- + ^С^ + + ФИ)^ + +

+ + + ад^с?? -

2\6

(х2)

24

(х2)

26

(х2)

24

31 С1,, —

(х2)

1 г> 24 11 4 у1 1<г 8 1<г

+- -

24

13

8 ~1<г

с13)+

2\8

26

32

где константы С^ удовлетворяют условиям:

12

/->31 / /—(13 11--—11 —

(х2)

26

13

(х2)

24

11

12

11

СЦ)

11 11 21 12 С12 + С21 — С22 — С22 = 0>

с12 + - сЦ = 0, з = 1,

С2 + с21 - с22 = 0, ^ = 1,

СР1 - Ср2! - СР2 = 0, р = 2,

С11 - С21 - С12 =0, д = 2,

С2 + с21 =0, = 1,

4

136

О.А. МОНАХОВА

21 Cpq + C12 + Cpq = 0, p,q = 2,

/-til Cp1 + Cp2 = 0, i = 1, p =2,

C1j C1q C 2j - C2q = 0, j = 1, q = 2,

C1j Cp1 + Cpj = 0, j = 1, p = 2,

il C1q i2 - C2q = 0, i = 1, q = 2,

C ij C1q = 0, i,j = 1, q = 2,

C ij Cp1 = 0, i,j = 1, p = 2,

C2j pq = 0, j = 1, p, q = 2,

i2 Cpq = 0, i = 1, p, q = 2,

22 C2q = 0, q = 2,

22 Cp2 = 0, p = 2,

i1 C11 = 0, i = 1,

Cj = 0, j = 1.

Поднимем полученные тензорные поля А, В, Р; В на расслоение дважды ковариантных тензоров с помощью соответствующих лифтов, указанных в разложении (2). Линейно независимых векторных полей вида существует п — 3п2 + 4п — 2. Одно из них имеет вид

HY

lm3

(-^¿i + ^maf.

Линейно независимых векторных полей вида РУ1 существует п4 — 4п3 + 12п2 — —20п + 14. Одно из них

2\2

2

Далее, линейно независимых векторных полей вида Ру существует п3 — 2п2+ +2п + 1. Одно из них

Максимальное число линейно независимых векторных полей вида Вс равно п2 — 2п + 5 [1].

На основе всего выше сказанного можно сформулировать

Предложение 1. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований расслоения дважды ковариантных тензоров над максимально подвижным непроективноплоским пространством аффинной связности размерности п равна п4 — 2п3 + 8п2 — 16п + 18.

Summary

O.A. Monakhova. Infinitesimal affine transformations of the space (T20(M„), VH) over a maximally movable space (M„, V) which is not projectively flat.

We consider the bundle To M of tensors of type (2, 0) over a maximally movable affinely connected space (M, V). On the tot^ sp^e of this bundle we take the horizontal lift VC of the connection V and construct decomposition for infinitesimal affine transformations of VC . Also we find the dimension of the Lie algebra of infinitesimal transformations of this space.

Литература

1. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности. - Казань, 1965. - 206 с.

2. Монахова О. А. Горизонтальный лифт связности в расслоении дважды ковариантных тензоров // В сб. Движения в обобщенных пространствах. - Пенза, 2002. - С. 168-172.

3. Yano К., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Differential geometry. - New York, 1973.

Поступила в редакцию 20.12.04

Монахова Оксана Александровна - сотрудник кафедры алгебры Пензенского государственного педагогического университета. E-mail: [email protected]