CC BY
33
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.76
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОЛОНОМИИ ОДНОГО КЛАССА МНОГООБРАЗИЙ
НАД АЛГЕБРОЙ ДУАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
© А. А. МАЛЮГИНА1, В.В. ШУРЫГИН2 1 Казанский (Приволжский) Федеральный Университет, кафедра геометрии e-mail: lachattenoire@mail.ru 2Казанский (Приволжский) Федеральный Университет, кафедра геометрии e-mail: Vadim.Shurygin@ksu.ru
Малюгина А. А., Шурыгин В.В. — Представления голономии одного класса многообразий над алгеброй дуальных чисел // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 128—
136. — Многообразие M® над алгеброй дуальных чисел D несет на себе каноническое слоение F, слои которого являются аффинными многообразиями. В работе построен функтор из категории аффинных многообразий в категорию многообразий над алгеброй D, относящий аффинному многообразию Mn многообразие M®, каноническое слоение которого имеет слой L, изоморфный многообразию Mn. Установлена связь между представлениями голономии слоя L и многообразия Mn. Детально рассмотрен случай аффинного многообразия, получаемого склейкой противоположных сторон четырехугольника с помощью преобразований подобия.
Ключевые слова: алгебра дуальных чисел, аффинное многообразие, многообразие над алгеброй, представление голономии
Malyugina A. A., Shurygin V. V. — Holonomy representation for a class of manifolds over the algebra of dual numbers // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 128—136. — A manifold M® over the algebra of dual numbers D carries a canonical foliation F whose leaves are affine manifolds. We construct a functor from the category of affine manifolds to the category of manifolds over the algebra D which assigns to an affine manifold Mn a manifold Mlr® whose canonical foliation has a leaf L isomorphic to Mn. We establish relations between the holonomy representations of the leaf L and the holonomy representations of the manifold Mn. We study in detail the case of an affine manifold obtained by gluing the opposite sides of a quadrilateral by means of similarity transformations.
Keywords: dual numbers, affine manifold, manifold over an algebra, holonomy representation
1. Представления голономии многообразия над алгеброй дуальных чисел.
Алгеброй дуальных чисел В = М(є) называется [1], [8] двумерная алгебра над полем вещественных чисел К с базисом {1 = еі,є = Є2}, состоящим из единицы 1 = еі и элемента є, квадрат которого равен
нулю. Таким образом, произвольный элемент алгебры D имеет вид X = a+be, где a, b G R, а произведение
X = a + be и Y = c + de вычисляется по формуле:
XY = ac + (ad + cb)e.
Строки {X1, X2,..., Xn} длины n, состоящие из элементов X® = x®+X®e, * = 1,..., n, алгебры D, образуют n-мерный модуль Dn над алгеброй D. Представление модуля Dn в виде объединения вещественных n-мерных плоскостей с уравнениями x® = x0 = const определяет каноническое слоение F на Dn. Отображение
F : U С Dn э {X® = х® + X®e} ^ {Yk = yk + yke} G Dm (1)
из открытого подмножества U модуля Dn в модуль Dm называется D- гладким, если его дифференциал
dF в каждой точке из U является D-линейным отображением. В некоторой окрестности каждой точки из U D-гладкое отображение (1) имеет следующий вид [2]:
yk + yk e = fk (x®) + (xj dj fk + gk (x® ))e, (2)
где символом dj fk обозначена частная производная функции fk по переменной xj. На всем открытом множестве U отображение (1) может также быть представлено в виде (2), но при этом функции fk и gk, определенные на множестве U, только локально не зависят от переменных x®, то есть выполняются только условия [10]
df k/dat ® =0 и dgk/d:x ® = 0. (3)
Функции fk и gk, удовлетворяющие условиям (3), называются базовыми по отношению к каноническому
слоению [9].
Множество D-диффеоморфизмов (D-гладких диффеоморфизмов) F : U С Dn ^ V С Dn между открытыми подмножествами D-модуля Dn образует псевдогруппу r(Dn).
Структура n-мерного D-гладкого многообразия на вещественном 2п-мерном многообразии M2n задается Г(Dn)-атласом, то есть атласом
{Ha : Ua э X ^ {X® = x® + ;x®e} G U^ С Dn}aeA, (4)
карты которого принимают значения в модуле Dn, а функции перехода Ha о 1 принадлежат псевдогруппе r(Dn). Для обозначения n-мерного многообразия над D будем использовать символ M®.
Идеал I алгебры D, состоящий из элементов с нулевой вещественной частью (элементов вида be), порождает подмодуль In в Dn, инвариантный относительно D-линейных преобразований. Подмодулю In соответствует каноническое слоение F на многообразии M® [10], слои которого в картах атласа (4) определяются уравнениями x® = x0 = const.
Слои канонического слоения F являются слабо вложенными подмногообразиями в M® [9]. Из уравнений (1) следует, что на каждом слое слоения F индуцируется каноническая структура аффинного многообразия, то есть многообразия с атласом, функции перехода которого являются аффинными преобразованиями [4].
С каждым слоем L слоения F на многообразии M® ассоциируется представление голономии [10] — гомоморфизм из фундаментальной группы n(L) слоя L в группу Diff(Dn, In) ростков D-диффеоморфизмов модуля Dn, переводящих в себя подмодуль In [10]. Этот гомоморфизм определяется следующим образом. Пусть Lx0 — слой канонического слоения F, проходящий через точку Xo G M® и H : U ^ U* С Dn — карта из атласа (4) такая, что U э Xo, а U* — открытый координатный параллелепипед в Dn, содержащий 0, h(Xo) = 0, и пусть 7 : [0,1] ^ Lx0 — замкнутый непрерывный путь, лежащий в слое Lx0 . Отображение H однозначно распространяется вдоль пути 7 [10], в результате чего возникает
карта (W, HY ), где W Э Xo. Росток а*0 (Y ) = «x0 h (y) композиции HY о H-1 в 0 G D определен вдоль
всего подмодуля I” и зависит только от гомотопического класса [y] пути y. Если yi и Y2 — два пути в слое L*0 , начинающиеся и заканчивающиеся в точке Xo, а Y3 = Y2 * Yi — их произведение [3], то ах0 (y3 ) = «х0 (Y2) о ах0 (yi). В результате возникает гомоморфизм
а* : n(Lx0,Xo) Э [y] — а*(y) G Diff(D”,F),
называемый представлением голономии многообразия M® в Xo. Образ
«X0 (n(Lx0, Xo)) С Diff(D”, I”)
называется группой голономии многообразия M® в Xo. Группа голономии зависит от выбора карты H : U — U*, U Э Xo, и определяется с точностью до замены на сопряженную подгруппу в группе Diff(D”,I”) относительно некоторого внутреннего автоморфизма.
Пространство R” может рассматриваться как фактормодуль D”/I”. Из уравнений (2) следует, что определен эпиморфизм
у : Diff(D”,I”) — Diff(R”, 0),
относящий ростку D-диффеоморфизма F G Diff(D”,I”) с уравнениями (2) росток f = ^>(F) G Diff(R”, 0) диффеоморфизма окрестности нуля пространства R” с уравнениями yk = f k(x®). Переход от ростков «x0 (y) к росткам а* (Y), определенным на фактормодуле R”, при этом приводит к представлению голономии
а* : n(Lx0, Xo) Э [y] - ^(«*0 (Y)) G Diff(R”, 0)
слоя L*0 в смысле теории слоений [9]. Ограничение ростка F G Diff(D”, I”) на подмодуль I”, который также можно отождествить с пространством R”, является аффинным преобразованием. Символом GA(n, R) будем обозначать группу всех аффинных преобразований пространства R”. Ограничения ростков а*0 (y) на подмодуль I” определяют представление голономии
«*0 : n(L*0,Xo) э [Y] — а*0 (Y) G GA(nR),
слоя L*0 как аффинного многообразия [4].
Композиция
а*” = Lin о а* : n(L*, Xo) - GL(n, R),
где Lin : GA(n, R) — GL(n, R) — канонический эпиморфизм, относящий аффинному преобразованию его линейную часть, называется представлением линейной голономии слоя L*0 как аффинного многообразия [7].
Рассмотрим произвольное связное n-мерное аффинное многообразие Mn с атласом
Л = {ha : Ua э х — {х0,} G Uàï С R”}a£A (5)
и функциями перехода
ha о h-1 : x*a = ak(а, в)х^ + 6®(а, в), (6)
где ak(a, в) и 6® (а, в) — локально постоянные функции. С аффинным многообразием Mn естественно
ассоциируются следующие два локально тривиальных расслоения (см. [7], а также [5] для общего случая гладких многообразий над алгебрами Вейля):
1) п : OM” — M” с атласом {Ha : n-1(Ua) — U^ x R”}a
£a, функции перехода которого Ha о H- 1 :
{хв,У®} — {x‘a,ya} имеют вид
Xa = ak (а,в)хв + 6®(а,в ), ya = а1(а,в)У^ + 6®(а,в ^ (7)
и
2) п : OM” — M” с атласом {Ha : n-1(Ua) — Ua x R”}a £a, функции перехода которого Ha о H- 1 :
{хв,y®} — {x‘a,ya} имеют вид
xa = ak (а,в)хв + 6®(а,в) ya = ak (а,в)У^. (8)
Расслоения OM” и OM” называются соответственно [5] каноническим соприкасающимся и каноническим радиантным расслоениями аффинного многообразия M”. Расслоение OM” эквивалентно касательному расслоению многообразия M”.
Имеются канонические сечения a : M” — OM” и à : M” — ОM” этих расслоений, которые в локальных координатах задаются соответственно уравнениями ya = xa и y® =0.
Пусть теперь xo G M” — некоторая точка связного аффинного многообразия M” с атласом (5) и h : U — U* С R” — карта на M” из атласа (5) такая, что xo G U. Продолжение этой карты вдоль непрерывного пути y : [0,1] — M” на M”, соединяющего точку xo = y(0) с точкой х1 = Y(1), определяет карту hY в некоторой окрестности точки х1 (росток карты), которая зависит только от гомотопического класса [y] пути y, и соответствие
D : M Э [y] — hY(х1) G R” (9)
представляет собой так называемое развертывающее отображение (см. [4]), где M — универсальное накрывающее пространство многообразия M, реализованное как множество гомотопических классов путей с началом в точке xo (см. [3]).
Аффинное многообразие M” называется полным, если развертывающее отображение (9) является изоморфизмом аффинных многообразий. D-гладкое многообразие M® называется полным, если все его слои являются полными аффинными многообразиями.
Определим гомоморфизм
Ф : GA(n, R) — Diff(D”, I”),
относящий аффинному преобразованию х'® = akxk + 6® росток D-диффеоморфизма х'® + ey'® = akxk +
e(ak yk + 6®), и отображение
ф : R” x R” Э {x®, y®} — {X® = y® + ex®} G D”.
Предложение 1. (i) Наборы карт
AO = {HO = ф о Ha : n-1(Ua) — D”}a^A,
AO = {HO = ф о Ha : П-1(Ua) — D”}a£A (10)
являются D”-атласами, определяющими на многообразиях OM” и ОM” соответственно структуры n-мерных гладких многообразий ODM” и ODM” над алгеброй D.
(ii) Ограничения проекций п и п на слои канонических слоений D-гладких многообразий ODM” и ODM” являются аффинными накрытиями.
(iii) Подмногообразие L = à(M”) С ODM” является слоем канонического слоения многообразия ОDM”. Ограничение п|L : L — M” проекции п на слой L является изоморфизмом аффинных многообразий.
(iv) Представление голономии а*0 : ^L, Xo) — Diff(D”, I”) слоя L имеет вид Ф о ах1.
(v) Представление голономии а*оп(L, Xo) — Diff(R”, 0) слоя L имеет вид Lin о а*1.
(vi) Если M” — полное аффинное многообразие, то многообразия ODM” и OdM” — полные D-гладкие многообразия.
Доказательство. Утверждение (i) следует из формул (2), (3), (7) и (8).
(ii) Локальные слои канонических слоений многообразий ODMn и ODMn, принадлежащие откры-
тым множествам n-1(Ua) и n-1(Ua), являются прообразами Ua(y0) = (Ha)-1(Ua х {уО}) и Ua(y0) = (Ha)-1(U* х {у°}) сечений U* х {уо}, у° = const, произведения U* х Rn при отображениях Ha и Ha соответственно. Каждый из этих локальных слоев проектируется отображениями п и П (соответственно) на Ua диффеоморфно. Поэтому слои канонических слоений правильно накрывают многообразие Mn. Атласы многообразий ODMn и ODMn индуцируют карты ha(y0) = ha о п : Ua(y0) ^ U* и ha(y0) = ha о П :
Ua(y°) ^ U* на слоях канонических слоений, определяющие на этих слоях структуры аффинных многообразий. В локальных координатах на слоях, определяемых вышеуказанными картами, и в соответствующих локальных координатах многообразии Mn, ограничения отображений п и П задаются постоянными отображениями, поэтому ограничения отображений п и п на слои канонических отображений являются морфизмами в категории аффинных многообразий.
(iii) Подмногообразие L = <г(М„) С ODMn в локальных координатах задается уравнениями у° = 0 и поэтому является слоем канонического слоения. Проекция П является левым обратным отображением к сечению а, поэтому n|L — изоморфизм в категории аффинных многообразий.
Утверждения (iv) и (v) следуют из формул (6) и (8).
(vi) Утверждение следует из полноты многообразия Mn и того, что ограничения проекций п и П на слои канонических слоений являются аффинными накрытиями (утверждение (ii)). Действительно, пусть п : Mn ^ Mn — накрытие. На аффинном многообразии Mn имеется атлас
{ha = ha О П : Ua = П-1(Ua) ^ U* С R”}a£A, (11)
карты которого согласованы с картами атласа (5) многообразия Mn. Рассмотрим карту h = h оП : U ^ U* и точку жо G U, п(жо) = жо. Имеется взаимно однозначное соответствие между путями на многообразии Mn с началом в точке жо и путями на многообразии Mn с началом в точке жо: пути 7 на многообразии Mn соответствует его поднятие на Mn, а пути 7 на Mn соответствует путь п о 7 на Mn. Указанное соответствие распространяется на гомотопические классы путей. Это позволяет отождествить универсальные накрывающие пространства многообразий Mn и Mn. Из согласованности между картами атласов (5) и (11) следует, что продолжения согласованных карт h : U ^ U* и h : U ^ U* соответственно вдоль путей 7 и Y также согласованы. Поэтому h7(7(1)) = hY(7(1)), что влечет совпадение развертывающего отображения D для многообразия Mn с развертывающим отображением (9) многообразия Mn:
D([7]) = h Y(7(1)) = hY(7(1)) = D([y]). ■
Замечание. Пусть Mn и M, — аффинные многообразия. Аффинное отображение (морфизм в категории аффинных многообразий) ^ : Mn ^ M'm в локальных картах h : U ^ U* на Mn и h' : U' ^ U'* на M^ задается уравнениями вида
= a] + 6° ,
где a] и 6° — локально постоянные функции. Легко проверяется, что по отображению ^ корректно определяются D-гладкие отображения OD^> : ODMn ^ ODM^, и OD^> : ODMn ^ ODM4, определяемые уравнениями
= a] + 6° , y° = a] yk + 6° и = a] + 6° , y° = a] yk
в соответствующих картах H на OMn, H' на OM^, H на OMn и H' на OM^. Таким образом, соответствия OD: Mn ^ ODMn, ^ ^ OD^ и OD: Mn ^ ODMn, ^ ^ OD^ являются функторами из категории аффинных многообразий в категорию D-гладких многообразий.
Аффинное многообразие Mn называется радиантным [7], если оно обладает атласом (податласом максимального атласа) с линейными функциями перехода (6) (6°(а, в) = 0 в соответствующих уравнениях (6)).
В-гладкое многообразие М" называется радиантным [5], если оно обладает атласом (податласом максимального атласа) с функциями перехода (2), в которых $к(ж®) = 0, т. е. с преобразованиями координат вида ук + уке = fк(ж®) + (ж7'д'/к)е.
Из строения уравнений (8) следует, что в случае, когда Мп — радиантное аффинное многообразие, многообразие ОвМ„ является радиантным В-гладким многообразием.
2. Примеры двумерных аффинных и В-гладких многообразий
В этом параграфе детально рассматриваются аффинные структуры на двумерном торе, получаемом склейкой противоположных сторон четырехугольника на евклидовой плоскости с помощью двух преобразований подобия, сохраняющих ориентацию (пример Дж. Смилли, см. [4], с. 130).
Пусть Р — четырехугольник на евклидовой плоскости М2 с вершинами А, В, С и Д, следующими в порядке обхода четырехугольника в положительном направлении в соответствии с ориентацией. Преобразование подобия, переводящее АВ в ДС, обозначим вх, а преобразование подобия, переводящее ВС в АД, обозначим в2. Аффинное многообразие, получаемое отождествлением сторон АВ и ДС с помощью преобразования вх, а сторон ВС и АД с помощью преобразования в2, обозначим М2(Р). Пусть а, 6, с и ! — это длины сторон АВ, ВС, ДС и АД соответственно. Будем предполагать, что с<а и 6 < ¿.В этом случае четырехугольник Р отличен от параллелограмма, преобразования подобия вх и в2 не являются параллельными переносами, а преобразование вх не является движением. В случае параллелограмма многообразие М2(Р) представляет собой плоский евклидов тор.
Применяя преобразование в™ о в", т, п € ^, где верхние индексы т и п означают степени, к четырехугольнику Р, получим четырехугольник Ртп, подобный Р = Роо. Преобразования вх и в2 перестановочны, поскольку вхЫРоо)) = ^(Рю) = Рц = ^(РоО = «2(■п(Роо)). Четырехугольник Рох = в^Роо) получается из Роо с помощью подобия с коэффициентом кх = а < 1, которое представляет собой композицию гомотетии с центром в некоторой точке жо и поворота вокруг этой же точки на некоторый угол ах (возможно равный нулю, если Р — трапеция с АВ||ДС). Четырехугольник Роп = «"(Рох) получается из Рох с помощью подобия с центром жо с коэффициентом к" = (а)", который стремится к нулю при п ^ то. Поэтому при п ^ ТО последовательность четырехугольников {Роп}®=о стремится к точке жо. Применив к последовательности {Роп}®=о преобразование в2, получим последовательность {Р^}®^, которая также стремится к точке жо при п ^ то. Поэтому точка жо является (единственной) неподвижной точкой и преобразования в2. Преобразование в2 также представляет собой композицию гомотетии с центром в точке жо и поворота вокруг этой точки на некоторый угол «2. Для определенности будем считать, что «2 = 0 (т.е. если Р — трапеция, то АВ||ДС). Подмножество плоскости $ = Ро® преобразованием
в2 переводится в подобное, повернутое вокруг точки жо на угол «2. Если «2 > “П, то множества вк(^), к = 0, .. ., п, покроют всю плоскость без точки жо.
Начиная с этого момента, из соображений удобства, будем считать, что точка жо совпадает с началом координат 0 € М2. Обозначим символом Мо плоскость М2 с выколотым началом координат: Мо = М2 \ {0}, а символом М2 универсальное накрывающее пространство аффинного многообразия М2, реализованное как множество гомотопических классов путей с началом в точке А. Поскольку М2 изначально обладает структурой евклидовой плоскости, то многообразие К2 несет на себе и структуру двумерного евклидова многообразия. Накрытие р : К о ^ М^ при этом является морфизмом евклидовых многообразий. Поэтому каждый четырехугольник Ртп может быть быть поднят в равный (с евклидовой точки зрения) четырехугольник Ртп на К2, проектирующийся в Ртп. Если потребовать, чтобы вершина Атп, проектирующаяся при накрытии р : К о ^ Мо в вершину Атп = втв"(А), представляла собой класс пути, проходящего из точки А в точку Атп последовательно по ребрам четырехугольников Роо,..., Рто,..., Ртп, то четырехугольник Ртп определится однозначно. Все такие четырехугольники покрывают пространство К2. Проектируя Ртп на Ртп и затем отображая Ртп на Роо отображением в-тв-п, получим универсальное
накрытие рм : М2 ^ М2(Р) аффинного многообразия М2(Р). Развертывающее отображение Д : К2 ^ М2 многообразия М2(Р) при этом совпадает с накрытием р : К о ^ Ко, его образ не содержит 0 € К2 [4], оно не является изоморфизмом аффинных многообразий, поэтому М2(Р) является неполным аффинным многообразием. За образующие фундаментальной группы тора М2(Р) можно взять гомотопические классы аффинных отображений [0,1] ^ АД и [0,1] ^ АВ. Группа голономии многообразия М2(Р) является абелевой подгруппой в ОА(п, К), порождаемой подобиями вх и в2. Преобразования вх и в2 порождают преобразования (аффинные изоморфизмы) Пх, У2 : К о ^ К о аффинного многообразия К о, определяемые соотношениями Пх : Ртп ^ Ртп+ь У2 : Ртп ^ Рт+хп. Группа О, состоящая из преобразований Ут о У", т, п € ^ действует на многообразии К2 собственно разрывно и представляет собой группу скольжений [3] универсального накрытия рм : ИМ о ^ М2(Р), поэтому фактормногообразие К 2/О изоморфно (в категории аффинных многообразий) многообразию М2(Р).
Как итог вышеизложенных рассуждений, сформулируем следующее предложение.
Предложение 2. Многообразие М2(Р) является радиантным аффинным многообразием, изоморфным фактормногообразию К2 по собственно 'разрывной группе преобразований, порождаемой двумя подобиями. Два многообразия М2(Р) и М2(Р'), определяемые четырехугольниками Р и Р', изоморфны в категории аффинных многообразий тогда и только тогда, когда четырехугольники Р и Р' подобны.
Отметим, что в соответствии с классификацией аффинных структур на двумерном торе 8х х 8х, полученной в работе [6], многообразия М2(Р) попадают в классы Б(Ш) и С(ш).
Отображение накрытия р : К2 ^ М^ является локальным диффеоморфизмом и относит каждой точке П € К о пару чисел {жх,ж2} = р(П) € К2. Поэтому ограничение отображения р на любое открытое подмножество и С К2, взаимно однозначно проектирующееся на открытое подмножество из Ко, является картой. Будем рассматривать на К2 атлас А, составленный именно из таких карт. Атлас А и атлас на К2, состоящий из одной карты, представляющей собой тождественное отображение, определяют атлас А® на произведении М2 х Ко, карты которого относят точке (ж, у) € М2 х и ее В-координаты ж® + еу®, г = 1, 2, где ж® — координаты точки ж, а у® — координаты точки у. Многообразие М2 х К2, снабженное атласом А®, является В-гладким многообразием.
Аффинное многообразия М2(Р), получающее склейкой противоположных сторон четырехугольника Р посредством двух преобразований подобия вх и в2, изоморфно фактормногообразию Мо/О по действию группы О, порождаемой преобразованиями П и П2, накрывающими преобразования вх и в2 соответственно. Рассмотрим на произведении М2 х К2 преобразования в : (ж, у) ^ (вх(ж), У^у)), в : (ж, у) ^ (в2(ж), У2(П)) и группу О, состоящую из преобразований в™ о в", т,п € ^. Группы преобразований О и О изоморфны группе Z ® Z и могут рассматриваться как действия группы Z ® Z на К о и М2 х К о соответственно. Проекция д : М2 х К2 ^ К2 при этом эквивариантна по отношению к действиям группы Z ® Z, т.е. д о (вт о в"") = у™ о У".
Предложение 3. (1) Группа О действует на многообразии М2 х К2 собственно разрывно В-диффеомор-физмами. Фактормногообразие М® = (К2 х К2)/О является В-гладким многообразием В-диффеоморф-ным многообразию О®М2(Р).
(И) Слой Ь = ({0} х К2)/О канонического слоения на М21 изоморфен в категории аффинных многообразий многообразию М2(Р).
Доказательство. (1) Многообразия (К2 х К2) и О ® К о расслоены над К2 и эквивалентны, как локально тривиальные расслоения, касательному расслоению над К о. Атласы А® и А0 (10), соответствующие описанному выше атласу А на К2, определяют на (К2 х К2) и О® К2 структуры В-диффеоморфных В-гладких многообразий. Накрытие рм : ИМ2 ^ М2(Р) является морфизмом в категории аффинных многообразий. Применяя к рм функтор О®, получим накрытие Ов(рм) : О® К2 ^ ОВМ2(Р). Применение функтора О®
к преобразованиям у и У2 приводит к преобразованиям у = Ои в = ОВУ2. Поскольку группа О, состоящая из преобразований Ут о У", т, п € Z, является группой скольжений накрытия рм : ИМ о ^ М2(Р), то группа О, состоящая из преобразований вт о в", т,п € Z, является группой скольжений накрытия О ®(рм) : О ® К2 ^ ОВМ2(Р). Отсюда следует, что (К2 х К 2)/О = (5 ® К о/О является В-гладким многообразием В-диффеоморфным многообразию О®М2(Р).
(11) Поскольку проекция д : М2 х К2 ^ К2 является эквивариантным отображением, она порождает отображение дм : М21 ^ М2(Р), определенное на орбитах действия группы Z® Z. Проекция д отображает слой {0} х Ко изоморфно на К2, поэтому отображение дм, ограниченное на {0} х М2/О, является также изоморфизмом. Это утверждение следует также из Предложения 1. ■
Рассмотрим в заключение многообразие М2(Р), соответствующее равнобочной трапеции Р, у которой угол между боковыми сторонами равен 2п/п, п € Z. В этом случае преобразование вх является гомотетией, а преобразование в2 является вращением на угол а = 2п/п. Предполагая, что неподвижная точка преобразований вх и в2 совпадает с началом координат пространства К2, преобразования вх и в2 можно записать в виде
/ ж1 \ , / iM I ж1 \ I cos a —sin а \ / ж1 \ ,
S1 Ч 2 ^ М 2 , s2 Ч 2 ^ • 2 • (12)
\ ж2 / у ж2 / у ж2 / у sin a cos а / у ж2 /
Обозначим символом G группу преобразований пространства R2 \ {0}, порождаемую преобразованиями si и S2. Многообразие M2(P) изоморфно в категории аффинных многообразий многообразию R2 \ {0}/G. Продолжения Si и S2 преобразований si и S2 с пространства R2 на D-модуль D2 с координатами X1 = ж1 + еу1, X2 = ж2 + еу2 имеют такой же вид (12):
X1 X1 X1 cos a - sin a X1
* Ч х0 “ 4x0' "2 Л х0 “I sin <» cos cJU)'
Обозначим символом GD группу преобразований пространства D2 \ {0}, порождаемую преобразованиями
S1 и S2, а символом G^ группу преобразований пространства D2 \ {0}, порождаемую гомотетией S1. Обе эти группы действуют на D2 \ {0} собственно разрывно. Факторпространство D2 \ {0}/GD диффеоморфно произведению S3 х S1. Факторизация пространства S3 х S1 по группе вращений сферы S3 С D2 \ {0},
порождаемой вращением S2, приводит к пространству L(n, 1) х S1, где L(n, 1) — линзовое пространство [3]. Подпространство П2 с уравнениями ж1 = ж2 =0 инвариантно относительно действия группы GD на D2, и действие группы GD на П2 эквивалентно действию группы G на R2. Поэтому при факторизации пространства D2 \ {0} по действию группы GD образом подпространства П2 является подмногообразие изоморфное M2(P). В качестве итога сформулируем следующее предложение.
Предложение 4. Произведение L(n, 1) х S1, n > 3, линзового пространства и окружности допускает структуру двумерного D-гладкого многообразия, при которой один из слоев канонического слоения изоморфен в категории аффинных многообразий тору M2(P), полученному склейкой противоположных сторон равнобочной трапеции P с углом между боковыми сторонами равным 2n/n.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1984. 264 с.
2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н. М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические
структуры на многообразиях // Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ). М., 1979. Т. 9. 247 с.
3. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир. 1983. 302 с.
4. Тёрстон У. Трехмерная геометрия и топология. М.: МЦНМО, 2001. 312 с.
5. Шурыгин В. В. Препятствия к радиантности для гладких многообразий над алгебрами Вейля.// Известия вузов, Математика. 2005. № 5. C. 71-83.
6. Furness P. M.D., Arrowsmith D.K. Locally symmetric spaces.// J. London math. soc. 1975. V. 10. № 2. P. 487-499.
7. Goldman W., Hirsch M. W. The radiance obstruction and parallel forms on affine manifolds.// Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 26. № 2. P. 629-649.
8. Kolar I., Michor P. W., Slovak J. Natural operations in differential geometry. Springer, 1993. 434 p.
9. Molino P. Riemannian foliations. Birkhauser, 1988. 339 p.
10. Shurygin V. V. Structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras.// Lobachevskii J. Math. 1999. V. 5. P. 29-55.
