Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 1, с. 153-161

УДК 515.165+515.168.3

КРИТЕРИЙ СТРУКТУРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАДСТРОЕЧНЫХ СЛОЕНИЙ © 2011 г. Н.И. Жукова, Г.В. Чубарое

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 24.09.2010

Основным результатом работы является доказательство критерия структурной устойчивости надстроечных слоений, устанавливающего эквивалентность структурной устойчивости указанных слоений и структурной устойчивости представлений групп.

Ключевые слова: надстроечное слоение, структурно устойчивое слоение, структурно устойчивое

представление.

1. Основные результаты

Структурная устойчивость диффеоморфизмов и потоков на компактных многообразиях является одной из важнейших тем качественной теории динамических систем в последние 50 лет. Глубокие результаты о структурной устойчивости слоений в настоящее время получены лишь для отдельных, наиболее простых классов слоений. Исследование структурной устойчивости надстроечных слоений на компактных многообразиях начато Палисом в [1].

Понятие слоения, полученного надстройкой (или надстроечного слоения), введено Хефлиге-ром [2]. Оно обобщает понятие надстройки диффеоморфизма, принадлежащее Смейлу, хорошо известное в теории динамических систем.

Надстроечные слоения определяются следующим образом. Пусть В и Т - два многообразия и р: О ^ (Т) - представление фундаментальной группы О := (В, Ь0 ). Пусть

р: В ^ В - универсальное накрытие, а

М := (В х Т) /О - фактор-многообразие по правому действию 0 группы О, где

©(X, г, £) = (X • £, р(£_1)(г)), (X, г) е В х т , а

X • £ - правое действие элемента £ е О посредством накрывающего преобразования В. Фактор-отображение /0 : В х Т ^ М индуцирует на М гладкое слоение Г, слои которого являются образами слоев тривиального слоения

Г = {В х{г}| г еТ}. Пара (М, Г) называется надстроечным слоением и обозначается нами через (М, Г) = Би^Т, В,р) . Отображение

р: М ^ В: (x, г) • О ^ x • О определяет локально тривиальное расслоение над В со стандартным слоем Т , которое называется расслоением, ассоциированным с (М, Г) , а Т - транс-версальным многообразием. Группа диффеоморфизмов ¥ = р(О) многообразия Т называется глобальной группой голономии надстроечного слоения (М, Г) . Как показано нами ([3] пример 5.5), одно и то же надстроечное слоение может быть получено надстройкой различных гомоморфизмов и иметь неизоморфные глобальные группы голономии.

Предполагаем, что многообразие Т компактно, а фундаментальная группа О = л^В, Ьо) имеет конечное число образующих. Все рассматриваемые окрестности - открытые, а многообразия - связные. Кроме того, все многообразия и отображения предполагаются гладкими

класса Сг для любого г > 1 и ОгГ (Т) = = Ог//(Т) . Мы называем структурной устойчивостью (диффеоморфизмов, представлений групп, слоений) Сг -структурную устойчивость для любого фиксированного г > 1.

Рассмотрим категорию Го/0 гладких слоений, в которой морфизмом двух слоений (М, Г) и (М', Г') является непрерывное отображение d: М ^ М', переводящее слои слоения Г в слои слоения Г ' . Пусть М - гладкое многообразие, компактность которого не предполагается. Через Го/д (М) обозначается множество гладких слоений (М, Г) коразмерности q с топологией Хирша - Эпштейна класса Сг

[4]. В Folq (M) близкие слоения имеют близкие

голономии [4].

Нами доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Множество надстроечных слоений коразмерности q на многообразии M открыто в пространстве Folq (M).

Слоение (M, F) называется структурно устойчивым, если существует такая окрестность U(F) этого слоения в Folq (M) , что для

любого слоения F' е U(F) найдётся изоморфизм слоений F и F' в категории Fol0 , являющийся гомеоморфизмом M , близким к тождественному.

Теорема 2. Пусть (M,F) = Sus(T,B,p) -слоение, полученное надстройкой гомоморфизма p : TCj(B,bo) ^Diff(T). Тогда, для того чтобы слоение (M, F) было структурно устойчивым, необходимо и достаточно структурной устойчивости представления p.

В случае когда слоёное многообразие M компактно, подобный критерий приведён без доказательства Палисом в [1].

Следствие 1. Пусть g!,...,gm - образующие группы G = ftj(B,bo). Тогда для структурной устойчивости надстроечного слоения (M,F) = Sus(T,B,p) необходимо и достаточно существования для каждого диффеоморфизма yi = p(gi ), i = 1, m, такой окрестности Ui в Diff (T), что для любого представления p': п i (B, bo ) ^ Diff (T ), обладающего свойством p'(gi ) eUi , i = 1,m, найдётся гомеоморфизм d многообразия T, близкий к тождественному, удовлетворяющий равенству d ° p(g/ ) = = p'(gi ) ° d при всех i = 1, m.

Следствие 2. Для того чтобы надстроечное слоение (M,F) = Sus(T,B,p) с тривиальной глобальной группой голономии Y = = p(ni(B,bo)) было структурно устойчи-вым, достаточно односвязности многообразия B .

Следствие 3. Если ni(Bi,bi) = ni(B2^), то слоения (Mi,Fi) = Sus (T,Bi,p) и (M2,F2) = = Sus(T,B2,p), вообще говоря, не изоморфные

в категории Fol0, либо оба структурно устойчивы, либо оба структурно неустойчивы.

В случае когда группа О = л^В,Ьо) изоморфна Z, вопрос о структурной устойчивости решается следующей теоремой, полученной в качестве приложения теоремы 2.

Теорема 3. Пусть л1(В,Ь0) =< £ >. Тогда слоение (М, Г) = Би^Т, В,р), полученное надстройкой гомоморфизма

р: Л1 (В, Ьо) ^ О/(Т), структурно устойчиво тогда и только тогда, когда диффеоморфизм у = р(£) структурно устойчив.

Известно [5], что С1 -структурная устойчивость диффеоморфизма эквивалентна выполнению Аксиомы А и сильного условия трансверсальности, а в классе гладкости С г при г > 2 аналогичное утверждение остается гипотезой [6].

Согласно теореме 3, если фундаментальная группа О = Л1(В,Ьо) изоморфна Z, как в случае потоков, то структурная устойчивость слоения (М, Г) = Би^Т, В,р) является трансвер-сальным свойством. Из теоремы 2 вытекает, что это не верно в общем случае.

2. Структурная устойчивость слоений и представлений

Структурная устойчивость диффеоморфизмов. В силу компактности многообразия Т ,

сильная и слабая Сг -топологии в Ог//г (Т) совпадают при любом г > 1. Как известно ([7], гл. 2, теорема 4.4 (а)), пространство Ог//г (Т) допускает полную метрику, которую мы обозначаем через аг. При этом расстояние аг (/,к), где /,к е Ог/г(Т), определяется г -струями диффеоморфизмов / и к . Шар радиуса 8 > 0 с центром в точке / е Щ/г (Т) называется 8 -окрестностью / и обозначается через О8 (/). Поскольку Т компактно, оно мет-ризуемо и допускает полную метрику ат. На множестве гомеоморфизмов НотеОТ) многообразия Т определена метрика а0(/, к):= = тахат (/(х),£(х)), причем метрическая то-

хеТ

пология совпадает с компактно открытой топологией. Обозначим через О°(/) шар радиуса 8 > 0 с центром / в метрическом пространстве

(Нотео(Т),а°) и будем называть О°(/) 8 -окрестностью / в пространстве гомеоморфиз-

мов Homec(T). Любой гомеоморфизм из є -окрестности D^(idT) тождественного отображения ійт называется є -гомеоморфизмом многообразия T .

Диффеоморфизм f є Diffr (T) называется Cr -структурно устойчивым, если для любой є -окрестности D0e(idT ) в Homec(T) существует такая окрестность U = U( f ) в Diff (T) , что для любого h є U найдётся гомеоморфизм d є D0 (idT ), удовлетворяющий равенству d о f = h о f. При этом говорят, что f сопрягается с h є -гомеоморфизмом.

Метрика в пространстве представлений. Пусть ^ = (gi,...,gm} - множество образующих группы G , тогда пространство представлений A(G,T) группы G в Diffr (T) допускает метрику ст = ст(^), где ст(р, р') :=

= maxстг (р(gi),р'(gt)). Шар радиуса є> 0 с

1<i<m

центром в точке р метрического пространства (A(G,T),ст) ) называется є -окрестностью р и обозначается через Ds (р) .

Структурная устойчивость представлений.

Определение 1. Гладкое представление р : G ^ Diff (T) группы G в Diff (T) называется структурно устойчивым, если для любой є -окрестности D^(idT) тождественного отображения idT в пространстве Homec(T) существует такая окрестность V = V (р, є) в A(G, T ), что для всякого р'є V найдётся гомеоморфизм

d є D° (idT ) , удовлетворяющий равенству d о р(g) = р' (g) о d для любого g є G.

При r = 1 это определение совпадает с определением структурной устойчивости C 1 -

действия 0-мерной группы Ли, данным Купкой

[8] для 0 = Mg .

Доказательство теоремы 1. Пусть (M, F) = Sus(T, В,р) - произвольное надстроечное слоение. В силу предположения, транс-версальное многообразие T компактно, поэтому все слои ассоциированного расслоения p : M ^ В компактны. Пусть F' - произвольное слоение из достаточно малой окрестности

и(Г) слоения Г в пространстве слоений Fo/q (М) на многообразии М . Тогда, по определению топологии Хирша - Эпштейна в Fo/q (М) , слои субмерсии р: М ^ В транс-

версальны слоям слоения Г'. В силу компактности слоёв субмерсии р, согласно известной

теореме Эресмана, распределение ТГ' , касательное к Г', - интегрируемая связность для р. Отсюда, применяя результаты Касивабары

[9], получаем, что слоение (М, Г') является надстроечным, а р: М ^ В - ассоциированным с ним расслоением. □

Определение структурной устойчивости слоения. Пусть М - многообразие, не обязательно компактное. Обозначим через Нотес(М) множество гомеоморфизмов многообразия М с компактно открытой топологией. Пусть 3(М) = {(иг ,фг) | г е I} - локально конечный атлас многообразия М , {Кг-} - множество таких компактов, что Кг с иг, ^ 1пгКг = М , и Е := {8г | г е I} - семейство

ге1

положительных чисел. Семейство множеств и = и(3(М),{Кг},Е) гомеоморфизмов к е е Нстео(М), для любого г е I удовлетворяющих условиям:

1) к(К ) с иг;

2) для произвольного х е фг (Кг) имеет

п п

место неравенство для нормы в К

11 Фг ° к ° Ф-Чх) - х ||< 8г,

образует базу топологии пространства НотеОМ) в точке Мм .

Определение 2. Слоение (М, Г) называется структурно устойчивым, если для любой окрестности и = и(Мм) в Нстес(М) существует такая окрестность и = и(Г, и) слоения Г в Fс/q (М) , что для каждого слоения Г' е и

найдётся гомеоморфизм d е и, который является изоморфизмом слоений (М, Г) и

(М', Г') в категории Го/0 (М).

3. Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений

Необходимое условие. Далее мы будем применять следующие две легко доказываемые

леммы о накрытиях. Пусть а : N ^ N -накрывающее отображение. Говорят, что диффеоморфизм f многообразия N лежит над диффеоморфизмом f многообразия N (относительно а ), если а ° f = f ° а. Группа накрывающих преобразований любого регулярного накрытия а : N ^ N совпадает с группой диффеоморфизмов многообразия N , лежащих над IdN.

Лемма 1. Пусть ш : M ^M - универсальное накрывающее отображение. Тогда существуют окрестности U = U(3(M),{Ki}, E) и

U = U(3(M),{Kÿ-}, E) элементов Mm и Id^

в Homec(M) и Homec(M) соответственно, для которых определено отображение % : U ^ U : d ^ d, причём ш ° d = d ° ш. Кроме того, если dm ^ idM при m ^ œ, то

d m = %(dm ) ^ idM при m .

Другими словами, согласно лемме 1, если гомеоморфизм d = dm мало отличается от

IdM , то d = dm мало отличается от Id^ .

Далее используем обозначение f 0 : B х T ^ M для регулярного накрывающего отображения с группой накрывающих преобразований G , изоморфной группе G = ni(B,b0), из определения надстроечного слоения

(M, F ) = Sus(T, B,p).

Лемма 2. Пусть (M, F ) = Sus(T, B,p), где p : ni ( B, bo ) ^ Diff (T ), - гомоморфизм групп, а Y = Im(p) . Пусть c : T ^ T и ш := fo ° (Id^, c) : B х T ^M - универсальные

накрывающие отображения, G - группа накрывающих преобразований ш. Тогда:

1) нормальная подгруппа P := {(Idj,а) е е G | а е Diff (T)} группы G индуцирует на

T группу P = ni(T,to), являющуюся группой накрывающих преобразований универсального накрытия c : T ^ T, причём P := {а е е Diff (T )|( IdB, а) е P} ;

2) если G2 с Diff (T) - группа, индуцированная группой G , то G2 совпадает с группой диффеоморфизмов многообразия T , лежащих

над группой ¥, следовательно, P - нормальная подгруппа группы G2, причем ¥ = G2 /P. Лемма о паре окрестностей.

Лемма 3. Пусть (M,F) = Sus(T,В,р) и p : M ^ 5 - ассоциированное расслоение. Тогда существуют окрестности V = V(р) представления р в A(G,T) и U = U(F) слоения F в Folq (M), обладающие свойствами:

1) для любого слоения F'gU распределение TF' является интегрируемой связностью Эре-смана для той же субмерсии p : M ^ В ;

2) для любого слоения F'gU существует такое представление p'eF, что (M,F') = Sus(T, В,р') ;

3) для любого p' g V найдется такое слоение F' gU, что (M,F') = Sus(T,В,р').

Доказательство. Пусть (M, F) = SuST, В,р). Согласно доказательству теоремы 1, существует такая окрестность U(F) в Folq (M) , что любое

слоение F' g U(F) - надстроечное. При этом F' имеет то же ассоциированное расслоение p : M ^ В, что и слоение F, и TF' - интегрируемая связность Эресмана для p . Таким образом, выполняется 1).

Возьмем произвольную образующую , 1 < i < m , группы G = TCj(В,й0). Пусть g¿ = [h], где h : [0,1] ^ В - петля в точке Ь0 . Диффеоморфизм yi = р( gi ) определён следующим образом. Для любого z g p_1(b0) обозначим через hz лифт пути h в точку z относительно связности Эресмана TF для субмерсии p : M ^ В . Тогда yi (z) = hz (1). Поэтому из свойств топологии Хирша - Эпштейна в Fol (M ) и компактности многообразия T вытекает существование окрестности U = U(F) и

таких > 0, что все слоения F ' g U (F ) , где (M, F ') = Sus(T, В,р'), обладают свойством

V'i (Z) = р'(gi ) G D8, (Vi ) . Так как группа G

имеет конечное множество образующих {gi,---gm} , то, полагая 8 := max8¿, получаем

1<i<m

р' g D8 (р) . Уменьшая в случае необходимости

окрестность U , а также V до D8 (р), получим окрестности, для которых выполняется утверждение 2).

При малом значении числа 8г- будем изменять образующую =р(gi) в окрестности Ш8 (уг) насколько это допустимо. При этом, в силу компактности многообразия Т, отождествлённого со слоем р_1(Ь0), Ь0 е В, согласно теореме об объемлющей трубчатой окрестности ([7], гл. 8, теорема 1.8), можно считать, что слоение (М, ¥) = Sus(T, В,р) изменяется только в трубчатой окрестности подмногообразия Т е р Ч(Ь0) в М. В силу малости 8г, отсюда следует, что для представления р' е Л(0, Т), заданного равенствами р'(gj) = р(gj) при 1 < ] < т, у Ф г, р'(gi) е Dъ (уг), слоение (М, ¥') = Sus(T, В,р') принадлежит окрестности и. Благодаря конечной порождённости группы О, отсюда вытекает выполнение утверждения 3) доказываемой леммы. □

Предложение 1. Если слоение (М, ¥) = = Sus(T, В,р) структурно устойчиво, то

структурно устойчиво и его представление р: ^1(В,Ьо) ^Ш//(Т).

Доказательство. Предположим, что слоение (М, ¥) = Sus(T, В,р) структурно устойчиво и

и = и(¥, и) - его окрестность, взятая из определения структурной устойчивости слоения. Не нарушая общности, считаем, что существует

окрестность V (р) представления р, удовлетворяющая вместе с и лемме 3. Докажем, что для любой 8 -окрестности (Мт ) тождественно-

го диффеоморфизма МТ в НотеОТ) существует такая окрестность V = V (р, 8) в А(О, Т), что для каждого представления р' е V найдется

гомеоморфизм к е (Мт ) , удовлетворяющий

равенству

к °р^) =р'^) °к, Vg еО. (1)

Согласно утверждению 3) леммы 3, для каждого р'е V(р) существует такое надстроечное

слоение ¥'еи, что (М,¥') = Sus(T,В,р'). В силу структурной устойчивости слоения (М, ¥) и выбора окрестности и = и(¥,и) в ¥о1ч (М) , для каждого ¥' е и существует гомеоморфизм й еи, переводящий слои слоения ¥ в слои слоения ¥'. Далее все объекты, относящиеся к слоению (М, ¥') , обозначаем индек-

сом (1) сверху от буквенного обозначения объекта.

Пусть /0 : B х T — M и /0(1) : B х T — M -

регулярные накрытия из определения надстроечных слоений (M, F ) и (M, F ') соответственно. При этом определены действия 0 и

0(1) группы G на произведении B х T посредством групп накрывающих преобразований

накрытий /о и / (1) соответственно. Пусть

c : T —— T - универсальное накрывающее отображение для T , тогда ш := /0 о (Id^, c) : B х

х T — M - универсальное накрывающее отображение для M.

Будем считать, что U удовлетворяет лемме 1, поэтому определён гомеоморфизм d = = x(d) : B х T — B х T из окрестности U = U(Id^j )

такой, что d о ш = ш о d . Так как гомеоморфизм d многообразия M мало отличается от IdM,

то гомеоморфизм d многообразия M мало

отличается от Id .

M

Зафиксируем х0 еM и у0 еш_1(х0),

пусть х(1) = d(х0) еM и y(1) = d(y0) . Обозначим через G и G(1) группы накрывающих преобразований универсального накрытия ш, соответствующие фиксированным точкам y0 и

y 01) . При этом гомеоморфизм d сопрягает G с G(1), то есть, d о g = g(1) о d , У g е G, У g(1) е G(1), а отображение G — G(1) : g — — g(1) := d о g о d_1 является изоморфизмом групп. Заметим, что группа G лежит над группой G , а группа G(1) лежит над группой G(1) относительно универсального накрытия

(IdB,c).

Группы G и G(1) сохраняют тривиальное слоение F = {B х 111 е T} произведения B х T, поэтому эти группы индуцируют посредством проекции на второй сомножитель

Л /V /V /V /V

pr : B х T— T группы диффеоморфизмов G 2 и G21) соответственно. Так как ш и d - локальные изоморфизмы в категории Fol0, то d : B х T —— B х T - автоморфизм в категории Fol0 тривиального слоения F. Поэтому го-

меоморфизм й индуцирует ~ -гомеоморфизм й2 : Т —— Т, сопрягающий О 2 и О(1).

Пусть Р и Р(1) - группы накрывающих преобразований универсального накрытия

с : Т — Т, соответствующие точкам

Л Л

г0 = рг(_у0) и г(1) = рг(_у(1)) . Проверка показывает, что гомеоморфизм й 2 сопрягает группы Р и Р(1). Следовательно, определён 8 -гомеоморфизм й2 : Т — Т, сопрягающий фак-

^(Р,60). Тогда для любого сколь угодно малого є > 0 найдётся такая окрестность

V = V (р, є) в пространстве представлений А(0, Т), что для любого представления р'е V

существует гомеоморфизм d є (Ыт ) мно-

гообразия Т, реализующий эквивалентность представлений р и р1.

Будем считать, что окрестность V достаточно мала и вместе с некоторой окрестностью и = и(Р) надстроечного слоения (М, Р) в

тор-группы ¥ = G2 / P и Y(1) = G-^ /P(1), пространстве Folq (M ) удовлетворяет лемме 3.

удовлетворяющий коммутативной диаграмме

где й := (7й^,й2).

Согласно пункту 3) леммы 2, указанные выше группы ^ и ^(1) являются глобальными группами голономии слоений (М, ¥) и (М, ¥') соответственно, то есть ¥ = р(О) и

¥(1) =р'(О). Таким образом, при 8 = 8 и к = й 2 выполняется соотношение (1), следовательно, представление р структурно устойчиво.

□

Достаточное условие. Следующее предложение является обратным к предложению 1. Предложение 2. Пусть (М,¥) = Sus(T,В,р).

Если представление р : п 1 (В, Ьо ) — Ш//(Т) структурно устойчиво, то структурно устойчиво и слоение (М, ¥) в пространстве слоений

¥о1я (М).

Доказательство. Пусть (М, ¥) = Sus(T, В,р), где р - структурно устойчивое представление. Обозначим через О фундаментальную группу

Рассмотрим произвольное слоение F 'еи и покажем, что существует гомеоморфизм ф

многообразия M , мало отличающийся от тождественного, реализующий изоморфизм слоений (M, F) и (M, F') в категории Fol0 . Так

как V = V(p, в) и U(F ) обладают свойством 2) леммы 3, то (M, F ') = Sus(T, B, p') для некоторого p' е V . Поэтому существует гомеоморфизм d е D (IdT ) многообразия T , удовлетворяющий равенству

d о p(g) = p'(g) о d, Vg е G. (2)

Из определения надстройки гомоморфизма p : G — Diff (T) вытекает существование регулярного накрытия /0 : M := B х T — M для многообразия M , отождествлённого с фактор-многообразием (B х T)/ G, где G свободно и собственно разрывно действует на B х T по формуле (y,t)• g := (y • g,p(g_1)(t)) , Vg еG. Обозначим через g~ диффеоморфизм многообразия B х T , заданный действием элемента g е G, тогда группа G всех таких диффеоморфизмов является группой накрывающих преобразований регулярного накрытия /0 : M — M.

Пусть F := {B х {t} 11 е T}, то есть F := /0 F.

Пусть F':= /*F'. Так как /0 : M — M -накрывающее отображение, то из свойств 1) и

2) окрестности U, указанных в лемме 3, вытекает, что TF ' - связность Эресмана для

субмерсии k := p о /0 : M — B . Определим гомеоморфизм ~ многообразия M , переводящий

слои слоения (M,F) в слои слоения (M,F') скольжением вдоль слоев субмерсии k .

Обозначим через рг: М := В х Т — Т каноническую проекцию на второй сомножитель. По определению надстройки, слоение (М, ¥') также образовано слоями некоторой субмерсии р': М —— Т, причём каждый слой субмерсии р'

пересекает произвольный слой Д : М — В строго в одной точке. Поэтому определено отображение

~: М — М: х ^ Д-1(Д(х)) о р'1 (й(рг(х))), Vx е А~,

где й - гомеоморфизм Т , удовлетворяющий (2). Из определения ~ вытекает, что ~ - гомеоморфизм М , переводящий слои слоения ¥ в слои слоения ¥', сохраняющий каждый слой расслоения Д : М — В. Заметим, что окрестность и(¥) в ¥о1я (М) индуцирует окрест-

>Н -- -- И«

ность и (¥) слоения ¥ = / ¥ в пространстве ¥о1д (М) посредством накрывающего отображения /о : М — М При этом если ¥'е и(¥) ,

то ¥'еи*(¥) . Поскольку й е Ш°( Мт ) , отсюда вытекает, что гомеоморфизм и мало отличается от Ми .

Покажем, что и проектируется относительно /о : М — М в некоторый гомеоморфизм ф многообразия М . Для этого нужно показать, что ~ ° О = О ° и для группы накрывающих преобразований О регулярного накрытия / 0 . Любое накрывающее преобразование ~ е О индуцирует преобразование у~ := р(g), удовлетворяющее равенству, рг ° g = у~ ° рг и преобразование у' ~:=р'( g) такое, что р °~ = У~ °р' . Поэтому, учитывая, что ~ сохраняет каждое из слоений ¥ , ¥' и расслоение Д: М — В, имеем р'_1(р' (~(р'_1(г)))) =

= g(p'_1(г)), Vz еТ, и р'_1 (й ° рг ° ~(х)) = р'_1 (й ° уи ° рг(х)) =

= р'“1 (У'~ °й ° рг( х)) = ~(р'“1 (й ° рг( х))) для любого х е М . По определению и :

(~ ° ~)(х) = ~(Д _1(Д (х))) о

о ~(р'_1 (й (рг( х)))).

(3)

(4)

С другой стороны, по определению ~, в силу (3) и поскольку ~ сохраняет расслоение к : М ^ В, получаем

(~ ° ~)(х) = к-1(к о ~(х)) о р'“1 (d (рг о ~(х))) = = ~(к-1(к (х))) о ^(р'-1 (d (рг(х)))). (5)

Из (4) и (5) вытекает равенство ~ ° ~ ~ °~

для любого накрывающего преобразования ~ є Є , следовательно, ~ проектируется в гомеоморфизм многообразия М и удовлетворяет равенству ф ° /о = /о ° ~. Отсюда, учитывая, что накрывающее отображение /о - локальный изоморфизм двух пар слоений (М, Р),

(М,Р) и (М,Р'), (М,Р'), получаем, что

ф:(М, Р) ^ (М, Р') - изоморфизм слоений в

категории Ро1. Кроме того, поскольку гомеоморфизм ~ мало отличается от М~ , то гомеоморфизм ф мало отличается от Мм □

Доказательство теоремы 2. Суммируя предложения 1 и 2, мы получаем теорему 2. □

4. Доказательство следствий из теоремы 2

Лемма 4. Пусть р : О ^ Ві//(Т) - представление дискретной группы О с конечным числом образующих | і = 1,т} и уі :=р(gi). Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

1) представление р структурно устойчиво;

2) для любого є> 0 и каждого уі :=р(gi), і = 1,т, существует окрестность иі = иі (є, уг-) в Ві// (Т ) такая, что для всякого представления р': О ^ Ві/(Т) из окрестности ^ = = W(gl,...,gm;Ul,...,Um) := {~ є А(О,Т)| р(£) єиі,

і = 1, т} найдётся є -гомеоморфизм d пространства Т , удовлетворяющий равенству

d ° р(&) = р'(gi) ° d, і = 1, т. (6)

Доказательство. Предположим, что представление р структурно устойчиво. Тогда для

любого є > 0 существует окрестность V = V (р, є) представления р в А(О, Т), любое представление из которой сопряжено с р некоторым є -гомеоморфизмом. Используя определение топологии в пространстве представлений А(О, Т) и компактность многообразия Т , нетрудно по-

казать, что существует окрестность Ш =

= )~(й,-, Еш ;и1,^,ит ):= {~ е А(О,Т)\ ^) еи1,

г = 1, ш} из базы компактно открытой топологии в А(О, Т), удовлетворяющая включению

реШ с V . Здесь и - некоторая окрестность диффеоморфизма у, = р() в Ог//(Т) . Рассмотрим любое представление р': О — Ог//(Т) такое, что р'еШ. Тогда р()еиг и найдётся е -гомеоморфизм й пространства Т , удовлетворяющий равенству (6). Таким образом, 1) ^ 2.

Обратное. Пусть выполняется условие 2). Тогда для любого е> 0 найдется окрестность

иг = иг (е, уг), г = 1,ш , в О/(Т) такая, что

для любого представления р' из окрестности

^е) := ^U(gl,...,Еш;и1,---,иш) существует е -гомеоморфизм й многообразия Т, удовлетворяющий равенству (6). Пусть у'г :=р'(),

VI = 1, ш . Используя (6), получаем для любого

элемента е = £Д1 • • - £Дг из О и у = р( е ) =

г1 гг

Д Д-

= у 1 °... ° у г цепочку равенств

г1 гг

й ° у = й ° уД1 °... ° уДг =

= й ° уД1 ° й_1 ° й °... ° й ° уДг ° й_1 ° й =

= у'Д1 °. ° у'Дг °й = у'°й .

Таким образом, для любого е> 0 имеется такая окрестность V (р, е) представления р, что для любых р'е V(р, е) существует е -гомеоморфизм й пространства Т , реализующий изоморфизм представлений р и р', то есть представление р структурно устойчиво и 1) ^ 2л

Доказательство следствия 1. Следствие 1 вытекает из теоремы 2 и леммы 4.^

Доказательство следствия 2. Предположим, что глобальная группа голономии ^ тривиальна, тогда М = В х Т и надстроечное слоение ¥ = {В х £ \ £ е Т} тривиально.

Если B односвязно, то группа TCj(B,Ь0) = 0, поэтому любое представление р': TCj(B,bo) ^ ^ Diff (T ) тривиально, следовательно, Y' = р' (л j (B, b0 )) = IdT и представление р структурно устойчиво. Из теоремы 2 вытекает структурная устойчивость слоения (B х T, F) .

Доказательство теоремы 3. Пусть G = ^(B,b0) =<g >= Z и (M,F) = Sus(T,B,p). Тогда Y := p(G) =<y>, где y = p( g). Согласно теореме 2, структурная устойчивость слоения (M, F) эквивалентна структурной устойчивости представления р. В силу леммы 4, структурная устойчивость представления р в данном случае эквивалентна структурной устойчивости образующей y .□

Авторы выражают благодарность Ю.А. Кор-дюкову за полезные обсуждения и замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-01-00457-а, и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2011 годы, проект № П945.

Список литературы

1. Palis J. Rigidity of the centralizers of diffeomor-phisms and structural stability of suspended foliations // Lecture Notes in Math. 1978. V. 652. P. 114-121.

2. Haefliger A. Varietes feuilletes // Ann. Scuola Norm. Sup. 1962. V. 16 P. 367-397.

3. Zhukova N.I., Chubarov G.V. Aspects of the qualitative theory of suspended foliations // Journal of Difference Equations and Applicatons. 2003. V. 9(3/4). P. 393-405.

4. Epstein D. A topology for the space of foliation // Geometry and Topology, Lecture Notes in Math. 1976. V. 597. P. 132-150.

5. Mane R. A proof of the С1 stability conjecture // Publ. Math. l'I.H.E.S. 1987. V. 66. P. 161-210.

6. Pujals E.R. Some simple questions related to the

Cr stability conjecture // Nonlinearity. 2008. V. 21(11). P. 233-237. '

7. Хирш M. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979. 280 с.

8. Kupka I. On two notions of structural stability // J. Differential Geometry. 1974. V. 9(4). P. 639-644.

9. Kashiwabara S. The decomposition of а differentiable manifold and its applications // Tohoku Math. J. 1959. V. 11(1). P. 43-53.

A CRITERION OF THE STRUCTURAL STABILITY OF SUSPENDED FOLIATIONS

N.I. Zhukova, G.V. Chubarov

A criterion of the structural stability of suspended foliations has been proved. The criterion states the equivalence between the structural stability of suspended foliations and the structural stability of group representations.

Keywords: suspended foliation, structurally stable foliation, structurally stable group representation.