О разложении инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 514.76

О РАЗЛОЖЕНИИ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО АФФИННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАТЕЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

© Н. И. МАНИНА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Манина Н. И. - О разложении инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 58-63. - Получено каноническое разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка над дифференцируемым многообразием со связностью горизонтального лифта. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых векторное поле является инфинитезимальным аффинным преобразованием. Ключевые слова: касательное расслоение второго порядка, линейная связность, горизонтальный лифт линейной связности, инфинитезимальное аффинное преобразование.

Manina N. I. - About the expansion of infinitesimal affine transformation of a tangent bundle of second order // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 58-63. - We obtain the canonical expansion of arbitrary infinitesimal affine transformation of a tangent bundle of second order above a differential manifold with connection of the horizontal lift. Also we obtain the necessary and sufficient conditions, under which a vector field is an infinitesimal affine transformation.

Keywords: tangent bundle of second order, linear connection, horizontal lift of linear connection, infinitesimal affine transformation.

§ 1. Основные понятия и определения.

1.1. Пусть Mn - гладкое класса C” многообразие размерности n. Предположим, что на Mn задана линейная связность V. Определение[4]. Векторное поле X е F10(Mn) называется инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (Mn,V ) тогда, и только тогда, когда выполняется условие

Lx V = 0

где Lx - символ производной Ли.

Производная Lx V линейной связности представляет собой тензорное поле типа (1,2), удовлетворяющее тождеству

Lx V (Y,Z) = Lx(VyZ)-Vy(LxZ) -V[x,Y]Z ,

(где X, Y, Z - векторные поля)[4].

Производная Ли Lx V удовлетворяет также следующему тождеству [4]:

LxV (Y,Z) = V2X(Z,Y) + R(X,Y)(Z) + V T(X,A)(Z,Y), (1)

2

где V X - ковариантный дифференциал второго порядка векторного поля X, а символ А означает пропущенный аргумент.

1.2 Касательное расслоение второго порядка T2(Mn).

Пусть Мп дифференцируемое многообразие размерности n, R - множество действительных чисел. Введем отношение эквивалентности ~ на множестве всех дифференцируемых отображений ф : R ^ Mn следующим образом [5](с.315-317).

Если два отображения ф : R ^ М и у : R ^ М удовлетворяют условиям

ф^, ¿а<р1(0) аа¥1 (0) , ?0

аф (0) = у (0),--------— =--------- ,(а = 1,2),

&а Ж-

а отображения ф и ц представлены, соответственно, как хо = ф 1^) и х0 = У ' ^) ^ е R)в локальных координатах (Х0) координатной окрестности (и ,х0), содержащей точку р = ф(0) = ц(0), то будем говорить, что отображение ф эквивалентно отображению ц (ф ~ ц). Каждый класс эквивалентности по этому отношению эквивалентности ~ назовем 2-струей многообразия Мп (записывается, как j2p(ф )). Если этот класс содержит отображение ф : R ^ Мп такое, что ф(0) = р, то точкар называется образом 2-струи j2p(ф ). Множество всех 2-струй многообразия Мп называется касательным расслоением 2-го порядка над Мп и записывается как Т2(Мп).

Касательное расслоение 2-го порядка Т2(Мп) имеет естественную структуру расслоения над М, его проекция ж: Т2(Мп) ^ Мп определяется как ж ( jp(ф )) = р.

Пусть (и, х ) - координатная окрестность на Мп, х = х0 - координаты точкир в карте (и,х ). Тогда 2-струя ]2р( Ф ) (Р є и ) однозначно задается набором р'0,р'1,р'2, где х'0 (]2^( ф ) ) = р'0 - координаты р , а р],р'2 определяются, соответственно, как

К 12).

а а! &

Определим функции х1,х2 условиями ха(]2рф ) = р'а . Функции х’а (а = 0,1,2) на п 1( П ) являются координатными функциями, индуцированными в п 1(П) функциями х' карты (П ,х').

_1 2 д д д

На п (П)сТ (МП) возникает поле натурального репера, образованное векторными полями —т,—т,—; .

д х0 д х1 д х 2

Определим необходимые нам в дальнейшем лифты векторных полей, полагая, что на базе задана линейная связность без кручения.

1.3 Лифты векторных полей с базы Мп в касательное расслоение второго порядка Т2(М).

Будем использовать лифты векторных полей Х(а>. Они удовлетворяют условию X(/^ = (Х/)<ь*.а), где f -произвольная функция из С°(Мп); Ь' и &• а - линейные формы на Ж. (е2) [3].

Имеют место следующие равенства

X (0) = X11,

X(1) = XI

х(2) = X о

где X0, Xі, Xі1 впервые были введены К.Яно и Ш.Исихара [5] (с.319-325).

Лифтом ХНо векторного поля X, заданного на Мп, называется векторное поле ХНо на Т (М), которое в индуцированных координатах задается следующим образом:

ХНо = Хт(д°т-Г'тх{ д1-Г^д2 +1( г^гт-д ]Г{ш)х]1хк1д2 ).

Пусть і - структурный аффинор на Т2(Мп). Лифты ХН] и ХН2 получаются при действии на них і и і2 соответственно:

ХНі = і(ХНо),

ХН2 = 12(ХНо).

В индуцированных координатах эти лифты имеют вид:

хн = Xі (д] -гГхТд*),

х112 =х'д 2.

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

В данной работе будем использовать лифты тензорных полей типа (1,1), заданных на М , введенные в [2]. Приведем их:

T110/1 = T трх1(д°т - Г im 2 д- - Г )т XJ2д■ + - (Гь Г km ~ д j Пт ) 2 x) дЦ ),

THlYl =T)x3I( д1-Г‘тгХ7д1 ),

TH21/1 =TijxJ1di2i,

TH°72 = Tmp (x2 + \rft X1! xlXdl - rl]m x x1 - r'jmxi m2 + 1 (r\sr)m - dj rim) x1 x1 d2),

TH 1 x j = T'p (x- + -rfsxI x\)(d\ - rLxT d2t)

TH2r2=T\(xr2+:IrUixi)d2.

1.4 Горизонтальный лифт линейной связности.

Каждая линейная связность V, заданная на базе M , порождает единственную линейную связность VH на T2(MJ, обладающую следующими свойствами [1]:

VHXH0 YHa = ( VxY )H“,VHxHb YHa = 0 , (2)

где а = 0,1,2; b = 1,2; а X,Y- произвольные векторные поля на базе M .

Связность VH называется горизонтальным лифтом линейной связности V. Тензорные поля кручения T и кривизны R горизонтального лифта VH удовлетворяют следующим тождествам [1]:

T (XH2,YH2) = T (XH2,YHl ) = T (XH2,YHo ) = T (XH‘,YH‘ ) = 0 ,

T (XH‘,YHo ) = Y((R(X,Y))H2Ï‘ +(R(X,Y))H2rj ),

T (XH°,YH° ( = (R(X,Y()Hjrj +(R(X,Y))Н)Г) + 1V(R(X,Y))H2rirY (3)

R(Xy° ,YYo )ZY( =(R(X, Y ,Z ))Yb, b = 0),2,

~(XHa, YHc )ZHb = 0 , a,c,b = 0,1,2; a2 + c2 Ф 0 .

В силу определения п.1.1 векторное поле X е Fo(T2( Mn) ,VH) в касательном расслоении T2(Mn) является инфинитезимальным аффинным преобразованием тогда и только тогда, когда L~ VH = 0.

Используя это свойство, получим каноническое разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования.

§2. Каноническое разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования X в (T2(MJ, VH ).

Пусть X - инфинитезимальное аффинное преобразование. На каждой координатной окрестности n1( U ) гладкого атласа расслоенного пространства T2(Mn) построим подвижной репер {DH0, DHl, DHl}, адаптированный к связности VH. Векторное поле X разложим по векторным полям этого репера

-l H

raDH

(4)

На основании тождества (1) и условия Lx Vя = 0 получим следующие тождества:

( Vя)2X(Z , У ) + К(Х,У)1 +VЯT(X,Z) -Т(Х^°) = о

Выберем в качестве векторных полей У и Z векторные поля ЯЯ¥Я2 тс С>к+2 соответственно:

( Vя)2}0 (тр, тЯ2) + Я(Х,ТсС2)ТЯп + ^СсН2Т(Х,тяп) -Т(Х,VHnя2DHс2) = о. (5)

Из тождеств (3) следует , что

R (X іН 2) іН 2 = 0,

V НпН2Т(ХЛнк2) = о,

Т(ХЯ Н^ик2)=0.

Поэтому уравнения (5) примут следующий вид

( VHfX(Dнk2, DÍH2) = 0.

(6)

По определению второго ковариантного дифференциала получим

( VHУX №, і“2) = V НПН2 V Нн2 X _ Vнн НХ

3 к Vн.D’

Поскольку

V ІнМа = <0,

для а = 0,1,2; Ь = 1,2; система (6) равносильна следующей системе

V !н2 V "н2х = і0,

(7)

или

І"2 Ік2 X = 0.

Интегрируя последнюю систему, получим

Ха = FгaкXк2 + А'а,

где функции , А'а зависят от координат (х3о,х31) . Далее из систем

Lx Vя'(ТЯ‘, тЯС2) = 0,

(8)

LХVH(DH0, І^2) = 0,

Lx VН(1131, DH1) = 0,

и учитывая (8), получим

X = (Гаі(х2 + 2Г%ХІХІ) + С’оіХЇ + XV ПН + ^ІхІ VjF2kDi

(9)

где FIat,C,at,XIa - функции, зависящие лишь от базовых координат хв. Для изучения свойств этих функций рассмотрим другую карту. Аналогичным образом в карте (п^1(V ’), У) для X получим

X = (Fpa,(yI2 + 2 Г1тгу”туг1)1~Нра + Сра1У,^ра + Х^Нра + 2 ^шFV2rУn1yr1DHp2.

1 ~На

(10)

Пусть и П V *0 и у = (х1 ,х2,...,хп2 - формулы преобразования координат в и П V . Тогда

Отсюда 1Н а = ( ду-г) ]~з-а. Учитывая это, получим: дх

д ду3 д

дх дх ду3

X =(¥1аі(Х2+2ГІІкХ31Хі) +СакХк1+Х'а)

( \ р

дуР

дх

\ У

~на р +

+ -хі Xу У3Ґ2к

( \ дуР

дх

С>р2 = (Ега1 (

дх і 1 д X 1 т

,,іУ2 + 2 _ ту1у1

ду 2 ду ду

1 дх3 дхк д + д>^1уд'

ду дхт дхг ^ + дх х |дд’ ^ дх1 ду3 дук г ду3 дук дхг

у +С1лХу/уІі + Хга) 1

( \ х+ р

дх

V У

~иа 1 ,■ дХ дхк „ ь

аа> ру -х і Fг2к--ь УІ У]

2 ду ду

( \ дуР

дх

V У

о1!2.

2

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

Из полученного равенства и соотношения (10) следует

— дх_ д/ = -р

-а_ і і — аї,

ду дх і дх дур —р

Т71_____' — Т7

Гаї і і - Гаї ,

ду дх Т ^ = Ур

Х а ' Ха.

дх

На основании этих соотношений заключаем, что С'л, Fа (а = 0,1,2) при каждом значении а являются компонентами тензорного поля типа (1,1) на (Мп), Х'а при каждом а (а = 0,1,2) являются компонентами векторного поля на (Мп).

Таким образом,

X = 2 (FHar2 + єНаГ1 + хНа) + 1V (F2)Н27171, (11)

а=0 2

где Ха є Fo(Mn),Fa,Ca є F1(M п) . Полученное разложение единственное. Выразив в (11) ХЯ“ через Х(а'> запишем полученное разложение

X = (F2 _ VX0)Н272 + 2 FHbr2 + (С2 _VXl)H2rl + (С1 _ VX0)Н1Ї1+ СН0Ї1 + 2Xіа) + 1(VF2 _V2Xо)H2rlrl (12)

Ь=0 а=0 2

Введемследующиеобозначения:

Е = F2 _ VХ0, й = С 2 _VXl,

К = С1 _ VХ0,

G = V F2 _ V2Xо,

С= С0,

где Е, й, К, С - тензорные поля типа (1,1), G - тензорное поле типа (1,2).

Перепишем разложение (12) с учетом введенных обозначений:

Х = еН2ї2 + 2 FHbï2 + QH27l + КН1Г1 + СН°Т1 + 2Х(аа) + ^Н2ПУ1. (13)

Ь=0 а=0 2

Можно показать, что разложение (13) единственное. Для нахождения условий, которым удовлетворяют компоненты разложения (13) рассмотрим системы уравнений

Lx V Н(іНа, ) = 0,

где а = 0,1,2; в = 0,1,2, а X имеет вид (13). Выписав подробно левые части каждого уравнения этих систем, получим

1. V В = 0, где В = Е, К, й С, Fо, Fl,

2. G + G = 0,

3. Fь °VR = 0, (Ь = 0,1),

4. R ° К = 0, (І = 1,2,3), где К = Fо, С,

5. Lx V = 0,

Л0

6. V2Xc = 0, (с = 1,2),

7. Rxl _ (X, ) = 0,

8. R °FI + R °FI = 0

9. Fь ° А + Fь ° R = 0, Ь = 0,1,

8. R + R = 0, (14)

10. (E + VXo)°(R + R)-Vx(R(Xo, ) + R(Xo, )) + VR(Xo, ) +

+ VR (Xo, ) - (R 2°K +'R2'k') - (R 2V Xo+R2VXo) - (RK+R°K )-(Rh'xo + R°V Xo) = 0,

11. V ( 3 E + V X o)° R + VR (X o, ) + V x( G x R(X o, )) X (R ° K + R ° K ) — (R ° V X о + R ° V X о ) ) = 0,

где

G (X,Y) = G(Y,X),

RX (Y,Z) = R(Y,Z)X,

R (X,Y,Z) = R (X,Z,Y),

VR (S,X,Y,Z) = VR (S,X,Z,Y).

Условия (14) являются достаточными для того, чтобы векторное поле X вида (13) было инфинитезималь-ным аффинным преобразованием в ( T2(M), Vя ).

Таким образом, справедлива следующая Теорема. Векторное поле X на T2(Mn) со связностью Vя является инфинитезимальным аффинным преобразованием тогда и только тогда, когда X можно представить в виде (13), причем выполняются условия (14).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Манина Н. И. Некоторые свойства горизонтального лифта линейной связности в касательное расслоение второго порядка // Фундаментальные науки и образование. Матер. Всерос. науч.-практ. конф. Бийск: БПГУ, 2006. С. 39-44.

2. Осьминина Н. А. О некоторых лифтах касательного расслоения второго порядка со связностью полного лифта // Движения в обобщенных пространствах. Пенза: ПГПУ, 1999. С. 107-120.

3. Султанов А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. вузов. Мат. 1999. №9. С. 81-90.

4. Султанов А. Я. Дифференцирование линейных алгебр и линейные связности // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем. мат. и ее прил. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 2009. Т. 123. С. 142-210.

5. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Differential geometry. New York: Marcel Dekker, 1973.