Коммутативные интегрируемые системы на пуассоновых многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Коммутативные интегрируемые системы на пуассоновых

многообразиях

А. В. Куров

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: kurov.aleksandr@physics.msu.ru

Статья поступила 28.12.2015, подписана в печать 16.05.2016.

Показано, что, в отличие от вполне интегрируемых гамильтоновых систем, коммутативная частично интегрируемая система допускает разные совместимые пуассоновы структуры на фазовом многообразии, связанные оператором рекурсии. Доказано существование координат действие-угол в окрестности инвариантного подмногообразия такой частично интегрируемой системы.

Ключевые слова: переменные действие-угол, пуассоново многообразие, интегрируемая система.

УДК: 51-72. PACS: 02.30.lk.

Введение

Коммутативные частично интегрируемые системы на 2п-мерном симплектическом фазовом многообразии представляют собой расширение известного класса вполне интегрируемых гамильтоновых систем [1, 2], когда число взаимно коммутирующих интегралов движения меньше п [3]. Для такой системы была доказана теорема Пуанкаре-Ляпунова-Нехо-рошева о координатах действие-угол в окрестности ее компактной инвариантной поверхности [3, 4], обобщающая известную теорему Лиувилля-Арноль-да для вполне интегрируемых систем. Впоследствии коммутативные интегрируемые системы были рассмотрены на пуассоновом многообразии в общем случае не обязательно компактных инвариантных многообразий [5, 6].

Настоящая работа посвящена тому, что, в отличие от вполне интегрируемых систем, частично интегрируемая система может допускать разные совместимые с ней пуассоновы структуры и, таким образом, стоит задача их описания.

Поэтому в своем исследовании мы исходим из более общего понятия коммутативной динамической алгебры (определение 1), когда пуассонова структура на фазовом многообразии изначально не задана. Такая динамическая алгебра становится частично интегрируемой системой при введении на фазовом пространстве определенным образом совместимой с ней пуассоновой структуры (определение 2). Доказываемая в работе теорема 1 устанавливает условия, при которых данная коммутативная динамическая алгебра допускает совместимую пуассонову структуру и становится по отношению к ней частично интегрируемой. Далее теорема 2 описывает класс пуассоновых структур, каждая из которых совместима с данной динамической алгеброй и превращает ее в частично интегрируемую систему. Поскольку такая структура не единственна, вводится понятие би-пуассоновой системы (определение 4), когда

частично интегрируемая система является таковой относительно двух разных пуассоновых структур. Теорема 3 устанавливает условия их согласования, а именно они должны быть связаны оператором рекурсии. Согласно лемме 4 оператор рекурсии пуас-соновых структур одинакового ранга существует только в случае, если их характеристические распределения совпадают. Заключительная теорема 8 показывает существование координат действие-угол в окрестности инвариантного многообразия коммутативной частично интегрируемой системы.

1. Частично интегрируемые системы на пуассоновых многообразиях

Начнем с определения динамической алгебры. Пусть задано m взаимно коммутативных векторных полей {£А} на связном гладком вещественном многообразии Z, которые независимы почти всюду на Z, т. е. множество точек, в которых поливекторное поле

m

Л вА обращается в нуль, нигде не плотно. Через 5 с C) обозначим подкольцо гладких действительных функций f на Z, чьи производные равны нулю вдоль всех вА. Пусть А — m-мерная алгебра Ли, порожденная векторными полями {#А}. Один из ее элементов можно считать автономным динамическим уравнением первого порядка на Z. Тогда элементы из 5 могут трактоваться как интегралы движения.

Определение 1. Будем называть А коммутативной динамической алгеброй.

Определение 2. Пусть А — m-мерная коммутативная динамическая алгебра на регулярном пуассоновом многообразии (Z, w). Она называется частично интегрируемой системой, если:

а) ее генераторы вА — это гамильтоновы векторные поля некоторых функций 5А с C), которые независимы почти всюду на Z, т.е. множество

m

точек, в которых обнуляется m-форма Л dSА, нигде не плотно;

б) все элементы S с CZ) находятся во взаимной инволюции, т. е. их скобки Пуассона равны нулю.

Из определения непосредственно следует, что пуассонова структура имеет ранг по крайней мере 2m и что S — это коммутативная пуассонова алгебра. Функции S\ в определении 2 будем называть производящими функциями частично интегрируемой системы, которая однозначно определяется их набором (Si, . . . , Sm).

Замечание 1. Если 2m = dim Z в определении 2, то мы имеем полностью интегрируемую систему на симплектическом многообразии Z .

Если 2m < dim Z, то могут существовать различные пуассоновы структуры на Z , которые превращают динамическую алгебру в частично интегрируемую систему.

Рассмотрим коммутативную динамическую алгебру A на многообразии Z, и пусть G — группа локальных диффеоморфизмов Z, порожденная потоками этих векторных полей. Орбиты G являются максимальными инвариантными подмногообразиями A. Касательные пространства к этим подмногообразиям составляют (нерегулярное) распределение V с TZ, чьи максимальные интегральные многообразия совпадают с орбитами группы G. Пусть z € Z — регулярная точка распределения V, т. е.

mm

Л 6\(z) = 0. Так как группа G сохраняет Л0\(z), максимальное интегральное многообразие M распределения V через точку z также регулярно. Более того, существует открытая окрестность U многообразия M такая, что ограниченное на U распределение V является m-мерным регулярным распределением на U. Будучи инволютивным, оно порождает слоение F окрестности U. Регулярная открытая окрестность U инвариантного подмногообразия M называется насыщенной, если любое инвариантное подмногообразие, проходящее через U, принадлежит U. Например, любое компактное инвариантное подмногообразие имеет такую открытую окрестность.

Теорема 1. Пусть A — динамическая алгебра, M — ее регулярное инвариантное подмногообразие, и U — насыщенная регулярная открытая окрестность M. Предположим, что:

1) векторные поля 6\ на U полны;

2) слоение F окрестности U допускает трансверсальное многообразие S и его псевдогруппа голономии на S тривиальна;

3) слои этого слоения взаимно диффеоморфны.

Тогда справедливо следующее.

1. Слои F диффеоморфны тороидальным цилиндрам

r х Tr, 0 < r < m. (1)

2. Существует открытая насыщенная окрестность U многообразия M, которая является тривиальным главным расслоением

U = N х (Rm-r х Tr) N (2)

над N с RdimZ-m со структурной группой (1).

3. Если 2m < dimZ, то существует пуассонова структура ранга 2m на U такая, что A будет частично интегрируемой системой в соответствии с определением 2.

Доказательство.

1. Так как m -мерные слои слоения допускают m полных независимых векторных полей, то они являются локально аффинными многообразиями, диф-феоморфными тороидальным цилиндрам (1).

2. В силу условия (ii) слоение F окрестности U является расслоенным многообразием. Тогда всегда можно выбрать открытую расслоенную окрестность слоя M этого расслоения, (обозначим ее опять U) над областью N такую, что расслоенное многообразие

п: U - N (3)

допускает сечение а. В соответствии с известной теоремой полные гамильтоновы векторные поля в\ задают действие односвязной группы Ли G на Z. В силу того, что векторные поля взаимно коммутативны, эта аддитивная группа Rm, чье групповое пространство наделено координатами — параметрами sx потоков относительно базиса {в\ = в\] ее алгебры Ли. Орбиты группы Rm в U с Z совпадают со слоями расслоенного многообразия (3). Так как векторные поля независимы всюду на U , действие Rm на U локально свободно, т. е. группы изотропии точек U являются дискретными подгруппами Rm.

Пусть задана точка x € X. Действие Rm на слое Mx = п-1(х) факторизуется:

Rm xMx^Gx*Mx^Mx

(4)

через свободное транзитивное действие на Мх фактор-группы Ох = №/Кх, где Кх — группа изотропии произвольной точки Мх. Она одинакова для всех точек Мх, так как группа коммутативна. Ясно, что слой Мх диффеоморфен групповому пространству Ох. В силу того что слои Мх взаимно диффеоморфны, все группы изотропии Кх изоморфны группе Zr для некоторого фиксированного 0 < г < т. Поэтому все группы Ох изоморфны аддитивной группе (1). Наделим расслоенное многообразие (3) структурной группой О0, где мы обозначили {0} = п(М).

Для этой цели определим изоморфизмы рх: О0 ^ Ох группы О0 в группы Ох, х е N. Тогда желаемое послойное действие 60 на и определяется законом

Go х Mx - p(Go) х Mx - Mx.

(5)

Генераторы каждой подгруппы Кх группы изотропии задаются г линейно независимыми векторами группового пространства . Можно показать, что существуют упорядоченные наборы генераторов (и1(х),..., иг (х)) групп Кх такие, что х ^ VI (х) — гладкие -значные поля на N. Действительно, пусть заданы вектор V, (0) и сечение а расслое-

ния (3). Тогда каждое поле vi (x) = (s®(x)) — это однозначное гладкое решение уравнения

g(s?)a(x)= a(x), (s?(0)) = Vi(0),

на открытой окрестности {0}. Рассмотрим разложение

Vi (0)= B*(0)ea+C{ (0)ej, a = 1,..., m-r, j = 1,..., r,

где Cj(0) — невырожденная матрица. Так как поля vi (x) — гладкие, то существует открытая окрестность {0}, где матрицы Cj(x) невырожденны. Тогда

(Ы (B(x) - B(0))C-1(0)) (6) V0 C (x)C -1(0) j — это единственный линейный эндоморфизм (ea, ei) ^ (ea, ei)A(x)

векторного пространства Rm, который преобразует базис {va(0)} = {ea, vi(0)} в базис {va(x)} = = {ea, 0i (x)}, т.е.

Vi (x)= Bf(x)ea + Cj (x)ej =

= Bf(0)ea + Cj(0) [Ab(x)eb + Atk(x)ek].

Поскольку A(x) (6) также является автоморфизмом группы Rm, переводящим K0 в Kx, то мы получаем желаемый изоморфизм px группы G0 в группу Gx. Пусть элемент g группы G0 принадлежит смежному классу элемента g(sA) группы Rm. Тогда он действует на Mx по правилу (5), так же, как и элемент g((A-1)Ase) группы Rm. В силу того что составляющие матрицы A (6) — гладкие на N функции, такое действие группы G0 на U гладкое. Оно свободно, и U/G0 = N. Тогда расслоение (3) — это тривиальное главное расслоение со структурной группой G0. Пусть задано сечение а этого главного расслоения. Его тривиализация U = N х G0 определяется соотнесением точек р-1 (gx) группового пространства G0 точкам gxa(x), gx е Gx слоя Mx. Снабдим G0 стандартным координатным атласом (rA) = (ta, ф') группы (1). Тогда U допускает триви-ализацию (2), соответствующую расслоенным координатам (xA, ta, ф1), где xA, A = 1,..., dim Z-m, — координаты на базе N. Векторные поля вА на U в этих координатах имеют вид

0a = da, di = -(BC-1)a(x)da + (C-1)k(x)Ok. (7)

Следовательно, подкольцо S ограниченное на U, — это индуцирование n*CN) на U кольца гладких функций на N.

3. Разделим координаты (xA) на N на некоторые m координат (JA) и оставшиеся dimZ - 2m координат (zA). Тогда на тороидальной области U (2) мы можем определить пуассоново бивекторное поле

w = дА А дА (8)

ранга 2m. Независимые полные векторные поля da и di — гамильтоновы векторные поля функций

Sa = За и ^ = на и, которые находятся в инволюции по отношению к скобке Пуассона

{f, f'} = dAf dAf' - dAf dAf'

(9)

определенной бивекторным полем w (8). В силу выражения (7) гамильтоновы векторные поля {#А} образуют 5-алгебру А. Поэтому А) — это частично интегрируемая система. Теорема доказана.

Пуассонова структура в теореме 1 не единственна. Пусть задана тороидальная область и (2) вместе с расслоенными координатами (хА, гА), тогда если пуассоново бивекторное поле на и удовлетворяет определению 2, то оно принимает вид

w = w1+w2 = wAА(xB)дAЛдА+w^v(хв, гАдЛд„. (10)

Обратное утверждение также справедливо.

Теорема 2. Для любого пуассонова бивектор-ного поля w (10) ранга 2т на тороидальной области и (2) существует тороидальная область и' с и такая, что динамическая алгебра А в теореме 1 является частично интегрируемой системой на и'.

Замечание 2. Нетрудно заметить, что любое пуассоново бивекторное w (10) поле удовлетворяет пункту б в определении 2, но пункт а накладывает ограничение на тороидальную область и, Суть в том, что характеристическое слоение Т области и, порожденное пуассоновым бивекторным полем w (10), является индуцированием т-мерного слоения Тм базы N, которое определяется первым слагаемым w1 (10) из w .В адаптированных координатах (ЗА, гА), А = 1,..., т, на расслаиваемом многообразии (М, Тм) пуассоново бивекторное поле w имеет вид

w = (За, гА)др Л д,, + (1А, гА, гА)д,, Л ду. (11)

Тогда условие а в определении 2 выполняется, если N' с N — это область карты (1А, гА) слоения Тм. В этом случае динамическая алгебра А на тороидальной области и' = п-1(М') порождается гамиль-тоновыми векторными полями

0 а = -w[dJ a = wJdj

(12)

т независимых функций SА = ]А.

Доказательство. Характеристическое распределение пуассонового бивекторного поля w (10) определяется гамильтоновыми векторными полями

= -w [dxA = wAjJdJ

(13)

и векторными полями

[dr А = wAA dA + 2wjAdJ.

w[

Так как ранг w равен 2т, то векторные поля д^ можно выразить через (13). Поэтому характеристическое распределение w задается гамильтоно-выми векторными полями иА (13) и векторными полями

(14)

vA = wAA dA.

A

v

Векторные поля (14) проектируемы на N. Более того, из соотношения [т, т] = 0 можно получить, что они образуют алгебру Ли и как следствие определяют инволютивное распределение VN ранга т на N. Обозначим через FN соответствующее слоение многообразия N. Рассмотрим индуцирование Т = п*^ этого слоения на и. Его слои — это прообразы п-1 ^) слоев FN слоения ТN, и таковым же является его характеристическое распределение

Т Т = (Т п)-1(УМ).

Это распределение определяется векторными полями Vх (14) на и и вертикальными векторными полями на и ^ N, а именно векторными полями Vя (13), образующими алгебру А. Поэтому ТТ — это характеристическое распределение пуассонового бивекторного поля т. Далее, так как и ^ N — тривиальное расслоение, то каждый слой п-1(FN) индуцированного слоения Т — это произведение слоя FN многообразия N и тороидального цилиндра х тт. Поэтому расслаиваемое многообразие (и, Т) может быть наделено соответствующим координатным атласом

{(и, /х, гх)}, х = 1,..., Л, А = 1,..., Шш 2-2т,

таким, что (/х, гА) — координаты на слоении N, ТN). В этих координатах пуассоново бивектор-ное (10) поле имеет вид (11). Пусть N' — область координатной карты. Тогда динамическая алгебра А на тороидальной области и' = п-1^') порождается гамильтоновыми векторными полями вх (12) функций Чх = 1х. Теорема доказана.

Замечание 3. Отметим, что коэффициенты в выражениях (10) и (11) — аффинны по координатам гх в силу соотношения [т, т] = 0, и, следовательно, они постоянны на торах.

Пусть теперь т и т' — две различные пуассо-новы структуры (10) на тороидальной области (2), которые превращают коммутативную динамическую алгебру в различные частично интегрируемые системы (т, А) и (т', А).

Определение 3. Будем называть тройку (т, т', А) бипуассоновой частично интегрируемой системой, если любое гамильтоново векторное поле в е А по отношению к т имеет такое же гамильтоново представление

в = -т[й[ = -т'\_tlf, I еБ

(15)

по отношению к т', и наоборот.

Определение 3 устанавливает своего рода эквивалентность между частично интегрируемыми системами (т, А) и (т', А).

Теорема 3.

I. Тройка (т, т', А) является би-пуассоновой частично интегрируемой системой в соответствии с определением 3 только в том случае, если пуассоновы бивекторные поля т и т' различаются лишь вторыми слагаемыми т2 и т'2.

II. Эти пуассоновы бивекторные поля допускают оператор рекурсии.

Доказательство.

I. Нетрудно установить, что если пуассоновы бивекторные поля т (10) удовлетворяют определению 3, то они различаются только вторым слагаемым т2 . Обратно, как следует из доказательства Теоремы 2, характеристическое распределение пуассонового бивекторного поля т (10) определяется векторными полями (13) и (14). Поэтому все пуассоновы бивекторные поля т (10), отличающиеся вторым слагаемым т2 , будут иметь одинаковое характеристическое распределение и они превращают А в частично интегрируемую систему на одной и той же тороидальной области и'. Тогда условие в определении 3 выполняется.

II. Результат следует из нижеприведенной леммы. Теорема доказана.

Пусть заданы гладкое вещественное многообразие X и пуассоновы бивекторные поля т и т' ранга 2т на X. Обозначим через т$ и т'^ соответствующие гомоморфизмы кокасательного в касательное расслоение. Тангенциальнозначная одна-форма Я на X порождает эндоморфизм расслоений

Я: ТХ ^ ТХ, Я*: Т*Х ^ Т*Х. (16)

Он называется оператором рекурсии, если

т'1 = Я о тй = тй о Я*. (17)

Лемма. Оператор рекурсии пуассоновых структур одинакового ранга существует только в случае, если их характеристические распределения совпадают [5, 6].

Например, пуассоново бивекторное поле т (10) и пуассоново бивекторное поле

т0 = тАхдА Л дх

допускают оператор рекурсии т0 = Я о тИ, чьи составляющие задаются равенствами

ЯА = А Я$ = 5$, ЯА = 0, т$х = ЯХ тв>\ (18)

Следующая теорема является обобщением теоремы Нехорошева [3, 4] на случай частично интегрируемых систем на произвольном пуассоновом многообразии.

Теорема 4. Пусть задана частично интегрируемая система (т, А) на пуассоновом многообразии (и, т), тогда существует тороидальная область и' с и с частичными координатами действие-угол (¡а, ¡1, гА, та, ф') такими, что на и' пуассоново бивекторное поле имеет канонический вид

т = да Л да + д Л д, (19)

а динамическая алгебра А порождается гамильтоновыми полями функций координат действия Ч = I Ч = I

Доказательство. Применим теорему 2 и ограничим и на тороидальную область с координатами

(Jx,zA,rx) такими, что пуассоново бивекторное поле w имеет вид (11) и алгебра A порождена га-мильтоновыми векторными полями в\ (12) m независимых функций Sx = J\ в инволюции. Выберем эти векторные поля в качестве новых генераторов группы G. Согласно теореме 1 существует тороидальная область U' с U с другой тривиализацией U' — N' с N на тороидальные Rm~r х Tr цилиндры и расслоенными координатами (J\, zA, rх) такими, что векторные поля вх (12) имеют вид (7). Для простоты обозначим U', N' и yx снова через U, N и rx = (ta, ф). Таким образом, пуассоново бивекторное поле w задается выражением (11) с новыми коэффициентами. Пусть w$ : T*U — TU — это соответствующий гомоморфизм расслоений. Он факторизуется единственным образом:

М — daSx = SX.

(25)

w

t*U

T*

T

1F

TU

через изоморфизм расслоений

т\т: ТТ* ^ ТТ, т^: а ^ -т(х)[а.

Тогда обратные изоморфизмы т^ : ТТ ^ ТТ* определяют на слоении (и, Т) послойную симплектиче-скую форму

П* = (X гА, 1а)йи$ Л+ гА)й^ Л 2г>\

(20) (21)

t :

nW = sa, naß = —nanß.

sß

exJMF = —dJx, ЩвХ = Sa, которое распадается на следующие условия:

пХ = dXSi — д,

X7

7X

(2З)

(24)

Первое из уравнений (21) показывает, что ^ является невырожденной матрицей, которая не зависит от координат гх. Тогда из (24) следует, что д'2х не зависит от ф', а в силу того что ф' — циклические координаты, 2х также от них не зависит. Поэтому

пХ = dXSi, di JMf = —äs,.

(2б) (27)

Покажем, что она 1 -точна.

Пусть F — слой слоения Т многообразия и. Существует гомоморфизм когомологий де Рама Щк(и) в когомологии де Рама ). Он факторизует-

ся через послойные когомологии Н*(и). Так как N — это область координатной карты слоения ТN, слоение ТN многообразия N — это тривиальное расслоение

N = V х Г ^ Г.

Так как Т — это индуцированное слоение на и слоением Т многообразия N, то оно также будет тривиальным расслоением

и = V х Г х (КЛ-т х Тт) ^ Г (22)

над областью ^ с 2-2т. Отсюда следует, что

Щ*(и ) = Н**К(Г )= Н* (и).

Тогда замкнутая послойная два-форма П* (20) точна в силу отсутствия слагаемого вида Л йгу. Более того, П* = (12, где 2 имеет вид

2 = 2а(/х, 2А, гх)Ъа + 2'(]х, гА)~1ф'

с точностью до 1 -точной послойной формы. Гамиль-тоновы векторные поля подчиняются соотношению

Введем новые координаты Ia = Ja, Ii = Si(J\). В силу равенств (25) и (26) якобиан этих преобразований будет регулярен. Из соотношения (27) следует, что di — это гамильтоновы векторные поля функций Si = Ii. Следовательно, мы можем выбрать векторные поля д\ в качестве генераторов алгебры A. Из (25) можно получить, что

Sa = -ta + Ea(Jx, zA)

и что s1 не зависят от ta. Тогда послойная форма Лиувилля S имеет вид

S = (-ta + Ea(I\, zA))dIa + Ei(I\, zA)dIi + Ыф1.

Сдвиг координат

Ta = -ta + Ea(Ix, zA), фi = фi - Ei(Ix, zA)

приводит послойную форму Üf (20) к каноническому виду

= dIa Л dTa + dIi Л 5ф\

что и является канонической формой (19) пуассоно-ва бивекторного поля w. Теорема доказана.

Заключение

В работе показано, что при весьма общих условиях для данной коммутативной частично интегрируемой системы существует целый класс совместимых с ней пуассоновых структур на фазовом многообразии, которые связаны оператором рекурсии. Доказано существование координат действие-угол в окрестности инвариантного подмногообразия такой системы.

Автор выражает благодарность Г. А. Сарданашви-ли за обсуждение и ряд замечаний при подготовке работы.

Список литературы

1. Арнольд В.И. // Математические методы классической механики. М., 1989.

2. Нехорошее Н.Н. // Труды ММО. 1972. 26. C. 181.

3. Нехорошее Н.Н. // Функц. анализ и его прил. 1994. 28. С. 67.

4. Gaeta G. // Ann. Phys. 2002. 297. P. 157.

5. Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. // J. Math. Phys. 2003. 44. P. 1984.

6. Sardanashvily G. // Handbook of Integrable Hamiltonian Systems. M., 2015.

Commutative partially integrable systems on Poisson manifolds A.V. Kurov

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University,

Moscow 119991, Russia.

E-mail: kurov.aleksandr@physics.msu.ru.

We show that, as distinct from completely integrable Hamiltonian systems, a commutative partially integrable system admits different compatible Poisson structures on a phase manifold that are related by a recursion operator. The existence of action-angle coordinates around an invariant submanifold of such a partially integrable system is proved.

Keywords: action-angle coordinates, Poisson manifold, integrable system.

PACS: 02.30.lk.

Received 28 December 2016.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2016. 71, No. 4. Pp. 375-380.

Сведения об авторе

Куров Александр Валерьевич — аспирант; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: kurov.aleksandr@physics.msu.ru.