CC BY
18
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 147, кн. 1
Физико-математические науки
2005
УДК 514.16
ФУНКТОРЫ ТИПА ВЕЙЛЯ НА КАТЕГОРИИ МНОГООБРАЗИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРОВ
Г.Н. Вушуева
Аннотация
Функтор Вейля ТА : М/ ^ ТМ, определяемый локальной алгеброй Вейля А, ставит в соответствие объекту М х К^ ^ К^ категории М/м многообразий, зависящих от N параметров, расслоение ТА(М х К^) ^ ТАК^. В этой статье нами показано, что каждое сечение К^ ^ ТАК^ определяет функтор, сохраняющий произведение, на категории М/м . Получены условия эквивалентности этих функторов.
1. Введение
Конечномерная коммутативная ассоциативная К-алгебра А с единицей называется локальной алгеброй Вейля или, кратко, алгеброй Вейля [1-3], если она
о
А
о
тентных элементов, а факторалгебра А/ А изоморфна М- Имеет место разложение А
о
А = К © А. (1)
о о 2
Размерность N факторалгебры А/А2 называется шириной алгебры А. Натураль-
оо
ное число ^^ ^^^^^^^^^^^^^оотношениями А9 = 0, А9 = 0, называется высотой
о
или порядком алгебры А. Идеал А порождается всяким набором элементов {еа}, а = 1,N таким, что набор классов {еа + А2} является базисом факторал-
оо
гебры А/А2■ Следуя работе [5], такой набор {еа}, а = будем называть
о
псевдобазисом идеала А (и алгебры А). Всякий элемент X алгебры А может быть представлен в виде линейной комбинации произведений степеней элементов псевдобазиса X = ^9Р|=о Хрер, где р = ... ) - мультииндекс длины N |р| = Р1 + + ■■■ + £р = (е1)Р1 ... (ек, е0 = 1а-
Алгебра Вейля ширины N и высоты q изоморфна некоторой факторалгебре алгебры ]] формальных степенных рядов от N переменных ¿а, а = 1,..,N, по некоторому идеалу I [1-3].
Функтор Вейля Та : М/ ^ ТМ [1], определяемый локальной алгеброй А, относит гладкому многообразию М расслоение ТАМ А-скоростей [2] (А-близких точек [1], А-струй [4]). Расслоение А-скоростей Вейля ТАМ ^ М над гладким М
, 0) -Д М то следующему отношению эквивалентности: ростки / и д эквивалентны, если ряды Тейлора отображений к о / и к о д, где к - некоторая карта на М, совпадают то модулю идеала I.
М
лас на расслоении ТАМ, задающий на ТАМ структуру А-гладкого многообразия,
моделируемого А-модулем Ап [3]. В случае многообразий К и К" это приводит к естественным отождествлениям [3,4]
Т АК = А, Т АКп = А".
А гл ядких отображениях [3] преобразования координат на ТАМ, индуцируемые преобразованиями координат хг = (хг) на М, имеют вид
= (2)
|р|=о
о .
где X1 = х1 + X1 - разложение в соответствии с (1), (хг) - А-значные гладкие функции.
ТАМ М
мое локальной алгеброй Вейля А высоты q [1,2,6], ассоциировано с расслоением д-реперов В4 М, структурной группой которого является дифференциальная группа О"- Структу ра А-гладкого многообразия на ТА М [4,6] приводит к появлению
ТАМ
А-аффинных реп еров В(А)М, структурной группой которого является так называемая А-аффинная группа Бп(А) [3].
Геометрия расслоений Вейля и лифты полей различных дифференциально-гео-
М
ТАМ изучались в
работах В.В. Шурыгина [3], А.П. Широкова [6], А.Я. Султанова [7], А. Моримото [8], Л.-Н. Паттерсона [9], П. Юаня [10] и других исследователей (см., например, обзор [6]).
В работе [11] рассматривалась категория Mfм многообразий, зависящих от N параметров, объектами которой являются тривиальные расслоения р : М х ^ ^ , где М - гладкое многообразие, а морфизмами - коммутативные диаграммы вида
/
Мх!"->■ М' х
В локальных координатах (хг ) на М х и (хг ) на М' х морфизм f задается уравнениями вида хг = fг (хг , ¿а). В указанной работе было построено обобщение функтора Вейля ТА на категорию Mfы многообразий, зависящих от N параметров, где N - ширина алгебры А. Обобщенный функтор Вейля ТА : Mfм ^ ТМм относит многообразию М х расслоение ТА(М х ) ^ ^ М х , образованное А-струями ростков сечений в : ^ М х . Естественной структурной группой расслоения ТА(М х ) является группа Пп(А) [3].
Детальное изложение теории функторов, сохраняющих произведение на категории гладких многообразий Mf, можно найти в монографии [2]. В работах [12-14] получена классификация функторов, сохраняющих произведение на категориях расслоенных многообразий, и их естественных преобразований.
В данной работе построен класс функторов, сохраняющих произведение, в категории Mf ^ и исследованы условия их эквивалентности.
р
р
и
2. Функторы на категории М/N
Объектами категории FMN расслоенных многообразий, зависящих от параметров, являются коммутативные диаграммы
E х
id
MxI^R", а морфизмами - коммутативные диаграммы над RN
f
E х :
М xRN ■
E' х
M' х Rn.
В работе [11] было построено обобщение функтора Вейля Та на категорию М/^ зависящих от N параметров, где N - ширина алгебры А.
Обобщенный функтор Вейля TA : MfN — FM ставит в соответствие объекту p : M х Rn — Rn расслоение
TTA(M х Rn)
id
М х Rn
образованное А-струями ростков сечений s : RN — M х RN. По определению, два ростка сечений s, s' : (RN, t0) — M х RN определяют одну А-струю jAs, если jA(sotrt0) = jA(s' otrt0), где trt0 : RN Э t — t +t0 G RN - сдвиг на вектор t0 G RN. В силу этого для всех M G Mf определено отображение
¿m : TTA(M х
jAs
TA(M х
■ j (s o trto),
являющееся вложением.
Объект p : М х К.-^ ^ категории М/N является морфизмом категории М/. Действие функтора Вейля Та : М/ ^ ТМ [2] на нем определяет расслоение
TA(p) : TA(M х
у A
~ А. Тогда, поскольку TA (p)(j A(s o trto)) =
= jA(p o s o trto) = jA(trto), получаем следующую коммутативную диаграмму
ТА(М х fk(P)
■ TA(M х
TA
T A(p)
(3)
где ст(г) = 3A(trt) - сечение расслоения Т^ а AN = Та(^) - А-модуль. Для ст можно записать координатное выражение аа(¿) = ¿а + еа где {еа} -псевдобазис [5] в локальной алгебре А = Та(К) .
Для каждой точки X с ТА(М х К.-^), удовлетворяющей условию ТА(р)(Х) = = 3а(trt), существует единственная точка У с ТА(М х RN), такая, что ¿м (У) =
п
п
п
f
п
Р
—>
—-
6
M
Г
= X. Поэтому диаграмма (3) является диаграммой обратного образа в категории гладких многообразий Mf.
Морфизм ТА ^) в локальных координатах задается уравнениями вида
9 1 д|р+я| р о
р+я = 1
р!в! дхр
Дополняя диаграмму (3) проекциями расслоений Вейля на базовые многообразия, получаем диаграмму
М х К-
ТА(М х
ТТА(р)
ТА(М х
тк(р)
1С1
(4)
ТА
Конструкцию расслоения ТА(М х К-) можно обобщить, заменив сечение а(Ь) = = 3 A(tri) та произвольное течение расслоения ТАК- ^ К-. Итак, пусть теперь а : К- ^ Т АК- - произвольное течение. Об означим ^(М х К-) ^ К- расслоение, являющееся обратным образом [18] относительно этого сечения. Из конструкции обратного образа следует, что при переходе от расслоения ТА(М х К-) ^ ТАК- к расслоению ТА(М х К-) ^ К- сохраняется проекция на М х К-. Таким образом, получаем коммутативную диаграмму, аналогичную диаграмме (4),
М х К-
ТА(М х
т»
ТА(М х
тА(р)
¡с!
(5)
ТА
Левая «стенка» диаграммы (5) представляет собой объект категории FM
ТА(М х Ж^)->■ Мх!"
-
(6)
Из конструкции обратного образа следует, что продолжение
т Af
ТА(Ш х Ж^)-ТА(М х
ТАКДГ
ТАК-
ом
а
а
а
[ё
морфизма
/
^х!"->■ МхК"
порождает морфизм
(7)
ТА(1 х
то/)
ТА(м х
м х
1С1
(8)
Очевидно, что при этом композиция / о д морфизмов д и / переходит в композицию ТА(/) о ТА(д) и ТА(м) = м.
Поскольку функтор Вейля ТА сохраняет произведение, имеет место изоморфизм ТА(М) = ТАМхТАК№. Поэтому вложение ст^ : ТА(М) ^ ТА(Мх
), индуцируемое операцией обратного образа, при фиксированном Ь € определяет подмногообразие ТАМ х {ст(Ь)} в ТА(М х ), диффеоморфное ТАМ. Поэтому Т^ (М х ) диффеоморфно ТАМ х в категории
Опишем атлас на многообразии Т^(М х ), индуцируемый вложением ст. Пусть к0)} - атлас на М х . Он порождает на ТА(М х ) А"+№-атлас
{(1А, к0)}, где = ), а к0 - естественные продолжения отображе-
ний к0 в алгебру А Тогда семейство областей являющихся прообразами
областей относительно стМ, и карт к0 = к0 о ст^дат на ТА(М х ) атлас. Элемент из ТА(М х ) определяется координатами Хга = ж0 + X0,
о о . о о о
Б^ = + Б0, где ж0, € К, X0; Б0 € А, а А - максимальный идеал локальной алгебры А Тогда прообраз этого элемента в ТА(М х ) имеет координаты (Х£,, ¿0 = ) • Таким образом, карта (1^,^.0) на ТА(М х ) индуцирует карту (1<А, к0) = (1<А(ст), к0(ст)) на ТтА(М х ). Преобразования координат между двумя -картами , к0) и (1д , ^А) на ТА(М х ) имеют вид (см. [4]):
Х =
д
Е
М+Ы=о
д |г+р|(к
г!р!
джгдвр
„ о к-1) о о Р а ' -уГ ер
Х 0 Б 0,
г-а _ г-а
Б в = Б0,
(9)
где (ж1, ва) - локальные координаты в карте (Х£,, Б^) - локальные коор-
динаты в карте (1<А, кА ), г и р - мультииндексы. Вложение стМ локально задается уравнениями Б^ = ста(Ь). Здесь ста(Ь) = ¿а + $^1=1 стр (¿)£р - координатные выражения для сечения ст, стр - вещественные функции от параметров ^др|=1 °"Р(¿)еР -разложение по базису алгебры А а = 1,...,^ и р = (р1 ). Подстанов-
ка этого соотношения в уравнения преобразования (9) определяет преобразования координат между картами , к0) и (1А, кА) на ТА(М х
Хв
Е
|г+р|=0
1 д|г+р|(к^ о к-1)
г!р!
джг дЬР
Х0 стр(¿).
(10)
[ё
/
1
Группируя слагаемые этой суммы, получаем выражение
q
◦ ■/ ж-^ ■/ ◦
X1 = 53 А (** X) Xr, (11)
r
|r|=0
., . 1 д|r| / « 1 д\p\(hi' о h-1) ◦
= HftF (Еу av ■"(" I ■ <12>
Пользуясь теоремой об A
- ГЛ ядких отображениях [4], заключаем, что выражениями (11), (12) на каждом слое TAM х {to} определяются A-гладкие функции склейки = hß о (hß)-1. Координатные выражения для -морфизмob Tß(/) в этом
атласе имеют аналогичный вид
' 1 д|r+p\ Р - .
Y*(X>,n = r(x,t)+ Е ^
r+p=1 'L
В результате получаем следующее
Предложение 1. Соответствие ТА, от,носящее расслоению М х объект (6), а морфизму (7) - морфизм (8), является функтором из категории М/ы в категорию ТМИ.
Пример 1. Вертикальный функтор Вейля VА : ТМт ^ ТМ, рассматриваемый в работах [2,12,13], каждому расслоенному многообразию q : Е ^ М ставит в соответствие расслоение VАЕ ^ Е, тотальное пространство которого есть множество А-струй ростков д : , 0) ^ q-1 (х), где q-1 (х) - слой над точкой х € М. Действие этого функтора на расслоениях из категории М/ -м соответствует в описанной конструкции нулевому сечению ст(Ь) = 3А(ptt), где р^ : К.-^ ^ Ь € -постоянное отображение, поскольку ТА(р)(зАд) = зА(р о д) = 3А(ptt). В локальных координатах нулевое сечение задается уравнениями ста(Ь) = Морфизм VА (/) имеет вид
9 1 яИ Н ◦
„ 1 d|r| Р и
Г = 1
Понятие произведения в произвольной категории формулируется следующим образом [16].
Пусть С - произвольная категория и С1, С2 - объекты из С. Подпроизведением объектов С1 и С2 в С понимается тройка (Р, рг1,рг2), состоящая из объекта Р в С и двух морфизмов и удовлетворяющая следующему условию. Для любого объекта О и любых двух морфизмов
/1 : О ^ С1 и /2 : О ^ С2
существует единственный морфизм / : О ^ Р, для которого /1 = рг1 о / и /2 = = рг2 о /, то есть диаграмма
коммутативна.
Функтор Т : С ^ В называется функтором, сохраняющим произведение [2], если для всякого С-произведения (А,рг1,рг2) тройка (Т (рг1 (рг2)) является произведением в категории В.
Сконструированные функторы обладают следующим свойством.
Предложение 2. Функтор Вейля : М/м ^ сохраняет, произведе-
ние.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму произведения М1 х Д- М1 х М2 х -2 М2 х
двух М/^-объектов ^ : М1 х ^ и р2 : М2 х ^ в категории М/^. Пусть
/ л
ВхГ ■ ТА(Ма х М")
1 с _ ' '
/а
МхК"--—Ма х
суть произвольные ^М^^^^^^мы, где а = 1,2. Покажем, что существует единственный ^М^-морфизм
/
Е х Ж№-ТА(М1 х М2 х Ж№)
• ' _ ' '
МхК"-^ М^МзхК",
такой, что /1 = Т^рп) о / и /2 = Т^р^) ◦ /• Рассмотрим следующую диаграмму
тА(М2 х
тА(М1 х
Та(М2 х
ТА(М1 х
В силу того, что функтор Вейля Та : М/ ^ сохраняет произведение [2], для М/ ^-морфизмов /1 и /2 существует единственный М/-морфизм Ь : Е х Ж№ ^
^ ТА(Мх х М2 х ), такой, что все диаграммы со стрелками в нижнее основание диаграммы, изображенной на рисунке, коммутативны.
Поскольку диагональный вертикальный квадрат этой диаграммы является диаграммой обратного образа, для гцвух М/-морфизмов Н : Е х ^ ТА(Мх х М2х ) и Н = ТА(р1) о / = ТД(р2) о /2 : М х ^ существует единственный М/-морфизм / : М х ^ ТА(М1 х М2 х ), такой, что все диаграммы со стрелками в верхнее основание коммутативны. Из коммутативности всей этой диаграммы, а также из коммутативности диаграмм
£хК№-^^ ТА(Ма х М")
1 ' _ ^ •
МхК"--->■ Ма х
следует, что / является ^М^-морфизмом.
Таким образом, мы получили, что для любых ^"М^-морфизмов /1 и /2 существует единственный ^"М^-морфизм /, такой, что ТА(рг1) о/ = /1 и ТД(рг2) о/ = = /2. Следовательно, функтор Вейля ТА сохраняет произведение. □
3. Эквивалентные функторы на категории М/ 'М
Исследуем следующую проблему: при каких условиях два функтора ТД и ТД, определяемые различными сечениями о, 02 : ^ ТА, эквивалентны. При этом эквивалентность понимается нами в следующим смысле [17].
Естественным преобразованием между двумя функторами : С ^ В назы-
вается семейство В-морфизмов Ф = {Фа : (А) ^ (А)}Аее, индексированное семейством объектов из С и удовлетворяющее следующему условию: для любого / : А ^ В € Мог(С) диаграмма
Фа
Р2{а)-^Р2{В)
коммутативна в категории В. Морфизм Фа называют компонентой естественного преобразования Ф : ^ .
Если все компоненты Фа естественного преобразовання Ф : ^ являются Ф
мом функторов Ф : = .
Рассмотрим функтор ТД : М/м ^ . Сечение о : ^ Топределяет
семейство подалгебр (Ь) С А}№К« следующим образом.
Пусть д - высота алгебры А. Рассмотрим алгебру срезанных многочленов К.(Nд) с набором образующих {т1 ,...,ты}. Соответствие (та ^ оа(Ь), а = 1,..., N) определяет гомоморфизм
локэльных алгебр (Ь) : д) ^ А
при любом фиксированном Ь € , образом которого является некоторая подалгебра (Ь). Пусть
^ : М(Ж, д) х ^ А х (14)
есть отображение, определенное соотношениями (а,4) = (Ь)(а),Ь).
Фв
Теорема 1. Пусть cti , : ^ ТARN - два сечения, a и - соответ-
« Ta
ствующие отображения (14). Функторы, ТД и Tj2 эквивалентны тогда и только
тогда, когда существует MfN -морфизм n : AxRN ^ A х удовлетворяющий следующим условиям:
1) ограничение щ : A ^ A морфизма n «а слои t = const, является автоморфизмом алгебры A при каждом t G ;
Ю П 0 = ^ •
Доказательство. 1) Предположим, что функторы ТД и TZ^ir^ эквивалентны. Тогда каждому объекту M х € Ob(MfN) можно сопоставить Фм € € Mor(FMN) так, что диаграмма
(f)
ТД (М х ТД х
;A/MV 1 - грА ,
V im- --^ ^ ^
(15)
M
ф№
ТА (М х Ж^) ТА (И^ х
коммутативна при любом / £ Мог(М/).
Учитывая изоморфизм (М х Ж№) = ТАМ х Ж№ и рассматривая подмножество не зависящих от параметров морфизмов / = / х 1с1, где / : М —> Негладкое отображение, воспользуемся тем, что естественные преобразования функторов Вейля на категории М/ соответствуют гомоморфизмам алгебр Вейля [2]. Рассмотрим случай М = Ш = Ж. В этом случае Фк = п х Ш, где п : ТАЖ ^ ТАЖ -автоморфизм алгебр Вейля. Пусть / : К х Ж№ ^ К х Ж№ - произвольный морфизм из категории М/В координатах (X, ¿) на ТА(К х Ж№) морфизм ТА(/) имеет вид
® 1 д|р+я| / ◦ 0 Р+8 = 1 1
Диаграмма естественной эквивалентности (15) сводится к следующему равенству:
(14
о ^ о
где ст" (¿), ст" (¿) ~ координатные выражения для сечений ст1 и ст2 соответственно, / = /(ж, ¿) ~ произвольная функция, а в - мультииндекс. Для функции / = с + (не зависящей от ж) выполняется соотношение
Э/ = №
a
dxPdis p s'
где ¿p - обобщенный символ Кронекера. Из равенства (16) для этой функции получаем, что Фк(◦ p) = ◦ p• Таким образом, отображение п = Фк : A х ^ A х является послойным автоморфизмом ЛОКЙЛЬНЫХ алгебр, и при этом образующие {◦1,..., ◦N} подалгебры (t) отображаются в образующие {◦ 2, • • •, } подалгебры Bff2 (t).
2) Предположим, что морфизм п : A х ^ A х , удовлетворяющий условиям теоремы, существует. Для каждого гладкого многообразия M можно определить отображение
Ф(п)м : (M х ) ^ TTA (M х ), (17)
которое в картах (Ж)) и (ЖА(02), ^(02)), индуцированных одной и той же картой (ЖА, ЛА) на ТА(М х ), задается соотношением
(XV) ^ ),*). (18)
Действительно, то, что соотношениями (18) отображение (17) определяется корректно, следует из формул преобразования координат (10):
9
1 д |г+р|(Ц о л-1)
= Е ¿г"1
г!р! дхг
,|г+р|=0
1 д|г+р|(Лв о Л-1) о о
|г+р|=0
Пусть теперь / : М х ^ Ж х у* = /1 (хй, 4), - произвольный М/№-мор-физм. Покажем, что диаграмма (15) коммутативна. Отображение Ф(п)м точку с координатами (X*,4) переводит в точку с координатами (пДХг),4), которая, в свою очередь, при отображении ТД, (/) переходит в точку с координатами (^г,4),
^ 1 д|г+Р о о
|г+р|=0
С другой стороны, отображение ТА (/) точку с координатами (X1,4) переводит в
пА
точку с координатами (У*,4) на ТД (Ж х ), где
. ^ 1 д|г+Р|/* о г о
уг= Е ф!
|г+р|=0
Поскольку по условию п : А ^ А - автоморфизм алгебры А и = °"2> т0
отображение Ф(п)ж переводит точку с координатами (У* ,4) в точку с теми же самыми координатами г,4). Таким образом, диаграмма (15) коммутативна. □
Следствие 1. Если для некоторых 4 € алгебры (4) и В^2 (4) неизоморфны, то функторы ТД и ТД неэквивалентны.
Доказательство. Предположим, что для функторов ТД и ТД выполняются условия теоремы. Тогда для каждого 4 € ограниченне морфизма п является изоморфизмом алгебр В(71 (¿) и Во-2 , что противоречит условию. □
То, что изоморфизма алгебр (4) и В^2 (4)
для каждого 4 € , еще недостаточно для эквивалентности функторов ТД и ТД , показывает следующий пример.
Пример 2. Пусть N = 1. Рассматриваем алгебру срезанных многочленов К(2,2) с базисом {1,£1,£2,£2,£2,£1£2}. Разложение элемента алгебры X € К(2,2) по этому базису записывается в виде
X = X + Х1 £1 + Ж2 £2 + Х12 £1 £2 + Хц £? + Х22 £2 .
Рассмотрим сечения 01, 02 : К ^ К(2,2) следующего вида 01 (4) = 4 + £2 и 02 (4) = = ¿+£?+£2 ■ В этом случае сечение 01 определяет подалгебру В1 = £{1,£2} = К(£), а сечение 02 определяет подалгебру В2 = £{1 ,£2 + £2} = К(£).
Согласно доказанной теоремы функторы Т^/2'2-1 и Тк2 эквивалентны тогда и только тогда, когда существует автоморфизм п : К(2,2) ^ К(2,2), такой, что
П(е2 )= е? + е2 • (19)
Пусть п : К(2, 2) ^ К(2,2) - некоторый автоморфизм и
п(е?) = ж? е? + Ж2 е2 + ж?2 е?е2 + ж?? е? + Ж22 •
Тогда
п(е2 )= ж? е? + ж2 £2 + 2ж? Ж2 е?е2. (20)
Очевидно, что таких ж? и ж2, при которых выражения (19) и (20) совпадают, не существует.
Выпишем для иллюстрации морфизмы Т^2'2-/) и Т^2'2-/) для / : х К ^ ^ К х К.
?«">(/)( а-, = /(х*,«++ ++ ¿¡-¡АА +1 ]«?+
д/ д2/ Д /д/ д2/ Д
+1 ^Ж22+а^ж2ж2;е2++;е1£2
22
= У + У!£! + У2£2 + Уне-2 + У22 £2 + у?2 е? £2,
2,2)(/)(Хг) = ^ + |/ ^ + |/ ^ + + -^-ж^ + ^ ] ^ +
Ё1 i , ^ * з , ^ 2
+дхЧ)хоХ1Х1+сН
дх^22 + дх^Х2Х2 + дь) 2 + \дх^12 + 2дх^Х1Х2
22
= У + У^ + У2е2 + Уне? + У22 е2 + у?2 е? е2 • У22
изводную по параметру, которая может принимать любое значение. Этот факт еще раз указывает, что никакого взаимооднозначного соответствия между координатами установить нельзя.
Применяя доказанную выше теорему к функторам ТА и VА, получаем следующее
ТТА
Вейля VА не эквивалентны.
Доказательство. Компоненты сечения ст? : ^ + е", соответствующего функтору ТА, порождают всю алгебру А. Компоненты сечения ст2 : ^ , соответствующего функтору УА, порождают подалгебру 1 = £{1} = Ес А. □
Для эквивалентных функторов ТД и Т^ морфизм п = А х ^ А х , осуществляющий эквивалентность Ф(п) : ТА — Т А , может определяться пеодпозпач-
п? п2 ТТА1
ТА , то композиция п = п—?0 п? будет определять эквивалентность Ф(п) : ТА — ТА
ТТ А1
ность Ф(п), соответствующая тождественному автоморфизму п = И : А ^ А. Нетривиальная эквивалентность будет существовать, если имеется нетождественный автоморфизм п : А ^ А, удовлетворяющий условию: п ◦ £71 = £71. Отсюда вытекает следующее
Предложение 4. Множество всех естественных эквивалентностей Ф : уА ^ уА наХодится в биективном соответствии с множеством MfN-морфизмов n : A х RN ^ A х RN, удовлетворяющих следующим условиям:
1) ограничение nt : A ^ A морфизма n на слои t = const, является автоморфизмом алгебры A при каждом t <G RN;
2) n◦ е. = е..
В случае обобщенного функтора Вейля ТА сечение а задается уравнениями aa (t) = ta + ea. В этом случае условие (2) предложения 4 имеет вид nt (◦ a(t)) = = ◦ a(t), где {◦а (t) = еа }, а = 1,..., N, - псевдобазис алгебры A. Из соотношений nt (ea) = ea следует, что nt = id - Таким образом, получаем следующее следствие из предложения 4.
Ф:
ТА ~ ТА, представляющая собой набор тождественных морфизмов id : ТAM х xRn ^ TAM х Rn.
Пример 3. Функтор ТХ^^?,^2'2), рассмотренный в примере 2, допускает нетривиальные естественные эквивалентности, определяемые соответствием
/ i i i i i ч / i i i 2 i i \
(xl ,x2,xll ,x22 ,x12) ^ (xl > ax2i xll > а x22,axl2 ) >
а
Пример 4. Для вертикального функтора Вейля VA сечение а задается уравнениями аа (t) = ta. В этом случае условие (2) предложення 4 имеет вид nt (◦a (t)) = = ◦ a(t), где ◦a (t) = 0. № соотношений nt(0) = 0 следует, что nt ~ любой автомор-A
Summary
G. V. Bushueva. Weil functors for the category of manifolds depending on parameters.
A Weil functor TA : Mf ^ FM defined of local Weil algebra A assigns to an object M x RN ^ RN of the category MfN of manifolds depending on N parameters the fibration TA (M x RN ) ^ TARN . to to article to show that any cross-section RN ^ TARN induces the product preserving functor on the category MfN. We obtain condition of the equivalence for these functors.
Литература
1. Weil A. Théorie des points proches sur les variététes différentiables // Colloque Int. Centre Nat. Rech. Sci. - Strasbourg, 1953. - V. 52. - P. 111-117.
2. Kolâf L, Michor P., Slovak J. Natural operations in differential geometry. - Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1993. - 434 p.
3. Шурыгин В.В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля // Итоги науки и техники. Современная матем. и ее прилож. Т. 73. Тематические обзоры. - М.: ВИНИТИ, 2002. - С. 162-236.
4. Shurygin V. V. The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras // Lobachevskii J. of Math. - 1999. - V. 5. - P. 29-55 (URL: http: //ljm.ksu.ru).
5. Вагнер В, В, Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков // Тр. сем. по вект. и теш. анал. - МГУ, 1956. - Вып. 10. - С. 31-88.
6. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т. 12. - М.: ВИНИТИ, 1981. - С. 61-95.
7. Султанов А.Я. Продолжения тензорных полей и связностей на расслоения Вейля // Изв. вузов. Математика. - 1999. - № 9. - С. 81-90.
8. Morimoto A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points // J. Diff. Geom. - 1976. - V. 11, No 4. - P. 479-498.
9. Patterson L.-N. Connexions and prolongations // Canad. J. Math. - 1975. - V. 27, No 4.
- P. 766-791.
10. Yuen P.G. Sur la notion d'une G-structure deometrique et les A-prolongements de G-structures // C. R. Acad. Sci. - 1970. - V. 270, No 24. - P. A1589-A1592.
11. Бушуева Г.Н. Расслоения Вейля над многообразиями, зависящими от параметров. // В сб. Движения в обобщенных пространствах. - Пенза, 2002. - С. 24-34.
12. Kolaf L, Mikulski W.M. On the fiber product preserving bundle functors // Differ. Geom. and Appl. - 1999. - V. 11. - P. 105-115.
13. Mikulski W.M. Product preserving bundle functors on fibered manifolds // Archiv. Math.
- 1996. - V. 32. - P. 307-316.
14. Doupovec M., Kolaf I. Iteration of fiber product preserving bundle functors // Monatsh. Math. - 2001. - V. 134. - P. 39-50.
15. Doupovec M., Kolaf I. Natural affinors on time-dependent Weil bundles // Arch. Math.
- 1991. - V. 27. - P. 205-209.
16. Лет С. Алгебра. - M.: Мир, 1968. - 564 с.
17. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 1. - М.: Мир, 1977. - 688 с.
18. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. -М.: Мир, 1983. - 400 с.
Поступила в редакцию 17.12.04
Бушуева Галина Николаевна - младший научный сотрудник отдела геометрии НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.
E-mail: [email protected],
