CC BY
34
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 147, кн. 1 Физико-математические науки 2005
УДК 514.16
О СТРУКТУРЕ КОЛЬЦА КВАНТОВЫХ КОГОМОЛОГИЙ ДЕ РАМА ПУАССОНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
В. В. Шурыгип (мл.)
Аннотация
В работе [4] автором было показано, что квантовые когомологии де Рама пуассоновых многообразий, введенные в [1], получаются деформационным квантованием когомологий де Рама. В настоящей работе мы показываем, что структура кольца квантовых когомологий де Рама также получается деформационным квантованием структуры кольца когомологий де Рама.
Пусть М - гладкое многообразие.
Скобкой Пуассона на М называется билинейное кососимметричное отображение { , } : Сж (М) х Сж (М) ^ Сж (М), где Сж (М) - алгебра гладких функций М
{1,дЬ} = {¡,д}Ь, + д{!,Н}
и тождеству Якоби
Ш,д}, М + {{д, М, /} +{{^, / },д} = о.
Многообразие, наделенное скобкой Пуассона, называется пуассоновым многообразием.
Обозначим пространство кососимметрических контравариантных тензорных нолей на М через V*(М), а кольцо дифференциальных форм на М через П* (М). Степень внешней формы а будем обозначать сим волом |а|, т. е. |а| = ш, если а € Пт (М).
М
ад € V2 (М), такой, что
и,д} = гиРЧ-^--^- (1)
дхР дх?
для всех /,д € С^(М). Известно, что скобка (1) на С^ (М), построенная по такому тензору, удовлетворяет тождеству Якоби тогда и только тогда, когда [ад, ад] = 0, где [■, ■] — скобка Схоутена^Нейенхейса на V*(М) (см., например, [3]). В локальных координатах это условие записывается как
дад?г ди>гР дадР?
„шрэ ™»_ + ^ + „шг* = 0
дхя дхя дхя
В дальнейшем будем обозначать пуассоново многообразие (М, ад).
Обозначим через i(w) : nm(M) ^ nm_2(M) операцию внутреннего умножения Haw; в локальных координатах (i(w)a)il...im-2 = wjkajk^• Koszul в [2] ввел кодифференциал ó : nm(M) ^ Пто-1 (M), определенный формулой
ó = [i(w), d] = i(w) o d — d o i(w),
где d : nm(M) ^ nm+1(M) - внешний дифференциал. Он также показал, что
ó o ó = 0 и d o ó + ó o d = 0. (2)
ó
когомологий де Рама пуассонова многообразия (M, w) [1].
Рассмотрим конечномерное векторное пространство V над R с базисом {ei, ...,en}. Обозначим символом T *(V) алгебру ковариантных тензоров на V. Для a Є Tk (V) обозначим
(а Ч v)(vi,..., vfc_i) := a(vi,..., vfc_i,v),
(v h a)(vi ,...,vfc_i) := a(v,vi, ...,vfc_i),
где v, vi,..., vk-i Є V. Обозначим внешнюю алгебру пространства V через Л* (V), а алгебру полиномов от h с коэффициентами в Л* (V) через Л*^)[h], Выберем произвольный кососимметрический тензор w = wpqep Л eq Є Л2 (V). Определим квантовое внешнее умножение Лh : Л*(V) ® Л*^) ^ Л*(V)[h] следующим образом:
hk
a Ah (5 = ^2 ~fc\ wPiqi ■ ■ -wPkqk(a ^ єрі H • • • H єРк) Л (еЧк Ь ■ ■ ■ Ь еЧ1 Ь /3), k>0 '
где а, в Є Л* (V). В [1] показано, что это определение не зависит от выбора базиса {ei, ...,en}, а также (теорема 1.1), что квантовое внешнее умножение суперкоммутативно и ассоциативно.
( M, w)
h
П* (M)[h] полиномов от h с коэффициентами в n*(M).
В [1] был введен оператор
dh := d — hó : П*(M)[h] ^ П*(М)[h].
Там же (теорема 2.2) было показано, что квадрат этого оператора равен нулю dh o dh = 0 внешнего умножения:
dh(a Лh в) = (dha) Лh в + ( —1)|a|a Лh (dhв),
где a, в Є n*(M)[h].
В [1] были определены квантовые когомологии де Рама QhH*R(M) пуассонова многообразия (M, w) как когомологии дифференциальной группы (fi*(M)[h],dh):
QhH*ñ(M) := ker dh/ im dh.
Введем также в рассмотрение «сопряженный» оператор
dh := d + hó : П*(M)[h] ^ H*(M)[h].
Проверка того, что вд о вд = 0 и вд(а Лд в) = (в^а) Лд в + (—1)|а|а Лд (в^в) > осуществляется так же, как ив [1].
Операторы вд и вд можно распространить также на алгебру П *(М)[Ь,Ь-1] многочленов от Ь и Л-1 и на шігебрьі П *(М)[[Ь]] и П *(М)[[Ь,Ь-1 ]] рядов Тейлора и Лорана от Ь соответственно. Соответствующие когомологии оператора вд будем обозначать следующим образом:
^Н**д(М) := Н(П *(М)[Ь], вд), Я^-гН**Д(М) := Н(П *(М)[Ь, Ь-1], ^),
Т^Н*Д(М) := Н(П *(М)[[Ь]]Л), ¿Я^-хН^Д(М) := Н(П *(М)[[Ь, Ь-1]], <).
В дальнейшем будем обозначать ¿(ад) через і. Рассмотрим гомоморфизм : (П *(М)[Ь],в) ^ (П *(М)[Ь],вд), определенный формулой
іркісу.) = ^ -----Н^Ъ^<У. = су — \ь%су СУ — —\с*су . . .
^ к ^ к\ 2 6 к>0
В ([4], теорема 4.2) было доказано, что для любого пуассонова многообразия (М, ад) гомоморфизм является изоморфизмом дифференциальных групп, т. е. что _ эпиморфизм и мономорфизм и о в = вд о ^. Следовательно, квантовые когомологии де Рама Н*д (М, ад) получаются деформационным квантованием «обычных» когомологий де Рама Н*д (М):
Яд Н*д (М) = Н (П *(М ),в) = Н*д (М )[Ь].
Аналогично можно ввести «сопряженный» гомоморфизм ^ :(П *(М)[Ь],в) ^ (П *(М)[Ь]Л)
формулой
ф'Ла) = Т — ¡ікіка = а + Ліа + -к2г2а + — к3і3а + ... к! 2 6
к>0
Проверка того, что _ изоморфизм дифференциальных групп, осуществляется так же, как в [4].
Теорема. Для любого пуассонова многообразия (М, ад) изоморфизм ^ является изоморфизмом колец:
^(а Л в) = а) Лд ^в). (з)
Доказательство. Пусть М = п. В локальных координатах (ж1,...,жп) на М будем обозначать стандартный базис в Т*М через {вж1,..., вжп}, а сопряженный ему базис в касательном пространстве Тх М через { др-,..., }. Пусть
ад в этих локальных координатах имеет вид ад = адР9 А .
Доказательство теоремы проведем индукцией по |а|.
Пусть |а| = 1, тогда локально имеет место разложение а = арвжр. Легко проверить, что в этом случае і (а А /3) = а А г/3 + 1ирчар(-£^ Ь /3). Отсюда индукцией по к следует, что
ік(а А /3) = а А ік¡3 + к'шрчар(^-т^ Ь г*-1/?^.
Поэтому
hfc
ч>к(а л i3) = ~k\ik(a Л ^) = k>0 !
= ^ («AÍÍ + l^ h i‘-V)) =
k>0 ^ '
hk / / \
= ^2~j^{aAikl3+h wpqap h ik/3j
k>0 '
hfc hfc
= J\a Ah %kP =aAhYl ^ = Ah ^'h!3)-k>0 ' k>0 '
Предположим теперь, что формула (3) доказана для всех а, таких, что | а | < m. Пусть |а| = m + 1, тогда локально а представляется в виде линейной комбинации форм вида С Л П; где |С| = 1, |n| = m, поэтому переход индукции достаточно доказать для форм такого вида. Имеем
Ул((С Л П) Л д) = Ул(С Л (П Л д)) = (УлС) Лл (П Л д) =
= Лл (^hn) Лл (^hд) = ^Л(С Л п) Лл (^he)-
Таким образом, ¡p'h - изоморфизм колец. □
Следствие. Имеют место изоморфизмы колец когомологий:
(QhHVM), Лл) = (Hñ(M)[h], Л), (Qh,fc-1 Hr(M), Лл) = (Hñ(M)[h,h-1], Л),
(TQhHR(M), Лл) = (H*ñ(M)[[h]]; Л), (LQh.h-1 Hr(M), Лл) = (H*R (M)[[h,h-1]], Л).
Замечание 1. Изоморфизм у л не является изоморфизмом колец (за исключением тривиального случая w = 0), так как, например, при |а| = |в| = 1 имеем ул(а Л в) = а Л в — hwpqарД? > a (ула) Лл (улв) = а Л в + hwpqарвд.
Замечание 2. Формула для квантового внешнего умножения подсказывает ввести другое умножение на П *(M):
“Л^:=Е MwP191 '''wPkqk (“ 4 ^ 4 " ' 4 Z¿k) Л h ''' h áJ?r h I3) ■ k>0 !
w
тативным и ассоциативным. Действительно, для доказательства этого достаточно подставить в формулу для квантового внешнего умножения h = 1.
Рассмотрим оператор D := d + ó : П *(M) ^ П *(M). Из формул (2) легко следует, что D о D = 0. Рассмотрим гомоморфизм у : П *(M) ^ П *(M), определенный следующим образом:
/ ч X Л 1 -k - 1 -2 1 -3
(fia) := у —г а = а + га + —г а + —г а + ...
k! 2 6
k>0
В работе [4] показано (предложение 2.2), что у : (П *(M),d) ^ (П *(M),D) является изоморфизмом дифференциальных групп. Из теоремы 1 следует, что если дифференциальную группу (П * (M), d) снабдить обычным внешним умножением, а дифференциальную группу (П *(M), D) - w-внешним умножением, то изоморфизм у окажется также изоморфизмом колец.
Summary
V. V. Shurygin, junior. Quantum de Hham cohomology ring for Poisson manifolds.
In [4] we have proved that the quantum de Rham cohomology of a Poisson manifold (M, ш) (see [lj) can be obtained via deformational quantization of the de Rham cohomology of M. In this paper we prove that the ring structure on the quantum cohomology of (M, ш) is obtained
M
Литература
1. Cao H.-D., Zhou J. On quantum de Rham cohomology // Preprint math.DG/9806157. -1998.
2. Koszul J.-L. Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie // “Elie Cartan et les Math. d’Aujour d’Hui”, Astérisque, hors-série. - 1985. - P. 257-271.
3. A. Lichnerowicz Les variétés de Poisson et leurs algèbres de Lie associées // J. Diff. Geom.
- 1977. - V. 12. - P. 253-300.
4. Шурыгин В.В. (мл.) Когомологии двойного комплекса Брылинского пуассоновых многообразий и квантовые когомологии де Рама // Изв. вузов. Математика. - 2004.
- № 10. - С. 75-81.
Поступила в редакцию 12.01.05
Шурыгин Вадим Вадимович - аспирант кафедры геометрии Казанского государственного университета.
E-mail: [email protected]
