Лифты структур Пуассона-Нейенхейса в расслоения Вейля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 4

Физико-математические пауки

2009

УДК 514.763.25

ЛИФТЫ СТРУКТУР ПУАССОНА - НЕЙЕНХЕЙС А В РАССЛОЕНИЯ ВЕЙЛЯ

В.В. Шурыгии, (мл.)

Аннотация

В работе показывается, что полные лифты структурных тензоров Р и N многообразия Пуассона-Нейенхейса (М, Р, N) в расслоение Вейля ТАМ этого многообразия индуцируют на ТАМ структуру многообразия Пуассона - Нейенхейса, и вычисляются модулярные векторные поля этого многообразия.

Ключевые слова: многообразие Пуассона Нейенхейса, модулярный класс, алгебра Вейля, расслоение Вейля, полный лифт, вертикальный лифт.

1. Многообразия Пуассона — Нейенхейса

Пусть M - гладкое связное многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, dim M = m. Будем обозначать алгебру гладких функций на M через CTO(M), а пространство тензорных полей типа (к, I) на M - через Tk'e(M).

M

m ь

рез Q*(M) = © Qk(M), а пространство кососимметрических контравариантных k=0

m ь

тензорных полей (поливекторных полей) па M - через V*(M) = © Vk(M). Про-

k=0

пзводную Ли в направлении векторного поля X будем обозначать .

Всюду, где не оговорено противное, по двум одинаковым индексам, стоящим на разных уровнях, подразумевается суммирование по всей области значений этих индексов.

M

жена до R-линейной скобки

[ •, • ]sn : Vp(M) х Vq(M) ^Vp+q-1(M),

называемой скобкой Схоутена Нейенхейса, таким образом, что V*(M) оказывается градуированной супералгеброй. Пусть u G Vp(M) и v G Vq(M) в локальных координатах (хг) на M имеют вид

■ • д д ■ д д Л ... Л —— и v = vj1' • • °4—— Л ... Л

Эх11 дхгр дх31 дх>а

соответственно. Тогда компоненты скобки Схоутена — Нейенхейса имеют

вид [1]

дд Г,, • • кР+ч _ . . кр+ч ит12-. . г, 3 ,31-. -Зч I ( —. . кр+ч .. За 3 - ¿1.. лр

lU,V\SN _ ЬЪ2.. .грз 1.. За - дхг , .. ¿,32.. За ^ 3хг - '

где е^1..- кососимметрический символ Кронекера.

Вводом такжо в рассмотрение пространство

т

П*(М; ТМ) = 0 Пк(М; ТМ)

к=0

векторнозначных дифференциальных форм на М. Известно, что на И*(М;ТМ) имеется операция, называемая скобкой Фрелихера Нейенхейса,

[ •, • ]FN : Пк(М; ТМ) х П1(М; ТМ) ^ 9к+е(М; ТМ),

превращающая П*(М; ТМ) в градуированную алгебру Ли. Определение и основные свойства скобки Фрелихера -Нейенхейса можно найти в [2]. Пусть К и Ь элементы 0.*(М; ТМ) степени к и I соответственно. В локальных координатах (хг) на М компоненты их скобки Фрелихера - Нейенхейса имеют вид [2]

. д ■ ([К, Ь]^Уа1...ак+е = Кга1...ак дх Ьак+1...ак+е +

+ (_1)к1+1Ь _ к • К -^—Т} +

^ V ' а1...а1 Qxi а1...ак-1г дхак ак+1...ак+1 ~

д

+ (_ 1)к11 • Ь -—Кi Ш

^ V ^ дхае ае+1---ак+е' У '

Пространства П1(М; ТМ) и Т 1'1(М) естественно изоморфны друг другу. Поэтому в дальнейшем мы не будем делать различия между ними.

Определение 1 [3]. Тензором Пуассона (пуассоновой структурой) на многообразии М называется контравариантный кососимметрический тензор Р £ V2(М) такой, что

[Р,Р]™ = 0. (2)

(М, Р)

М

тензор N £ Т1,1 (М) такой, что

[МХ, NY] — N(^Х, У] + [X, NY]) + N2[Х, У] = 0

для любых векторных полей X, У на М. Это условие эквивалентно тому, что

N N]FN = 0. (3)

( М, Р)

а = ар : Vк(М) к+1(М),

действующий по правилу аи = [Р, и] sN, называется дифференциалом Пуассона. Известно, что а о а = 0 [3]. Пространства когомологий оператора а называют-

( М, Р)

их символом Нк (М,Р). Символом Нр будем обозначать гамильтоново векторное поле гладкой функции /. Напомним, что Нр = [Р, /[3].

Всякое поле бивектора п £ V2(М ) па М индуцирует скобку на пространстве 1-форм по формуле

[С, п]п := п _ С _ ¿п(£, п). (4)

Определение 3 [4, 5]. Пусть P - тензор Пуассона и N - тензор Нейенхей-са на гладком многообразии M. Пар a (P, N) называется структурой Пуассона Нейенхейса, если выполнены следующие два условия совместимости: PN

NP = PN, (5)

так что Pi = NP также есть поле бивектора;

2) скобка [ •, • ]Pl та пространстве 1-форм, ассоцпнрованная с Pi по формуле (4). и скобка

[e,n]N := m,v]p + [£,NV]p - N([£,n]p)

совпадают:

[£,n]pi = K,n]N • (6)

P N M,

наделенное структурой Пуассона Нейенхейса. называется многообразием Пуассо-

(M, P, N)

Пусть п - две 1-формы на M. Введем следующее обозначение [4]:

C(P, N)(£, п) = Lpz (Nn) - Lpv (NO + NLpv£-

- NLp5 n + d (£, NPn) - Nd & Pn),

где (•, •) есть свертка вектора и 1-формы. Условие совместимости (6) можно переписать в виде [4. 6]

C(P, N) = 0.

Выражения для компонент C(P, N) в локальных координатах имеют вид [6]

Ckj = Pj dNm+ры dNk - N1 дИ + Nj - p* dNt m

m 3xl 3xl m 3xl 1 3xm 3xm' l U

Известно, что для многообразия Пуассона Нейенхейса

Po = P, Pi = NP, P2 = N 2P,...

есть попарно совместимые тензоры Пуассона, то есть

[Pi,Pj ]sn = 0, Vij =0,1, 2,...

2. Алгебры Вейля и расслоения Вейля

Определение 4 [2, 7]. Конечномерная ассоциативная коммутативная уни-тальная алгебра А над полем вещественных чисел R называется локальной алгеб-

о

рой в смысле Вейля, или алгеброй Вейля, если ее радикал Rad(A) = А (подмножество нильпотонтных элементов) является максимальным идеалом и факторалгебра

о

А/А изоморфна алгебре R вещественных чисел.

Одномерное линейное подпространство в А, натянутое на единицу 1д, образует подалгебру, изоморфную R. Эту подалгебру будем отождествлять с R, считая, что R С Аи 1A = 1 G R ^^и этом адгебра Вейля А представляется в виде полупрямой

оо

суммы А = R ф А. В дальнейшем полагаем n = dimR А, так что dim А = n + 1.

Символом Ak будем обозначать fc-ю степень идеала A. Натуральное число h,

о о

определяемое соотношениями Ah = 0, Ah+1 = 0, называется высотой алгебры A.

о о о

Цепочку вложенных идеалов A D A D A2 D ... D Ah D 0 можно дополнить до цепочки идеалов, называемой композиционным рядом Жордана Гельдера [7]

A D A = Ii D I2 D ... D I„ D 0,

где Ia/Ia+1 - одномерная алгебра с нулевым умножением. Используя ряд Жорда-

A

о

{ea} = {eo,ea}, a = 0,1,...,n = dim A, a = 1,...,n, (8)

что e0 = 1 G R, ea G Ia, ea G Ia+b называемый базисом Жордана-Гельдера. Разложение элемента X G A то базису (8) будем записывать в виде X = xaea =

оо

= x0 + xaea. Обознач им X = xaea, тогда X = x0 + X. Разложение единицы алгебры A то базису (8) будем записывать следующим образом: 1A = Jaea. Разложения eaeb = 7abec задают структурный тензор (7^) алгебры A. Компоненты этого тензора удовлетворяют соотношениям

Ybo = 5ba, YCb = 0 при а > c. (9)

A

тензора принимают вид 7^ = 7^a и 7^7^/ = YaeYf соответственно.

Пусть Am = Aх .. .х A теть A-модуль то-строк элементов из A. Для нумерации вещественных координат на Am будем использовать двойные индексы ia, jb, Гладкая функция f : U С Am ^ A f : {X4 = xiaea} ^ f (Xi) = fb(xia)ea, называется A-гладкой, если те дифференциал df является A-линейным. Условия Af

f = 7b ^-dfil (Ю)

7ac dxid 1 ' f

. df . df = fidX4, функции fi = Ja ——- называются частными производными по X4 и

dxia

обозначаются через -т^т. Итак,

f = Ja f. (11)

i ia

дХ4 дж4 д/

Каждая функция дХ' (X^) ПРИ этом также является А-гладкой.

Пусть : и С ^ к1 ^ гладкое отображение. Оно может быть естественным

о

образом продолжено до А-гладкого отображения Ф : и х Ак ^ А1 следующим образом [7]. Пусть (ж4) и (ж4 ) - координаты вК^ К1 и ^ : (ж4) ^ (ж4 = (ж®)). Ф

|р|=1

о

где р = (р,... — мультииндекс длины к, р! = р! . ..р^!, X4 = ж4 + X4 -

о о о

разложение в соответствии с (8), Xр = (X Х)Р1 ... (X . Отображение Ф называется аналитическим продолжением отображения ^ и обозначается . Операция

аналитического продолжения сохраняет сумму, произведение, композицию отображений. а также операцию взятия частной производной [7].

Определение 5. Фробениусовой алгеброй Вейля будем называть пару (А, с), где А - алгебра Вейля, q : А х А ^ М - невырожденная билинейная форма, удовлетворяющая условию ассоциативности с^У, 2) = У2), £ А.

Форма q называется фробениусовой формой. В базисе (8) условие ассоциативности принимает вид = 1ърЯс! ■ Фробениусова форма q определяет фробениусов ковектор (1 -форму) р : А ^ М соотношением р(X) = 1А). В базисе (8) координаты ковектора р удовлетворяют соотношениям Ра^ы = СЪс ■

Пусть qaЪ - компоненты матрицы, обратной к матрице формы q в базисе (8). Введем в рассмотрение базис {еа = qaЪeЪ} в А. Обратное преобразование базиса имеет вид еа = qaЪeЪ. Символами ^ССЪ обозначим компоненты структурного тензора алгебры А в базисе {еа}. Выполняются следующие соотношения [8]:

р(еаеъ) = С1аЪ, р(еаеЪ) = саЪ, р(еаес) = Л;

р(еаеъес) = ^Съ, р(еаеЪес) = ^Ъ

(12)

Для А-гладкой функции Р : и С А ^ А Р = Ра(хЪ)еа = Ра(хЪ)еа справедливы следующие соотношения:

Рар = Р ЛЪ д(5<ара) = Лс дРЪ

Рра = РъЛ, = Лдхс • (13)

А

А

АА тотальное пространство ТАМ расслоения Вейля пА : ТАМ ^ М гладкого многообразия М [2, 7]. Для локальной карты (и, х^ на М функции Xi = (х^А = хшеа задают систему координат на ТАи С ТАМ, а функции (хш)

— систему вещественных локальных координат на ТАи, причем х10 = х1 о па-

Пусть МА естъ А-гладкое многообразие. Обозначим символом (МА) про-

странство А-гладких тензорных пол ей типа (к, I) на МА [8]. Тензорное поле г £ £ ТА1ащ(МА) имеет координатное представление

■ • • • д д г = г!1--'!1 ¿Xil ®... ® ¿Xik ® —— ®... ®

- дXjl дXЭ'

где функции гЭ...! = г!...э (Xк) являются А-гладкими.

А

Пусть Ь — конечномерный свободный модуль над (А, с) и пусть г теть А-лпнейный тензор на Ь. Реализацией тензора г называется вещественный тензор К(г) = р о г на ь.

Пусть М есть гладкое многообразие и г £ Тк'е(М) - тензорное поле па М. Его аналитическое продолжение гА есть А-гладкое тензорное поле на ТАМ. Полным лифтом поля г на тотадьное пространство многообразия ТАМ называется тензорное поле

гс := я(гА)

на ТАМ. Если в локальных координатах (х^ на М толе г имеет компоненты г^.Ц, то в соответствующих локальных координатах (хм) на ТАМ компоненты поля гс вычисляются по следующей формуле (см. [8]):

г01Ъ1-0е. Ье — п(,31...зе е е еЪ1 еЪе)

^пат....^ ак := р(гп..лк еа1 . . . еак е ...е ).

В работе [8] показано, что фробениусова алгебра Вейля (A, q) высоты h обла-

о

дает следующими свойствами: dimAh = 1 и p|j= h =0. Это позволяет однозначно

о

выбрать элемент е G Ah такой, что р(е) = 1. Вертикальным лифтом поля t G G T fc'l(M) та тотальное пространство многообразпя TAM называется тензорное поле

tV := R(etA)

на TAM.

Предложение 1 [8]. Пусть M - гладкое многообразие. Для любых u, v G G V*(M) имеют место соотношения

1) ([u,v]sn)C = [uC,vC]sn;

2) ([u,v]sn)V = [uV,vC]sn = [uC,vV]sn;

3) [uV,vV]sn = 0.

3. Лифты структур Пуассона — Нейенхейса

Пусть MA теть A-гладкое многообразие. Обозначим символом

dima ma

^A-diff (ma,tma)= 0 ^A-diff (ma,tma) fc=0

пространство векторнозначных A-гладкнх внешних форм на ma • Естественным образом операция скобки Фрелихера Нейенхейса распространяется случай A

Предложение 2. Пусть MA есть A-гладкое многообразие и пусть K G G ^A-diff (Ma,TMa) м L G ^A-diff (Ma,TMa). тогда

[Д(К),Д(Ь)]™ = Д([К, Ь]™).

Доказательство. Пусть в локальных координатах (X4) форм ы имеют

компоненты КО и вс соответственно- Для компонент скобки Фрелихера-А

г д

([К, )а1.= Ка 1...аь +

дд , ( — 1)й1+1г1 — к • К5 Ь 4 I

т ^ ' д^^г «1+1...«^+^ "а1...а1_1! дXаь+1."аь+£

д

+ ( — 1)к11 • Ь . --- К4 (14)

1 ^ ' ^^...а^» дX"г аг+ь-аь+г' ^ ^

Умножим обе части равенства (14) на еа ... еаь+£еь и затем свернем его с р. В левой части мы получим компоненту (Д([К, Ь]^^))аЬ1а1...аь+1аь+1 • Рассмотрим первое слагаемое в правой части. Пусть

К4 ее ес = (К4с ) ет

Ь е е еь = (Ьь ) ес

суть разложения по базису {е°}.

Используя (11) и (13). получим: д

К _ТЭ е е еЪ =

ка1...ак дXi Так+1...ак+е еа1 . . . еак+е е

д

= кi е е л9_Тэ е е еЪ =

Ка1...ак еа1 . . . еак Л дх}9 Так+1...ак+е еак+1 . . . еак+1 е д

= Кi е е Л9 _(ТЭЪ ) ес =

ка1...ак еа1 . . . еак Л д^9 (Так+1ак+1...ак+еак+е )се

д

= (К ^ ) етЛ9 _(Т?Ъ )

\±^а1а1...акак'т^ " дх^ ак+1ак+1...о.к+еак+е >9 ' р

д

К ^ -ТЭЪ

а.1С1. ..акСк дх}с ак+1ак+1...ак+1>ак+е р

д

(_1) к1+1 т ic КЭЪ

V '-) ^а1а1...аеае дх}с ае+1ае+1...ак+еак+е"

Пусть Ьак+1...ак+1 = (Та.к+1...а.к+1 Уе° ■ вычислим компоненту ьак+1ак+1...ак+еак+е-Введем обозначение

еС1 . . . еат = 1ь1...ат еЪ.

Имеем:

Т?с = р(Т е е ес) =

ак+1ак+1...а.к+еак+е ГУ^ак+1...а.к+^ак.+1 • • • ^ак+е^ !

= р((Так+1...ак+е ) еэеак+1 . . . еак+1е ) = (Так+1...ак+е ) 7вак+1...ак+е . (15)

р

д ■ Ъ р(к • Ка.1...ак-1 ^9 дхак 9 (Так+1...ак+е Уевеа1 . . . еак+1 е ) =

д ■ Ъ = к • р(К3а1...ак-1^9 дхак9 (Т ак+1 ...ак+е ) ^ так етеа,к+1 . . . еак+1 е<И . . . еЧк-1 е ) =

д ■ ■ Ъ = к ^ дхакак (Так+1...ак+е ) р(К°а1...ак-1 ^а1 . . . еак-1 е 1так+1...ак+1ес) =

д • • Ъ

= к • дхак ак Так+1ак+1...ак+еак+е р(Ка1...ак-1^а1 . . . еак-1 ес<е ) =

д

= к • КЭЪ д Цс

а1С1...ак-1 ак-1^ дхакак ак+1ак+1...ак+еак+е'

р

(_1)к11 • Т0Ъ д К

( ) аlal■■■аe-lae-lic дхаеае ае+1ае+1...ак+еак+е'

д

— К "с

ае ае+1ае+1...ак+еак+е

□

(РА)7 (ЖА)к + (РА)гк (N^7 = 0. (17)

Из Предложения 2 вытекает следующее

Предложение 3. Пусть М - гладкое многообразие, К, Ь е П*(М, ТМ). Жме-ют .место следующие соотношения:

1) ([К,Ь]™)с = [Кс,Ьс,

2) ([К, Ь]^^Г = [Кс, Ь^= [К^, Ьс, (16)

3) [К^= 0.

Доказательство. Докажем второе соотношение: первое и третье доказываются аналогично. Пусть КА и ЬА - аналитические продолжения форм К и Ь соответственно. Тогда Д(е[К, Ь]^) = Д([еКА, ЬА]™) = Р([КА, еЬА]™) • □

Теорема 1. Пусть (Р, N) структура Пуассона Нейенхейса на гладком многообразии М, (А, д) - фробениусова алгебра Вейля. Тогда (Рс, Nс) есть структура Пуассона Нейенхейса на расслоении Вейля ТАМ.

Доказательство. Тот факт, что Рс есть тензор Пуассона, а Nс - тензор ТАМ

кажем, что эти тензоры совместимы.

М

вид:

р7 N + рN = о.

Пусть РА и NA - аналитические продолжения Р и N на ТАМ соответственно. Тогда

< оМ ¡7 С А гА

) + (Р ) (^ )

Пусть (РА)7 = (Р7(NA)к = (^- разложения по базису (8). Вычислим компоненты Р1 и N^6 тензоров Рс и Nс. С учетом (12) имеем:

Р1 7 = р((РА) 7 есеа) = р((Р7 )яеяесеа) = (Р7 )8р(е8есеа) = (Р7 )878са.

Аналогично,

= р(^А )ке6ес) = р((^)^е6ес) = (^

Итак.

Р1 7 = (Р17 )Чса, = (^ ^ (18)

Умножим обе части равенства (17) на е°еь и свернем результат с р. Тогда первое слагаемое примет вид:

р((РА)7 ^А)?е°еь) = р((Р7 )я(^)Че^еаеь) =

= (Р7 П^^Хе^е6) = (Р7 = Р с7'а^сь.

Второе слагаемое при этом примет вид Р1 скЬ^са. Отсюда РсNс = NсРс. Теперь покажем, что выполняется условие совместимости (6), то есть что

С(Рс, Nс) = 0.

Запишем выражения (7) для аналитических продолжений РА и NA, умножим их на е°еьес и свернем с р. Рассмотрим первое слагаемое. С учетом (13) имеем

(РА)7 е°е6ес = (РА)7е6ес =

д д

= (РА)7^ ^Ю-е' = (РА)7еа ^= (ра)7еае* .

Поэтому

Я(МА)к дМкЬ

.~ÍÍГ>A\ I, \ )т а Ь \ т-)1в,а тс

Р((Р У ~^Х^ееес)= Р 1£Г •

Второе и третье слагаемые рассматриваются аналогично.

Рассмотрим четвертое слагаемое. С учетом (11) и (18) получим

М д(РА)к1 л — < ъАМ* д(Рк1 )9

(МА)3 еаеЬес = (МА)35й -^е„е"е"ег

V 'I дХт с v дхтй 9

= (МАУ'5й д(РЫ )9 V еаеЬ = (МАУ'еаеЬ д(РЫ У

= )1 5 дхтй сдеуе е = (М )1 еуе е дхтс

= (МА, е еа^ Ьв д(Р ЫУ = (МА, е еа ^ = (М )1 е*е1! дхтс = (М )1 е°е дх

Поэтому

Л^, д(РА)к1 „ „ -е е е

кЬ1

в

р)( рА\к1 \ £)~пкЫв

р ( (МА), еаеЬеЛ = М?а д-Р-•

^^ п дХт V 1в дхтс

Наконец, пятое слагаемое приводится к виду

/пМ3 д(МА)к а Ь /пАл НХ9 д(Щк а Ь

(Р ) ^ -е е ес = (Р У о* —-ейесе е =

V > дХт с К ' дхт9 й с

= (РА)1'59 дМтГ^еаеЬ

эА), д(Щ У Ь евеа = (РАу, дМк евеа > дхтс Ув дхтс '

Отсюда

Р((РА)У д(МА)кеаеЬес)= Р 3 ^

□

дХт дхтс

Предложение 4. Пусть МА - А-гладкое многообразие и гда для любого А-глад} ■имеет .место равенство

'-А-йШУ

А

Е(МТ) = Е(М )Е(Т).

Доказательство. Пусть в локальных координатах

д д д N = тах3 т = тг1-гк-— ®...®

3 дХ'' дХ'' дХ^'

Обозначим Б = ЩТ. Имеем

8И1...гк-1 = ЩТИ1-^-! . (19)

Умножим обе части равенства (19) на еаеа1 • • • еак-1. Тогда правая часть этого равенства примет вид

Щт ]11--Лк-1 еаеа\ еак-1 =

= (Щ^)йейеаТ3^1'"^к-1 еа1 еак-1 = Т3^1'"'1к-1 есеа1 еак-1

р

ЩБ)гаг1а1--лк-1ак-15 а в правой - соответственно

(Щ'-)й^а Т3с'1а1 ■■■'к-1ак-1 = N1аТ3с'1а1..лк-1ак-1

Следствие 1. Пусть М - гладкое многообразие, N е Т^(М), Т е Т°'и(М). Имеют .место следующие соотношения:

^Т )с = N с Т с,

= ^ Ту = ^ Тс. ^

Пусть (М, Р) - пуассоново многообразие и м - форма объема на М. Напомним, что дивергенция ё1урХ векторного поля X определяется соотношением £х М = = (ёгурХ)м- Оператор Хр, определенный равенством

хм = Хм,р : / е СТО(М) е СТО(М),

является дифференцированием на СТО(М) и, следовательно, задает векторное поле М

вой структуры Р (или пуассопова многообразия (М, Р)). Модулярное векторное поле есть коцикл оператора аР. Класс когомологий [Хр] е Н Х(М, Р) не зависит от выбора формы объема м и называется модулярным классом пуассонова (М, Р)

В работе [8] показано, что форма объема м индуцирует форму объема М на ТАМ и модулярное векторное поле пуассонова многообразия (ТАМ, Рс) имеет

Хр,^ = (п +1)Х^. (21)

Пусть теперь (М, Р, N) - многообразие Пуассона - Нейенхейса с формой объема м- Обозначим символом Хр модулярное векторное поле пуассоповой структуры Ри. И. Космапп-Шварцбах и Ф. Магри [6] ввели в рассмотрение векторные поля

X(и) = Хр - NXр-1, к =1, 2,... (22)

Ими было показано, что для каждого к поле не зависит от м и что есть коцикл оператора аРк . Кроме того, было доказано, что

X(и) = - 2НР, к > 1, (23)

где /и = |Тг Nк > 1. Поле X(и) называется к-м модулярным векторным полем многообразия (М,Р,N), а класс [Хр] е Н 1(М,Ри) - к-м модулярным классом многообразия (М, Р, N). Последовательность X(и), к > 1, называется иерархией модулярных векторных полей. П. Дамиану и Р.Л. Фернандес [5] назвали поле Х№ =

модулярным, векторным, полем, многообразия Пуассона

Нейенхейса (М, Р, N).

Предложение 5. Пусть (М, Р, N) - многообразие Пуассона Нейенхейса и X (и),

к>1

лярных векторных полей X, к > 1, многообразия (ТАМ, Рс, Nс) выполняются соотношения

Х(й) = (п + 1)(Х(и))у, к > 1. (24)

Доказательство. Из формулы (20) следует, что для любого к > 1 тензор

Пуассона Ри = ^с)иРс на ТАМ совпадает с полным лифтом тензора Пуас-

_и

сона Ри = NиР. С учетом (24) это означает, что модулярное векторное поле Xр структуры Ри есть (п+1)(Хр)у. Поэтому в силу (22) и (20) X(и) = Хр^сХр-1 = = (п + 1)((ХрГ - Nс(Хр-1)^) = (п + 1)(Х. □

Из формулы (23) следует, что модулярное векторное поле XN является гамиль-тоновым векторным полем по отношению к пуассоновой структуре Р. П. Дамиану и Р.Л. Фернандес [5] доказали, что если тензор N невырожден, то поле XN является бигамильтпоновым,, то есть, гамильтоновым также и по отношению к пуассоновой структуре Р1, а именно: выполняется равенство XN = — ^det N|) • Более

того, в этом случае каждое модулярное векторное поле X(к) оказывается мульти-гамильтоиовы,м, то есть, гамильтоновым по отношению к каждой из пуассоновых структур Ри г = 0,...,к.

Предложение 6. Если N е 0}(М; ТМ) - невырожденный тензор, то Nс е € Q1(TAM; ТТАМ) - также невырожденный тензор.

Доказательство. Пусть - ададитическое продолжение тензора N и пусть (Ж®)А = (^)сес - разложение по базису (8). Тогда для компонент тензора Nс по формуле (18) имеем: = - Из формул (9) следует, что

N¡1 = N1 ^ = 0, если а <Ь. Таким образом, матрица тензора Nс имеет блочную форму вида

N * * * *

0 N * * *

0 0

0 0 0 N *

0 0 0 0 N

где звездочкой обозначены блоки, не имеющие существенного значения для настоящего рассмотрения. Поэтому

det Nс = (п + 1)det N.

Следствие 2. Если тензор N невырожден, то модулярное векторное поле XNс многообразия (ТАМ,Рс, Nс) является бигамильтпоновым.

Summary

V. V. Shurygin, jr. Lifts of Poisson Nijenliuis Structures to Weil Bundles.

In the present paper we show that the complete lifts of the structure tensors P and N of a Poisson-Nijenhuis manifold (M, P, N) to the Weil bundle TAM induce a structure of Poisson-Nijenhuis manifold on TAM. We compute the modular vector fields of this manifold.

Key words: Poisson Nijenliuis manifold, modular class, Weil algebra, Weil bundle, complete lift, vertical lift.

Литература

1. de Azmrraga J.A., Perelumuv A.M., Perez Buen.o J.С. The Sellout.en-Nijenliuis bracket, eoliomology and generalized Poisson structures // J. Pliys. A: Mat.li. Gen. 1996, V. 29, No 24. P. 7993 8009.

2. Kolâf I., Miehor P. W., Slovak J. Natural operations in differential geometry. Springer. 1993. 434 p.

3. Vaisman I. Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Progress in Math. V. 118. Basel: Birkliauser. 1994. 205 p.

4. Kosmann-Sehwarzbaeh Y., Magri F. Poisson Nijenliuis structures // Ann. Inst. Poincaré Serie A. 1990. V. 53, No 1. P. 35 81.

5. Damianou P.A., Fernandes R.L. Int.egrable hierarchies and the modular class. URL: arXiv:mat.li.DG/0607784. version 2.

6. Kosmann-Sehwarzbaeh Y., Magri F. On the modular classes of Poisson Nijenliuis manifolds. URL: arXiv:mat.li.SG/0611202.

7. Shurygin V. V. The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras // Lobaclievskii J. of Mat.li. 1999. No 5. P. 29 55.

8. Shurygin V.V., jr. Lifts of Poisson structures to Weil bundles. URL: arXiv:0907.5560.

9. Weinstein A. The modular automorphism group of a Poisson manifold // J. Geom. Pliys. 1997. V. 23, No 3. P. 379 394.

Поступила в редакцию 21.05.09

Шурыгин Вадим Вадимович кандидат физико-математических паук, научный сотрудник НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета. E-mail: vshjrQyandex. ru